2024-2025學(xué)年上海交大附中高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

參考答案一、填空題1.1；2.2；3.；4.；5.；6.2；7.；8.-2；9.；10.；11.6；12.；11.已知是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支上，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】6【解析】雙曲線(xiàn)，圓的圓心為，半徑，在雙曲線(xiàn)的左支上，，所以，

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值是，

所以的最小值是12．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足，，其中i是虛數(shù)單位，則的取值范圍是______．【答案】【解析】①若方程有兩個(gè)虛數(shù)根，設(shè)，

所以，所以．

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，同理有，綜上，的取值范圍是二、選擇題13.C；14.A；15.D；16.D15.設(shè)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）．

A．B．C．D．【答案】D【解析】,故選D16．已知，把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖像恰好關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．定義：為符合的所有的和，則的值為

A．-34B．-32C．62D．66【答案】D【解析】，把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，即為偶函數(shù)，則，則．令，得．所以．選D．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，其中．

（1）求橢圓方程；

（2）記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上的點(diǎn)，若的面積為的面積為，若，求的取值范圍；

（3）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在，求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，

所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，解得，故，故橢圓方程為

（2）設(shè)，由，有，故而，所以，

所以．又，所以的取值范圍是．

（3）①若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的斜率不存在，則或，此時(shí)．

②若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的所率存在，則可設(shè)該直線(xiàn)方程為：，設(shè)，，化簡(jiǎn)整理可得，

故，

故恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．21.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋x：若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)。

（1）冪函數(shù)是否具有性質(zhì)，說(shuō)明理由；

（2）設(shè)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，集合函數(shù)具有性質(zhì)．求集合在坐標(biāo)平面上對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積．

（4）（挑戰(zhàn)題）設(shè)，集合函數(shù)具有性質(zhì)．為集合在坐標(biāo)平面上對(duì)應(yīng)的區(qū)域邊界上的點(diǎn)，且不在軸上，求的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）16（4）【解析】（1）任取，有恒成立，所以?xún)绾瘮?shù)是否具有性質(zhì).

（2）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，故對(duì)任意，

有恒成立．由，得，

故，所以，所以，

又令，

故對(duì)任意恒成立，

所以且，所以且，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是

（3）函數(shù)具為奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格增函數(shù)，在上為嚴(yán)格減函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)具有性質(zhì)，

僅需考慮對(duì)任意恒成立．

有，即對(duì)任意恒成立．所以．當(dāng)時(shí)，同理有

所以，集合在坐標(biāo)平面上的對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為．

（4），函數(shù)具為奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格增函數(shù)，在上為嚴(yán)格減函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，