2021-2022學(xué)年上海市上海中學(xué)高一下學(xué)期期末考試階段練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

上海中學(xué)2022學(xué)年高一第二學(xué)期期末階段練習(xí)數(shù)學(xué)試題高一________班學(xué)號(hào)________姓名________成績(jī)________一、填空題（每空3分，共39分）1.已知點(diǎn)，向量，則向量__________．2已知復(fù)數(shù)，則__________．3.若，則在方向上的數(shù)量投影是__________．4.在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為_(kāi)_________．5.設(shè)虛數(shù)，若，則__________．6.在四面體中，若棱與所成角為且，則連接四條棱中點(diǎn)所得四邊形的面積為_(kāi)_________．7.在復(fù)平面上，四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中三個(gè)復(fù)數(shù)分別是，則第四個(gè)復(fù)數(shù)是__________．8.已知均為非零向量，且與垂直，與垂直，則與的夾角為_(kāi)_________．9.已知方程的兩根滿(mǎn)足，則__________．10.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則所有與A，B，C，D距離相等的平面截這個(gè)四面體所得截面的面積之和為_(kāi)_____．11.已知為虛數(shù)，且是實(shí)數(shù)，也是實(shí)數(shù)，則的值為_(kāi)_________．12.已知向量與的夾角為，，在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_________．13.中，，則的最大值是___________.二、選擇題（每題4分，共16分）14.設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，其中正確的是（）．A.若，則 B.若，則C若，則且 D.若，則15.若非零不共線的向量滿(mǎn)足，則（）．A. B. C. D.16.正八邊形在生活中是很常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形，如圖1中的正八邊形的盤(pán)，圖2中的正八邊形窗花.在圖3的正八邊形中，，則（）A. B.2 C. D.17.在等腰三角形中，，M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿翻折至使，點(diǎn)A在面上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A.線段為定長(zhǎng)B.C.存在D的某個(gè)位置使得D.存在D的某個(gè)位置使得三、解答題（本大題共6題，共48分，解答各題必須寫(xiě)出必要的步驟）18.復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)m取值范圍使得：（1）z為純虛數(shù)；（2）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．19.已知正方形所在平面外一點(diǎn)P滿(mǎn)足平面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）若，求與所成角的大?。?0.已知向量，單位向量與向量的夾角為．（1）求向量；（2）若向量與坐標(biāo)軸不平行，且與向量垂直，令，請(qǐng)將t表示為x的函數(shù)，并求的最大值．21.如圖，某鋼性“釘”由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為O，釘尖為．

（1）當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）若該“釘”的三個(gè)端尖所確定的三角形的面積為，要用某種線性材科復(fù)制100枚這種“釘”（損耗忽略不計(jì)），共需要該種材料多少厘米？22.我們學(xué)過(guò)二維的平面向量，其坐標(biāo)為，那么對(duì)于維向量，其坐標(biāo)為.設(shè)維向量的所有向量組成集合.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.設(shè)和為的“特征向量”，定義.（1）若，，且，，計(jì)算，的值；（2）設(shè)且中向量均為的“特征向量”，且滿(mǎn)足：，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）設(shè)，且中向量均為的“特征向量”，且滿(mǎn)足：，，且時(shí)，.寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素最多，并說(shuō)明理由.

上海中學(xué)2022學(xué)年高一第二學(xué)期期末階段練習(xí)數(shù)學(xué)試題高一________班學(xué)號(hào)________姓名________成績(jī)________一、填空題（每空3分，共39分）1.已知點(diǎn)，向量，則向量__________．【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以；故答案為?.已知復(fù)數(shù)，則__________．【答案】【分析】求出的共軛復(fù)數(shù)，代入，由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則.故答案為：.3.若，則在方向上的數(shù)量投影是__________．【答案】【分析】首先求出、，再根據(jù)求出在方向上的數(shù)量投影；【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以在方向上的?shù)量投影為；故答案為：4.在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為_(kāi)_________．【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，，則，設(shè)平面，，則，所以，棱與平面所成角為，所以，則.故答案為：.

5.設(shè)為虛數(shù)，若，則__________．【答案】【分析】依題意可得，代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以；故答案為?.在四面體中，若棱與所成角為且，則連接四條棱的中點(diǎn)所得四邊形的面積為_(kāi)_________．【答案】【分析】空間四邊形ABCD中，分別取AB、BC、CD、DA中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，則連接各邊中點(diǎn)可得平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式可求出結(jié)果．【詳解】如圖，空間四邊形ABCD中，若棱與所成角且，分別取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，則EF//GH//AC，且EF＝GH＝AC＝2，EH//GF//BD，且EH＝GF＝BD＝2，∴∠HEF＝60°，或∠HEF＝120°，不妨取∠HEF＝60°∴連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是：．故答案為：．7.在復(fù)平面上，四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中三個(gè)復(fù)數(shù)分別是，則第四個(gè)復(fù)數(shù)是__________．【答案】##【分析】設(shè)第四個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,利用與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量相等即可求得答案.【詳解】設(shè)正方形的三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為設(shè)由題意得,,即，即第四個(gè)復(fù)數(shù)是.故答案為:8.已知均為非零向量，且與垂直，與垂直，則與的夾角為_(kāi)_________．【答案】##【分析】根據(jù)向量垂直的條件以及向量的夾角公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，非零向量，滿(mǎn)足與互相垂直，與互相垂直，，，，，，，，又，故答案為：9.已知方程的兩根滿(mǎn)足，則__________．【答案】或【分析】按照或進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的所有可能取值.【詳解】已知方程的兩根，由韋達(dá)定理有：，若即時(shí)，所以，解得：.若即時(shí)，所以，解得：.綜上：或.故答案為：或.10.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則所有與A，B，C，D距離相等的平面截這個(gè)四面體所得截面的面積之和為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)題意知，到正四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的截面分為兩類(lèi)：一類(lèi)是由同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)構(gòu)成的三角形截面，這樣的截面有4個(gè)；另一類(lèi)是與一組相對(duì)的棱平行，且經(jīng)過(guò)其它棱的中點(diǎn)的四邊形截面，這樣的截面有3個(gè)；求出所有滿(mǎn)足條件的截面面積之和即可．【詳解】設(shè)E、F、G分別為AB、AC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF、FG、GE，則是三棱錐的中截面，可得平面平面BCD，點(diǎn)A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面BCD之間的距離，、B、C、D到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的一個(gè)平面；正四面體ABCD中，象這樣的三角形截面共有4個(gè)．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，可得，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可得；取CD、BC的中點(diǎn)H、I，連結(jié)GH、HI、IE，、GH分別是、的中位線，,得四邊形EGHI為平行四邊形；又且，，且，四邊形EGHI為正方形，其邊長(zhǎng)為，由此可得正方形EGHI的面積；的中點(diǎn)I在平面EGHI內(nèi)，、C兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等；同理可得D、C兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等，且A、B兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等；、B、C、D到平面EGHI的距離相等，平面EGHI是到四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的一個(gè)平面，且正四面體ABCD中，象四邊形EGHI這樣的正方形截面共有3個(gè)，因此，所有滿(mǎn)足條件的正四面體的截面面積之和等于．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四面體的性質(zhì)、點(diǎn)到平面距離的定義、三角形面積與四邊形形面積的求法等知識(shí)，屬于難題．11.已知為虛數(shù)，且是實(shí)數(shù)，也是實(shí)數(shù)，則的值為_(kāi)_________．【答案】1【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件可得且，故可求，從而可求.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉樘摂?shù)，故，又，因?yàn)?，故為?shí)數(shù)，所以，故，而也為實(shí)數(shù)，同理可得為實(shí)數(shù)，故，，故，所以，故，若，則，同理若，則，故答案為：1.12.已知向量與的夾角為，，在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】由向量的運(yùn)算可得，由二次函數(shù)可得，解不等可得的取值范圍【詳解】由題意可得，，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，上式取得最小值時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以解得，即的取值范圍為，故答案為?3.中，，則的最大值是___________.【答案】【詳解】由數(shù)量積的定義及余弦定理知.類(lèi)似地，，..故已知等式化為.由余弦定理及基本不等式得:,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，的最大值.二、選擇題（每題4分，共16分）14.設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，其中正確的是（）．A.若，則 B.若，則C.若，則且 D.若，則【答案】B【分析】由線、面位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，若，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，由則.故B正確；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：B.15.若非零不共線的向量滿(mǎn)足，則（）．A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，構(gòu)圖即可判斷【詳解】（2）由非零向量，滿(mǎn)足當(dāng)，不共線時(shí),可考慮構(gòu)造等腰三角形,如圖（1）所示,,則.在圖（1）中,,不能比較與的大小;在圖（2）中,由,得,所以為的直角三角形.易知,由三角形中大角對(duì)大邊,得.故選：C16.正八邊形在生活中是很常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形，如圖1中的正八邊形的盤(pán)，圖2中的正八邊形窗花.在圖3的正八邊形中，，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【分析】在在上取一點(diǎn)，使得，根據(jù)C點(diǎn)的位置，從而求得，找到與的關(guān)系即可求得參數(shù).【詳解】連接，，且，在上取一點(diǎn)，使得，則四邊形為平行四邊形，.設(shè)，則，由圖可知，故故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量相等及平行四邊形法則，將向量和轉(zhuǎn)化為三角形中的長(zhǎng)度關(guān)系，從而求得參數(shù)值.17.在等腰三角形中，，M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿翻折至使，點(diǎn)A在面上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A.線段為定長(zhǎng)B.C.存在D的某個(gè)位置使得D.存在D的某個(gè)位置使得【答案】ABD【分析】依題意作出圖形，結(jié)合圖形及線面垂直的判定定理一一判斷即可；【詳解】解：如圖所示，對(duì)于A，為直角三角形，為斜邊上的中線，所以為定長(zhǎng)，即A正確；對(duì)于B，在時(shí)，，，，故B正確；對(duì)于D，因?yàn)椤?，，平面，所以平面，平面，所以，所以?dāng)與重合時(shí)，滿(mǎn)足，故D正確；對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，且，故不滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，記二面角的平面角為，則，而，所以，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．三、解答題（本大題共6題，共48分，解答各題必須寫(xiě)出必要的步驟）18.復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍使得：（1）z為純虛數(shù)；（2）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)z為純虛數(shù)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，列出不等式組，即可求解；【小問(wèn)1詳解】，若z為純虛數(shù)，則，解得：.【小問(wèn)2詳解】由題意知，，解得：.19.已知正方形所在平面外一點(diǎn)P滿(mǎn)足平面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）若，求與所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形，證明出線面平行；（2）作出輔助線，得到AF與AD所成的角即為與所成角，利用余弦定理求出所成角的余弦值，進(jìn)而求出所成角的大小.【小問(wèn)1詳解】取PD中點(diǎn)G，連接FG，GA，因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以FG∥CD，且FG=，因?yàn)檎叫蜛BCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以AE∥CD，AE=，所以FG∥AE，且FG=AE，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，因?yàn)槠矫妫矫嫠浴纹矫妗拘?wèn)2詳解】取AC中點(diǎn)M，連接DM，F(xiàn)M，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，且，由勾股定理得：，同理可得：，因?yàn)锽C∥AD，所以AF與AD所成的角即為與所成角，由余弦定理得：，故，故與所成角的大小為20.已知向量，單位向量與向量的夾角為．（1）求向量；（2）若向量與坐標(biāo)軸不平行，且與向量垂直，令，請(qǐng)將t表示為x的函數(shù)，并求的最大值．【答案】（1）或（2），，【分析】（1）設(shè)，向量是單位向量，向量與向量夾角為，解方程組，由此求出．（2）首先可判斷向量，根據(jù)向量垂直，得到，即可得到，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，向量是單位向量，．向量與向量夾角為，，，解方程組，解得或．或．【小問(wèn)2詳解】解：與坐標(biāo)軸平行，向量，又向量與向量垂直，，，即．又，即，因?yàn)樗?，所以，；所以?dāng)時(shí)，．21.如圖，某鋼性“釘”由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為O，釘尖為．

（1）當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）若該“釘”的三個(gè)端尖所確定的三角形的面積為，要用某種線性材科復(fù)制100枚這種“釘”（損耗忽略不計(jì)），共需要該種材料多少厘米？【答案】（1）（2）【分析】（1）組成該種釘?shù)乃臈l線段長(zhǎng)必相等，且兩兩所成的角相等，，，，兩兩連結(jié)后得到的四面體為正四面體，延長(zhǎng)交平面于B，則平面，連結(jié)，則就是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的大?。?）推導(dǎo)出，又，從而，由此能求出要用某種線型材料復(fù)制100枚這種“釘”損耗忽略不計(jì)，共需要該種材料的長(zhǎng)度．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，根據(jù)題意，可知組成該種釘?shù)乃臈l線段長(zhǎng)必相等，且兩兩所成的角相等，，，，兩兩連結(jié)后得到的四面體為正四面體，

延長(zhǎng)交平面于B，則平面，連結(jié)，則是在平面上的射影，就是與平面所成角，設(shè)，則，在