北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義 第1講 等腰三角形原卷版+解析

第1講等腰三角形

0目標(biāo)導(dǎo)航

1.掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直.

2.掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理.

3.熟練運用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算.

8父知識精講

知識點（）1等腰三角形

1.等腰三角形的定義

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示,在AABC中,AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰,BC為底邊，NA是頂角，NB、

ZC是底角.

要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍

角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

1go。_/A

ZA=180°-2ZB,ZB=ZC=.

2

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有?條對

稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.

要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為

邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

【知識拓展1］根據(jù)等邊對等角求角度

例1.（2023?貴州?思南縣張家寨初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在等腰三角形48c中，AB=AC,點、D為

AC上一點，AD=BD=BC,則/A等于多少？

例2.（2023?黑龍江省八五——農(nóng)場中學(xué)八年級期末）如圖，ZiaBC中，A8=4>C。，BD=AD,^A48C^ZCAB

的度數(shù)

例3.（2023?廣東?廣州市白云區(qū)廣大附中實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖所示，在RJABC中，ZC

=90。，。是8c上一點，且DA=08,Z8=15°.求NC4。的度數(shù).

例4.（2023?廣西三江?八年級期中）如圖，在△A8C中，點。在8c上，AB=AD=DC,/8=80。，求NC的度

【即學(xué)即練1】如圖，已知AABC中，AB=BD=DC,ZABC=105°,求NA,NC度數(shù).

【即學(xué)即練2】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求/B的度數(shù).

【知識拓展2】利用三線合一求解與證明

例1.（2023?湖北武漢?八年級階段練習(xí)）如圖，點D,E在△八8c的邊8c上，AB=AC,AD=AE,求證：BD

=CE.

BDE

例2.（2023?重慶?八年級期中）如圖：己知等邊ABC中,BDLAC,垂足為。，E是5c延長線上的一點,

且cE=m

（1）求證：BD=DE；

（2）若“為昭中點，求證：DM平分4BDE.

例3.（2023?河南鎮(zhèn)平?八年級階段練習(xí)）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片

段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,（1）分別在射線04。8上截取OC=OD,OE=OF（點C,￡不重合）；（2）分別作線段CE,

DF的垂直平分線/I,/2,交點為P,垂足分別為點G,H；（3）作射線OP,射線OP即為N40B的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以PGO合RtaPH。，則NPOG=NPOH,即射

線OP是NA08的平分線.

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2,（1）分別在射線04OB

上截取。。=。0.O￡=OF（點。，￡不重合）：（2）連接?！?CF,交點為P：（3）作射線OP.射線OP即為

N408的平分線.

任務(wù):

（1）小明得出R3PG。合RSPHO的依據(jù)是（填序號）.

①SSS；②S4S；③A4S；④ASA；⑤HL

(2)如圖2,連接EF.

①求證：△CEF^△DFE；

②求證：APEF是等腰三角形；

③小軍作圖得到的射線0P是NAOB的平分線嗎？請判斷并說明理由.

例4.(2023?廣東廣州?八年級階段練習(xí))如圖，在中,AB=AC,AD1BCf垂足為。，AB：AD：

BD=13：12：5,48c的周長為36,求ABC的面積.

例5.(2022?黑龍江富裕?八年級期末)已知：在aABC中，ZABC=A5°,CDJLAB于點D,點E為CD上一點,

JiDE=AD,連接8￡并延長交47于點F.連接。￡

(1)求證：BE=AC；

(2)若A8=8C,且8E=2cm,則CF=cm.

E

B

例6.（2023?江蘇濱海?八年級期巾）如圖，廠房屋頂?shù)娜俗旨苁堑妊切?，AB=AC,AD±BC,若跨度8C

=16m,上弦長A8=10m,求中柱4。的長.

【即學(xué)即練1】（2023?福建?福州三牧中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△48C中,N4=40。，N48c=80°,BE

平分N48C交AC于點E,￡。_148于點。，求證：AD=BD.

【即學(xué)即練2］（2023?黑龍江五常,八年級階段練習(xí)）已知：以線段A8為邊在線段的同側(cè)作△演C與△BA。,

8c與A。交于點￡,若AC=B。，BC=AD.

（1）如圖1,求證：CE=DE；

（2）如圖2,當(dāng)NC=90。，NAE8=2N4￡C時,，作EFJ_AB于F,請直接寫出所有等于：八8的線段.

圖1卸

【即學(xué)即練3】(2023?吉林?八年級期末)如圖，在A8c中，AB=AC,為邊的中線，E是邊A8上

一點(點E不與點A、8重合)，過點、E作EF工BC于點、F,交C4的延長線于點G.

(2)求證：AG=AE；

(3)若AE=3BE,且4C=4,直接寫出CG的長.

【即學(xué)即練4】(2023?江蘇?揚州市梅嶺中學(xué)八年級階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，三角形△人8c為等腰直

角三角形，AC=BC,8c交x軸于點D.

(1)若2(-8,0),C(0,6),直接寫出點B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,三角形△OW8與△AC。均為等腰直角三角形，連。D,求NA。。的度數(shù)；

(3)如圖3,若4。平分/BAC,4(-8,0),D(m,0),B的縱坐標(biāo)為〃，求2n+m的值.

圖1圖2圖3

【知識拓展3】等腰三角形中的分類討論

例L在等腰三角形中，有一個角為40",求其余各角.

例2、已知等腰三角形的周長為13,一邊長為3,求其余各邊.

【即學(xué)即練】如圖，AABC中BD、CD平分NABC、NACB,過D作直線平行于BC,交AB、AC于E、

F,AB=5,AC=7,BC=8,4AEF的周長為()

B.12C.15D.20

【知識拓展4】等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用

例1、已知：如圖，△ABC中，NAC8=45。，AD_LBC于D,CF交AD于點F,連接BF并延長交AC于點E,

ZBAD=ZFCD.

求證：(1)AABD^ACFD；(2)BE±AC.

BDC

知識點02等邊三角形

1.等邊三角形定義：

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是?種特殊的等腰三角形.也就是說等腰三角形包

括等邊三角形.

2.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊.三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.

3.等邊三角形的判定：

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【知識拓展4】等邊三角形

例I、如圖.在等邊AABC中，NABC與NACB的平分線相交于點0,且0D〃AB,0E/7AC.

（1）試判定AODE的形狀，并說明你的理由；

（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程.

【即學(xué)即練】等邊△ABC,P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角

板繞P點旋轉(zhuǎn).如圖，當(dāng)P為BC的三等分點，且PE_LAB時，判斷4EPF的形狀.

【知識拓展5】在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

例1.（2023?山東惠民?八年級階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，點M,/V都在BC邊上，N847=120。，若

MELAB于點E,NF1AC于點、F,點E,F分別為48,4；的中點，且EM=2.則8c的長為（）

【即學(xué)即練1】（2023?浙江?溫州市第二中學(xué)八年級期中）如圖，RtM8C中，NACB=90。，ZABC=3Q°,分

別以AC,BC,48為一邊在」ABC外面做三個正方形，記三個正方形的面積依次為Si,S2,S3,已知S1=4,

則$3為（）

B.16C.AD.748+4

【即學(xué)即練2】（2023?廣東?珠海市九洲中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖,在△A8C中，Z4CS=90°.AC=4,BC

=3,。為8c邊上一點，8=1,E為4c邊上一動點，連接DE,以。E為邊并在OE的右側(cè)作等邊△DEF,

連接8F,則8F的最小值為（）

A.1B.2C.3D.6

【即學(xué)即練3】（2022?甘肅西峰?八年級期末）如圖，在△A8C中，AB=AC,184c=120°,。是8c的中點，連

結(jié)AD,AE是N8A。的平分線，OFII48交AE的延長線于點F,若EF=3,則的長是（）

A.3B.6C.9D.12

U能力拓展

類型一、等腰三角形中的分類討論

1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為（）.

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

2.已知等腰三角形的周長為13,一邊長為3,求其余各邊.

類型二、等腰三角形的操作題

1、根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫

做法，但需保留作圖痕跡，在圖中標(biāo)注分割后的角度）；并根據(jù)每種情況分別猜想：NA與NE有怎樣的數(shù)

量關(guān)系時才能完成以上作圖？

圖②

(1)如圖①AABC中，ZC=90°,ZA=24°；猜想:

(2)如圖②AABC中，ZC=84°,ZA=24°；猜想:

2.直角三角形紙片ABC中，NACB=90°,ACWBC,如圖，將紙片沿某條更線折疊，使點A落在直角邊BC

上，記落點為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點E、F,

探究：如果折疊后的4CDF與ABDE均為等腰三角形，那么紙片中的NB的度數(shù)是多少？寫出你的計算過程,

并畫出符合條件的折疊后的圖形.

類型三、等腰三角形性質(zhì)判定綜合應(yīng)用

1.如圖，△ABC中，/BAC=90",AB=AC,AD1BC,垂足是D,AE平分/BAD,交BC于點E,EH1AB,垂足

是H.在AB上取一點M,使BM=2DE,連接ME.求證：MEXBC.

2.如圖，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求證：AC=BF.

類型四、等邊三角形

1.已知：如圖，B、C、E三點共線，MBC,ADCE都是等邊三角形，連結(jié)AE、BD分別交CD、AC于N、U,

連結(jié)MN.

求證:AE=BD,MN77BE.

2.如圖，AB=AC=AD=4cm,DB=DC,若/ABC為60度，則BE為,ZABD='

4分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.（2022?四川仁壽?八年級期末）下列命題是真命題的是（）

A.全等三角形的角相等

B.等腰三角形的中線、高線、角平分線重合

C.全等三角形的邊相等

12

D.R3A8C兩直角邊為3、4,則斜邊上的高是彳

2.（2023?遼寧鐵嶺?八年級期末）如圖，在AA4C中，AB=AC,ZA=50°,則A44c的外角ZAC。的度數(shù)

是（）

A.115°B.120°C.125,D.130°

3.（2023?黑龍江五常?八年級期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是4,5,則它的周長是（）

A.13B.14C.13或14D.9或12

4.12022?天津市第七中學(xué)八年級期末）等腰三角形的頂角是50。，則這個三角形的一個底角的大小是（）

A.65'B.40,C.50°D.80,

5.（2022?內(nèi)蒙古烏蘭察布?八年級期末）如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點A,七重合），在月石同

側(cè)分別作正,A3c和正△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點、P,%:與C7）交于點Q,連接PQ.以

下四個結(jié)論：①△公力二②AD=8E；③ZAOB=60。：④.CPQ是等邊三角形.其中正確的是

（）

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③

6.（2023?上海巾建平實驗中學(xué)八年級期末）如圖，一棵直立的人樹在一次強臺風(fēng)中被折斷，折斷處離地面

2米，倒下部分與地面成30。角，這棵樹在折斷前的高度為（）

A.(2+2偽米B.(2+2揚米C.4米D.6米

二、填空題

7.（2023?貴州?峰林學(xué)校八年級期中）等腰三角形中頂角為30。，則底角的度數(shù)是.

8.（2023?廣西隆安?八年級期中）已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于5,則它的周長為.

9.（2022?天津市第七中學(xué)八年級期末）一個直角三角形房梁如圖所示，其中8CJ.AC,NA=30°，M=IOm,

CD_LAB?垂足為。，那么BD=.

10.（2023?江蘇?如皋市實驗初中八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=BC,NABC=120。，￡是線段AC

上一點，連接8￡并延長至D,連接CD,若N88=120。，AB=2CD,AE=7,則線段C￡長為.

三、解答題

11.（2022?吉林長春?八年級期末）圖①、圖②都是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的項點為格點，每個

小正方形的邊長均為1,在圖①、圖②中已畫出A8,點48均在格點上，按下列要求畫圖：

（1）在圖①中，畫一個以A8為提且三邊長都是無理數(shù)的等腰三角形48C,點C為格點；

（2）在圖②中，畫一個以A8為底的等腰三角形加。，點。為格點.

4

圖

①圖②

12.（2022?寧夏鹽池?八年級期末）如圖，A3C是等邊三角形，B。是中線，延長8c至E,使CE=C￡）.求

證：DB=DE.

13.（2023?吉林九臺?八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格

點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖形.

（1）在圖1中，畫一個等腰三角形（不含直角），使它的面積為8：

（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)：

（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積為10.

___1?—-1_一.r___1-——1--------------——-1___r_一_r一一一一

,■■■

圖1圖2圖3

14.（2023?吉林九臺?八年級期末）如圖，在d3c中，A8=AC,。是灰?的中點，8E_LAC于E.求證:

ZBAC=2ZEBC.

A

題組B能力提升練

一、單選題

1.（2023?湖北?仙桃市第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，R3A8c中，N48c=90°,NC48的角平分線交8c

于M,N4CB的外角平分線與AM交于點。，與48的延長線交于點N,過。作。E_LCN交CB的延長線于點

P，交AN于點、E,連接CE并延長交P/V于點Q,則下列結(jié)論：①NADP=45。；②4V=CA+CP；③DC=

3

ED；@NQ?CD=PQ；⑤CN=QDE+EP,其中正確的結(jié)論有（）個.

2.（2023?遼寧鐵嶺八年級期末）如圖，E是等邊443C中AC邊上的點，Z1-Z2,BE=CD,則是

)

AD

A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.無法確定

3.（2023?廣東南沙?八年級期末）如圖,NAO8=50。，OC平分N408,如果射線OA上的點E滿足△。&是

等腰三角形，那么NOCE的度數(shù)不可能為（）

A.130°B.77.5°C.65°D.25°

4.（2023?山東?濰坊市濰城區(qū)樂埠山生態(tài)經(jīng)濟發(fā)展區(qū)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在A8C中，ZC=90°,

點D為8c上一點，0E2.A8于￡,并且?！?OC,F為4C上一點，則下列結(jié)論中正確的是（）

5.（2023,上海市建平實驗中學(xué)八年級期末）已知下列命題中：

①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②行一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

④頂角與底邊分別對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

6.（2023?遼寧鐵嶺?八年級期末）如圖，在AA6c中，AS=AC,點。在邊AC上，RBD=DA=BC,過A。

上一點M作交AB、8。的延長線、的延長線分別于點N,〃和E,有下列結(jié)論：①圖中

共有4個等腰三角形；②NE=54'；③M4=C。：@AN+CE=CD.其中正確的結(jié)論有（請?zhí)?/p>

寫序號）.

7.（2022?遼寧大石橋?八年級期末）已知△A8C的面積是12,AB=AC=5,4D是8c邊上的中線，E,P分別是

AC,AD上的動點，則CP+EP的最小值為

8.（2023?貴州黔東南?八年級期末）如圖，在邊長為4,面積為46的等邊AA5c中，點、D、E分別是8C、

邊的中點，點尸是A。邊上的動點，求4y+所的最小值_.

9.（2023?浙江?金華市第五中學(xué)九年級階段練習(xí)）由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操

作.小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖2,衣架桿QA=O8=18cm,

若衣架收攏時，ZAOB=60°,如圖1,若衣架打開時，ZAOB=I2（T,則此時A,8兩點之間的距離擴大了

圖1圖2

10.（廣東省深圳市實驗學(xué)校三部2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖所示，直線），=x+2

與兩坐標(biāo)軸分別交于A、8兩點，點C是OB的中點，。、E分別是直線AB、V軸上的動點，當(dāng)A8E周

長最小時，點。的坐標(biāo)為.

三、解答題

11.(2023?吉林朝陽?八年級期末)如圖，A3C是等邊三角形，AB=6.動點尸從點A出發(fā)，以每秒2個單

位的速度沿A8向終點8勻速運動：同時，動點。從點。出發(fā)，以相同的速度沿CA向終點A勻速運動，連

結(jié)CP,以“為邊向其左側(cè)作等邊三角形COP,連結(jié)A。、。0、BQ.設(shè)點戶的運動時間為r(s).

(1)求證：AACP@MBQ.

(2)求證：

(3)求△A。。的周長(用含，的代數(shù)式表示).

(4)當(dāng)C尸的長最短時，連結(jié)尸Q,直接寫出此時/的值和四邊形AQQP的周長.

12.(2023?黑龍江鐵鋒?八年級期末)綜合與探究

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點8、。分別在y軸、x軸上，點4(-a,b),C(〃,a),且a,b滿足

9/-6a力+/+(〃—6)2=0,AB1)，軸于點8,C/)_Lx軸于點D.

(1)直接寫出。=,b=；

(2)如圖2,連接AC,8D交于點P,求證：點P為AC中點；

G)若0。=2而，在x軸上是否存在點F,使-COF是以8為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出F

點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.(2023?吉林伊通?九年級期末)如圖，在RJABC中，ZACB=90°,8c是△48C中最短的邊，邊AC的長

度比8c長10cm,斜邊48的長度比8c長度的2倍短10cm.

(1)求RS48C的各條邊的長.

(2)求48邊上的高.

(3)點D從點8出發(fā)在線段A8上以2cm/s的速度向終點A運動，設(shè)點。的運動時間為t(s).

①用含t的代數(shù)式表示線段BD的長為；

②當(dāng)△BCD為等腰三角形時，請求出t的值.

14.(2022?遼寧大石橋?八年級期末)如圖，8c是等邊三角形，延長BC到點邑使CE=JBC,若。是4c

的中點，連接ED并延長交八8于點F.

(1)若2F=3,求八。的長；

(2)求證：DE=2DF.

15.(2023?吉林伊通?八年級期末)如圖，點。是等邊△48C內(nèi)一點，點。是△48C外一點，/4。8=110。,

ZBOC=a,△DOC^△ADC,連接OD.

(1)求證：AOCD是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150。時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由;

(3)3a=Z.AOB,4。=8cm時，求0C的長度.

A

16.（2023?江蘇?如皋市實驗初中八年級階段練習(xí)）如圖,在△ABC中，AB=ACf△48C的高8H,CM交卜

點P.

（1）求證：PB=PC.

（2）若P8=5,PH=3,求8c.

17.（2023?黑龍江五常?八年級期末）（1）畫圖探究：如圖①，若點A,6在直線〃，的同側(cè)，在直線機上求

作一點尸，使A尸+8尸的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法；

.B

二

Hl

BDC

圖①圖②

(2)實踐運用：如圖②，等邊聞定?的邊4c上的高為6,A。是邊AC上的中線，M是A。上的動點，E

是AC的中點，求0W+CM的最小值.

18.(2023?吉林龍?zhí)?八年級期末)探究：(1)如圖(1),已知：在△48C中，NB4>90。，AB=AC,直線m

經(jīng)過點4,8DJL直線m,CE_L直線m,垂足分別為點D、E.請直接寫出線段8D,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系

是___________

拓展：（2）如圖（2）,將探究中的條件改為：在aABC中，AB=AC,D、A.E三點都在直線m上，并且有

ZBDA=AAEC=ABAC=a,其中夕為任意銳角或鈍角.請問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明;

若不成立，請說明理由.

應(yīng)用：（3）如圖（3）,D、E是D、4、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為/BAC

平分線上的一點，且AA8F和均為等邊三角形，連接8。、CE,若NBDA=NAEC=NBAC,請直接寫出

△DEF的形狀是.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、填空題

1.（2023?江蘇?鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在△ACB和▲力CE中，ZACB=ZDCE=90°,

CA=CB,CD=CE,點4在邊DE上，若DE=23,AO=8,MAC2=.

D

2.（2023?四川?石室中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰直角八3c中，A8=4C=8,乙4=90。，點￡是8C邊上

一點，點。是AC邊上的中點，連接E/）,過點E作所_!_￡￡>,滿足包>=EF,連接。尸，交BC于點M,將

△OEM沿DE翻折，得到一OEN,連接NF,交DE于點P,若BE=20,則P尸的長度是.

4

3.（2023?山東省青島第二十六中學(xué)八年級期末）如圖，在直角義標(biāo)系中，直線/：y=§x+8與x軸、y軸分

別交于點8,點4直線x=-2交48于點C,。是直線x=-2上一動點，且在點C的上方，設(shè)。（-2,

m）

（1）求點。到直線AB的距離；

（2）當(dāng)四邊形八。8。的面枳為38時，求點。的坐標(biāo)，此時在x軸上有一點E（8,0）,在y軸上找一點M,

使MD|最大，請求出|ME的最大值以及M點的坐標(biāo)；

4

（3）在（2）的條件下，將直線/：y=§x+8左右平移，平移的距離為t（t>0時，往右平移；tVO時，往

左平移）平移后直線上點4點B的對應(yīng)點分別為點A、點g,當(dāng)△A&D為等腰三角形時，求t的值.

4.（2023?四川南充?八年級期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=L點。是射線AC上

一點（點。與點八不重合），連接8D,以8。為腰作等腰直角ABDE,ZDBE=90°,連接4E交8C于點F.

（1）如圖1，點。在線段AC上.

①求證；Ar=cr；

②已知AO=,，BF=—fm,〃都是整數(shù)，求m,。的值；

ntn

（2）如圖2,如果點。在AC延長線上（其它條件不變），AD=3BF,求4D的長.

5.（2023?江蘇濱海?八年級期中）如圖，在等邊aABC中，AB=AC=BC=6cm,現(xiàn)有兩點M、N分別從點4、

8同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為lcm/s,點N的速度為2cm/s.當(dāng)點N第一次回到點8

時，點M、/V同時停止運動，設(shè)運動時間為

（1）當(dāng)t為何值時，M、N兩點宜合;

（2）當(dāng)點M、N分別在A?、8a邊上運動，△AM/V的形狀會不斷發(fā)生變化.

①當(dāng)t為何值時，△AM/V是等邊三角形：

②當(dāng)t為何值時，△AMN是直角三角形：

（3）若點M、N都在8c邊上運動，當(dāng)存在以M/V為底邊的等腰△4MN時，求t的值.

6.（2023?吉林九臺?八年級期末）如圖，在長方形A8C。中，A4=4,BC=6.延長AC到點E,使CE=3,

連接。E.動點尸從點8出發(fā)，沿著3E以每秒1個單位的速度向終點E運動，點P運動的時間為，秒.

（1）OE的長為；

（2）連接求當(dāng)，為何值時，AABPMDCE；

（3）連接OP,求當(dāng)f為何值時，是直角三角形；

（4）直接寫出當(dāng)，為何值時，△?是等腰三角形.

AD

7.（2023?黑龍江平房?八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AO=CO=G,AC交y軸于點0,ZDAO=

30。，CO的垂直平分線過點B交X軸于點￡.

（1）求4E的長；

（2）動點N從E出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿射線EC方向運動，過N作x軸的平行線交直線OC于G,

交直線8E于P,設(shè)GP的長為d,運動時間為t秒，請用含量t的式子表示d,并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，動點M從八以1個單位/秒的速度沿射線AE運動，且點M與點N同時出發(fā)，MN

與射線0C相交于點K,是否存在某一運動時間3使得1=2,若存在，請求出t值；若不存在，請說明

OM

理由.

8.(2023?黑龍江?哈爾濱市松雷中學(xué)校八年級期中)在四邊形A8CD中，ZDAB+N0cB=180°,AC平分NDAB.

(1)如圖1,求證：BC=CD；

（2）如圖2,連接8。交4c于點￡,若N/W8=90。，AE=2DE,求/八8。的度數(shù)；

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點C作CH_L48于點H,△ECH沿8c翻折，點H的對應(yīng)點為點F,點G

在線段48上，連接FG,若/CGF=30。，SACHG=9,求線段CG的長.

9.（2023?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在y

軸上，點8在x軸上，NA8c=90。，AB=BCt連接47,CD_Lx軸于點D,CD=5.

（1）如圖1，求點8的坐標(biāo)；

（2）如圖2,OF平分NAOB,OF交4c于點F,求證：點F為4c的中點；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點E在第二象限，連接AE、CE,且NE=45。，NECA+N840=45。，CE=

18,求點F的坐標(biāo).

圖1圖2

第1講等腰三角形

0目標(biāo)導(dǎo)航

1.掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及

兩條直線垂直.

2.掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理.

3.熟練運用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算.

極局情井

知識點01等腰三角形

1.等腰三角形的定義

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底,

兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB.AC為腰，BC為底邊,

NA是頂角，NB、NC是底角.

要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為

銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

180。-NA

ZA=180a-2ZB,ZB=ZC=

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線

合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情

況只有一條對稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.

要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相

等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

【知識拓展1］根據(jù)等邊對等角求角度

例1.（2023?貴州?思南縣張家寨初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在等腰三角形4BC中，

A8=4C,點。為AC上一點，且AD=8D=8C,則NA等于多少？

【分析】首先設(shè)N4=x。，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得N48C=NC=2x。，然后由三角形的

內(nèi)角和定理，得到方程：x+2x+2x=180,解此方程即可求得答案.

【詳解】設(shè)/4=x。，

AD=BD,

ZABD-Z.A=x°,

：.ZBDC=N4+ZABD=2x°,

,/BD=BC,

/.ZC=Z8DC=2x°,

AB=AC,

ZABC=ZC=2x0,

在△48C中，Z>4+ZABC+AC=180°,

x+2x+2x=180,

解得:x=36,

Z4=36°.

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定.此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

例2.（2023?黑龍江省八五---農(nóng)場中學(xué)八年級期末）如圖，△ABC中，AB=AC=CD,BD=AD,

求△48C中/CAB的度數(shù)

工

【分析】利用AB=AC,可得/B和/C的關(guān)系，利用AD=BD,可求得/CAD=ACDA及其與/B

的關(guān)系，在△40C中利用內(nèi)角和定理可求得NC,進(jìn)一步求得NA8C,得到結(jié)果.

【詳解】.解：AB=AC=CD,BD=AD,

?*-N8=NC=NBADZCAD=Z,CDA,

設(shè)NB=x°,則NCDA=Z3AD+ZB=2x°

從而N64。=/CDA=2x°fZC=x0

在AAOC中，NC4D+NCO/A+NC=180°

/.2x+2x+x=180°

解得“36。

.?.在△ABC中，ZB=ZC=36°,

/.ZCAB=108°

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角

和定理的應(yīng)用.

例3.（2023?廣東?廣州市白云區(qū)廣大附中實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）己知：如圖所示，在

R3A8C中，ZC=90°,。是8c上一點，且。4=。8,N8=15。.求NC4）的度數(shù).

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出N8=/1=15°,由外角的定義得NADC=30°,在R也ABC

中由三角形內(nèi)角和可求得/CAD的度數(shù).

【詳解】解：?「。八=。8,Z8=15°,

Z8=N1=15°,

/AOC=30°,

.".在RtAZBC中,ZC=90%

/.ZC4D=90°-30°=60°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練各性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣西三江?八年級期中）如圖，在△48C中，點。在8c上，AB=AD=DC,N8=80。，

求NC的度數(shù).

【答案】/C的度數(shù)為40〉.

【分析】根據(jù)等邊對等角可得NBNAD8,NC必CAD,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答.

【詳解】解：AB=AD=DC,

Z8=/408=80%ZC=ZCAD,

由三角形的外角性質(zhì)得，ZAD8=NC+ZC2D=2NC=80°,

/.ZC=40°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練1】如圖，已知AABC中，AB=BD=DC,ZABC=105°,求NA,NC度數(shù).

VBD=DC,/.ZC=ZCBD,

設(shè)NC=NCBD=x,則NBDA=NA=2x,

AZABD=180o-4x,

/.ZABC=ZABD+ZCDB=180°-4x+x=105°,

解得：x=25°,所以2x=5(T,

即NA=50°,ZC=25°.

【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運用了等腰三角形

”等邊對等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題.

【即學(xué)即練2］已知:如圖,D、E分別為AB、AC上的點，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,

求/B的度數(shù).

【答案】解：VAC=BC=3I),AD=AE.DE=CE.

???設(shè)NECD=NEDC=x,ZBCD=ZBDC=^,

貝ijNAED=NADE=2x,ZA=ZB=180°~4x

在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得，

x+y+180°-4x+180°-4x=180°①

又YA、D、B在同一直線上，.?.2x+x+），=180°②

由①，②解得x=36°

.,.ZD=18004A:=180，＞1-14°=36°.

【知識拓展2】利用三線合一求解與證明

例1.（2023?湖北武漢?八年級階段練習(xí)）如圖，點D,￡在△4BC的邊8C上，AB=AC,AD

=AE,求證：BD=CE.

【分析】過八作AF_L8c于F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出8F=CF,DF=EF,即可求出答案.

【詳解】證明：如圖，過人作AF_18c于F,

---AB=AC,AD=AE,

：.BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,

：.BD=CE.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：等腰三角形的底邊上的高，底邊上的

中線，頂角的平分線互相重合.

例2.（2023?重慶?八年級期中）如圖：已知等邊.A4C中，BDA.AC,垂足為O,E是BC

延長線上的一點，且CE=CO,

（1）求證：BD=DE；

（2）若M為帆中點，求證：DM邛■氣乙BDE.

D

BMCE

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得到ND8C=/NA8C=30。，根據(jù)三

角形的外角性質(zhì)得到N￡=30。，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的三線合一證明.

【詳解】⑴證明：是等邊三角形，BDVAC,

/O3C」/A8C=30。，

2

-CD=CE,

NCDE=/E,

ZACB=60°,

/.NE=30。，

:"DBE=/E，

:.BD=DE;

(2)證明：M為BE中點,

:.DM平分/BDE.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一

是解題的關(guān)鍵.

例3.(2023?河南鎮(zhèn)平?八年級階段練習(xí))下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的

平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,(1)分別在射線0408上截取OC=。。，OE=OF(點C,E不重合)；(2)

分別作線段CE,OF的垂直平分線/I,/2,交點為P,垂足分別為點G,H：(3)作射線0P,

射線0P即為NAOB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以PGOaPH。，則NPOG

=ZPOH,即射線OP是NAOB的平分線.

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2,(1)分別

在射線。8上截取OC=。。，0￡=0F(點C,E不重合)：(2)連接。E,CF,交點為P；

(3)作射線0P.射線OP即為/208的平分線.

任務(wù):

圖1圖2

（1）小明得出R3PGO^RtAPHO的依據(jù)是（填序號）.

①SSS；②外S；③4AS：④4s4?HL

（2）如圖2,連接EF.

①求證：△CEF^△DFE；

②求證：△「小是等腰一..角形；

③小軍作圖得到的射線CP是NAOB的平分線嗎？請判斷并說明理由.

【答案】（1）⑤：（2）①證明見解析：②證明見解析；③射線0P是NAO8的平分線，證

明見解析

【分析】（1）因為小明的證明條件為NPGO=NPHO=90。，OG=OH,OP=OP,即兩對直角

相等，一對直角邊相等，一對斜邊相等，故為也證明依據(jù).

（2）①由等邊對等角得=再由一條公共邊EF和重合的部分得出

OE-OC=OF-OD,即。E=。產(chǎn)，SAS為依據(jù)可證明△在「拶△OFE.②由①問所證

△則對應(yīng)用下石=產(chǎn)相等，再由等角對等邊可得莊產(chǎn)，即△是

CEF^ADFETNCREF

等腰三角形③可由全等得出PE=PEOE=。尸，得出0P是E”的垂直平分線，又因為②可

知，莊廣是等腰三角形，由等腰三角形三線合一可知。戶也是NAO4的平分線.

【詳解】

（1）,??小明的證明條件為NPGO=NPHO=90。，OG=CH,OP=OP為HL證明方法，改選

⑤；

（2）證明：?vOC=OD,OE=OF

NOEF=NOFE,OE-OC=OF-0D即CE=DF

又：EF=FE

：cCEF，DFE（SAS）

②由①知：NCFE=/DEF

:.PE=PF

即：4分下是等腰三角形；

③射線0P是NAOB的平分線，理由如下：（方法不唯一）