備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第2講-第1課時-函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

第1課時函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值第二章第2講函數(shù)的基本性質(zhì)考向預測核心素養(yǎng)以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應用；題型既有選擇題、填空題，又有解答題，中檔偏上難度.數(shù)學抽象、邏輯推理01基礎(chǔ)知識回顧一、知識梳理1．函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有__________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(如圖)．特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上__________時，我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時，都有__________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(如圖)．特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上__________時，我們就稱它是減函數(shù)f(x1)<f(x2)單調(diào)遞增f(x1)>f(x2)單調(diào)遞減

單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象[提醒]

①單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示；②有多個單調(diào)區(qū)間應分開寫，不能用“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有______________；(2)?x0∈I，使得________________(1)?x∈I，都有______________；(2)?x0∈I，使得________________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M

常用結(jié)論3．函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．

×××

√

√3．(忽視函數(shù)定義域致誤)函數(shù)f(x)＝log(6x2＋x－1)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．由復合函數(shù)單調(diào)性知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即y＝6x2＋x－1的單調(diào)遞減區(qū)間(定義域內(nèi))，02核心考點共研考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)(多維探究)復習指導：通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義．角度1求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)(鏈接常用結(jié)論2)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞，－2)B.(－∞，1)C．(1，＋∞)D.(4，＋∞)【解析】

(1)由x2－2x－8>0，得f(x)的定義域為{x|x>4或x<－2}．設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù)，要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間(定義域內(nèi))．因為函數(shù)t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．√(2)函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為________．畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和(0，1]．【答案】

(2)(－∞，－1]和(0，1]由于x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增．當a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增．利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟|跟蹤訓練|1．函數(shù)f(x)＝|x2－6x＋8|的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A．[－3，＋∞)B．(－∞，2)，(4，＋∞)C．(2，3)，(4，＋∞)D．(－∞，2]，[－3，4]√2．設(shè)函數(shù)f(x)＝

g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：由題意知g(x)＝該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1)．答案：[0，1)考點二函數(shù)單調(diào)性的應用(多維探究)復習指導：利用函數(shù)單調(diào)性，可以比較函數(shù)值大小，求函數(shù)最值，求函數(shù)范圍等．A．c>a>b

B.c>b>a

C．a(chǎn)>c>b

D.b>a>c√【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)是定義在R上的增函數(shù)．所以2－x2>x，所以－2<x<1.(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是________．角度3求參數(shù)的值(范圍)

(1)(2020·新高考卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1]B.(－∞，2]C．[2，＋∞)D.[5，＋∞)【解析】

(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5.令t＝x2－4x－5，因為外層函數(shù)y＝lgt是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則需內(nèi)層函數(shù)t＝x2－4x－5在(a，＋∞)上單調(diào)遞增且恒大于0，則(a，＋∞)?(5，＋∞)，即a≥5.所以a的取值范圍是[5，＋∞)．故選D.√【答案】

(2)(1，2]函數(shù)單調(diào)性應用要點(1)比較大?。嚎蓪個自變量化到同一單調(diào)區(qū)間上．(2)解不等式：利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)：①確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知區(qū)間比較；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值．√√

3．已知函數(shù)y＝loga(2－ax)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：設(shè)u＝2－ax，因為a>0且a≠1，所以函數(shù)u＝2－ax在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減．由題意可知函數(shù)y＝logau單調(diào)遞增，所以a>1.又因為u在區(qū)間[0，1]上要滿足u>0，所以

解得a<2.綜上得1<a<2.答案：(1，2)考點三求函數(shù)的最值(綜合研析)復習指導：會通過函數(shù)的圖象或性質(zhì)求函數(shù)的最值．【答案】

(1)1【解析】

(2)在同一直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示．易知點A(2，1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.【答案】

(2)1求函數(shù)最值的三種常用方法|跟蹤訓練|1．(多選)已知函數(shù)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，則(

)A．f(x)在(2，6)上單調(diào)遞增B．f(x)在(2，6)上的最大值為2ln2C．f(x)在(2，6)上無最小值D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱√√√解析：

f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定義域為(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，則y＝lnt.因為二次函數(shù)t＝(x－2)(6－x)的圖象的對稱軸為直線x＝4，且在(2，4)上單調(diào)遞增，在(4，6)上單調(diào)遞減，所以當x＝4時，t有最大值4，所以f(x)max＝f(4)＝2ln2，f(x)在(2，6)上無最小值．答案：[4，＋∞)03課后達標檢測√[A基礎(chǔ)達標]1．(2021·高考全國卷甲)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)

方法二(圖象法)：如圖，在坐標系中分別畫出A，B，C，D四個選項中函數(shù)的大致圖象，即可快速直觀判斷D項符合題意．故選D.A．在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增B．在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減C．在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞增D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減√3．(2022·蘭州一模)已知函數(shù)f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C．[－1，1)D.(－3，－1]解析：令g(x)＝－x2－2x＋3，由題意知g(x)>0，可得－3<x<1，故函數(shù)f(x)的定義域為{x|－3<x<1}．根據(jù)f(0)＝loga3<0，可得0<a<1，又g(x)在定義域(－3，1)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，1)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1)．√√5．(2022·滄州模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，－1)，B(3，1)是其圖象上的兩點，那么|f(x＋1)|<1的解集為(

)A．(－1，2) B.(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：由題意可得，f(0)＝－1，f(3)＝1，因為函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以由|f(x＋1)|<1得－1<f(x＋1)<1，即f(0)<f(x＋1)<f(3)，因此0<x＋1<3，解得－1<x<2，即|f(x＋1)|<1的解集為(－1，2)．√√√6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞增，則(

)A．0<a<1B．a(chǎn)>1C．f(a＋2022)>f(2023)D．f(a＋2022)<f(2023)解析：

f(x)＝loga|x－1|的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)．設(shè)z＝|x－1|，可得函數(shù)z在(－∞，1)上單調(diào)遞減；在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當a>1時，f(x)＝logaz在z∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；當0<a<1時，f(x)＝logaz在z∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．由題意可得0<a<1，故A正確，B錯誤；由于0<a<1，可得1<a＋2022<2023，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(a＋2022)>f(2023)，故C正確，D錯誤．故選AC.

√答案：4

[0，2]

10．已知函數(shù)f(x)＝(1)用定義證明f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增；解：(1)證明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，則因為1≤x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值．解：(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，√解析：要使此分段函數(shù)為R上的增函數(shù)，必須使函數(shù)g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且滿足h(0)≤g(0)，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性可得

解得1≤b≤2，即實數(shù)b的取值范圍是[1，2]．答案：[1，＋∞)

解：二次函數(shù)y1＝x2－4x＋3的對稱軸是x＝2，所以該函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以x2－4x＋3≥3.同理可知函數(shù)y2＝－x2－