2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）2．1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（七大題型）

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系 2題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小 3題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小 3題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假 4題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式 6題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小 7題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 9【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 10【高考真題】 17【題型歸納】題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系1．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得．故選：B．2．（2024·高三·福建福州·開學(xué)考試）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)，設(shè)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為、、（單位：），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知．故選：D．3．（2024·高一·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【解析】長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)Mcm，∴a+b+c≤M.故選：A.4．（2024·高二·湖南懷化·期中）用不等式表示，某廠最低月生活費(fèi)a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意：生活費(fèi)a不低于300元，即.故選：B題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小5．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)），則．【答案】【解析】由作差法得，所以.故答案為：.6．（2024·高一·上海·課堂例題）設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【解析】由，又a、b為實(shí)數(shù)，，，則，所以.7．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知，求證：.【解析】，因?yàn)?，所以，又，所以，所?8．（2024·高一·上海·課堂例題）已知a、b為任意給定的正數(shù)，求證：，并指出等號(hào)成立的條件．【解析】由題意可知：，因?yàn)椋瑒t，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，等號(hào)成立的條件為.題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小9．（2024·高一·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【解析】∵，即.又，.故答案為：>.10．（2024·高二·江西九江·階段練習(xí)）若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，，所以，即故答案為?1．（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)），則的大小關(guān)系為．【答案】≥【解析】因?yàn)?，則由所以故答案為：12．（2024·高一·上?！て谥校┤绻?，那么，，從小到大的順序是【答案】【解析】因?yàn)槿齻€(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假13．（2024·高一·廣東湛江·階段練習(xí)）已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是（

）A．若， B．若，C．若， D．若，【答案】D【解析】對(duì)于A：若，，則，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，例如，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，可得，則，無(wú)法得出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，可得，則，所以，故D正確．故選：D．14．（2024·高一·廣東湛江·期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】A選項(xiàng)，若，不等式兩邊同除以得，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足，但，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，不等式兩邊同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，不等號(hào)不變，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，∵，∴，平方得，D正確.故選：D.15．（2024·高一·廣東湛江·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對(duì)于A，若，又，則，故A正確，對(duì)于B，若，，滿足，但是，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤，故選：A．16．（2024·高一·上?！卧獪y(cè)試）若a、b、且，則下列不等式中成立的是（

）．A． B．C．（n為自然數(shù)） D．【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以C正確，對(duì)于D，若，則，所以D錯(cuò)誤.故選：C題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式17．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知，，求證．【解析】證明：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，所以，由不等式傳遞性，．18．（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）（1）已知，設(shè)，，比較與的大??；（2）證明：已知，且，求證：.【解析】（1），則；（2）因?yàn)椋?，則，則，則，則，則，則，又則.命題得證.19．（2024·高一·廣西南寧·階段練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大?。唬?）當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1），若，，所以，若，，所以，綜上：若，；若，.（2）由于，因?yàn)?，所以，，，所以，所?20．（2024·高一·浙江溫州·階段練習(xí)）（1）比較與的大??；（2）已知，求證：.【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所?題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小21．（多選題）（2024·高一·廣西南寧·期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，知必有，所以兩邊同乘以a，得，故A正確；因?yàn)閎的符號(hào)不能確定，所以不一定正確，故B錯(cuò)誤；由兩邊同乘以c，得，故C正確；當(dāng)，時(shí)，滿足且，但，故D錯(cuò)誤．故選：AC．22．（多選題）（2024·高一·山東·專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，下列命題是真命題的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，由可得，綜上可得若，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，即，，即，，，，故D正確．故選：ABD23．（多選題）（2024·高一·云南曲靖·期末）若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由及不等式的性質(zhì)可知，故A正確；對(duì)于B，由，及不等式的性質(zhì)可知，故B正確；對(duì)于C，若，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由及，可得，故D正確．故選：ABD．24．（多選題）（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知均為非零實(shí)數(shù)，則下列一定正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，顯然不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，根?jù)不等式的性質(zhì)可知，，故D正確.故選：ACD.25．（多選題）（2024·高二·湖南·期中）已知且，．則下列關(guān)系一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可知，，對(duì)于A，由，，根據(jù)同向可加性得，故A正確；對(duì)于B，取，驗(yàn)證B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，等式不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩式做差得，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：AD.題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍26．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則的范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?7．（2024·高一·山東棗莊·期中）若，則的范圍為.【答案】【解析】∵，∴，又，∴．故答案為：28．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若，，則的范圍是，的范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由可得，所以，由可得，因?yàn)?，所以?9．（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·北京延慶·期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：A.2．（2024·高三·浙江杭州·專題練習(xí)）某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生【答案】C【解析】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知，，根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項(xiàng)沒(méi)有足夠證據(jù)論證.故選：C.3．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若且，則，，故C正確，對(duì)于D，令，則，，顯然，故D錯(cuò)誤，故選：C4．（2024·高一·江蘇常州·期末）設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（

）A． B．C． D．與的大小與的取值有關(guān)【答案】A【解析】由，且，即，可得，即，故選：A.5．（2024·高一·河南洛陽(yáng)·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為元斤、元斤，王大媽每周購(gòu)買元的白菜，李阿姨每周購(gòu)買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價(jià)格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】C【解析】由題意可得，，，，，，，．故選：C．6．（2024·高一·北京昌平·期末）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】對(duì)于A：如果，當(dāng)時(shí)，則，選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：如果，取，，滿足條件，但，選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：如果，取，，滿足條件，但，選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：如果，則必有，故，則，選項(xiàng)D正確.故選：D.7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)條件：a，b，c滿足，且，有如下推理：①

②

③

④其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由，因?yàn)?，所以，?duì)于b的值可正可負(fù)也可為0，因?yàn)?，而，所以，所以①錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑥亩?，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，所以③正確；因?yàn)?，，④正確；綜上可知，③④正確.故選：B．8．（2024·高一·安徽·期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故選：B.9．（多選題）（2024·高一·四川樂(lè)山·期中）下列不等式中，一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，，知，得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，得，又，則，故有，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，D中不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10．（多選題）（2024·高一·云南昭通·期末）已知，，則以下正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)?，，所以，?duì)于A，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，則，即；當(dāng)，時(shí)，，則，即；當(dāng)，時(shí)，，，則；綜上，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.11．（多選題）（2024·高一·湖北襄陽(yáng)·期末）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理，那么在證明有理數(shù)的不完備性時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下兩個(gè)式子，已知正有理數(shù)，滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，而，，所以，即，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC12．（2024·高一·上海長(zhǎng)寧·開學(xué)考試）已知，有四個(gè)推理：①；②；③；④，其中所有錯(cuò)誤的序號(hào)是【答案】①②④【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，則，即，故③正確；對(duì)于④，由得同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，故，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②④.13．（2024·高二·全國(guó)·競(jìng)賽）已知正整數(shù)n滿足條件：存在唯一的整數(shù)k，使成立.這樣的n的最大值是.【答案】112【解析】由得，，即.又由整數(shù)k的唯一性知，，解得，而時(shí)，，，滿足的整數(shù)k只有97，故符合.故答案為：.14．（2024·高一·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是【答案】22【解析】由題意不妨設(shè)，則，解得，所以，注意到，所以，，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大值22，綜上所述：的最大值是22.故答案為：22.15．（2024·高一·上?！ふn堂例題）葉老師和王老師兩人一起去糧店打醬油共三次，葉老師每次打100元醬油，而王老師每次打100斤醬油，由于醬油市場(chǎng)瞬息萬(wàn)變，每次打的醬油價(jià)格都不相同，分別為a元、b元、c元，則三次后兩人所打醬油的平均價(jià)格較低的是哪位老師？請(qǐng)寫出理由的關(guān)鍵不等式．【解析】葉老師的平均價(jià)格為，王老師的平均價(jià)格為，于是有：，因?yàn)槊看未虻尼u油價(jià)格都不相同，所以a、b、c互不相等，所以，即所以葉老師的平均價(jià)格更低．故平均價(jià)格較低的是葉老師，理由的關(guān)鍵不等式為．16．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知、且、，試比較與的大小.【解析】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).17．（2024·高一·浙江·專題練習(xí)）某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按120個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表家電名稱空調(diào)彩電冰箱工時(shí)產(chǎn)值（千元）432問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少（以千元為單位）？【解析】設(shè)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱的數(shù)量分別為臺(tái)、臺(tái)、臺(tái)，則有總產(chǎn)值,而,,即.故每周生產(chǎn)空調(diào)30，彩電270，冰箱30，最高產(chǎn)值1050.18．（2024·高一·上?！ふn堂例題）比較下列各組中兩式的大?。?1)已知，試比較與的大小；(2)已知，比較與的大?。窘馕觥浚?）依題意，，由，得，則，且，即，所以．（2）依題意，，由，得，而，因此，所以．【高考真題】1．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））若，，，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，取，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，又，所以，故C正確.故選：C.2．（1987年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷））設(shè)a，b是滿足的實(shí)數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，滿足，則，此時(shí)，故不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以，故正確；對(duì)于C，滿足，則，，此時(shí)，故不正確；對(duì)于D，滿足，則，此時(shí)，故