2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．4．1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（五大題型）

5．4．1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：五點(diǎn)作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖 2題型二：含絕對值的三角函數(shù) 5題型三：解三角不等式問題 6題型四：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題 8題型五：識圖問題 10【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 12【高考真題】 20【題型歸納】題型一：五點(diǎn)作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖1．（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）請用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)在區(qū)間的圖象：(1)；(2).【解析】（1）列表如下：010-1010-1-2-10描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖，如下圖所示：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，利用函數(shù)的奇偶性畫出的完整的圖，如下圖所示：（2）列表如下：0010-10010-10描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖，如下圖所示：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，利用函數(shù)的奇偶性畫出的完整的圖，如下圖所示：2．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖象.

【解析】列表：012001描點(diǎn)，連線，畫出在上的大致圖象如圖：3．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖．(1)；(2)．【解析】（1）①取值列表如下：x0π2πsinx010－101－sinx10121②描點(diǎn)連線，如圖所示.（2）①取值列表如下：x0π2πcosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描點(diǎn)連線，如圖所示．4．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；0x【解析】令，得：0x0100畫出函數(shù)在一個周期的圖象，如圖，5．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)的簡圖．【解析】（1）列表：0100111（2）描點(diǎn)，連線可得函數(shù)在上的圖象，將函數(shù)圖象向左、向右平移（每次個單位長度），就可以得到函數(shù)的圖象，如圖所示．題型二：含絕對值的三角函數(shù)6．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？(1)；(2).【解析】（1），將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象..（2），將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象..題型三：解三角不等式問題7．（2024·高一·上海嘉定·期中）不等式的解集為.【答案】【解析】畫出的圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故答案為：8．（2024·高一·安徽合肥·期末）在內(nèi)不等式的解集為．【答案】【解析】∵，∴，根據(jù)余弦曲線可得，∴.故答案為：9．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知是定義在（0，3）上的函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式的解集是.【答案】【解析】由圖象可知：時，；當(dāng)時，．又余弦函數(shù)在時，時，當(dāng)時，，故答案為：．10．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得不等式（）的解集為．【答案】【解析】當(dāng)時，由，得或，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知：不等式（）的解集為.故答案為：.題型四：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題11．（2024·高一·陜西寶雞·期末）與交點(diǎn)個數(shù)為個．【答案】【解析】作出函數(shù)與的大致圖象，如圖：因?yàn)?，，，，且兩個函數(shù)圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以兩個函數(shù)圖象有個交點(diǎn)，故答案為：12．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)y＝sinx＋2|sinx|在[0，2π]上的圖象若與直線有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是，若與直線有四個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是．【答案】1<k<30<k<1【解析】先寫出分段函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象作出分段函數(shù)的圖象和直線，數(shù)形結(jié)合即得有兩個和有四個不同的交點(diǎn)時參數(shù)k的取值范圍.y＝sinx＋2|sinx|，故在同一坐標(biāo)系中作出分段函數(shù)的圖象和直線，如圖所示，若有兩個不同的交點(diǎn)，則1<k<3；若有四個不同的交點(diǎn)，則0<k<1．故答案為：1<k<3；0<k<1．13．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)，的圖像與直線的交點(diǎn)有個．【答案】2【解析】令，即，，或，所以函數(shù)，的圖像與直線的交點(diǎn)有2個.故答案為：2.14．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)共有個.【答案】4【解析】當(dāng)時，求得，當(dāng)時，求得，在同一坐標(biāo)系中畫出畫出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.由題意，函數(shù)，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象，如圖所示，可的在范圍內(nèi)兩者有4個交點(diǎn).故答案為：4.題型五：識圖問題15．（2024·高一·江蘇無錫·期末）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除選項(xiàng)D；當(dāng)時，，此時，∴當(dāng)時，的圖象在軸上方，排除選項(xiàng)B；當(dāng)時，，的圖象在軸下方，排除選項(xiàng)C；綜上所述，函數(shù)的大致圖象為選項(xiàng)A.故選：A.16．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，的圖像是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榕c的圖像關(guān)于軸對稱，只有D符合題意.故選：D17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】利用代入特殊值法進(jìn)行排除，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得結(jié)果.時，故CD錯誤；時，單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤，B正確.故選：B.18．（2024·高三·全國·階段練習(xí)）已知某函數(shù)圖象如下圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性及其在軸右側(cè)函數(shù)值符號變化，結(jié)合圖象可得出合適的選項(xiàng).根據(jù)題意，由圖象可得：該函數(shù)為偶函數(shù)，且在軸右側(cè)，先為正值，后為負(fù)值，據(jù)此分析選項(xiàng)，四個選項(xiàng)中函數(shù)的定義域均為.對于A選項(xiàng)，，，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，則，不合乎題意；對于B選項(xiàng)，，，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，則，合乎題意；對于C選項(xiàng)，，，該函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；對于D選項(xiàng)，，，該函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意.故選：B.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高一·全國·單元測試）方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由，得，即，方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)與圖象公共點(diǎn)的個數(shù)，當(dāng)時，兩函數(shù)圖象如圖所示，兩圖象有3個公共點(diǎn)，同理，當(dāng)時，兩圖象也有3個公共點(diǎn)，故兩圖象共有6個公共點(diǎn)，從而方程有6個實(shí)數(shù)根．故選：C.2．（2024·高一·海南海口·期末）若函數(shù)，（，）圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，且恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳D象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，所以，即，又，所以，解得，所以，又恒成立，所以，解得，又，所以.故選：B3．（2024·高一·北京·期中）設(shè)a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，顯然，對A，由圖知，根據(jù)，則，則，則，則其最小正周期，其最小值應(yīng)為，則A中圖象滿足題意；對B，顯然因?yàn)椴缓銥?，則B錯誤；對C，由圖知，根據(jù)A可知，但圖中其最小正周期小于，故矛盾，故C錯誤；對D，由圖知，則，則，則其最小正周期，但由圖易知其最小正周期大于，故矛盾，則D錯誤；故選：A.4．（2024·高一·四川綿陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是.故選：D.5．（2024·河北·一模）已知函數(shù)的部分圖象如下，與其交于A，B兩點(diǎn)．若，則（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】令，則，，，則，且，所以.故選：A6．（2024·高一·湖北·期末）已知函數(shù)，若在上有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有2個零點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是故選：C.7．（9-10高一下·山西·階段練習(xí)）圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，A選項(xiàng)不滿足條件；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，，B選項(xiàng)不滿足條件；對于C選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，由三角函數(shù)圖象可知，C選項(xiàng)滿足條件；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，D選項(xiàng)不滿足條件.故選：C.8．（2024·高一·湖北·期末）已知函數(shù)在上恰有5個不同的x值，使其取到最值，則正實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，在上恰有5個不同的x值，使其取到最值；，，則正實(shí)數(shù)，故選：A.9．（多選題）（2024·高一·湖南長沙·階段練習(xí)）已知（），若方程在區(qū)間上恰有3個實(shí)根，則的取值可能是（

）A． B．1 C． D．【答案】BC【解析】由，得，解得或，當(dāng)時，，則的可能取值為，，，，…，由在上恰有3個實(shí)根，得，解得，所以的取值范圍是，的取值可能是1，.故選：BC10．（多選題）（2024·高一·貴州黔東南·期末）已知函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，則的值可能為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】BC【解析】由，得，則，解得，選項(xiàng)中只有5和滿足.故選：BC11．（多選題）（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由題意可得，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點(diǎn).故選：ABC.12．（2024·高一·上?！て谥校┓匠痰膶?shí)數(shù)解的個數(shù)為個.【答案】5【解析】方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)，即為函數(shù)與圖象交點(diǎn)個數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可得兩函數(shù)共有5個交點(diǎn)，所以方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為5.故答案為：5.13．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】令得．作出在上的圖像，如圖所示．要使函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，需滿足，所以．故答案為：．14．（2024·高一·上海·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，則方程的所有根的和等于.【答案】0【解析】函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示不妨設(shè)方程的所有根從小到大為，由對稱性可知，則方程的所有根的和等于0.故答案為：015．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且兩相鄰對稱中心之間的距離為．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的最小值．【解析】（1）函數(shù)，且兩相鄰對稱中心之間的距離為，則，解得．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得．由于，則，故函數(shù)．所以的最小正周期．令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）函數(shù)為偶函數(shù)，則，得，解得，當(dāng)時，．16．（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）畫出函數(shù)在長度為一個周期閉區(qū)間上的大致圖象.【解析】函數(shù)的周期為，列表如下：故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，直接寫出的最小正周期；(2)當(dāng)時，作出函數(shù)的簡圖，借助圖象判斷的最小正周期.【解析】（1）當(dāng)時，，函數(shù)圖象如圖所示：觀察圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小正周期為（2）當(dāng)時，，函數(shù)圖象如圖所示：觀察圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小正周期為.【高考真題】1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）方程在內(nèi)實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【解析】由，得，方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)與圖象公共點(diǎn)的個數(shù)，當(dāng)時，由兩