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專題27以形借數(shù)——借助圖形思考閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化,這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題,就解題而言,數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合,常常有助于問題的解決,美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么思維就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法”.將問題轉(zhuǎn)化為一個圖形,把問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來,是一個十分重要的解題方法,現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個方面:1.從給定的圖形獲取解題信息數(shù)學(xué)問題的表述方法很多,既有用文字?jǐn)⑹龅模灿型ㄟ^圖形(如數(shù)軸、圖表、平面圖形等)來呈現(xiàn)的,善于從給定的圖形獲取解題信息是一個重要技能.2.有意地畫圖輔助解題圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系,解題中有意地畫圖(如畫直線圖、列表、構(gòu)造圖形等)能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系,使問題獲得簡解.閱讀與思考【例1】如圖,圓周上均勻地釘了9枚釘子,釘尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一個三角形,所有可以套出來的三角形中,不同形狀的共有____________種。(“五羊杯”競賽試題)解題思路:圓周長保持不變,設(shè)圓周長為9,套成的三角形三邊所對應(yīng)的弧長分別為則。不妨設(shè),借助圖形分析,找出滿足條件的整數(shù)解即可?!纠?】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設(shè)慢車行駛的時間為(h),兩車之間的距離為(km),圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進(jìn)行一下探究:信息讀取(1)甲、乙兩地之間的距離為___________km。(2)請解釋圖中點B的實際意義。圖像理解(3)求慢車和快車的速度。(4)求線段BC所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍。問題解決(5)若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地,速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘后,第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時?(江蘇省南京市中考試題)解題思路:函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息:有慢車行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息,也有在0~4小時之間以及稍后的一段時間內(nèi),快車和慢車的速度之和為定值和C點表示快車在某一時刻已到達(dá)終點等需要經(jīng)過分析或運算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息。【例3】某電視臺為了解三個特色欄目的收視情況,向28位觀眾進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查后得知:每位觀眾至少收看了其中的一個欄目;沒有收看欄目的觀眾中,收看欄目人數(shù)為收看欄目的兩倍;在收看欄目的觀眾中,只收看欄目的觀眾人數(shù)比除了收看欄目之外同時還收看其他欄目的人數(shù)多1;只收看一個欄目的觀眾中,有一半沒有收看或欄目,求欄目的收視率。(“《數(shù)學(xué)周報》”杯全國數(shù)學(xué)競賽試題)解題思路:設(shè)未知數(shù),借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系?!纠?】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽,通知抽簽決定出賽順序,在未公布順序前每人都對出賽順序進(jìn)行了猜測。甲猜:乙第三,丙第五;乙猜:戌第四,丁第五;丙猜:甲第一,戌第四;丁猜:丙第一,乙第二;戌猜:甲第三,丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中,問:出賽順序中,第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)?(“希望杯”邀請賽試題)解題思路:文字羅列出來的條件,其相互關(guān)系錯綜復(fù)雜,不便分析和推斷,不妨借助于圖表直觀地表示研究對象及其關(guān)系?!纠?】某班有50名同學(xué),期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表:一科二科三科科目數(shù)外語數(shù)、語數(shù)、外語外數(shù)、語、外人數(shù)32312916171810這里,一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者,兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者,試說明上述統(tǒng)計表有錯誤。(“創(chuàng)新杯”競賽試題)解題思路:借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語、語文優(yōu)秀學(xué)生的集合,有利于分析與推斷。能力訓(xùn)練1.甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋,每兩人都要比賽一盤,到現(xiàn)在為止,甲已經(jīng)賽了4盤,乙賽了3盤,丙賽了2盤,丁賽了1盤。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了________盤。(“華羅庚金杯”競賽試題)2.某市儲運部緊急調(diào)撥一批物資,調(diào)進(jìn)物資共用4小時,調(diào)進(jìn)物資2小時后開始調(diào)出物資(調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度保持不變)。儲運部庫存物資與時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖,這批物資從開始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時間是___________________。(山東省濟(jì)南市中考試題)3.甲、乙兩人同時從地出發(fā),以各自的速度勻速汽車到地后原地休息,甲、乙兩人的距離與乙騎車的時間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖,則兩地的距離為______________________千米。4.一臺計算機(jī)的硬盤分為3個區(qū),每個區(qū)的使用情況如圖所示,則這個硬盤的使用率為______________________。(“希望杯”邀請賽試題)5.三支足球隊舉行單循環(huán)比賽(每支隊與另一支隊只比賽一場,共三場),下表給出的是比賽的部分結(jié)果:球隊比賽場數(shù)勝負(fù)平總進(jìn)球數(shù)總失球數(shù)2212124237請根據(jù)上表,填上隊與隊比賽時的比分為_______________。(重慶市競賽試題)6.如圖是某班全體學(xué)生外出時乘車、步行、騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(兩圖都不完整),則下列結(jié)論中錯誤的是()A.該班總?cè)藬?shù)為50人B.騎車人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20%C.步行人數(shù)30人D.乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍7.某人騎車沿直線旅行,先前進(jìn)了千米,休息了一段時間,又原路返回千米(),再前進(jìn)千米,則此人離起點的距離與時間的關(guān)系示意圖為()。A.B.C.D.8.一圓形地塊,打算分四個區(qū)域栽種觀賞植物,要在同一區(qū)域種同一種植物,相鄰(有公共邊)的兩塊里中不同的植物?,F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇,那么所有的栽種方案的個數(shù)為()。A.66B.68C.60D.84(重慶市競賽試題)9.某校參加數(shù)學(xué)競賽有120名男生,80名女生;參加英語競賽有120名女生,80名男生。已知該??偣灿?60名學(xué)生參加了競賽,其中有75名男生兩科競賽都參加了,問參加數(shù)學(xué)競賽而沒有參加英語競賽的女生人數(shù)有多少人?(“祖沖之杯”邀賽試題)10.某人租用一輛汽車由城前往城,沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間(單位:h)如圖所示。若汽車行駛的平均速度為km/h。而汽車每行駛km需要的平均費用為元。試指出此人從城出發(fā)到城的最短線路,并求出所需費用最少多少元?(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)11.剛回到營地的兩個搶險隊又接到救災(zāi)命令:一分隊立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊因疲勞可在營地休息小時再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊出發(fā)后得知,唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營地10千米處發(fā)生塌方,塌方處地形復(fù)雜,必須有一分隊用1小時打通.已知一分隊的行進(jìn)速度為5千米/時,二分隊的行進(jìn)速度是千米/時.(1)若二分隊在營地不休息,問二分隊幾個小時能趕到A鎮(zhèn)?(2)若需要二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn),二分隊?wèi)?yīng)在營地休息幾個小時?(3)下列圖中,①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離(千米)和時間(小時)的函數(shù)關(guān)系,請寫出你認(rèn)為所有可能合理圖像的代
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