安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

A10聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)檢考數(shù)學(xué)試題本試卷分第乙卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再根據(jù)交集的定義可求.詳解】由題意得，，從而．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)模的公式求模.【詳解】由題意得，，則，．故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組求解即可.【詳解】由，得，解得，則．故選：C．4.已知圓柱和圓錐的底面半徑及高均相等，且圓錐側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓柱和圓錐的側(cè)面積的比值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是半圓，結(jié)合圓周長(zhǎng)和扇形的弧長(zhǎng)公式，結(jié)合圓錐和圓柱的側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，得，即，圓錐的高，所以圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，故圓柱和圓錐的側(cè)面積之比為．故選：D5.已知，則（）A. B.7 C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)已知前二個(gè)等式兩邊同時(shí)平方，并相加，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的正弦公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由得：①；由得：②；①+②得，由得則有，．故選：C．6.已知，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，然后利用基本不等式的常數(shù)代換技巧求解最值即可.【詳解】由題意得，故是定義在R上的奇函數(shù)，由為增函數(shù)知是增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，所?故選：A7.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，且在內(nèi)僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式可得，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性及已知有求，最后由區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)有，即可確定參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)其對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最短距離是，兩對(duì)稱軸間的最短距離是，所以，即，所以，．因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以.故選：B8.已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑膶?dǎo)函數(shù)，且均為奇函數(shù)，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，即，∴①又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即②，由①②得，，，即8為的周期．注意到，所以，.故選：D．二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用與的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列增減性的判斷、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，則，整理得，則，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤，則數(shù)列是遞增數(shù)列，故B正確，且，，故CD正確.故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根C.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)D.存在實(shí)數(shù)，恒成立【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)椋缦聢D所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象由三個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)恒成立，故D正確．故選：ABD．11.已知圓，點(diǎn)在直線上，過作圓的兩條切線（為切點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)軸時(shí)，四邊形的面積為C.原點(diǎn)到直線距離的最大值為D.的外接圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】直接證明切線長(zhǎng)可判斷A，舉反例判斷B，用求兩圓公共弦所在直線方程法求出直線方程，然后求點(diǎn)到直線的距離可判斷C，用參數(shù)表示求出的外接圓方程，利用恒等式知識(shí)求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)后判斷D．【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，，則．設(shè)，所以，故A正確；B選項(xiàng)，由于滿足條件，但此時(shí)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，以為直徑的圓的方程為，即，兩圓方程相減得的方程為，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由可知，的外接圓是以為直徑的圓，由C可知圓的方程為，即，由，解得或，故該圓恒過和，故D正確．故選：AD．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量、滿足，，，則_______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，，則，所以，，所以，因此，.故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是上一點(diǎn)，且．若的面積為16，則的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】由得，可得，結(jié)合以及三角形面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可得，即，由可得，所以，又因?yàn)?，所以，即，，即，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以．故答案為?14.若直線上一點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】先求出過點(diǎn)的切線方程，分離參數(shù)變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，結(jié)合圖像可解.【詳解】曲線即曲線，在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，又切線過點(diǎn)，則.令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以．由題意知，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故故答案為：.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知中，角所對(duì)的邊分別為，且．（1）若，求的值；（2）記的面積為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及正弦定理可得，再利用余弦定理可得結(jié)果；（2）利用余弦定理由基本不等式計(jì)算可得當(dāng)時(shí)取得最小值，代入計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，則．因?yàn)?，所以．【小?詳解】因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，則，則16.已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）解不等式得到，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，得到答案；（2），求導(dǎo)，不合要求，故，二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，得到最值，結(jié)合函數(shù)走勢(shì)得到不等式，求出實(shí)數(shù)取值范圍.【小問1詳解】由，得，即．令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則等價(jià)于，即，解得，故所求不等式的解集為．【小問2詳解】，，由題意知，．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，所以．令，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)正零點(diǎn)，易知，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．注意到，當(dāng)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用直線與平面垂直的判定證得平面，因?yàn)槠矫?，由平面與平面垂直的判斷即可得得證；（2）先由平面與平面垂直的性質(zhì)得到平面，從而可得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面的法向量，利用平面與平面的夾角的余弦公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砬蟮?，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，結(jié)合（1）知，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，故，所以，所以．設(shè)，則，即，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以．因?yàn)?，所以，解得，從而，記平面的法向量為，則，令，則，所以．則，即平面與平面的夾角余弦值為．18.已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截所得弦長(zhǎng)為．（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（在軸上方），與軸交于點(diǎn)．①記，求證：定值；②求的最小值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②．【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)整理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)題意列出的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①設(shè)直線：，且與橢圓聯(lián)立方程組，求出韋達(dá)定理表達(dá)式，根據(jù)向量共線的性質(zhì)可得的定值；②將韋達(dá)定理表達(dá)式表示出的關(guān)系式，采用換元法以及二次函數(shù)的最值即可求解.【小問1詳解】由題意知，拋物線整理得，焦點(diǎn)為，所以橢圓的左焦點(diǎn)為，則有，又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線截所得弦長(zhǎng)為，將代入，可得，即所得弦長(zhǎng)為橢圓通徑，解得，故的方程為．【小問2詳解】①由題意知，，直線的斜率存在且不為零，設(shè)，聯(lián)立，消去得：，，設(shè)Ax1,由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，得，從而，所以為定值4．②由①知，，則，令，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二小問中，列出韋達(dá)定理的表達(dá)式，借用向量共線問題對(duì)的求值進(jìn)行運(yùn)算是解題關(guān)鍵，本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運(yùn)算能力，屬于較難題.19.若數(shù)列滿足：，若存在，都有，則稱這個(gè)數(shù)列為下界數(shù)列，并把其中最小的值叫做臨界值，記為.（1）記數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列是下界數(shù)列；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷數(shù)列是否為下界數(shù)列，并說明理由；（3）若數(shù)列是首項(xiàng)及公比均為2的等比數(shù)列，記，數(shù)列的臨界值為，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）數(shù)列不是下界數(shù)列，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的前