2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第1課時排列與排列數(shù)公式學案含解析新人教A版選修2-3

PAGE1．2排列與組合1．2.1排列第1課時排列與排列數(shù)公式[目標]1.理解排列和排列數(shù)的特征.2.正確運用排列數(shù)公式進行計算．[重點]理解排列的概念，會用排列數(shù)公式進行計算．[難點]對排列的有序性的正確理解，排列數(shù)公式的逆用．學問點一排列的概念[填一填]1．排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，根據(jù)肯定的依次排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2．相同排列兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全相同，且元素的排列依次也相同．[答一答]1．排列的定義中包括哪兩個基本內容？提示：排列定義包括兩個基本內容：一是“取出的元素不能重復”；二是“根據(jù)肯定的依次排列”．2．兩個排列若為相同的排列需具備哪些條件？提示：須要具備兩個條件：一是元素完全相同，二是元素的排列依次完全相同．3．推斷一個詳細問題是否為排列問題的關鍵是什么？提示：推斷一個詳細問題是不是排列問題，關鍵看在支配取出的元素時是有序還是無序，有序就是排列，無序就不是排列．學問點二排列數(shù)公式[填一填][答一答]4．“排列數(shù)”與“一個排列”是否為同一個概念？提示：不是同一概念．“一個排列”是指“從n個不同元素中取出m個元素，根據(jù)肯定的依次排成一列”，它不是一個數(shù)；“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m個元素的全部排列的個數(shù)”．例如，從a，b，c中任取2個元素的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb，共6個，6就是從a，b，c中任取2個元素的排列數(shù)．5．對于排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)中，m，n有什么要求？提示：m、n∈N＋，且m≤n.6．在Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)中右邊共多少項的乘積．提示：從n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上m個數(shù)相乘，可得共m項．7．為什么規(guī)定0?。??提示：為了使公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)在m＝n時也能成立，規(guī)定0?。?，這種規(guī)定說明：若一個元素都不取，則構成排列的情形只有1種．1．對排列定義的四點說明(1)定義的兩個要素：一是“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素”，要求取出的元素不能重復；二是“根據(jù)肯定的依次排列”．(2)定義中“肯定依次”就是說與位置有關，選取的元素相同但依次不同是不同的排列，在實際問題中，要由詳細問題的性質和條件確定．(3)對于兩個排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列依次也完全相同時，才是相同排列．(4)在定義中規(guī)定m≤n，假如m<n，這樣的排列只是取一部分元素進行排列，稱選排列；假如m＝n，這樣的排列是取出全部元素進行排列，稱全排列．2．精確理解排列數(shù)公式(1)公式中的n，m應當滿意n，m∈N*，m≤n，當m>n時不成立．(2)排列數(shù)有兩個公式，第一個公式右邊是若干數(shù)的連乘積，其特點是：第一個因數(shù)是n(下標)，后面的每一個因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1，最終一個因數(shù)為n－m＋1(下標－上標＋1)，共有m(上標)個連續(xù)自然數(shù)相乘．(3)排列數(shù)的其次個公式是階乘的形式，所以又叫排列數(shù)的階乘式，它是一個分式的形式，分子是下標n的階乘，分母是下標減上標的階乘，即(n－m)的階乘，(4)特殊地，規(guī)定0?。?.這只是一種規(guī)定，不能按階乘的含義作說明．類型一排列的概念【例1】推斷下列問題是否是排列問題：(1)某班共有50名同學，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結果？(2)從2,3,5,7,9中任取兩數(shù)分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少不同對數(shù)值？(3)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？(4)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取相異的兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1?【分析】由題目可獲得以下主要信息：對于(1)，兩人當班長，有正副之分；對于(2)，對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)交換，其值也不同；對于(3)，點的坐標有橫坐標與縱坐標之分；對于(4)，焦點在x軸上的橢圓方程，必需a>b.解答本題，其關鍵是看問題的結果與選出的元素排列時跟依次是否有關，有關即是排列問題，否則不是．【解】(1)是．選出的2人分別擔當正、副班長，與依次有關，所以該問題是排列問題；(2)是．明顯對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關系，與依次有關．(3)是．道理同上．(4)不是．焦點在x軸上的橢圓，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小肯定．排列的特點是“先取后排”，即先從n個不同的元素中取出m個元素，再按肯定依次把這m個元素排成一列.因此，推斷一個問題是否為排列問題，只需考察與依次是否有關，有關則是排列問題，無關則不是排列問題.將語文、數(shù)學、英語書各一本分給甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少種不同的分法？請將它們列出來．解：按分步乘法計數(shù)原理的步驟：第一步，分給甲，有3種分法；其次步，分給乙，有2種分法；第三步，分給丙，有1種分法．故共有3×2×1＝6(種)不同的分法．列出樹形圖：如下所以，按甲乙丙的依次分的分法為：語數(shù)英，語英數(shù)，數(shù)語英，數(shù)英語，英語數(shù)，英數(shù)語．類型二排列數(shù)的計算問題【例2】(1)乘積m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示為()A．Aeq\o\al(2,m) B．Aeq\o\al(21,m)C．Aeq\o\al(20,m＋20) D．Aeq\o\al(21,m＋20)(2)計算：①Aeq\o\al(3,15)；②eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10)).【分析】按排列數(shù)公式計算．【解析】(1)因為m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的數(shù)為m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21個因式．所以m(m＋1)·(m＋2)…(m＋20)＝Aeq\o\al(21,m＋20).(2)解：①Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730.②方法1：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(9×8×7×6×5＋9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6)＝eq\f(9×8×7×6×5＋1,10×9×8×7×6×5－1)＝eq\f(3,20).方法2：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),50A\o\al(4,9)－10A\o\al(4,9))＝eq\f(6A\o\al(4,9),40A\o\al(4,9))＝eq\f(3,20).【答案】(1)D(2)①2730②eq\f(3,20)1.排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進行，應用時留意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．2．應用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會削減運算量．(1)設x∈N*，且x<23，則(23－x)(24－x)(25－x)·…·(30－x)可化簡為(D)A．Aeq\o\al(7,23－x) B．Aeq\o\al(23－x,30－x)C．Aeq\o\al(7,30－x) D．Aeq\o\al(8,30－x)解析：本題考查排列數(shù)公式的應用．先確定最大數(shù)，即n，再確定因式的個數(shù)，即m.因為n＝30－x，m＝(30－x)－(23－x)＋1＝8，所以原式＝Aeq\o\al(8,30－x).故選D.(2)計算eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,5))的值．解：eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,5))＝eq\f(5×4×3×2×1,5×4)＝6.類型三列舉法解決排列問題【例3】(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的全部排列．【解】(1)由題意作樹形圖，如圖．故全部兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個．(2)由題意作樹形圖，如圖．故全部的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個．“樹形圖”在解決個數(shù)不多的排列問題時，是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按肯定依次排出，然后以先支配哪個元素為分類標準，進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的狀況下確定其次位元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列.將A，B，C，D四名同學按肯定依次排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在其次，C不排在第三，D不排在第四，試用樹形圖列出全部可能的排法．解：樹形圖為(如圖)：由樹形圖知，全部排法為BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9種排法．忽視排列問題中的限制條件致誤【例4】在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，滿意a1>a2，a3>a2，a【錯解】排列的個數(shù)是12個或8個．【錯因分析】3個限制只留意1個限制條件或2個限制條件．【正解】首先留意a1位置的數(shù)比a2位置的數(shù)大，可以借助樹形圖進行篩選．滿意a1>a2的樹形圖是：其次滿意a3>a2的樹形圖是：再滿意a3>a4的排列：2143,3142,3241,4132,4231，共5個．【答案】5由1,2,3,4這四個數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有三個相同數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是12.解析：本題要求首位數(shù)字是1，且恰有三個相同的數(shù)字，用樹形圖表示為：由此可知共有12個．1．下列問題中不屬于排列問題的是(B)A．從六名學生中選三名學生參與數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法B．有十二名學生參與植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從3,5,7,9中任取兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個點解析：12名學生分為4組，3人一組無先后依次，不屬于排列問題．2．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n＝(B)A．11 B．12C．13 D．14解析：n(n－1)＝132，n＝12.3．某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了1_560條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)解析：由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560條畢業(yè)留言．4．計算：(2Aeq\o\al(4,12)