2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)§22.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣教師用書教案北師大版必修3

PAGE1-2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例，精確把握分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念．(重點(diǎn))2．會(huì)用分層抽樣、系統(tǒng)抽樣解決實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))3．了解各種抽樣方法的適用范圍，能依據(jù)詳細(xì)狀況選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǎ?難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)運(yùn)用分層抽樣、系統(tǒng)抽樣解決實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).一、分層抽樣1．分層抽樣的概念將總體按其屬性特征分成若干類型(有時(shí)稱為層)，然后在每個(gè)類型中依據(jù)所占比例隨機(jī)抽取肯定的樣本，這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時(shí)也稱為類型抽樣．2．對(duì)分層抽樣的公允性的理解在分層抽樣的過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相同的，與分層的狀況無(wú)關(guān)．假如總體的個(gè)體數(shù)是N，共分k層，n為樣本容量，Ni(i＝1,2,3，…，k)是第i層中的個(gè)體數(shù)，則第i層中所要抽取的個(gè)體數(shù)ni＝n×eq\f(Ni,N)，而每一個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，與層數(shù)無(wú)關(guān)，所以對(duì)全部個(gè)體而言，其被抽到的概率是相同的，也就是說(shuō)分層抽樣是公允的．二、系統(tǒng)抽樣的概念將總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，等距分組，在第一組中依據(jù)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽取第一個(gè)樣本，然后按分組的間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本．這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣，有時(shí)也叫等距抽樣或機(jī)械抽樣．思索：系統(tǒng)抽樣一般適用于具有怎樣特征的樣本？[提示]系統(tǒng)抽樣的實(shí)質(zhì)是“分組”抽樣，適用于總體中的個(gè)體數(shù)較大的狀況．1．下列問(wèn)題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參與座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；C和D中總體個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層抽樣；B中總體中的個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．]2．為了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂飯菜的看法，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)樣本容量為40的樣本，考慮采納系統(tǒng)抽樣，則分段間隔k為()A．10B．20C．30D．40C[分段間隔k＝eq\f(1200,40)＝30.]3．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的狀況，支配采納分層抽樣法抽取一個(gè)容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人B[先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故選B.]4．某高校為了解在校本科生對(duì)參與某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生．60[依據(jù)題意，應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]分層抽樣【例1】某企業(yè)共有3200名職工，其中青、中、老年職工的比例為3∶5∶2.若從全部職工中抽取一個(gè)容量為400的樣本，則采納哪種抽樣方法更合理？青、中、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？每人被抽到的可能性相同嗎？[解]因?yàn)榭傮w由差異明顯的三部分(青、中、老年)組成，所以采納分層抽樣的方法更合理．因?yàn)榍?、中、老年職工的比例?∶5∶2，所以應(yīng)分別抽?。呵嗄曷毠?00×eq\f(3,10)＝120(人)；中年職工400×eq\f(5,10)＝200(人)；老年職工400×eq\f(2,10)＝80(人)．由樣本容量為400，總體容量為3200可知，抽樣比是eq\f(400,3200)＝eq\f(1,8)，所以每人被抽到的可能性相同，均為eq\f(1,8).1．分層抽樣運(yùn)用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)分，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占的比例抽?。?．用分層抽樣抽取樣本時(shí)，需照看到各層中的個(gè)體，所以每層抽取的比例應(yīng)等于樣本容量在總體中的比例．3．在分層抽樣中，確定抽樣比k是抽樣的關(guān)鍵．一般地，抽樣比k＝eq\f(n,N)(N為總體容量，n為樣本容量)，按抽樣比k在各層中抽取個(gè)體，就能確保抽樣的公允性．4．在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)為了調(diào)查城市PM2.5的狀況，按地域把48個(gè)城市分成大型、中型、小型三組，相應(yīng)的城市數(shù)分別為8,16,24.若用分層抽樣的方法抽取12個(gè)城市，則應(yīng)抽取的中型城市數(shù)為()A．3B．4C．5D．6(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石(1)B(2)B[(1)依據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可知，抽樣比例為eq\f(12,48)＝eq\f(1,4)，則應(yīng)抽取的中型城市數(shù)為16×eq\f(1,4)＝4.(2)設(shè)1534石米內(nèi)夾谷x石，則由題意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故這批米內(nèi)夾谷約為169石．]系統(tǒng)抽樣【例2】某單位共有在崗職工624人，為了調(diào)查職工上班時(shí)從離開家到來(lái)到單位的平均用時(shí)，確定抽取10%的工人進(jìn)行調(diào)查，如何采納系統(tǒng)抽樣完成這一抽樣？[解]第一步：由題意知，應(yīng)抽取在崗職工62人作為樣本，即分成62組，由于eq\f(624,62)的商是10，余數(shù)是4，所以每組有10人，還剩4人．這時(shí)，抽樣距是10；其次步：用隨機(jī)數(shù)法從這些職工中抽取4人并剔除，不進(jìn)行調(diào)查；第三步：將余下的在崗職工620人進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為000,001,002，…，619；第四步：在第一組000,001,002，…，009這10個(gè)編號(hào)中，隨機(jī)選定一個(gè)起始編號(hào)，每間隔10抽取一個(gè)編號(hào)，共抽62個(gè)編號(hào)，這樣就抽取了容量為62的一個(gè)樣本．1．解決本題時(shí)，對(duì)總體、個(gè)體先進(jìn)行編號(hào)，然后依據(jù)樣本容量確定分段數(shù)及每段間隔長(zhǎng)度，再利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法在第1段中抽取一個(gè)號(hào)碼作為起始號(hào)碼，并依次加間隔長(zhǎng)度即可獲得樣本號(hào)碼．2．系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，當(dāng)給出總體數(shù)和樣本容量后，應(yīng)先確定組數(shù)和組距(留意一般組數(shù)等于樣本容量/組距)，在第一組抽取起始號(hào)碼后，只需依次加間隔長(zhǎng)度即可得到樣本．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)某影院有40排座位，每排有46個(gè)座位，一個(gè)報(bào)告會(huì)上坐滿了聽眾，會(huì)后留下座號(hào)為20的全部聽眾進(jìn)行座談，這是運(yùn)用了()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．放回抽樣法(2)為了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的看法，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)容量為30的樣本，考慮采納系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k＝________.(1)C(2)40[(1)此抽樣方法將座位分成40組，每組46個(gè)個(gè)體，會(huì)后留下座號(hào)為20的相當(dāng)于第一組抽20號(hào)，以后各組抽取20＋46n，n＝1,2,3，…，符合系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)．(2)依據(jù)樣本容量為30，將1200名學(xué)生分為30段，每段人數(shù)即間隔k＝eq\f(1200,30)＝40.]三種抽樣方法的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是不放回抽樣嗎？提示：是不放回抽樣．2．分層抽樣時(shí)為什么要將總體分成互不重疊的層？提示：在總體中由于個(gè)體之間存在著明顯的差異，為了使抽取的樣本更合理、更具代表性，故將總體分成互不重疊的層，而后獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體．3．系統(tǒng)抽樣的其次步中，當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時(shí)，從總體中剔除一些個(gè)體采納的方法是什么？影響系統(tǒng)抽樣的公允性嗎？提示：剔除一些個(gè)體可以用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取，不影響系統(tǒng)抽樣的公允性．【例3】①某學(xué)校為了了解高一學(xué)生的狀況，從每班抽2人進(jìn)行座談；②一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某班有10人的成果在110分以上，10人的成果在100～110分，30人的成果在90～100分，12人的成果低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人了解有關(guān)狀況；③運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參與400m決賽的6名同學(xué)支配跑道．就這三件事，合適的抽樣方法分別為________、________、________.系統(tǒng)抽樣分層抽樣簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣[系統(tǒng)抽樣適合總體中個(gè)體數(shù)量比較大的狀況．分層抽樣適合總體由差異明顯的幾部分組成的狀況．總體中個(gè)體數(shù)比較少的時(shí)候，選用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．]三種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣(1)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等；(2)均屬于不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某社區(qū)有700戶家庭，其中高收入家庭有225戶，中收入家庭有400戶，低收入家庭有75戶，為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，記作①；某中學(xué)高二年級(jí)有12名籃球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查投籃命中率狀況，記作②；從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取40輛測(cè)試某項(xiàng)性能，記作③.為完成上述三項(xiàng)抽樣，則應(yīng)實(shí)行的抽樣方法是()A．①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣B．①分層抽樣，②簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，③系統(tǒng)抽樣C．①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②分層抽樣．③系統(tǒng)抽樣D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B[對(duì)于①.總體由差異明顯的高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭三部分組成，而所調(diào)查的指標(biāo)與收入狀況親密相關(guān)，所以應(yīng)采納分層抽樣；對(duì)于②，總體中的個(gè)體數(shù)較少，而且所調(diào)查內(nèi)容對(duì)12名調(diào)查對(duì)象是同等的，應(yīng)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；對(duì)于③，總體中的個(gè)體數(shù)較多，且個(gè)體之間差異不明顯，樣本中個(gè)體數(shù)也較多，應(yīng)采納系統(tǒng)抽樣．]1．對(duì)于分層抽樣中的比值問(wèn)題，常利用以下關(guān)系式解：(1)eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量)；(2)總體中各層容量之比＝對(duì)應(yīng)層抽取的樣本數(shù)之比．2．選擇抽樣方法的規(guī)律：(1)當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時(shí)，制簽簡(jiǎn)潔，號(hào)簽簡(jiǎn)潔攪勻，可采納抽簽法．(2)當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)，可采納隨機(jī)數(shù)法．(3)當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)，可采納系統(tǒng)抽樣法．(4)當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，可采納分層抽樣法.1．思索辨析(1)分層抽樣中每層抽樣的可能性是不相等的． ()(2)分層抽樣時(shí)，樣本是在各層中分別抽?。?()(3)分層抽樣時(shí)，假如總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除，則應(yīng)先剔除部分個(gè)體． ()(4)系統(tǒng)抽樣的分段段數(shù)與所抽取的樣本容量的關(guān)系是相等． ()(5)系統(tǒng)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不同． ()(6)系統(tǒng)抽樣時(shí)，假如總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除，則應(yīng)先剔除部分個(gè)體． ()[解析](1)×，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同．(2)√，由分層抽樣的概念知正確．(3)√，由于考慮到實(shí)際意義，需剔除部分個(gè)體．(4)√，系統(tǒng)抽樣時(shí)，分段的段數(shù)由所抽樣本容量確定．(5)×，無(wú)論是系統(tǒng)抽樣還是分層抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等．(6)√，系統(tǒng)抽樣時(shí)為了保證間隔k為整數(shù)，應(yīng)先剔除一部分個(gè)體．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)√2．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣D．系統(tǒng)抽樣C[由于該地區(qū)的中小學(xué)生人數(shù)比較多，不能采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，解除選項(xiàng)A；由于小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段的學(xué)生視力差異性比較大，可實(shí)行依據(jù)學(xué)段進(jìn)行分層抽樣，而男女生視力狀況差異性不大，不能依據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，解除B和D.故選C.]3．某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)