2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章概率與統(tǒng)計(jì)4.3統(tǒng)計(jì)模型4.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)教案新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE8-4.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．(重點(diǎn))2．通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．(難點(diǎn))1．通過2×2列聯(lián)表統(tǒng)計(jì)意義的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助χ2計(jì)算公式進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).一則“雙黃連口服液可抑制新冠病毒”消息熱傳后，引起部分市民搶購．人民日?qǐng)?bào)官微稱，抑制不等于預(yù)防和治療，勿自行服用．上海專家稱是否有效還在探討中．問題：如何推斷其有效？如何收集數(shù)據(jù)？收集哪些數(shù)據(jù)？1．2×2列聯(lián)表(1)定義：假如隨機(jī)事務(wù)A與B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形式．Aeq\o(A,\s\up6(－))總計(jì)Baba＋beq\o(B,\s\up8(－))cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d因?yàn)檫@個(gè)表格中，核心數(shù)據(jù)是中間4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．(2)χ2計(jì)算公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.2．獨(dú)立性檢驗(yàn)隨意給定一個(gè)α(稱為顯著性水平，通常取為0.05,0.01等)，可以找到滿意條件P(χ2≥k)＝α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù))，就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．若χ2＜k成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)χ2的大小是推斷事務(wù)A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量． ()(2)事務(wù)A與B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事務(wù)互不影響． ()(3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷肯定是正確的． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列選項(xiàng)中，哪一個(gè)χ2的值可以有95%以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系”()A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014D[∵5.014>3.841，故D正確．]3．若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝4.013，那么在犯錯(cuò)誤的概率不超過__________的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．5%[查閱χ2表知有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．]4．(一題兩空)下面是2×2列聯(lián)表．y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a＝________，b＝________.5254[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【例1】在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用.未感冒感冒合計(jì)運(yùn)用血清258242500未運(yùn)用血清216284500合計(jì)4745261000[思路點(diǎn)撥]獨(dú)立性檢驗(yàn)可以通過2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，然后和臨界值比照作出推斷．[解]假設(shè)感冒與是否運(yùn)用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我們在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．獨(dú)立性檢驗(yàn)的詳細(xì)做法1．依據(jù)實(shí)際問題的須要確定允許推斷“事務(wù)A與B有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k.2．利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量χ2.3．假如χ2≥k推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計(jì)生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計(jì)80460540依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握推斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)？[解]由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638.∵9.638>6.635，∴有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃?。?dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用[探究問題]1．利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，估計(jì)值的精確度與樣本容量有關(guān)嗎？[提示]利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個(gè)估計(jì)值越精確，假如抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有牢靠性．2．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29.78，在推斷變量相關(guān)時(shí)，P(χ2≥6.635)＝0.01和P(χ2≥7.879)＝0.005，哪種說法是正確的？[提示]兩種說法均正確．P(χ2≥6.635)＝0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)．【例2】為了解某班學(xué)生寵愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：寵愛打籃球不寵愛打籃球合計(jì)男生6女生10合計(jì)48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到寵愛打籃球的學(xué)生的概率為eq\f(2,3).(1)請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為寵愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中寵愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值．[思路點(diǎn)撥](1)由古典概型的概率求得2×2列聯(lián)表．(2)計(jì)算χ2，推斷P(x2＞3.841)＝0.05是否成立．(3)結(jié)合超幾何分布求解．[解](1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：寵愛打籃球不寵愛打籃球合計(jì)男生22628女生101020合計(jì)321648(2)由χ2＝eq\f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286.因?yàn)?.286>3.841，所以，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為寵愛打籃球與性別有關(guān)．(3)寵愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2.其概率分別為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(10,19)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，故X的分布列為X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值為E(X)＝0＋eq\f(10,19)＋eq\f(9,19)＝1.1．檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是計(jì)算χ2的值，再利用該值與分位數(shù)k進(jìn)行比較作出推斷．2．χ2計(jì)算公式較困難，一是公式要清晰；二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴；三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心．3．統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來推想全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)．因此，統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，而不是因果關(guān)系．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)‘語文閱讀理解’訓(xùn)練，對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率的作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對(duì)比班(常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練)，在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一樣，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成果(均取整數(shù))如下表所示：60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人數(shù))31161218乙班(人數(shù))78101015現(xiàn)規(guī)定平均成果在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分析估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為加強(qiáng)“語文閱讀理解”訓(xùn)練對(duì)提高“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”得分率有幫助？優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班乙班合計(jì)參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)由題意知，甲、乙兩班均有學(xué)生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為eq\f(30,50)＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%.(2)優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班302050乙班252550合計(jì)5545100因?yàn)棣?＝eq\f(10025×30－25×202,55×45×50×50)≈1.010<3.841，所以由參考數(shù)據(jù)知，沒有95%的把握認(rèn)為加強(qiáng)“語文閱讀理解”訓(xùn)練對(duì)提高“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”得分率有幫助．1．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，該公式較精確的刻畫了兩個(gè)變量相關(guān)性的牢靠程度．2．χ2越大說明“兩個(gè)變量之間有關(guān)系”的可能性越大，反之越小．1．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個(gè)變量A，B是否有關(guān)系，當(dāng)隨機(jī)變量χ2的值()A．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大B．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越小C．越小，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大D．與“A與B有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)A[用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個(gè)分類是否有關(guān)系時(shí)，算出的隨機(jī)變量χ2的值越大，說明“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大，由此可知A正確．故選A.]2．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女合計(jì)愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.則正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C[依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為C.]3．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝13.097，認(rèn)為“兩個(gè)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過________．0.001[假如χ2>10.828時(shí)，認(rèn)為“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.]4．某高校在探討性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)收集的數(shù)據(jù)是______________________________．男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)[由探討的問題可知，需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)．]5．中學(xué)流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對(duì)高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)．總成果好總成果不好總計(jì)數(shù)學(xué)成果好478a490數(shù)