2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)概念與性質(zhì)3.2.2.2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE9-函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(15分鐘35分)1.已知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x+3，則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式是 ()A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3【解析】選B.若x<0，則-x>0，因為當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x+3，所以f(-x)=x2+2x+3，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x)，所以f(x)=-x2-2x-3，所以x<0時，f(x)=-x2-2x-3.2.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿意f(x)+g(x)=x2+3x+1，則f(x)等于 ()A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1【解析】選D.因為f(x)+g(x)=x2+3x+1，①所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.又f(x)是偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)，所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②由①②聯(lián)立，得f(x)=x2+1.3.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，若x1<0且x1+x2>0，則()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關(guān)系不確定【解析】選A.因為x2>-x1>0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x2)<f(-x1).又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(-x2)=f(x2)，所以f(-x2)<f(-x1).4.函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且在[0，+∞)上單調(diào)遞增，f(3)<f(2a+1)，則a的取值范圍是 ()A.a>1 B.a<-2C.a>1或a<-2 D.-1<a<2【解析】選C.因為函數(shù)f(x)在實數(shù)集上是偶函數(shù)，且f(3)<f(2a+1)，所以f(3)<f(|2a+1|)，又函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，所以3<|2a+1|，解得a>1或a<-2.5.函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù)，且x>0時，f(x)=QUOTE+1，則當(dāng)x<0時，f(x)=_______.

【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，x>0時，f(x)=QUOTE+1，所以當(dāng)x<0時，-x>0，f(x)=f(-x)=QUOTE+1，即x<0時，f(x)=QUOTE+1.答案：QUOTE+16.設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=QUOTE，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式.【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=QUOTE，①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=QUOTE，所以f(x)-g(x)=QUOTE，②(①+②)÷2，得f(x)=QUOTE；(①-②)÷2，得g(x)=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.若奇函數(shù)f(x)在(-∞，0)上的解析式為f(x)=x(1+x)，則f(x)在(0，+∞)上有 ()A.最大值-QUOTE B.最大值QUOTEC.最小值-QUOTE D.最小值QUOTE【解析】選B.方法一(干脆法)：當(dāng)x>0時，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-QUOTE+QUOTE，所以f(x)有最大值QUOTE.方法二(奇函數(shù)的圖象特征)：當(dāng)x<0時，f(x)=x2+x=QUOTE-QUOTE，所以f(x)有最小值-QUOTE，因為f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，f(x)有最大值QUOTE.2.(2024·泰安高一檢測)設(shè)F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若QUOTE是函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，則肯定是F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)，因而在QUOTE上F(x)肯定單調(diào)遞減.3.若f(x)是偶函數(shù)，其定義域為(-∞，+∞)，且在[0，+∞)上單調(diào)遞減，則fQUOTE與fQUOTE的大小關(guān)系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】選C.因為a2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE，又因為f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.4.(2024·襄陽高一檢測)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞減，則滿意f(2x-1)>fQUOTE的實數(shù)x的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞減，且滿意f(2x-1)>fQUOTE，所以不等式等價為f(|2x-1|)>fQUOTE，即|2x-1|<QUOTE，所以-QUOTE<2x-1<QUOTE，計算得出QUOTE<x<QUOTE，故x的取值范圍是QUOTE.【誤區(qū)警示】利用偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式，別忘了轉(zhuǎn)化為肯定值不等式求解.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5.若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，定義域為R，且該函數(shù)圖象與x軸的交點有3個，則下列說法正確的是 ()A.3個交點的橫坐標(biāo)之和為0B.3個交點的橫坐標(biāo)之和不是定值，與函數(shù)解析式有關(guān)C.f(0)=0D.f(0)的值與函數(shù)解析式有關(guān)【解析】選A、C.由于偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，若(x0，0)是函數(shù)與x軸的交點，則(-x0，0)肯定也是函數(shù)與x軸的交點，當(dāng)交點個數(shù)為3個時，有一個交點肯定是原點，從而AC正確.6.設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(-2)=0，則下列區(qū)間中使得xf(x)<0的有 ()A.(-1，1) B.(0，2)C.(-2，0) D.(2，4)【解析】選C、D.依據(jù)題意，偶函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，又f(-2)=0，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，且f(-2)=f(2)=0，函數(shù)f(x)的草圖如圖，又由xf(x)<0?QUOTE或QUOTE，由圖可得-2<x<0或x>2，即不等式的解集為(-2，0)∪(2，+∞).三、填空題(每小題5分，共10分)7.假如函數(shù)F(x)=QUOTE是奇函數(shù)，則f(x)=_______.

【解題指南】依據(jù)求誰設(shè)誰的原則，設(shè)x<0，依據(jù)函數(shù)的奇偶性求出x<0時的解析式.【解析】當(dāng)x<0時，-x>0，F(xiàn)(-x)=-2x-3，又F(x)為奇函數(shù)，故F(-x)=-F(x)，所以F(x)=2x+3，即f(x)=2x+3.答案：2x+3【補償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在[0，1]上的圖象如圖.則它在[-1，0]上的解析式為_______.

【解析】由題意知f(x)在[-1，0]上為一條線段，且過(-1，1)，(0，2)，設(shè)f(x)=kx+b，代入解得k=1，b=2.所以f(x)=x+2.答案：f(x)=x+28.(2024·杭州高一檢測)已知函數(shù)f(x)是定義在[-1，a]上的奇函數(shù)，則a=_______，f(0)=_______.

【解析】依據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在[-1，a]上的奇函數(shù)，則(-1)+a=0，解可得a=1，即f(x)的定義域為[-1，1]，則f(0)=0.答案：10四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=-x2+2x.(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象.(3)依據(jù)圖象，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及值域.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x).當(dāng)x<0時，-x>0，所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.綜上，f(x)=QUOTE(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：(3)由(2)中圖象可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，0]，[1，+∞)，函數(shù)f(x)的值域為(-∞，1].10.函數(shù)f(x)=QUOTE，(1)證明函數(shù)的奇偶性.(2)推斷函數(shù)在(-∞，0)上的單調(diào)性，并證明.【解析】(1)因為f(x)=QUOTE的定義域為{x|x≠0}，f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2，所以f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE，因為x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2，所以x2-x1>0，x2+x1<0，所以QUOTE<0，即f(x1)<f(x2)，則函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增.1.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x+2)<5的解集是_______.

【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(|x+2|)=f(x+2)，則f(x+2)<5可化為f(|x+2|)<5，則|x+2|2-4|x+2|<5，即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0，所以|x+2|<5，解得-7<x<3，所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7，3).答案：(-7，3)【補償訓(xùn)練】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增.若f(-3)=0，則QUOTE<0的解集為_______.

【解析】因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(3)=f(-3)=0.當(dāng)x>0時，f(x)<0，解得x>3；當(dāng)x<0時，f(x)>0，解得-3<x<0.答案：{x|-3<x<0或x>3}2.已知函數(shù)f(x)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞)，對定義域內(nèi)的隨意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)>0.(1)求證：f(x)是偶函數(shù).(2)求證：f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.(3)試比較fQUOTE與fQUOTE的大小.【解析】(1)函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1)，所以2f(-1)=0，所以f(-1)=0.所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).(2)設(shè)0<x1<x2，則f(x2)-f(x1)=fQ