注冊土木工程師（港口與航道工程）考試培訓(xùn)

注冊土木工程師(港口與航道工程)執(zhí)業(yè)資格考試培訓(xùn)講稿

基礎(chǔ)考試：上午4小時120道題每題1分其中材料力學(xué)15道題平均每道題用時2

分鐘。全部是選擇題，計算量小

根據(jù)考試特點復(fù)習(xí)時應(yīng)：

基本概念要清楚，基本公式和定義要記牢，解題方法要熟練，要培養(yǎng)快速反應(yīng)能力

一、基本概念

內(nèi)力：

應(yīng)力：

位移：

變形：構(gòu)件形狀的改變。

應(yīng)變：應(yīng)變又可分為線應(yīng)變閑剪應(yīng)變y,均為無量綱量。

剪應(yīng)變/表示過構(gòu)件內(nèi)任一點的兩個互相垂直的微線段，變形后兩個微線段的角度改變

量。

例題0單元體變形后的形狀如圖中虛線所

示，則A點的剪應(yīng)變是()o

(A)0,2r,2y(B)y,y,2y

<A3

(0y,22y(D)0,y,2y(b)

答案：D例題0圖

二、四種基本變形的內(nèi)力、應(yīng)力及強度、變形

1、內(nèi)力

拉壓內(nèi)力：軸力N扭轉(zhuǎn)內(nèi)力MT彎曲內(nèi)力0、M

關(guān)鍵點內(nèi)力的正負(fù)號，內(nèi)力圖的畫法

重點彎曲內(nèi)力(因拉壓、扭轉(zhuǎn)內(nèi)力較簡單)

熟練利用剪力、彎矩與分布力的微分關(guān)系及其圖形的規(guī)律判斷內(nèi)力圖的正確性。

（1）利用剪力Q、彎矩M與荷載集度夕之間的微分關(guān)系，可得到下述結(jié)論：

a）q=0段，。水平直線，M斜直線；Q>0,用/,Q<0,歷\。

b）在q=c,Q斜直線，M拋物線。

當(dāng)Q/,當(dāng)如l）〈0,Q\,M\_/o

c）在Q=（）處，M圖有極值。

（2）。圖、M圖的一般規(guī)律：

a）集中力作用處，Q突變，突變量等于集中力值。M斜率突變。

b）在集中力偶作用處，。無變化。M有突變，突變量等于該集中力偶矩值。

c）當(dāng)梁的簡支端或自由端無集中力偶時，M為零。

d）最大彎矩發(fā)生在。二。或集中力、集中力偶作用點處。

例1根據(jù)梁的受力分析Q.M圖圖形

M圖

(c)

圖

1圖2

例2懸臂梁受載如圖，彎矩圖有

三種答案：圖(A)、圖(B)、和圖(C)。其

中正確的為()。

答案C

例題2圖例3梁的彎矩圖如圖所示，則梁上的最

大剪力為

()。

(A)P(B)5P/2(C)3P/2(D)7P/2

例題3圖

答案：D

例題4圖

答案A

例5已知圖示桿的軸力圖，請選擇該桿相應(yīng)的

載荷圖。

1.5m1m

答案D------->

15

(A)

2、應(yīng)力及強度

(1)拉伸；（T=—

A

(2)圓截面軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式:

,二乂田M,RM]

廠//，max

例5在圖示受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力分布圖中，正確的結(jié)果是（）。

(A)(B)(D)

例題5圖

例6圖示圓軸由鋼桿和鋁套管牢固地

結(jié)合在一起。扭轉(zhuǎn)變形時，橫截面上剪應(yīng)力

分布有圖示四種答案。其中正確的一種為

()。

答案B

例題6圖

（3）彎曲應(yīng)力

My

I）彎曲正應(yīng)力公式(7=-j-

MM

最大正應(yīng)力,3

小ax%

在上下緣處

矩形截面：。二"卬二="

120

圓形截面人"名"匕=4

043乙

444

空心圓截面：/=^（o-J）=^（l-a）叱=嚕（1一。4）

646432

式中a=—

Do

2)彎曲剪應(yīng)力公式

I.ib

剪應(yīng)力最大值在中性軸處。=絲

2A

例7T字形截面鑄鐵梁的荷載及截面尺寸如

圖5.7-8(a)示，。為T形截面的形心，慣矩人=

6013X104mm4,材料的許可拉應(yīng)力3=40MPa,

許可壓應(yīng)力[a]=160MPa,試校核梁的強度。

解：梁彎矩

圖如圖5.7-8(b)

所示。絕對值最

大的彎矩為負(fù)彎

矩，發(fā)生于8截

面上，應(yīng)力分布

(b)M圖(c)(d)

如圖5.7-8(c)所30kN*m

例題7圖

示。此截面最大

拉、壓應(yīng)力分別發(fā)生于截面上、下邊緣各點處

0—w

,、30x10°X157.5“cmr1

O=—^-=------------=78.6MPa<a

,"L6013xl()4

雖然A截面彎矩的絕對值|MA|<|MB|,但MA為正彎矩，應(yīng)力分布如圖5.7-8(d)所示。最大

拉應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點，由于尹>)'2因此，全梁最大拉應(yīng)力究竟發(fā)生在哪個截面上，必

須經(jīng)計算才能確定。A截面最大拉應(yīng)力為

My150xl06x157.5

(G=―Ai=-------------=39.3MPav㈤

‘人人6013X104

最大壓應(yīng)力在8截面下邊緣處，最大拉應(yīng)力在A截面下邊緣處，都滿足強度條件。

例8直徑為d的等直圓桿，在外力偶作用下發(fā)生純彎曲變形，已知變形后中性層的曲

率為。，材料的彈性模量為旦則該梁的彎矩"為多少?

解：由_L=」L,有用=旦=旦C

pEIzp642

例9矩形截面混凝土梁，為提高其抗

拉強度，在梁中配置鋼筋。若梁彎矩如圖

示，則梁內(nèi)鋼筋（虛線所示）的合理配置是

（）。

答案D

例題9圖

3）彎曲中心的概念

當(dāng)橫向力作用平面平行于形心主慣

性平面并通過某一特定點時，桿件只發(fā)生

彎曲而無扭轉(zhuǎn)，則稱該點為彎曲中心。彎

曲中心實際上是橫截面上彎曲剪應(yīng)力的

合力作用點，因此彎曲中心又稱為剪切中

心。圖5.7-6

薄壁截面梁橫截面上的剪應(yīng)力沿壁

厚均勻分布，作用線平行于截面邊緣的切線方向，形成“剪應(yīng)力流”。

4）彎曲中心的特征

（1）彎曲中心的位置僅取決于橫截面的形狀與尺寸，與外力無關(guān)。

（2）若截面具有一個對稱軸時，彎曲中心必位于該對稱軸上；若截面具有兩個對稱軸,

兩軸交點必是彎曲中心；由兩個狹長矩形組成的截面，如丁形，L形，十形等，彎曲中心必

位于該兩個狹長矩形中線的交點。

5)發(fā)生平面彎曲的條件為：

(1)外力偶作用平面與梁的形心主慣性平面平行；

(2)橫向外力作用平面與梁的形心主慣性平面平行并通過截面的彎曲中心。

(4)剪切強度的實用計算

名義剪應(yīng)力：r=—式中A為剪切面的面

A

積；

名義擠壓應(yīng)力：=d

兒山

關(guān)鍵在于正確確定剪切面AQ、擠壓面4歷及相應(yīng)的

剪力Q和擠壓力Fbs。

剪切計算面積為實際受剪面積；擠壓面計算面積，如擠壓面是平面，按實際擠壓面積計

算。當(dāng)擠壓面為曲面時取擠壓面在擠壓力方向的投影面積。對擠壓面為半圓柱面，如硼釘?shù)龋?/p>

其擠壓計算面積為直徑乘被連接件厚度：dXt0

例10正方形截面的混凝土柱，其橫截面邊長為

200mm,其基底為邊長a=lm的正方形混凝土板。柱受

軸向壓力P=100kN,如圖所示。假設(shè)地基對混凝土板的支

反力均勻分布，混凝土的許可剪應(yīng)力[T]=L5MPa,

則使柱不致穿過板，而混凝土板所需的最小厚度t為

()。

(A)83mm(B)100mm

(C)125mm(D)80mm

Q=〃x(A—0.2x0.2)=0.1x(l-0.04)=96kN

96xl()3

t>=80""〃

0.2x4x[T]

2、變形

A/=

2）扭轉(zhuǎn)單位長度的扭轉(zhuǎn)角：0=誓0=祟

對于變內(nèi)力、變截面的桿件應(yīng)分段計算變形，再求

和得變形；

3）彎曲：

撓曲線曲率與彎矩有以下關(guān)系—=^

P(x)EI

在小變形條件下?lián)锨€近似微分方程為義

利用積分法求彎曲變形時需注意確定積分常數(shù)的條件：撓曲線、轉(zhuǎn)角方程連續(xù)，滿足約

束條件。

例題11選擇圖示梁確定積分常數(shù)的條件為

BD

=

(A)vA—0,VB0?v°左=v【)右,

D左二9（）右，Vc=O,9c=0例題II圖

==

(B)VA0,VB0y。8=0,

VD左=VD右，°D左=0D右，Vc=0

(C)VA=F,、/K,VBS=VR/；,。B左=。B/i，

=

\'DAi=VD右,Vc0?°c=0

=

(D)vA—FA/K,vBTVB^?。D左=0D右,VDI—V|)Vc—0,。c=0

答案D

例題12圖示拉桿的外表面上有一斜線，當(dāng)拉

桿變形時，斜線將（）o/-----1------

（A）平動（B）轉(zhuǎn)動（C）不動（D）平動7------

加轉(zhuǎn)動/

例題12圖

答案D

例題13已知圖示桿1、2的E、A相同，橫梁AB的變形

不計，試求兩桿應(yīng)力比。

解：???Al2=/.N?=2N\cr2=2a,

例題14已知圖示桿1、2的￡、A相同，橫梁A8的變形不

計，a=3()°試求兩桿應(yīng)力比。

解：

“24、與

AI=-=2AI,

cos30V3

Al2=A/SZI/J

N?Jcos30_￡N、l

EA~EA

w=a業(yè)

2N2=3M

(J2=1.5。］

例題15在等直梁平面彎曲的撓曲線上，曲率(a)

最大值發(fā)生在下列何項的截面上？(b)1

(A)撓度最大(B)轉(zhuǎn)角最大

(C)彎矩最大(D)剪力最大

答案C

例題圖

例題15+圖示超靜定梁，錯誤的靜定基為15+

(A)圖(b)(B)圖(c)(C)圖(d)

(D)上圖均無錯誤

r\

答案：BB

例題16圖示梁的正確撓曲線大致形狀為(

答案B

例題17圖示梁的正確撓曲線大致形狀為()0

(A)(b)(d)(B)(b)(c)

(C)(a)(c)(D)(a)(d)

答案C

例題17圖

二、截面的幾何性質(zhì)

1、靜矩與形心

⑴靜矩

1=LydA=皿

、

S=LxydA=Axc

同?截面對不同軸的靜矩可能為正、負(fù)值或為零。

(2)形心

設(shè)截面形心。在任意參考坐標(biāo)系X。)，中的坐標(biāo)為我、

由上式可知：若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必通過截面形心；截面對任一形心軸的

靜矩為零。

2、慣性矩慣性積

（1）截面對x、y軸的慣性矩

（2）截面對坐標(biāo)原點0點的極慣性矩

夕

2dA=/v+I

（3）截面對x、y軸的慣性積

3、形心主慣性軸與形心主慣性矩

主軸：若截面圖形對任意一對正交坐標(biāo)軸（x、y）的慣性積友=0,則該對坐標(biāo)軸稱為主

慣性軸，簡稱主軸。若該對坐標(biāo)軸通過截面形心，則稱該對主軸為形心主軸。

主慣性矩：截面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。

形心主慣性矩：截而圖形對一對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。

形心主慣性矩是截面圖形對通過形心。點所有軸的慣性矩中的最大值（/〃*）和最小值

截面圖形對于過形心C點的任意一對直角坐標(biāo)軸晨y的兩個慣性矩之和為常數(shù)，即

4、平行移軸公式

=&+幾

=4+Ab?

5、慣性矩、慣性積的性質(zhì)

1）慣性矩、極慣性矩恒為正值。慣性積值可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。

2）若一對坐標(biāo)軸中有一軸為截面的對稱軸，則截面對這對坐標(biāo)軸的慣性積必為零；但截

面對某一對坐標(biāo)軸的慣性積為零，這對坐標(biāo)中卻不一定是截面的對稱軸。

（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最??；但其慣性積不一定最

（4）通過截面形心C,至少存在一對形心主軸。

（5）若截面有兩根對稱軸，此兩軸即為形心主軸。若截面有一根對稱軸，則該軸必為形

心主軸，另一形心主軸為通過截面形心且與該軸垂直的軸。

（6）若截面有三根（或以上）對稱軸時，則通過形心的任一根軸均為形心主軸，且形心

主慣矩均相等（如正方形截面等）。

重點：利用平行移軸公式計算慣性矩。注意必須以截面對形心軸的慣性廠

矩為基礎(chǔ)進(jìn)行計算。T———孫

例題18圖示矩形截面，Z軸過形心C,則該截面關(guān)于Z、Z1及J一打出―

Z2軸的慣性矩關(guān)系為（）oI

(A)Iz>IZl>IZ2(B)IZ2>Iz>I

例題18圖

(OIZ2>IZl>IZ(D)Iz,>IZ>I

答案：C

例題19圖示截面，其慣性矩的關(guān)系為

(A)IzI=IZ2(B)I21>I22

(0IZ2>Iz.(D)不能確定

例題19圖

答案：B

例題20在邊長為2a的正方形中挖去一個邊長為a的正

方形，如圖示，則該圖形對Z軸的慣性矩b為()。

(A)a74(B)a73(C)4a*/5(D)5a74

答案：D

例題20圖

例題21圓形截面如圖，其中C為形心，K為圓上不與形

心重合的任一點，則過C點和K點主軸的有幾對主軸？()0

(A)過C點有兩對正交的形心主軸，過K點有一對正交主軸

(B)過C點有無數(shù)對，過K點有一對

(C)過C點有無數(shù)對，過K點有兩對

(D)過C點和K點均有一對主軸

例題21圖

答案B

三、應(yīng)力狀態(tài)和強度理論

1、應(yīng)力狀態(tài)的概念

(1)一點處的應(yīng)力狀態(tài)

通過受力構(gòu)件內(nèi)部一點的所有斜截面上的應(yīng)力情況稱為該點處的應(yīng)力狀態(tài)。

(2)單元體

圍繞所研究點處切取的邊長為無窮小的正六面體，稱為單元體。

三對平面上的應(yīng)力均為直接已知或能通過計算得到的單元體，稱為原始單元體。

(3)主平面、主應(yīng)力及主單元體定義

剪應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面的法線方向稱為主方向，主平面上的正應(yīng)力稱為

主應(yīng)力。主應(yīng)力通常按代數(shù)值的大小，依次用O1,6與03表示，即2(73。

受力構(gòu)件內(nèi)任意一點均可找到三個互相正交的主平面和主應(yīng)力，由三對互相垂直的主平

面所構(gòu)成的單元體，稱為主單元體。

（4）應(yīng)力狀態(tài)的分類

1)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

2)平面應(yīng)力狀態(tài)（二向應(yīng)力狀態(tài)）：有二個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

3)空間應(yīng)力狀態(tài)（三向應(yīng)力狀態(tài)）：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

（1）任意斜截面上的應(yīng)力

0＞面上的正應(yīng)力6和剪應(yīng)力Q：

cr+-cr

--v---—:------:-cos2a-rsin2<z

22v

cr-cr

--v---sin2a+cos2a

2x

角a規(guī)定以x軸為始邊,逆時針轉(zhuǎn)向為正。

單元體的兩個互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和是一常量，剪應(yīng)力互等（剪應(yīng)力互等定律）。

（2）主平面主應(yīng)力

正應(yīng)力的極值即主應(yīng)力：

bmax,二巴十％±]+、

小」2一敢2J'

所得應(yīng)力極值與另一個為零的主應(yīng)力按大小排列，分別記為m,6與

主平面的方向角lan2a。=-一

巴一/

平面應(yīng)力狀態(tài)下有兩個主方向，其最大主應(yīng)力作用線所在的象限一定是兩相互垂直截面

上剪應(yīng)力箭頭所對應(yīng)的象限。

由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體。

（3）主剪應(yīng)力

主剪應(yīng)力即剪應(yīng)力的極值:

位于法線與①、6均成45。的斜截面上。

2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

（1）應(yīng)力圓

將斜截面應(yīng)力公式6和以中的參數(shù)2a消去，得:

廠%十%4-巴

十3

十

CTX<T

該方程為圓的方程，圓心坐標(biāo)為:~2~,0,圓的半徑為：R=

對于圖示單元體，應(yīng)力圓如下:

（3）二個特殊的應(yīng)力圓

1）單向拉伸（或壓縮）應(yīng)力圓

上圖（a）為的單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)單元體，應(yīng)力圓如圖（b）所示。從應(yīng)力圓圖可知剪應(yīng)力極值

在法線與x軸成±45。斜截面上，r45==rnux=cr/2,r^5O=rmin=-<y/2,相應(yīng)斜面的正應(yīng)力

=a_45o=62,如圖595（c）內(nèi)的斜單元體所示。

2)純剪剪應(yīng)力圓

如圖(a)為純剪剪應(yīng)力狀態(tài)單元體。純剪切的應(yīng)力圓如圖(b)所示，從單元體圖中很容易得

到：主應(yīng)力。[=-丐=7，第一主方向由x軸順時針轉(zhuǎn)45°。主單元體見圖(c)中的斜單元體。

[d^r)

，AL

/r

r)

(a)(b)(c)

3)等拉或等壓應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

圖(a)所示的雙向等拉應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力圓成為一個幾何點,對于圖(b)所示三向等拉應(yīng)

力狀態(tài)，應(yīng)力圓也如圖(c)所示。因此，對于等拉或等壓應(yīng)力狀態(tài)，具任意斜截面上的正應(yīng)力均為

]

AL/Z-L/

0c.約，0)

a-------°o—―/「\---------

/

(a)(b)(C)

常數(shù)。，剪應(yīng)力均為零。

例題22題101圖示四種應(yīng)力狀態(tài)中屬于單po

向應(yīng)力狀態(tài)的是()。，小」3T⑻卜^

(A)1L一打0

解：作應(yīng)力圓桿上>0

昌

T(D)1-2(

答案：D

-20十20

例題22圖

例題23三種平面應(yīng)力狀態(tài)如圖，他

們之間的關(guān)系是：

（A）全部等價（B）（a）與（b）等價

（C）（a）與（c）等價（D）都不等價

⑸（b）（0）

答案：C

例題24圖示受拉板，A點為凸起處的最高

點，A點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓有圖示四種可能，正

確的答案為（）o

答案B

(A)(B)(C)(D)

例題24圖

3、廣義胡克定律（記住公式）

對于各向同性材料，在G變形線彈性條件下，廣義胡克定律為:

平面應(yīng)力狀態(tài)下胡克定律:主應(yīng)力與主應(yīng)變間關(guān)系:

￡\=—[cr,-V(CT+<T)1

E23

八=—[0--^(<7+0-1)]

E23

與二汽3r3+%)]

主應(yīng)力6、6、6與主應(yīng)變￡1、￡2、￡3方向分別一致。

4、強度理論

記住四個強度理論的表達(dá)式和適用范圍

第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）：b⑷（脆性）

第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）：b?2=。1-卜（。2+。3）（脆性）

第三強度理論（最大剪應(yīng)力理論）：（塑性）

第四強度理論（最大形狀改變比能理論）（塑性）

=_%)2+(，_%)2+(%_2)2]

例題25根據(jù)構(gòu)件內(nèi)三點處

應(yīng)力狀態(tài)所畫應(yīng)力圓分別如圖

(a)、(b)、(c)所示,按第三強度理

論比較它們的危險程度，有()。

(a)(b)

(A)(a)最危險,其次為(b)例題25圖

(B)(a)最危險，(b)、(c)危險程度一樣(0(c)最危險，其次為(a)

(D)(c)最危險,其次為(b)

答案：A因A的剪應(yīng)力最大

五、組合變形

處理組合變形問題的基本方法是疊加法。對組合變形構(gòu)件的強度分析計算方法，可概括

為:

1)按引起的變形類型分解外力，通常是將荷載向桿件的軸線和形心主慣軸簡化，把組合

變形分解為幾個基本變形。

2)分別繪出各基本變形的內(nèi)力圖，確定危險截面位置，再根據(jù)各種變形應(yīng)力分布規(guī)律,

確定危險點。

3)分別計算危險點處各基本變形引起的應(yīng)力。

4)疊加危險點的應(yīng)力，疊加通常是在應(yīng)力狀態(tài)上的疊加。然后選擇適當(dāng)?shù)膹姸壤碚撨M(jìn)行

強度計算。

常見組合變形：斜彎曲拉(壓)彎組合彎扭組合

注意：圓軸在彎扭組合變形下，第三、第四強度理論

表達(dá)式：

2222

Oeq3=7cr+4r<[a]ae(/4=Ver+3r<[a]

彎扭組合變形應(yīng)力狀態(tài)

在上式中代入應(yīng)力計算公式，注意到圓軸抗扭截面模量WT是抗彎截面模量W的2倍。

用內(nèi)力表示的彎扭組合變形下的強度條件為

M2+0.75M；.

Lr

4g4-----------<o-

VV

例題26懸臂梁的截面如圖所示，C為形心，小圓圈為彎心位置，虛線表示垂直于軸線的

橫向力作用線方向。試問各梁發(fā)生什么變形？

??)(d)

例題26圖

解：(a)、(c)橫截面有兩對對稱軸，且對任一對對稱軸的慣性矩均相等，橫向力又過形心

(與彎心重合)，因此任意方向的橫向力均只引起平面彎曲。

(b)、(d)圖的橫向力雖然過彎曲中心，但與形心主相不平行，故是斜彎曲變形,

(e)圖的橫向力不通過彎曲中心，且與形心主軸不平行，故是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。

⑴圖的橫向力過彎曲中心，且與形心主軸平行，是平面彎曲變形。

例題27斜支梁AB如圖示，確定梁的變形，有()

(A)AB梁只發(fā)生彎曲變形(B)AC段發(fā)生彎曲變形，

CB段發(fā)生拉伸與彎曲組合變形

(0AC段發(fā)生壓縮與彎曲組合變形，BC段發(fā)生拉伸與

彎曲組合變形

(D)AC段發(fā)生壓縮與彎曲組合變形，BC段發(fā)生彎曲變

形

例題28圖示結(jié)構(gòu)中，桿的AC部分將發(fā)生的變形為

()。

(A)彎曲變形(B)壓彎變形

例題28圖

(C)拉彎變形(D)壓縮變形

答案C

例題29正方形受壓短柱如圖(A)所示，若將短柱中間部分挖去一槽，如圖(B)所示，則開

槽后柱的最大壓應(yīng)力比未開槽時增加（）。

（A）8倍（B）7倍（C）2倍（D）5倍

*截面核心簡介：

圍繞截面形心有一個封閉區(qū)域，當(dāng)偏心壓縮荷載作

用在作用在這個區(qū)域之內(nèi)時，截面上只出現(xiàn)壓應(yīng)力。該區(qū)

域稱為截面核心，它僅與橫截面的形狀與尺寸有關(guān)。

1）截面核心是一個圍繞形心的外凸封閉圖形。任意

形狀實心截面的核心，與外緣相同的空心截面的核心是

相似形。截面核心是僅與橫截面形狀與尺寸有關(guān)的量形。

（2）截面核心有如下規(guī)律：由直線構(gòu)成的截而邊界卜的一條直線，可確定相應(yīng)的核心邊

界的一個點，該點位于形心另一側(cè)，如矩形截面，由四條邊界可確定四個點，核心形狀是由

這四個點組成的菱形四邊形；外

凸多邊形截面的核心的邊數(shù)等

于截面的邊數(shù)。對于周邊有凹進(jìn)

的截面，不能用凹進(jìn)的邊線作為

中性軸來確定核心邊界。

例題30試確定圖示各截面的截面核心大致形狀。

例題30-1圖例題30-2圖

例題31下列截面的核心如圖中陰影所示。其中錯誤的截面核心為（）。

答案無H

(A)(B)(C)(D)

例題31圖

四、能量方法

1、基本變形桿件的應(yīng)變能

1N”

軸向拉壓應(yīng)變能為：U=-NAl=——

22EA

比能(應(yīng)變能密度)：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，用”表示。軸向拉壓桿的彈性比能:

<7'_Ec2

2F~~r

扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能U嗡,

2

fM

梁平面彎曲的應(yīng)變能為U=J—d.t

從以上公式可看出，在載荷相同情況下，桿件的剛度越大應(yīng)變能越小。

注意：應(yīng)變能不能簡單疊加

如圖，由Pl或P2單獨作用時任一截面X的彎矩為附或“2,

Pl和P2同時作用時有用=必+知2,應(yīng)變能

2

(M+M2)dxM}M2dx

2EIEI

上式右方第一、第二兩項分別表示幺、&單獨作用時的應(yīng)變能。所以X、2單獨作用

時的應(yīng)變能之和并不等于兩力同時作用時的應(yīng)變能。故一般說來，應(yīng)變能不能疊加。如果

構(gòu)件上有兩種載荷，其中任一種載荷在另一種載荷引起的位移上如不作功，則比兩種載荷

單獨作用時的應(yīng)變能可以疊加，

例題32兩根圓截面直桿材料相同，尺寸如圖，則兩

桿應(yīng)變能的比值（)o

16

(A)支」(B)Ua—__

%2%.7

137

(0-U-=-(D)=—

5,T313

MP

(a)(b)

.7id2.兀4d2

“2

解:“44-=7U1=44例題32圖

I+儲％/13NT

十一

2%2E4432s/

+且

7N2l

2E4A”2網(wǎng)32S/

u13

得---a=---

Ub7

（2）卡氏第二定理

卡氏（Castigliano）第二定理心=子彳

式中，P,為廣義力，6為表示產(chǎn),所在截面沿Pi方向的廣義位移。廣義力戶可以是一個力

或一個力偶，相應(yīng)的廣義位移是線位移或角位移。

用卡氏第二定理計算桿或結(jié)構(gòu)上任一點的廣義位移時，在該點必須作用有與廣義位移相

應(yīng)的廣義力。如果沒有這樣的廣義力，可在該點加上一個相應(yīng)的廣義力，在求導(dǎo)后，再令所

加的廣義力等于零。此法稱為附加力法。

由于應(yīng)變能是對截面位置x積分，卡氏第二定理是對廣義力尸，求導(dǎo)，二者互不干擾，故

可以先積分后求導(dǎo)，或先求導(dǎo)后積分。為計算簡便，可直接應(yīng)用下面公式計算位移

0=---------------CU

'JfEIM

若桿件上作用著多種內(nèi)力，可用下面公式計算廣義位移

N(x)3N(x)M(x)dM(x)

d.v

~EA--1GIp叫L~EI

例33抗彎剛度為E/的梁支于彈簧剛度為K的

兩個彈簧上，如圖所示。試用七氏定理求。點撓度。

解：⑴求支反力,RA=P，RB=2PO

（2）系統(tǒng)的應(yīng)變能

1）彈簧儲存的應(yīng)變