2023年江蘇中考數(shù)學大題專練：以三角形為載體的幾何壓軸問題（模擬30題）解析版

專題21以三角形為載體的幾何壓軸問題(最新模擬30題)

一、解答題

1.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?九年級統(tǒng)考階段練習)

(1)［基礎鞏固］如圖①，在三角形紙片ABC中，AACB=90°,將△4BC折疊，使點2與點C重合，折痕為

MN,則與的數(shù)量關系為；

(2)［思維提高］如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=10,將△ABC折疊，使點2與點C重合,

折痕為九W,求需的值；

DM

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片4BC中，AB=9,BC=6,N4CB=2乙4,將△4BC沿過頂點C的直

線折疊，使點8落在邊/C上的點/處，折痕為CM.求線段/C的長；

【答案】

(2肯

(3MC=y

【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理解決問題即可；

(2)利用相似三角形的性質求出所幺即可；

(3)證明推出器=察=等，由此即可解決問題.

ADDCAC

【詳解】(1)解：如圖①中，

c

圖①

??,A48C折疊，使點8與點C重合，折痕為

??.MTV垂直平分線段BC,

■■.CN=BN,

,:小NB=UCB=90。,

：.MmAC,

■：CN=BN,

故答案為AM=BM.

(2)如圖②中，

圖②

?；CA=CB=6,

???乙4=/JB,

由題意垂直平分線段BC,

??/B=AICB,

：/BCM=(A,

???乙B=^B,

:ABCMsABAC,

BC_BM

~BA~BC

6_BM

To——

：.BM=y：

：.AM=AB-BM=IO-T=￥

AM3-2

-5

--1-1-6

0M29

0-

5

(3)如圖③中,

A'C

F

A^~B

圖③T

由折疊的性質可知,CB=CB'=6,乙BCM=UCM,

■■■^ACB=2AA,

：.Z-BCM—Z-A,

乙B=LB,

:.△BCMFBAC,

BC_BM_CM

''~AB~~BC~~AC

6_BM

*'9一~6~

???瓦〃=4,

.'.AM=CM=5,

6_5

''^~~AC9

.??"=字

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線分線段

成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

2.(2023春?江蘇蘇州?九年級蘇州市振華中學校?？茧A段練習)如圖，在中，NB4C=90°

,AB=AC,〃是NC邊上的一點，連接作4P1BM于點尸，過點C作/C的垂線交4P的延長線于點

E.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AM=CE；

(2)如圖2,以為鄰邊作D4MBG,連接G￡交8C于點N,連接/N,求黑的值；

(3)如圖3,若加■是NC的中點，以力B,BM為鄰邊作口力GMB,連接GE交8c于點連接/N,經探究

發(fā)現(xiàn)寫請直接寫出器的值.

DCOAIN

【答案】(1)見解析;⑵篇=2；(3)華

【分析】(1)通過證△4BM與4CAE全等可以證得AM=CE；

(2)過點E作EF1CE交BC于F,通過證明△ABG與△ACE全等，證得AG=AE,通過△GBN三△EFN

證得GN=EN,最后由直角三角形的性質證得結論；

(3)延長GM交BC于點F,連接AF,在Rt^AFC中，由勾股定理求出AN的長，在&△AEG中，求出

EG的長即可得到答案.

【詳解】(1)證明

???AP1BM,???乙APB=90°

???乙ABP+乙BAP=90°

???ABAP+/.CAE=90°

???Z-CAE=Z.ABP

???CE1AC,???/.BAM=^ACE=90°

???AB=AC,???△ABM=△CAE(ASA)

???CE=AM

AA

(2)過點E作CE的垂線交BC于點產

??.Z,FEC=90°

vAB=AC,ABAC=90°

???乙ACB=乙ABC=45°

???匕ACE=90°,???LFCE=45°

???乙CFE=乙FCE=45°

??.CE=EF/EFN=135°

???四邊形ZMBG是平行四邊形

??.AM=BG,乙ABG=ABAC=90°

/.Z.GBN=^.ABG+乙ABC=135°

???乙GBN=乙EFN

由(1)得△ABMw△巴4E

??.AM=CE,BG=CE=EF

???乙BNG=乙FNE

??.△GBN=△EFN(AAS)

??.GN=EN

-AG//BM

???/,GAE=乙BPE=90°,AN=^GE.

GE「

—=2.

AN

(3)如圖，延長GM交BC于F,連接AF

G

A

圖3

在口48MG中，AB//GM,△ABM三△MG4

???乙4MG-4C=90。，

Z.GMC=AACE=90°,

??.GF//CE,

???AM=MC,

??.BF=CF,

???AB=AC,

???AF1BC,AF=卻，

?.?整=：,設CN=x,則BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

?-?在Rt△AFN中，AN=，AF2+FN2=5x,

在RtzXABM中，AB=^BC=￥X8x=4岳,AM=^AB=2V2x,

BM=7AB2+4M2=J（4岳）2+（2V2x）2=2屈x,

AG=BM=2/10%,

由（1）知△ZBM三△CZE,

??.△CAE=△MGA

AE=AG,

在Rt△AEG中，EG=VT4E2AG2=y[2AG=V2x2V10%=4V5%,

.竺_4后_4V5

'''AN~~^c5~,

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質、勾股

定理等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線，尋找全等三角形解決問題，屬于壓軸題.

3.（2023?江蘇?九年級專題練習）如圖，在中，zC=90°,BC=3,4。=4,點尸，。都是斜邊43

上的動點，點尸從8向/運動(不與點2重合)，點。從“向2運動，BP=AQ.點、D,E分別是點/,B

以。，P為對稱中心的對稱點，于。，交/C于點〃，當點E到達頂點/時，P,。同時停止運動,

設AP的長為x,的面積為八

(1)求證：ADHQsAABC；

(2)求y關于x的函數(shù)解析式；

(3)當x為何值時，為等腰三角形?

U比一"20＜久＜2

【答案】⑴證明見詳解⑵y與x之間的函數(shù)解析式為片號，%%*(3)當x的值為條

黑，3)時，△”￡＞￡是等腰三角形.

?LUJ11q

【分析】(1)4、。關于點。成中心對稱，HQ1AB,可得NDQH=NC=90。，DH=AH,根據(jù)等邊對等角可

得=可得△DHQSAABC；

(2)在RtA48C中根據(jù)勾股定理求出48=5,AQ=QD=BP=PE=x,分兩種情況，①如圖1,當0cx4時,

ED=5-4x,利用相似三角形性質求出Q吟,利用三角形面積可求y=紗E-QW=|(5-4%)--部+

擇.②如圖2,當土》注時，ED=4x-5,Q吟,利用三角形面積y=20E.QH=,4x—5)E=#—

揖即可；

O

(3)等腰三角形分兩類情況，D、E相遇前與相遇后，D、￡相遇前，當時，列方程"=5—4%；

D、E相遇后分三種情況當ED=EH時，在RtAQBE中根據(jù)勾股定理列方程HE?=QE2+QH2=(5-3%)2+

(1X)2=￡)E2=(5-4X)2,當?！?!汨時列方程4x—5=務，當EH=DH時,列方程3x-5=x,然后解方程即

可.

【詳解】證明(1)???/、。關于點。成中心對稱，HQ1AB,

.?ZDQH="=9O。，DH=AH,

：.Z.A=Z-ADH,

?,△DHQs/\ABC.

解（2）在RtAASC中+BC2=,42+32=5,3尸的長為x,AQ=BP=x，點D,E分別是點4,B

以。，P為對稱中心的對稱點，AQ=QD=BP=PE=xf

①如圖1,當0＜久＜3時，切=5—4%,

?:HQUB,

〃=乙。=90。，

?:乙QAH=^CAB,

???△QAHMCAB,

，絲=絲昵=空

ACCB143

3支

???QH=z

此時y=扣E.Q”=如_4%）?牛=-1%2+yx.

②如圖2,當*xw|時,

??旬=4%—5,QH=~,

此時y=紗￡.QH=|(4x-5)-y=|x2-^-x.

—15X-302<(cX7,<5-

82\4>

???y與x之間的函數(shù)解析式為y=15，57,5

--------X\-<X<-

8V42,

解：（3）等腰三角形分兩類情況，D、E相遇前與相遇后,

D、E相遇前，當。時，QD=x,QH=—,

:.DHfQH2+QD2=J停)+/=%,DE=5-4X,

.,-5-%=5L—4A%,

4

解得x=3

當ED=EH時,AE=5-BE=5-2x,QE=5-3x,QH=—,

在RtAQBE中，HE2=QE2+QH2=(5-3x)2+Qx)2=DE2=(5-4x)2,

解得x=擺;

B

當QE=I汨時,4%—5=曲,

4

解得比=*;

當￡由?！〞r，

??,HQ工ED,

-EQ=DQ,

'-'EQ=EB-QB=2x-(5-x)=3x-5,

???3x-5=x,

解得X等

當X的值為令，愕，黑，和寸，△/?￡是等腰三角形.

【點睛】本題考查軸對稱性質，三角形相似判定與性質，三角形面積，以及面積函數(shù)，等腰三角形判定，

一元方程及其解法，掌握軸對稱性質，三角形相似判定與性質，三角形面積，以及面積函數(shù)，等腰三角形

判定，一元方程及其解法，利用分類思想解題是解題關鍵.

4.(2023春?江蘇南通?九年級專題練習)如圖1,△力BC中，AB=AC,N4BC>45。，△BCD是以2C為斜

邊的等腰直角三角形.

⑴求乙1DB的度數(shù)；

(2)將48繞點/逆時針旋轉90。得到/G,連接BG,GD,GC.

①若4。=4,tanzCGD=提請在圖2中補全圖形，并求CD的長；

②過點C作CF1BG,垂足為R請寫出ED,FB,尸C之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

【答案】(1)135。

(2)①圖見解析，2魚；@FB=FC+V2FD,證明見解析

【分析】(1)證明三△4CD,可得=然后根據(jù)NBOC=90?？傻么鸢?；

(2)①根據(jù)題意補全圖形；由旋轉的性質可得△4BG為等腰直角三角形，然后證明△力BDs^GBC,求

出CG及NBCG,然后可得ADCG=90。，再根據(jù)正切的定義求解即可；

②在8尸上取一點H,使4HDF=90°,可得3、C、尸、。四點在以為直徑的圓上,然后證明△BDH三△CDF

(ASA),求出△￡>///為等腰直角三角形即可得出結論.

【詳解】(1)解：???△BCD是以8c為斜邊的等腰直角三角形，

.?.DB=DC,

5L-：AB=AC,AD=AD,

:.4ABDmAACD(SSS),

:./-ADB=/-ADC,

又?.2BDC=90。，

1

；ZADB=/.ADC=-x(360°-90°)=135°；

(2)①補全圖形如圖:

由旋轉可知△4BG為等腰直角三角形，

or,

=V2,"BG=45°,

AD

又：△BCD是等腰直角三角形，

=V2,4DBC=45°,

DL)

：.Z-ABD=Z.GBC,

???△ABD-AGBC,

：.CG=V2XD=4V2,^BCG=^ADB=135°,

又,:乙BCD=45°,

.-.ZDCG=90°,

cn1

-tan^CGD=—=^

C(Jz

■■.CD=2V2；

②FD,FB,PC的數(shù)量關系：FB=FC+也FD；

證明：在8尸上取一點〃，使NHDF=90。，貝IUBOH=ZTDF,

垂直3G,

."CFB=乙BDC=90°,

:.B、C、F、。四點在以8C為直徑的圓上，

...乙DBH=4FCD,

■：BD=CD,

：.△BDH^ACDF(ASA),

.-.BH=FC,DH=FD,

;.△￡)///為等腰直角三角形，

.-.HF=42FD,

:.FBFC+^2FD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質,

解直角三角形，四點共圓，圓周角定理等知識，能夠作出合適的輔助線是解題的關鍵.

5.(2023?江蘇揚州??？家荒?如圖1,R叱中，^4=90°,Zfi=45°,NC的角平分線交邊48于。點，

BD=42,

⑴請求出NC的長；

(2)如圖2,￡為。上的一個動點，AEVEF,ACVCF,￡尸交/C于G點，連接NR當￡點在CD間運動時,

請判斷黑的值是否為一個定值，如果是請求出具體的值，不是，請說明理由；

/1C,

(3)在(2)的條件下，若AE=EC,請求出△EGC的面積.

【答案】⑴/C=?+l；

(2荒的值為是一個定值，^=72+1；

⑶SZGEC=；

【分析】(1)作。"12C于"，由角平分線的性質得到40=。初，根據(jù)3。=魚，乙8=45。求出。朋=3河=1,

進而得到AC=AB=a+1；

(2)取/尸的中點為N,連接EN,CN,證得4E、C、尸四點共圓，推出乙4FE=4CD,進而證得

AAEF~ADAC,得至?。?/p>

JRA匕=—AU=V2+1

(3)由求得ZAFC=45°,得至UCF=AC=<2+1,求出CG=1,AG=&,易證AE=DE=EC,利用SAAEC=

手=苧，得至也

【詳解】(1)作。M12C于M,

???CD平分乙4C5,^DAC=90°,

:.AD=DM,

???BD=&,Z5=45°,

：.DM=BM=\,

,-.AD=DM=l,

又???。=90。，匕3=45。,

-.AC=AB=V2+1；

(2)取4r的中點為N,連接￡N,CN,

???乙4￡尸=乙4c歹=90。，

??.EN=CN=AN=NF,

???/、E、C、尸四點共圓,

山FE=UCD,

又,."AC=UEF=90。,

；?AAEF?ADAC,

(3)由第(2)問可知力、E、C、b四點共圓,

?：AE=EC,

：./.AFE=/-EFC,

-AACD=22.5°

,???乙AFE=^EFC=22.5。,

???々/。=45。,

■■.CF=AC=y/2+1,

又嘿=笠=&+l,

???CG=1,

:.AG=&,

?；AE=EC,

；/EAC=UCE,

■■■/.EAC+U)AE=^ACE+Z^DC=9QO,

?t-Z-ADE=Z.DAE,

：.AE=DE=EC,

：.SAAEC^^=苧,

11

1-,

.?.SAGEC^+1-

V24

【點睛】此題考查了角平分線的性質定理，四點共圓，圓周角定理，相似三角形的判定及性質，直角三角

形斜邊中線的性質，熟記各知識點并綜合應用是解題的關鍵.

6.（2023春?江蘇南通?九年級專題練習）旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可

以通過旋轉解決問題.如圖①，在四邊形/8CZ）中，AD=CD,^ABC=120°,^ADC=60°,AB=2,

BC=1.

【問題提出】

（1）如圖②，在圖①的基礎上連接2，由于2D=CD,所以可將aDCB繞點。順時針方向旋轉60。，得到

△DAB',則△的形狀是；

【嘗試解決】

（2）在（1）的條件下，求四邊形4BCD的面積；

【類比應用】

(3)如圖③，等邊aABC的邊長為2,△BDC是頂角NBDC=120。的等腰三角形，以。為頂點作一個60。的

角，角的兩邊分別交于點交AC于點、N,連接MN,求△2MN的周長.

【答案】(1)等邊三角形

(2呼

(3)4

【分析】(1)由旋轉的性質得出。Q，乙BDB，=60。,所以△8。夕是等邊三角形；

(2)求出等邊三角形的邊長為3,求出三角形8。9的面積即可；

(3)將△3?！袄@點。順時針方向旋轉120。，得到△DCP,則三△CDP,得出NBD=

乙DCP,乙MDB=LPDC,證明△MWO三△NPD,證得ZUAfiV的周長=/8+/C=4.

【詳解】(1)解：：將△￡>以繞點。順時針方向旋轉60°,得到△D48',

：.BD=B'D,ZBDB'=60°,

:.△BDB'是等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

(2)解：由(1)知，△SCr>^AS,AD,

...四邊形/BCD的面積=等邊三角形也)夕的面積，

,:BC=AB'=1,

：.BB'=AB+AB'=2+1=3,

:.S四邊形ABCD=SABDB.x3X等=竽；

(3)解：將繞點。順時針方向旋轉120°,得到△DCP

ABDM^ACDP,

:.MD=PD,CP=BM,NMBD=/DCP,ZMDB=ZPDC,

「△BDC是等腰三角形，且NADC=120°,

：.BD=CD,NDBC=NDCB=30°,

又；△NBC等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,

AZMBD=ZABC+ZDBC=90°,

同理可得/NCD=90°,

/PCD=ZNCD=ZMBD=90°,

/.ZDCN+ZDCP^1SO°,

:.N,C,尸三點共線，

■:/MDN=60°,

：.ZMDB+ZNDC^ZPDC+ZNDC^ZBDC-NMDN=60°,

即/Affi>N=NPDN=60°,

:.ANMD妾ANPD{SAS）,

：.MN=PN=NC+CP=NC+BM,

：.^AMNJW￥Z=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4.

故△/MN的周長為4.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了圖形的旋轉變換，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與

性質，類比思想等.熟練掌握旋轉的性質是解決問題的關鍵.

7.（2023春?江蘇南通?九年級專題練習）（1）如圖1,在四邊形ABCD中，NB=NC=90。，點E是邊BC上一

點，AB=EC,BE=CD,連接4E、DE.判斷△2ED的形狀，并說明理由；

（2）如圖2,在平面直角坐標系中，已知點4（0,1）,點C是x軸上的動點，線段C4繞著點C按順時針方

向旋轉90。至線段CB,連接B。、BA,

①求2點的運動軌跡解析式

②80+B4的最小值是.

【答案】（1）見詳解

（2）?y=x-l；②四

【分析】(1)根據(jù)已知條件證得△ABE三△ECD,即可證得△AED為等腰直角三角形;

(2)①根據(jù)(1)可知△A。。三△CDB,設8點坐標為(％,y),C點坐標為(m,0),可得x=m+l,y-m,

即點3的運動軌跡解析式為：y=x-l；

②作點。關于直線y=c-l的對稱點。1，連接入。1，交直線尸片1與點比，此時/、/、/三點共線時，BO+

B4值最小，求得。1坐標為(1,-1),根據(jù)勾股定理即可求得最小值.

【詳解】(1)△4ED為等腰直角三角形，理由如下，

在△4BE與△ECD中，

(AB=EC

?：］Z-B=乙C,

VBE=CD

：./\ABE=^ECD{SAS},

;.AE=DE,Z-BAE=Z.CED,

?：Z-BAE+ABEA=90°f

?"EZ+"ED=90。，

.?.乙4ED=90。，

.?.△HE。為等腰直角三角形；

(2)①作BDlx軸于點D,如圖所示，

由(1)得，AAOC=ACDB,

.-.AO=CD=1,CO=BD,

設8點坐標為(％,y),C點坐標為(m,0),

.,.%=m+l,y=m,

：.y=x-l,

???點2的運動軌跡解析式為：y=x-l；

②如圖所示，作點。關于直線y=x-l的對稱點。1，連接4。1，交直線y=x-l與點Bi，

止匕時。181=081，ABBi=AB1Bi=A01,

即4、。八/三點共線時，8。+84值最小，

???直線y=%-l垂直平分。。1，

.,.0G=00^=l,

.?.。1坐標為(1,-1),

??皿=/"2+6。12=，22+12=心

即：8。+員4的最小值為限

【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與全等三角形的綜合，主要是數(shù)量掌握“一線三垂直”模型以及“將軍飲

馬”模型.

8.(2023?江蘇?九年級專題練習)如圖，在等腰直角A42C中，"C5=90。，AC=BC,CD是中線，一個以

點。為頂點的45。角繞點。旋轉，使角的兩邊分別與NC、3c的延長線相交，交點分別為點E、F,DF馬

NC交于點M,DE與3c交于點M

圖1圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF.

(2)在乙紅中繞點D旋轉過程中：

①如圖2,求證：CD2=CE(F；

②若CE=6,CF=3,求DN的長.

【答案】(1)見解析

⑵①見解析；②DN=V1U

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質可得NDCF=NDCE=135。，然后證明△DCE三ADCF即可得出結論；

(2)①禾!J用三角形夕卜角的性質得出NCDF+NCFD=48CD=45。，ZCDF+ZCDE=45°,貝IJNCFD=NCDE,結

合NDCF=NDCE=135。，證明△CFDS^CDE,根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得結論；

②根據(jù)①中結論求出CD的長度，過點。作DP1BC于點P,貝I」。尸〃CE,DP=CP=*D=3,可證明

PND,從而得出PN的長度，運用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)證明：???在等腰直角△ABC中，4cB=90°,AC=BC,CD是中線，

.?.△ABC為等腰直角三角形，

.-.ZXCD=ZSCD=45°,AB=2CD,

ZDCF=ZOCE=135°,

在△DCF和△￡)￡1￡■中，

(CD=CD

\/-DCF=/.DCE,

ICF=CE

■.4DCF三△DCE(SAS),

；.DE=DF；

(2)①「4CDF+乙CFD=4BCD=45°,ZCDF+ZCD￡=45°,

???Z.CFD=Z-CDE,

???ADCF=^DCE=135°,

???ACFD?ACDE,

tCD_CF

''~CE~'CD'

?.CD2=CE-CF；

②???CE=6,CF=3f

：.CD=3y/2,

過點。作。尸IBC于點P,

E

圖2

貝！DP=CP=*D=3,

??.△CNE?/\PND,

.PN_PD_1

"'CN~'CE~2,

PN=；ICP=：IDP=1,

在RtADPN中，DN=y/DP2+PW2=V32+12=V1O.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形以及勾股定理,

熟練掌握全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

9.(2023春?江蘇南京?九年級南京市竹山中學校考階段練習)(1)［初步嘗試］如圖①，在三角形紙片ABC

中，乙4c3=90。，將A4BC折疊，使點3與點C重合，折痕為則與5M的數(shù)量關系為；

(2)［思考說理］如圖②，在三角形紙片N8C中，AC=BC=6,48=10,將八42。折疊，使點2與點C重

合，折痕為求需的值；

DM

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片48c中，AB=9,BC=6,UCB=2U,將A48C沿過頂點C的直

線折疊，使點3落在邊NC上的點⑶處，折痕為CM.

①求線段/C的長；

②若點。是邊NC的中點，點尸為線段。夕上的一個動點，將沿尸新折疊得到△4PM,點N的對應

PP

點為點4,4M與CP交于點R求研的取值范圍.

【答案】(1)AM=BM；(2)與；(3)(l)y;<^<|

【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

(2)利用相似三角形的性質求出8M,即可.

(3)①證明推出器=等=器，由此即可解決問題.②證明△「口，一△九田。推出鑒=笠，

/1D￡5CCf/3C1*1

因為CW=5,推出需=魯即可解決問題.

???△^8。折疊，使點8與點C重合，折痕為MN,

??.々W垂直平分線段BC,

：,CN=BN,

，：AINB=UCB=90。,

BN_BM

'*'CW-'AM"

,:CN=BN,

:.AM=BM.

故答案為：AM—BM.

(2)解：如圖②中，

c

?；CA=CB=6,

-'-Z-A—Z-B,

由題意得：垂直平分線段5C,

:.BM=CM,

??/B="CB,

：./-BCM=Z.A,

???乙B=(B,

???△BCM?ABAC,

BC_BM

6BM

''To一~6~f

：.AM=AB-BM=10-y=y,

AM等16

?,?前=?一

(3)解：①如圖③中，

由折疊的性質可知，CB=CB，=6,乙BCM=UCM,

“C5=2"

?"CM=乙4cM=乙4,

?:乙B=CB,

:?△BCMFBAC,

.BC_BM_CM

''~AB~~BC~~AC9

6_BM

**,9一~6~f

：.AM=CM=5,

65

??5—~ACJ

「15

.'.AC=—.

圖③-I

?:小=Z.A'=Z-MCFfZ-PFA'=/-MFC,PA=PA',

??.△PFA'-△MFC,

PF_PA'

"FM-CM，

,:CM=5,

FM5

???點尸在線段。方上運動，CM=OC=S4/=與一6=*

若，

3,PR,3

,—v----V-

*,10-FM-V

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線

分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

10.（2023秋?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小

覆蓋圓.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，線段AB=3,則線段4B的最小覆蓋圓的半徑為；

(2)如圖②，RtaABC中，NA=90。，AB=?AC=3a,請用尺規(guī)作圖，作出Rt△4BC的最小覆蓋圓(保

留作圖痕跡，不寫作法).此最小覆蓋圓的半徑為；

(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,則矩形2BCD的最小覆蓋圓的半徑為；若用兩個等

圓完全覆蓋該矩形A8CD,那么這兩個等圓的最小半徑為.

【答案】(嚅

(2)作圖見解析，|

(3浮,等

【分析】(1)根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，當4B為圓的直徑時，此圓即為最小覆蓋圓；

(2)根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，直角三角形的最小覆蓋圓即為該直角三角形的外接圓，據(jù)此求解即可；

(3)根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，矩形2BCD的外接圓即為最小覆蓋圓，如圖③所示，連接AC、BD交于

0,則點。即為矩形ABCD的外接圓圓心，利用勾股定理求出4C的長即可得到答案；如圖④所示，分別取

AD,BC的中點G,H,連接4”,BG交于E,連接CG、DH交于F,連接G”，則四邊形力BHG,四邊形CDG”

都是矩形，同理可得圓￡和圓尸分別是四邊形4BHG,四邊形CDGH的最小覆蓋圓，同理求出4E即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，?./8W071+OB,

：.0A<O'A9為AB中點，)，

???,當4B為圓的直徑時，此圓即為最小覆蓋圓，

.??線段4B的最小覆蓋圓的半徑為=*

故答案為：

圖①

(2)解：由題意可知Rt^ABC的最小覆蓋圓即為RtZ\48C的外接圓,

作線段BC的垂直平分線交BC于。，點D即為最小覆蓋圓圓心，

?.?在RtZi2BC中，"=90。，AB=y/7,AC=3小

■-BC=yjAB2+AC2=5,

???*BC=|，

■?.Rt△ABC最小覆蓋圓的半徑為:

故答案為：|；

圖②

(3)解：由題意得，矩形4BCD的外接圓即為最小覆蓋圓,

如圖③所示，連接AC、BD交于。，

?.?四邊形ABCD是矩形，

：.0A=OB=OC=OD,

???點0即為矩形ABC。的外接圓圓心，

-：AB=3,BC=5,AABC=90°,

■■■AC=7AB2+BC2=V34.

.M=夕。=等

矩形4BCD的最小覆蓋圓半徑為亨；

D

圖③

如圖④所示，分別取力D,BC的中點G,H,連接4”,BG交于E,連接CG、DH交于F,連接GH,則四邊形

ABHG,四邊形CDGH都是矩形,

同理可得圓￡和圓尸分別是四邊形四邊形CDGH的最小覆蓋圓,

在Rt△力中，AB=3,BH=|BC=|,AABH=90°,

.■.AH=7AB2+BH2=殍,

：.AE=\AH=^,

??.這兩個等圓的最小半徑為縹,

4

故答案為：綏華.

【點睛】本題主要考查了三角形外接圓以及四邊形的外接圓的相關知識，矩形的性質，勾股定理，正確理

解最小覆蓋圓的定義是解題的關鍵.

11.（2023秋?江蘇泰州?九年級校聯(lián)考期末）如圖1,在等邊△4BC中，點D,￡分別在48,BC上，且

BD=CE,連接CD,AE交于點M,將力E繞著點4順時針旋轉60。得到2F,連接EF.

圖1圖2

⑴①A4EF=°.

②求證：EFWCD.

(2)如圖2,連接DM若DEIIZC,求證：DE2=DM?DC.

【答案】⑴①60；②見解析

(2)見解析

【分析】(1)①根據(jù)旋轉的性質和等邊三角形的判定得出△4”為等邊三角形，即可得出乙4EF的性質.

②利用SAS證出△ACEM4CBD,得出=再利用三角形外角的性質得出

乙CME=Z.CAE+ACD=60°,再利用平行線的判定即可.

(2)利用=得出比例式即可.

【詳解】(1)解：①???將/E繞著點/順時針旋轉60。得到4F,

：.AE=AF,Z,EAF=60°

???△/E尸是等邊三角形，

?ZEF=60°,

故答案為：60；

②證明：???△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC,AACE==60°.

在△ACE和中，

(AC=BC

\z-ACE=/-CBD

ICE=BD

AACE=ACBD(SAS),

：.^BCD=/_CAE,^BCD+^ACD=60°,

.-.ACME=Z.CAE+ACD=60°.

-Z-AEF=60°

：./LAEF="ME,

.-.EFWCD.

(2)證明：?.?QE||4C,

"DEM=/.CAM.

由(1)知Z_5CD=/CAE,

??/DEM=乙DCE.

-：Z-MDE=乙EDC,

??.△DMEDEC,

DE_DM

,?茄—"5p

.-.DE2=DM-DC.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質和判定，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判

定和性質等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

12.(2023秋?江蘇泰州?九年級校考期末)已知：在正方形力BCD中，點E、F分別是C8、CD延長線上的點,

SLBE=DF,連接ZE、AF.DE、DE交于點M.

(1)如圖1,當E、4、F在一直線上時，求證：點M為ED中點;

(2)如圖2,當力FIIED,求證：AM2=AB-BM.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接AC,根據(jù)正方形的性質得到=NBEM=NBCD=90。，得出△4DM三△BEM,根

據(jù)全等三角形的判定和性質即可得DM=EM；

(2)根據(jù)正方形的性質得到ND4M=NEBM=90。，AD=AB,根據(jù)相似三角形的性質得到需=黑，根據(jù)

DMDC,

已知條件得到四邊形AMD尸是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到4M=DF,等量代換得到=

于是得到結論.

【詳解】(1)證明：連接AC,???四邊形ABC。是正方形，

.-.ADAM=ABEM=^BCD=90°,^BCA=^DCA=4509AB=BC=CD=DA,

-BE=DF,；.CE=CF,

=/F=45。,

:.BE—BA—AD,

在△4DM和ABEM中,

（Z-DAM=乙EBM

]/LAMD=Z.BME,

IAD=BE

△ADM=△BEM,

；,DM=EM,即點M為EO中點

圖1

（2）證明：???四邊形/BCD是正方形,

.-.Z.DAM=乙EBM=90°,AD=AB,

AADM~ABEM,

AM_AD

-AM\\DFfAF\\DE,

???四邊形/MDF是平行四邊形，

.'.AM=DF,

'.'BE=DF,

：.AM=BE,

AM_AB

圖2

【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，相似三角形的

性質與判定，熟練掌握以上知識并運用是解題的關鍵.

13.（2023春?江蘇?九年級專題練習）【模型建立】（1）如圖1,在等邊△ABC中，點。、E分別在BC、AC

邊上，^ADE=60°,求證：AB-CE=BD-DC；

【模型應用】（2）如圖2,在RtZkABC中，Z.BAC=90°,NB=60。，4D18C于點。，點￡在AC邊上，

。F

4E=4。，點尸在DC邊上，AEFD=60°,則定的值為；

【模型拓展】（3）如圖3,在鈍角△A8C中，〃BC=60。，點。、E分別在BC、AC邊上，

^DAE=^ADE=60°,若AB=5,CE=6,求DC的長.

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）DC=9

【分析】（1）利用等邊三角形的性質、三角形內角和定理、相似三角形的判定與性質解答即可；

（2）先證明△ZDE為等邊三角形，進一步得到DE=EC,△DER是直角三角形，貝！J。F=2EF,再證得

EF=FC,則。尸=2>C,得到答案；

（3）在。C上截取連接EF,先證明△54。三△FDE（SAS）,再證明△EFC?△DEC,利用相似三

角形的性質求得CF=4,即可得到答案.

【詳解】（1）證明：???△ABC是等邊三角形，

???乙48。=乙4cB=60。，

.?2ADE=60。,

：.Z-ABC=乙ADE,

,：Z.ADC=Z-ADE+乙CDE=Z.ABC+乙BAD,

：.Z-CDE=乙BAD,

AABD~4DCE,

AB_BD

'''DC~~CE'

：.AB,CE=BD,DC；

（2）解：??2BZC=90。，ZB=6O°,

.4=30。，

vzB=60°,ADIBC,

?44O=30。,

.-.ADAE=60°,

,：AE=AD,

??.△ADE為等邊三角形，

.,.DE=AD=AE,Z-ADE=乙AED=60°,

-AAED=ZC+乙EDC=60°,

.-.ZEDC=ZC=3O°,

：.DE=EC,

??ZEFD=60°,

"DEF=180°-乙EFD一乙EDC=90°,

??.△OEF是直角三角形，

：,DF=2EF,

"DEF=Z-C+Z-FEC=60°,

.?."EC="=30。，

：.EF=FC,

：.DF=2FC,

即冷2,

故答案為：2

(3)在DC上截取=連接EF,如圖3,

圖3

"DAE=Z.ADE=60°,

.-.ADAE=/.ADE=^AED=60°,

???△ADE是等邊三角形，

.,.AD=DEf

???乙4BC=60。，AADE=60°,

"ADB+乙BAD=120°,乙ADB+乙EDF=120°,

：.Z-BAD=Z-EDF,

在△BAD和△尸DE中，

（BA=DF

］乙BAD=乙FDE

IAD=DE

A^D=AFDE（SAS）,

."B=乙EFD=60°,

.-.ZEFC=120°,

-Z.AED=60°,

.?ZDEC=120。，

"EFC=乙DEC,

vzC=Z.C,

??.△EFCDEC,

EC_CF

,?比一訪‘

6_CF

‘5+"-~6~f

：.CF2+5"—36=0,

解得CF=4或CF=-9（不合題意，舍去），

??.CF=4,

DC=Z）F+CF=5+4=9.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形內角和定理、直角三角

形的性質、含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質和相似三角形的判定與性質是解題的

關鍵.

14.（2023秋?江蘇泰州?九年級泰州市第二中學附屬初中?？计谀?）如圖1,D、E為等邊△ZBC中BC邊

所在直線上兩點，ACME=120。，求證：XABDsXECA；

（2）中，^DAE=120°,請用不含刻度的直尺和圓規(guī)在DE上求作兩點仄C,點B在點C的左側，使

得△ABC為等邊三角形；

（3）在（1）的條件下，”為BC邊上一點，過“作"用兇。交延長線于點F,HGII4E交AC延長線于點G,若

up

AB=6,BD=a,^HAE=60°,求去的值.（用含有a的代數(shù)式表示）

AAA

【答案】⑴見解析；（2）見解析；（3）

【分析】《）根據(jù)等邊三角形的性質可得423。=乙4廢=120。,再由4口45=120。，可得4比4。+4。15=60。,

從而得到ND=NC4E,即可；

（2）作AB4D=NE/a4E=ND,分別交0E于點2,C,即可；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質以及N/ME=60。，=AGAH,AFAH=^CAE,再由HFII4D,可得

4F=ZBAD,再由△/^0“△￡1乙4,可得CE=至，NF=NE,可證得△4F"S△AEC,從而得到瞿=瞿,

aCcAc

同理△aGHsaADB,可得黑=*，從而得到黑=噂，即可求解.

DUADDUCC

【詳解】（1）證明：???△ABC是等邊三角形，

：.^LABC=乙ACB=ABAC=60°,

：.AABD=A.ACE=120°f

：.Z-D+乙BAD=60°,

?SAE=120。，

.-.^BAD+Z.CAE=/-DAE-A.BAC=60°,

；/D=Z.CAE,

.--AABD-AECA；

（2）解：如圖，△ABC即為所求；

理由：根據(jù)作圖得：乙BAD=^E,乙CAE=^D,

.--AABD-AECA,

：.Z-ABD=乙4cM

：.Z.ABC=Z-ACB,

?.2D4E=120。，

"D+ZE=z￡)+乙BAD=60°,z￡)+ZE=ZE+Z.CAE=60°,

^^ABC=4。+乙BAD=60°,4ACB=ZE+Z,CAE=60°,

：./-ABC=乙ACB=60°,

：.Z-BAC=/.ABC=/-ACB=60°,

??.△ZBC是等邊三角形；

(3)???△ABC是等邊三角形，

?44C=60。，AB=AC=6f

-Z.HAE=60°,ADAE=120°,

"DAH=LEAH=Z.BAC=60°,

：.￡.BAD=AGAH^FAH=Z.CAE,

-HFWAD,

??zF=Z-BAD,

由(1)得：△AB"Z^ECA,

嘿=,，/.BAD=乙E/D=乙EAC,

*=也即09=返，

：.Z.F=乙E,

AAFH-AAECf

FH_AH

：'~CE一就‘

同理△ZG”?△ZDB,

GH_AH

：'~BD-~ABJ

GH_FH

：'~BD-CF,

HFCE—36

----=----=_2_=---

2

HGBDaa,

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判

定和性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

15.(2023?江蘇泰州?九年級?？计谀?如圖1,在等邊△ABC中，點。，￡分別在48,BC上，且=CE,

連接CD,2E交于點將/E繞著點/順時針旋轉60。得到2F,連接EF.

⑴①=°；

②求證：EF||CD.

(2)如圖2,連接DE,若DEII4C,求證：DE2=DM-DC.

【答案】⑴①60；②見解析

(2)見解析

【分析】(1)①根據(jù)旋轉的性質證明是等邊三角形即可；

②先證