2024-2025學(xué)年吉林省長春市高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

考生注意：

1.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第四章4.4.2結(jié)束.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.命題“”《（T1）,Y+2xWl”的否定是（）

A.1c任x2+2x<1B.任（一1,1）,x2+2x>l

22

C.Vxe（-l,l）,x+2x>1D.Vxe（-l,l）,x+2x>1

【答案】C

【解析】

【分析】由命題否定的定義即可得解.

【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故命題“女4-1,1）,必+2%<1”的否定是

1,1）,x2+2x>1

故選：C.

2.已知集合M=x->l,xeN,則/的子集的個(gè)數(shù)是（）

x+

A.15B.8C.7D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閤eN+，所以由』>l=5>xnx<5nM={l,2,3,4},

所以"的子集的個(gè)數(shù)是24=16,

故選：D

3.若函數(shù)〃3x-1）的定義域?yàn)槿?1；則函數(shù)〃2x）的定義域?yàn)椋?/p>

A.(0,1)B.(—1)C.(-1,1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可得到答案.

【詳解】令f=3x-1,則/=3x-le（O,2）,

則0<2x<2,解得0<x<l,即定義域?yàn)椋ā恪梗?

故選：A.

4.設(shè)。=3°6/=1。8百6,。=111（1113）,則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)將a,b,。分別與1與3比較即可.

blo6lo36lo

【詳解】解：???l<a=3°5<3，=gv3=§3>g327=3,

c=ln(ln3)<l,:.b>a>c.

故選：B.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可.

【詳解】因?yàn)?(X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱./(-x)=1~-=-/W-

3+3

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，即/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)?x>0,3'+3-x>0-

所以/(切=三方7〉0,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(I)==—,/(2)=—=—</(I)，

3+3-1109+3941

所以/(X)在(0,+8)上并不單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

6.聲強(qiáng)級(jí)(單位：dB)由公式乙=10愴［m\］給出，其中/為聲強(qiáng)(單位：W/m2).某班級(jí)為規(guī)范同

學(xué)在公共場所說話的文明禮儀，開展了“不敢高聲語，恐驚讀書人”主題活動(dòng)，要求課下同學(xué)之間交流時(shí)，

每人的聲強(qiáng)級(jí)不超過40dB.現(xiàn)已知3位同學(xué)課間交流時(shí)，每人的聲強(qiáng)分別為SxlO/w/n?,

10-8W/m212xlO-9W/m2)則這3人中達(dá)到班級(jí)要求的人數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)所給聲強(qiáng)級(jí)公式計(jì)算聲強(qiáng)級(jí)不超過40dB的聲強(qiáng)，即可求解.

【詳解】依題意，Z^lOlgf—|<40,

A/<10-8-

故聲強(qiáng)為lOTw/m?，2xlO-9W/m2的兩人達(dá)到要求，

故選：C

(l-2a)x+2a,x<0

7.已知/(x)=Jl*是xeR上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是()

-(a+1),x>0

A.(0,1)B.(1,1]C.(jl)D.叫

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，轉(zhuǎn)化求解。的范圍即可.

(l-2a)x+2a,x<0

【詳解】要使函數(shù)/(x)='l,z八是R上的增函數(shù)，

-(a+1),x...O

1—2a〉0

需《a+l>l解得0<a”-,

4

2?！眫

I2

故選：D.

8.“高斯函數(shù)”為y=[x],其中[可表示不超過龍的最大整數(shù)，例如：[-2.1]=—3,[3』=3.已知函

數(shù)1|(3—[x]),xe[0,2),則不等式的解集為()

B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先將/(%)=n一1(3-3),xe[0,2)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分類解即可.

【詳解】當(dāng)xe[0,l)時(shí)，[x]=0,%<1,此時(shí)〃x)=3(l—x)=3—3x,

當(dāng)xe[l,2)時(shí)，[x]=l,%>1,此時(shí)/(%)=2@-1)=2%一2,

若/(x)Wx,

33

當(dāng)xe[0,l)時(shí)，/(x)=3-3x<x,得故xe—,1

當(dāng)xe[l,2)時(shí)，f(x)=2x-2<x,得x<2,故xe[l,2),

所以/(x)〈x得解集為1,2j,

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知命題P：X2_4X+3<0,那么命題。成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.x<-lB.1<x<2C.x>3D.2<x<3

【答案】BD

【解析】

【分析】解出不等式，再根據(jù)充分不必要的條件的判定即可得到答案.

【詳解】X2-4X+3<0,解得1<X<3,設(shè)幺={劉1<%<3}

則命題P成立的充分不必要條件是集合A的真子集，則BD選項(xiàng)符合題意.

故選：BD.

10.下列說法正確的有（）

A.若x<,，則2x+—3—的最小值是3

22x-l

B若a>6>0,ab=1,則—<aH—

.rb

C.若一2<a+Z?<4,2<2a-b<8,貝!I—4<6<2

1114

D.若a>0,b>0,—+—=1,則——+——的最小值是4

aba-\b-\

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解AD,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解BC.

【詳解】對(duì)于A,由題設(shè)2x—1<0,則

2x+—^=-++l<-2.（l-2x）x^^+l=-l,當(dāng)且僅當(dāng)1—2x=l,即x=0時(shí)等

2x-lLl-2xjVv'l-2x

號(hào)成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閍b=1,a>6>0,所以a>l>6>0,貝—=2a>2,—=------<—,所以

b2"a-2a2

b1

—<?+->B正確；

2"b

對(duì)于C,'：2<2a-b<S,A-8<b-1a<-2,,：-2<a+b<4,：.-4<2a+2b<8,

-S<b-2a<-2

???一12<36<6：.-4<b<2,故C正確;

—4<2Q+2b<8

14b+4a-57,

對(duì)于D,由題設(shè)=〃+而7+T―7=-7~~7~~^=6+4yl。—5,

a-1b-1ab-ya+bj^X

f11Ah4〃f/iQ

又6+4Q=0+4Q)X-+-=-+—+5>2J-----+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2〃=3時(shí)等號(hào)成立，

yab)abNab

14

所以——+——>4,D正確.

a-1b-1

故選:BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=log〃(l-x)+log“(3+x)(a>0且a/l)在定義域內(nèi)存在最大值，且最大值為

m21

2,g(x)='x'~,若對(duì)任意再6,存在乙式-1』，使得〃芭)泊色)，則實(shí)數(shù)加的取值

可以是()

A.-1B.0C.log27D.3

【答案】ABC

【解析】

【分析】先求出/(x)=log21(x+l)2+4,得到—l,g時(shí)，y(x)e[log27-2,2].

再由題意得到log27-2…機(jī)-2,即可求出加的范圍，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得到正確答案.

【詳解】/(x)定義域?yàn)?—3,1).

22

/(X)=log。(1—x)+log0(3+X)=logfl(-X-2x+3)=logfl-(x+l)+4

由題意知x=-l時(shí)，/(x)=2,即log“4=2,.,.a=2.

此時(shí)/(x)=log2-(x+1)2+4,

XG-l,g時(shí)，/(x)e[log27-2,2].

?」g(x)=掰一菽，：.xe[-1,1]時(shí)，g(x)min=m-2,由log?7—2..機(jī)一2得相,，log?7

對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，可以選:ABC.

故答案為：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(》)=/-2+1(0＜。＜1)的圖象恒過定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

【答案】(2,2)

【解析】

【分析】根據(jù)X-2=0,即可求解x=2,代入即可得縱坐標(biāo).

【詳解】令X—2=0,則x=2,故〃2)=a°+l=2,因此尸(2,2),

故答案為：(2,2)

13.若塞函數(shù)的圖象過點(diǎn)1-4,-；］,則它在［1,4］上的最小值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】先求出解析式/(x)=L利用單調(diào)性求出/(X)在［1,4］上的最小值.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)=

因?yàn)槿瘮?shù)的圖像過點(diǎn)1—4,—；］,所以/(_"=(—4『=—；,解得：?=-1.

所以/(力=廣1=’.

所以/(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，

所以/⑴在［1,4］上的最小值為/(4)=；.

故答案為：—

4

14.若集合｛xlx>0J(x)=/(f)｝中恰有左個(gè)元素，則稱函數(shù)/(x)是“左階準(zhǔn)偶函數(shù)”.已知函數(shù)

/、-3x+2,xVa

/(x)=｛c2.是“2階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則°的取值范圍是

2x+3,X>(2

恪案】陷

【解析】

【分析】根據(jù)題意分類討論，。<0時(shí)，其中/(x)=2x2+3(x〉a)有部分具有偶函數(shù)性質(zhì)，不符合題意;

a20時(shí)，根據(jù)分段函數(shù)的解析式通過方程/(》)=/(一x)(x>0)的解，確定a的范圍.

/、-3x+2,xVa

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(》)=｛、2,是“2階準(zhǔn)偶函數(shù)”，

2x+3,x>a

則集合｛x|x〉OJ(x)=/(-x)｝中恰有2個(gè)元素，

八/、f-3x+2,x<a.

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/(x)=L2.一段部分為v=2x2+3,x〉a,

2x+3,x>a'

注意到函數(shù)y=2/+3本身具有偶函數(shù)性質(zhì),

故集合｛x|x〉OJ(x)=/(-x)｝中不止有兩個(gè)元素；

當(dāng)Q>0時(shí)，根據(jù)“2階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得/(')的可能取值為212+3或-3x+2,

/(一%)為3x+2,3x+2=-3x+2,故x=0,方程無解，

當(dāng)2/+3=3%+2,解得％=工或x=1,

2

故要使得集合同?0J⑴=/(-%)｝中恰有2個(gè)元素,

則需要滿足ci<—，即0<。<一,

22

-3x+2,x<0

當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(》)=</(x)的取值為2/+3,/(-x)為3x+2,

2x2+3,x〉0'

根據(jù)題意得：2/+3=3x+2,

解得或x=l,滿足恰有兩個(gè)元素，故a=0滿足條件.

2

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是0,1j.

故答案為：0,—.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)若3"=5'=15，求—1■丁的值；

ab

2

(2)求值：(27,+(炮5)2+炮2火炮50—|3-兀|+6%

【答案】⑴5；(2)14-71

【解析】

【分析】(1)由指對(duì)互化求出。和6,再結(jié)合換底公式即可求解；

(2)考慮將lg2xlg50轉(zhuǎn)化為(1-Ig5)x(l+lg5),進(jìn)而得解.

1111

【詳解】(1)因?yàn)?"=5,=15，所以。=logs15/=logs15,-=----=1----K，

alog315blog515

55(11)

則—+[=5177+177=5(logi53+logi55)=5logi5(3X5)=5；

ab^log315logs15J

22710

(2)(27)3+(lg5y+lg2xlg50-|3-7i|+l=(33)3+(lg5)-+lgyxlg(10x5)-7i+3+l

=32+(lg5)2+(l-lg5)x(l+lg5)-7r+4=13-7r+(lg5)2+l-(lg5)2=14-7r.

16.已知集合/={xIgWx<2},B={x\2m-l<x<m+l1.

(I)若〃z=g,求zn(?8)；

(2)若“xwZ”是“xeB”的必要條件，求實(shí)數(shù)切的取值范圍.

【答案】(1)|x||<x<2!

(2)]祖耳三加(1或機(jī))21

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，直接由集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由條件可得然后分8=0與3/0討論，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=g時(shí)，B=|x|0<x<-|j,

Q8={》|》<0或》〉"1},

則An(Q5)={xI<x<2].

【小問2詳解】

因?yàn)?xe是“xe8”的必要條件，則87/,

當(dāng)8=0時(shí)，則加+1<2m-1,即加〉2；

m+1>2m—1

13

當(dāng)時(shí)，,解得一W加<1,

24

m+l<2

綜上所述，加的取值范圍為卜i機(jī)(i或機(jī)

17.已知/(x)=ln(e*+1)-"是偶函數(shù)，g(x)=er-e-x

(1)求a的值；

(2)若不等式g(/(x))〉g(a-x)在［1,+⑹上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)

2

(2)m<ln(e+l)+^

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求a的值；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式g(/(x))>g(m-x)在［l,+oo)上恒成立，轉(zhuǎn)化為加</(x)+x在

［1,+R)上恒成立，設(shè)〃(x)=/(x)+x,求出其最小值，從而得出結(jié)果.

【小問1詳解】

/(x)的定義域是R,因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以=恒成立，

所以ln(eT+l)+ax=ln(e*+1)—ax,

即In(e*+1)-x+ax=In(e*+1)—ax,

所以(2a—l)x=O恒成立，

所以a=一；

2

【小問2詳解】

g(x)=ex-e-x=ex--\,xeR,

因?yàn)閥=e，是增函數(shù)，y=±是減函數(shù)，所以g(x)=e*—々是增函數(shù)，

ee

所以不等式g(/(x))〉g(機(jī)-X)等價(jià)于/(X)〉加一X,

所以加<y(x)+x在［i,+oo)上恒成立,

設(shè)〃(%)=f(x)+x=ln(el+l)+-xXGR,

)2

因?yàn)榇?ln(e*+l)是增函數(shù)，y=是增函數(shù),

所以力⑴=仙⑹+l)+gx是增函數(shù)，

所以當(dāng)x2l時(shí)，A(x)mjn=/?(l)=ln(e+l)+^-,

所以機(jī)<ln(e+l)+；.

18.2024年8月16日，商務(wù)部等7部門發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步做好汽車以舊換新工作的通知》.根據(jù)通知，對(duì)

符合《汽車以舊換新補(bǔ)貼實(shí)施細(xì)則》規(guī)定，報(bào)廢舊車并購買新車的個(gè)人消費(fèi)者，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)由購買新能源乘

用車補(bǔ)1萬元、購買燃油乘用車補(bǔ)7000元，分別提高至2萬元和1.5萬元，某新能源汽車配件公司為擴(kuò)大

生產(chǎn)，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x(xeN*)百件，

需另投入成本%(x)萬元，且0<x<45時(shí)，沙(%)=3爐+260x；當(dāng)x?45時(shí)，

4900

FF(x)=501x+----------4950,由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價(jià)為5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)

x+20

年能全部銷售完.

(1)分別寫出04x<45與x?45時(shí)，年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百件)的關(guān)系式(利潤=銷售收入-

成本)；

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

【答案】(1)答案見解析；

(2)年產(chǎn)量為50百件時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是2830萬元

【解析】

【分析】(1)結(jié)合題意，分04x<45和45時(shí)利用利潤=銷售收入-成本求出關(guān)系式即可；

(2)當(dāng)0<x<45時(shí)，由二次函數(shù)求出最值，當(dāng)x?45時(shí)，由基本不等式求出最值，再確定結(jié)果即可；

【小問1詳解】

由題意可得當(dāng)0Wx<45時(shí)，j=500x-3x2-260%-2000=-3x2+240x-2000，

49004900

當(dāng)x245時(shí)，y=500x-(50lx+-4950)-2000=2950一(x+,

-x+20x+20

【小問2詳解】

由（1）得04x<45時(shí)，j=-3x2+240x-2000=-3（x-40）2+2800,

此時(shí)x=40（百件）時(shí)，jmax=2800（萬元），

當(dāng)x245時(shí),

49004900I4900

y=2950—（x+-^）=2970—（x+20+上生）W2970—2J（x+20）義上生=2970—2x70=2830

x+20x+20Vx+20

4900

當(dāng)且僅當(dāng)x+20=--,即x=50時(shí)等號(hào)成立，J=2800（萬元），

x+20max

而2800<2830,故x=50（百件）時(shí)，利潤最大，

綜上所述，年產(chǎn)量為50百件時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是2830萬元.

19.已知函數(shù)/（x）滿足如下條件：①對(duì)任意x>0,/（x）>0；②=③對(duì)任意x>0,y>0,

總有/（x）+/（y）W/（x+>）.

（1）寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)（寫出即可，無需證明）；

（2）證明：滿足題干條件的函數(shù)/（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增；

（3）①證明：對(duì)任意的s>0,\J>2k,其中左eN*;

②證明：對(duì)任意的》€(wěn)（2"，21（丘4）,都有/（0_/（口〉.