2024-2025學年高二年級上冊期末復習：數(shù)列 十一大題型歸納（基礎篇）（含答案）

2024高二上學期期末復習第四章十一大題型歸納（基礎篇）

【人教A版（2019）］

4根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式

（2023下.高二課時練習）數(shù)列二一北匕…的通項公式為（

2.（2023上?吉林長春?高二?？计谀┰跀?shù)列1,2,V7,V10,…中，V7U是這個數(shù)列的（）

A.第16項B.第24項C.第26項D.第28項

3.（2023下?高二課時練習）寫出下面各數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù).

（1）—3,0,3,6,…；

（2）4,—4,4,-4,…；

（3）1,0,1,0,…；

2222

Z.X2-13-14-15-l

4.（2023下.高二課時練習）寫出下列數(shù)列的一個通項公式.

（1）038,15,24,…;

（2）1,-35-7,9,…;

22-232-342-4

1017

(4)1,11,111,1111,....

題型2X數(shù)列的單調性的判斷

1.(2023下?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)數(shù)列｛即｝的通項公式為與=n2+kn,那么">-1”是“｛與｝為遞增

數(shù)歹！J”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

n

2.(2023下?北京懷柔?高二統(tǒng)考期末)數(shù)列｛廝｝的通項公式為an=(n-A)-2(n=1,2,-),若｛廝｝是遞增

數(shù)列，貝IU的取值范圍是()

A.[1,+00)B.(1+log2e,3)

C.(-oo,1+log2e]D.(—oo,3)

3.(2023上?湖北襄陽?高二?？计谀?已知數(shù)列｛即｝的通項公式為an=l+^(nGN*).

(1)判斷數(shù)列｛即｝的單調性，并證明你的結論；

(2)若數(shù)列｛冊｝中存在%=71的項，求n的值.

4.(2023下?上海虹口?高一上外附中?？计谀?己知數(shù)列的前n項和%=2n2-n+l.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

n

(2)若5=an+2023n-2,求數(shù)列｛6?｝的最大項是該數(shù)列的第幾項；

n

(3)若“=2(an-k)-nan,且數(shù)列｛5｝是嚴格遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍.

題型3卜等差數(shù)列的基本量的求解

1.(2023上?云南?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且a2+a14=50,a6=19,則為=()

2.(2023下?江西?高二統(tǒng)考期末)在x和y兩個實數(shù)之間插入n個實數(shù)的,a2,a3,-,an,使數(shù)列

□，^，(^，^^，…，^，丹為等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的公差為()

3.(2023上?新疆喀什?高二?？茧A段練習)在等差數(shù)列｛an｝中,

(1)已知的=-1,公差d=4,求期；

(2)已知公差d=-±47=8,求的；

4.(2023上?高二課時練習)在等差數(shù)列｛廝｝中,

(1)已知的=—1,d=3,求的0；

(2)已知以=4,a8——4,求d；

(3)已知的=1,d=3,an=2017,求機

等差數(shù)列的通項公式

1.(2023上?河南三門峽?高二統(tǒng)考期末)若數(shù)列｛冊｝滿足的=2,an+1-an=1,則數(shù)列的通項公式為

CL-fi=()

A.n2+1B.-TI+3D.n+1

2.(2023上?山東濟寧?高二統(tǒng)考期末)己知數(shù)列｛廝｝為等差數(shù)列且的＞0,數(shù)列｛/二｝的前幾項和為默，

則a九=()

A.n+1B.九十2C.2n-1D.2n+1

3.（2023上?山東青島?高二?？计谀┮阎獢?shù)列｛廝｝中，的=1,廝+1=^^

（1）求證：數(shù)列｛^｝是等差數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

4.（2023上?廣東東莞?高二?？计谀┮阎獢?shù)列中，a=2,a=2-

rn+1an

（1）證明數(shù)列｛油｝是等差數(shù)列，并求通項公式廝；

（2）若對任意neN*,都有詔?謂?退…嗎Wk-2n成立，求k的取值范圍.

由等差數(shù)列的前〃項和求通項公式。|

1.（2023下?寧夏吳忠?高一校考期中）已知數(shù)列｛廝｝的所有項均為正數(shù)，其前幾項和為S,且%=；磷+；即-

n42

，.則的通項公式為（）

A.an=2n—1B.an=2n+1

C.an=4n—1D.an=4n+1

2.（2022下?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知均為等差數(shù)列的｛a"與也｝的前〃項和分別為Sn,6且含=篝

則詈詈的值為（）

b2+b10

3.（2023下?四川雅安?高一統(tǒng)考期末）已知S“是等差數(shù)列的前n項和，且％=-2聲+15九

（1）求數(shù)列｛&J的通項公式；

（2）n為何值時，S”取得最大值并求其最大值.

4.(2023上?湖南衡陽?高二?？计谀?已知數(shù)列的前〃項和Sn="一4九，nEN*.

(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)已知6n=求數(shù)列｛5｝的前n項和.

anan+l

等差數(shù)列前〃項和的性質。I

1.(2023下?江西吉安?高二統(tǒng)考期末)記為為等差數(shù)列｛a"的前n項和，S2=4,S6=18,則S4=()

A.8B.9C.10D.11

2.(2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預測)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為%,若翦=翦+1且%=3,貝女)

A.an=2n+1B.an=n+1

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n—n

3.(2023?高二課時練習)設兩個等差數(shù)列｛aj也｝的前n項和分別為％、T,已知金=筆，求詈的值.

nrn九+3“5

4.(2022.高二課時練習)設等差數(shù)列｛冊｝的前〃項和為％.

(1)已知。6=10'S5=5,求$8；

(2)已知S4=2,S9=-6,求S12；

(3)已知。2+。4+。6=—3,。3++。7=6,求$20；

(4)已知S3=6,S6=-8,求S9.

等比數(shù)列的基本量的求解。I

1.（2023上?黑龍江牡丹江?高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列｛an｝中，口3=2,a4=4,則首項等于（）

A.2B.1C.-D.-

23

2.（2023下?云南保山?高二統(tǒng)考期末）已知首項為1的等比數(shù)列｛%J滿足的，。3，。4-2成等差數(shù)列，則公比

q=（）

A.—B.——C.2D.—2

22

3.（2023上?高二課時練習）已知數(shù)列｛時｝為等比數(shù)列.

（1）若％=3,q=—2,求。6；

（2）若=20,a6=160,求的和q；

（3）右質一的=15,%—=6,求的.

4.（2023上?山東濟寧?高三?？茧A段練習）（1）已知等差數(shù)列｛廝｝的通項公式為冊=2九-1,求首項的和

公差d.

（2）已知等比數(shù)列｛即｝的通項公式為%=3x2"-3,求首項由和公比q.

等比數(shù)列的通項公式。I

1.（2023上?湖南岳陽?高二?？几傎悾┰跀?shù)列｛aj中，的=1,即+1=2a?+2,則與為（）

A.3X2n-1B.3X2n-1-2C.4X2n-1-3D.2n-1

2.（2023上?吉林長春?高二校考期末）已知數(shù)列｛5｝滿足的=1,an+r=2an+3,則。9=（）

A.29—3B.29+3C.210-3D.210+3

3.(2023上?吉林長春?高二校考期末)已知數(shù)列｛時｝是首項%=2,%=16的等比數(shù)列，設篇=log2Moe

N*).

⑴求數(shù)列｛g｝的通項公式；

(2)記”=——，求數(shù)列｛c九｝的前71項和立.

bn"n+l

4.(2023上?河北邢臺?高二校聯(lián)考階段練習)已知｛an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，的=3,3a3=5a2+36.

(1)求｛%J的通項公式；

(2)設篇=log3an,求數(shù)列｛篇｝的前幾項和.

由等比數(shù)列前〃項和求通項公式。|

1.(2023下?安徽宣城?高二統(tǒng)考期末)等比數(shù)列｛。九｝的各項均為實數(shù)，其前幾項和為%,已知S3=7,S6=63,

則即=()

A.4B.16C.32D.64

2.(2023下?河南南陽?高二校聯(lián)考期末)已知等比數(shù)列｛an｝的前幾項和為%,a2=4,3T=8,則與=()

A.16B.8C.6D.2

3.(2023?全國?模擬預測)已知等比數(shù)列｛時｝的前71項和為％,S3=3a3=3,各項均為正數(shù)的數(shù)列仍"的前幾

項和為心，滿足4*=4律+成.

(1)分別求數(shù)列｛時｝和｛勿｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛斯+“｝的前n項和.

4.(2023?全國?模擬預測)已知正項數(shù)列｛%J的前〃項和為土，且滿足且=2皿-1.

an

(1)證明：數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列；

(2)若%—a?=；,垢=三與，數(shù)列｛%｝的前"項和為與,證明：l<Tn<l.

45715rl+i3

題型10k等比數(shù)列前“項和的性質

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)記%為等比數(shù)列的前〃項和，若S4=—5,S6=21S2,則S&=().

A.120B.85C.-85D.-120

2.(2023上?陜西寶雞?高三統(tǒng)考階段練習)已知等比數(shù)列｛廝｝中，%=1,%+%+…+。2l+1=85,a2+

。4+—Ha2k=42,貝必=()

A.2B.3C.4D.5

3.(2022?高二課時練習)在等比數(shù)列｛a九｝中，Q=|,5100=150,求g+。4+。6------的值?

4.(2023上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習)記%為等比數(shù)列的前〃項和，Si8=7s6.

(1)若12=12,求S24的值；

(2)若$6>0,求證：51671+6>2s6Tl.

數(shù)學歸納法的證明步驟

1.(2023下?北京房山?高二統(tǒng)考期末)用數(shù)學歸納法證明(1+1)(2+2)(3+3)-(n+n)=2n-\n2+n)(nE

N*),從n=k到n=k+1,左邊需要增加的因式是()

A.2k+1B.2(k+l)C.+1)D.(k+l)(k+l)

2.(2023下?上海?高二期末)用數(shù)學歸納法證明(n+l)(n+2)-(n+n)=2"-1-3-(2n-1),從k到k+1,

左邊需要增乘的代數(shù)式為()

A.2k+1B.2(2k+l)C.—D.—

'7k+1k+1

3.(2023?高二課時練習)用數(shù)學歸納法證明/■(>)=1+打打…+擊(門是正整數(shù))的過程中，從n=k到

n=k+l時，請寫出/(k+1)比/(￡)所增加的項.

4.(2023上?高二課時練習)請指出下列各題用數(shù)學歸納法證明過程中的錯誤.

(1)設為正整數(shù)，求證：2+4+6+—F2n=n2+n+1.

證明：假設當n=k(k為正整數(shù))時等式成立，即有2+4+6+…+2k=l+k+l.

那么當n=k+1時，就有2+4+6+,,,+2k+2(k+1)=+k+1+2(k+1)

=(k+1)2+(k+1)+1.因此，對于任何正整數(shù)n等式都成立.

(2)設n為正整數(shù)，求證：1+2+22+...+2“-1=2”—1.

證明：①當71=1時，左邊=1,右邊=1,等式成立.

②假設當幾=k(fc>1,k為正整數(shù))時，等式成立，即有l(wèi)+2+22+...+2J=2k—l,

那么當n=k+1時，由等比數(shù)列求和公式，就有1+2+22+...+221+2k=絲0二”=2丘1一1,等式

1—2

也成立.

根據(jù)(1)和(2),由數(shù)學歸納法可以斷定1+2+22+...+2，一】=2"—1對任何正整數(shù)71都成立.

2023-2024學年高二上學期期末復習第四章十一大題型歸納（基礎篇）

【人教A版（2019）］

4根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式

1.（2023下?高二課時練習）數(shù)列0,-￡|,一也|,…的通項公式為（）

A.廝=（一以.冷

B.“（T產黑

C.”（T尸黑

D.

【解題思路】根據(jù)規(guī)律求得數(shù)列的一個通項公式，從而確定正確答案.

【解答過程】數(shù)列0,-］彳,一|,|

Hnl-12-13-14-15-1

1+1'2+1'3+1'4+1'5+1'

所以數(shù)列的通項公式可以為an=?

故選：C.

2.（2023上?吉林長春?高二?？计谀┰跀?shù)列1,2,V7,V10,V13,…中，彷是這個數(shù)列的（）

A.第16項B.第24項C.第26項D.第28項

【解題思路】根據(jù)題意求出數(shù)列的通項公式，結合通項公式分析求解.

［解答過程］數(shù)列可化為a,V3x1+1,73義2+1?3x3+1,J3x4+1,…,

所以即=J3義（71—1）+1—73n—2,

令73n-2=V70,解得n=24,

所以歷是這個數(shù)列的第24項，

故選：B.

3.（2023下?高二課時練習）寫出下面各數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù).

(1)-3,0,3,6,-；

(2)4,—4,4,—4,…;

(3)1,0,1,0,...；

22-l32-l42-l52-l

(4)~'~『丁’.…

【解題思路】利用觀察歸納得到數(shù)列的通項公式.

【解答過程】⑴數(shù)列可記為3x(-1),3x0,3x1,3x2,…，

所以數(shù)列的通項公式為%=3(n-2)=3n-6,neN*.

(2)數(shù)列的各項符號間隔排列，可用(-1)"】進行調整，

所以數(shù)列的通項公式為與=(-l)n+1X4,neN*.

(3)數(shù)列的奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為0,

因此數(shù)列的通項公式為冊=1+('^+1,neN*.

(4)這個數(shù)列的前4項分別為甲,。,寧，咚i,

2345

其分母都是序號n加上1，分子都是分母的平方減去1,

所以它的一個通項公式為an=吟三,neN*.

4.(2023下?高二課時練習)寫出下列數(shù)列的一個通項公式.

(1)0,3,8,15,24,…;

(2)1,-3,5,-7,9,-;

曰3-34,

、，51017

(4)1,11,111,1111....

【解題思路】(1)將給定的5項都加1即為項數(shù)的平方特點，即可寫出一個通項；

(2)所給5項正負相間，其絕對值為前5個正奇數(shù)，由此即可寫出一個通項；

(3)分母為項數(shù)的平方加1,觀察即可寫出一個通項；

(4)把所給4項變形，并用10的整數(shù)次塞減去1的形式表示出來，觀察即可寫出一個通項.

【解答過程】(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…，所

以它的一個通項公式是=n2-1；

(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9,…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一

個通項公式為廝=(-l)n+1(2n-1)；

2

(3)因為5=22+1,10=32+1,17=42+1,所以數(shù)列的一個通項公式為冊=舄；

(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)榇?譚x99譚X99*X9999,...,易知數(shù)列9,99,999,9999,的一個通

項公式為1(F-1,所以原數(shù)列的一個通項公式為與=[(10"-

題型2■數(shù)列的單調性的判斷。I

1.(2023下?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)數(shù)列｛即｝的通項公式為斯=n2+kn,那么“k>-1”是“｛即｝為遞增

數(shù)歹！J”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】當k>一1時，可得廝+1-冊>0,知充分性成立；由數(shù)列單調性可知與+1-an>0,從而得

到k>-(2n+1),由此可得k>-3,知必要性不成立，由此可得結論.

【解答過程】當k2—1時，an+i—an=(n+1)2++1)—聲—kn=2n+1+k22TI>0,

數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；

22

當數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列時，廝+1-an=(n+l)+k(n+1)-n-fcn=2n+1+/c>0,

'''k>—(2n+1)恒成乂，又[—(2TI+l)]max=—(2x1+1)=—3,

k>-3,必要性不成立；

二”>-1”是“｛與｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

2.(2023下?北京懷柔?高二統(tǒng)考期末)數(shù)列｛&J的通項公式為冊=0-4)?2n(n=1,2,…)，若｛廝｝是遞增

數(shù)列，則2的取值范圍是()

A.[1,+oo)B.(1+log2e,3)

C.(-00,1+log2e]D.(-oo,3)

【解題思路】由題意可得即<即+1對于Vn6N*都成立，化簡求解即可求出義的取值范圍

【解答過程】因為數(shù)列｛%J的通項公式為an=(n-A)-2noi=1,2,-)-且｛&J是遞增數(shù)列，

所以即<與+1對于Vn￡N*都成立，

所以5-2)-2n<(n+1-A)-2"+i對于VneN*都成立，

即n-2<2(TI+1-2)對于VneN*都成立，

所以2<n+2對于VnGN*都成立，

所以4<1+2=3,即4的取值范圍是(一8,3),

故選：D.

3.(2023上?湖北襄陽?高二?？计谀?已知數(shù)列的通項公式為廝=1+eN*).

(1)判斷數(shù)列｛&J的單調性，并證明你的結論；

(2)若數(shù)列｛an｝中存在an=n的項，求n的值.

【解題思路】(1)首先判斷｛廝｝是遞減數(shù)列，再利用作差法證明即可；

(2)依題意可得1+9=m，解方程即可.

71

【解答過程】(1)因為即=1+：(neN*),故數(shù)列｛廝｝是遞減數(shù)列，

證明：數(shù)列S/中，即=1+?

則與+1=1+后，

所以與+1—%=(1+后)—(1+§=島—：=<0，

故數(shù)列｛%J是遞減數(shù)列；

(2)若C1rl=?2,即1+(=71,變形可得"—71—6=0,

解得：n=3或幾=一2(舍去)，

故n=3.

4.(2023下?上海虹口?高一上外附中校考期末)已知數(shù)列的前幾項和%=24—八+1.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

n

(2)若％=an+2023n-2,求數(shù)列｛與｝的最大項是該數(shù)列的第幾項；

n

(3)若％=2(an-k)-nan,且數(shù)列｛%｝是嚴格遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍.

【解題思路】(1)利用即與土的關系求通項公式即可；

(2)求出數(shù)列｛g｝的通項公式，利用數(shù)列的單調性求出最大項；

(3)分離出k,利用數(shù)列的單調性求出k的取值范圍即可.

22

【解答過程】(1)當n22時，an—Sn—Sn_-^--(2n—n+1)—(2n—5n+4)=4n—3)

當n=1時，%_=S]=2,不滿足上式，

故數(shù)列的通項公式為即=｛鉆土弓,；：2；

(2)由已知得==2+2023-2=2023,

n

當n>2時，bn^an+2023n-2"=4n-3+2023n-=2027n-3-2,

n

-bn=2027—2,則瓦1—瓦。>0,瓦2一瓦i<0，

所以當時，｛%｝單調遞增，

%=2027x11-3-211=20246>瓦，

所以數(shù)列｛%｝的最大項是該數(shù)列的第11項；

(3)由已知得q=2(2-k)-2=2-2k,c2=4(a2-fc)-2a2=10-4fc,

則C2>c「解得k<4,

n+1n

當n22時，cn+1-cn=[2(an+i-/c)-(n+l)an+i]-[2(an-fc)-nan]

=(4n+5)2"-(8n+l)-fc-2n,

】)

要使一%>°，即k<”2r+=(4n+5)一嘿，

設勰=(4n+5)-甯，

則dn+i-dn-(4n+9)--(4n+5)+=4+>0,

所以數(shù)列｛勰｝為單調遞增數(shù)列，即k<(4x1+5)-等=￡

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-8,4).

等差數(shù)列的基本量的求解

1.（2023上?云南?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%J是等差數(shù)列，且。2+的4=50,。6=19,則的=（）

A.3B.4C.7D.8

【解題思路】設等差數(shù)列的首項為由,公差為d,可得解方程即可得出答案.

【解答過程】設等差數(shù)列｛%J的首項為由,公差為d,

..,_r_?0%+14d=50

?@2+。14—5n0,。6-11Q9.??（%+5d=i9.

解得:二:，,Qi=4.

g=4

故選:B.

2.（2023下?江西?高二統(tǒng)考期末）在x和y兩個實數(shù)之間插入n個實數(shù)的,a2,a3>…,廝，使數(shù)列

□，（^，（^，（^，…，心/）為等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的公差為（）

A.勺B?常D?冷

n

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得.

【解答過程】依題意等差數(shù)列｛X,?1，。2,。3,…，麻,/中共有幾+2項,

設公差為d,則y=無+[01+2)-l]d,

y-xy-x

所以d=

n+2-1n+l

故選:B.

3.(2023上?新疆喀什?高二校考階段練習)在等差數(shù)列｛冊｝中，

(1)已知的=—1,公差d=4,求他；

(2)已知公差d=-%a7=8,求的；

【解題思路】(1)根據(jù)等差數(shù)列的基本量求解劭即可；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的項與首項之間的關系求解即可得由.

【解答過程】(1)在等差數(shù)列｛際｝中，%=-1,公差d=4,

則+7d=-1+7X4=27；

(2)在等差數(shù)列中，公差d=—1,a7=8,,

則%=%+6d=%+6X(―1)=%—2=8,故的=10.

4.(2023上?高二課時練習)在等差數(shù)列九｝中，

(1)已知的=—1,d=3,求的0；

(2)已知以=4,他=-4,求d；

(3)已知的=1,d=3,an=2017,求兒

【解題思路】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；

(2)根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；

(3)根據(jù)等差數(shù)列通項公式代入計算即可；

【解答過程】(1)由a九=%+(九—l)d知：。1()=%+9d=—1+9X3=26；

(2)因為*=4,CLQ=-4,所以他—。4=(8—4)d=4d,所以(—4)—4=4d,

解得d=-2；

(3)由％i=%+(九—l)d知：2017=l+(n—l)x3=3n—2,解得九=673.

題型4一等差數(shù)列的通項公式。I

1.(2023上?河南三門峽?高二統(tǒng)考期末)若數(shù)列｛冊｝滿足的=2,an+1-an=l,則數(shù)列｛&J的通項公式為

a九=()

A.n2+lB.-n+3C.^^2D.n+1

2

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解.

【解答過程】因為an+i-an=1,

所以｛即｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以a九=2+(?i-1),1=幾+1.

故選：D.

2.（2023上?山東濟寧?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列且的＞0,數(shù)列｛就二｝的前幾項和為喘7

則a九=（）

A.幾+1B.九+2C.2九一1D.2.71+1

【解題思路】由題意可得］i"1"之】3_2,求出的與公差，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解.

\.aia2a2a35

【解答過程】由數(shù)列的前n項和為一，

kanan+1J2n+l

（_2_=1_

4BI3日nf=3

得上+上=二即匕。3=15,

\ci±ci2a2a35

設公差為d,則%:照解方程得a1=l（負值舍去），d=2.

（（%+d）（Gi+2d）=15

???an=2n—1.

故選:c.

3.（2023上?山東青島?高二?？计谀┘褐獢?shù)列中，ai=1,%t+i=*丁.

（1）求證：數(shù)列痣是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，將原式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到證明；

（2）由（1）可得數(shù)列｛2｝的通項公式，從而求得數(shù)列｛即｝的通項公式.

【解答過程】（1）因為即=1,a=所以工=2+3,即二-一三=3,

n+1aaaa

1+3ann+lnn+ln

所以2=1,即數(shù)列［工）是首項為1,公差為3的等差數(shù)列.

（2）由（1）可知，數(shù)列｛2｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，

所以—=1+（71—1）x3=3TL—2,所以％=---.

Q.fl371—2

4.（2023上?廣東東莞?高二?？计谀┮阎獢?shù)列｛即｝中，的=2,a=2--.

n+1an

（1）證明數(shù)列｛渦｝是等差數(shù)列，并求通項公式廝；

（2）若對任意幾eN*,都有居?度?試…成工憶?2"成立,求々的取值范圍.

【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出‘：-;=1,又;=1,即可得到;=n，進而求出通項公式;

an+i—1an—1a^—1an—1

（2）經(jīng)化簡可得，k>暗.令g=暗，根據(jù)｛?；求出r=2時，6n最大，即可得出k的取值范圍.

【解答過程】（1）證明：由已知可得每羊1,'---------J=T-------------------J=*=i,

a九+1一12---------1tin-1tin-1Gn—1an~^-

an

又的=2,所以亡二1，所以數(shù)列｛占｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

所以---=1+（71—1）x1=M，所以a九—1=-,所以a九=—F1.

CLJI—17171

（）由（）知，a=-+l=—.

21nnn

所以Qi。2a3…=2x|x￡x…x誓1=ri+1,所以后?^2,…欣=（九+I）2.

則由后?a外謁…成4k?2n可得,k隆:；：）?對任意九EN*,都成立.

令生=誓，假設數(shù)列｛“｝中第r（r￡N*）項最大，

（r+l）2r2

---->----2

當,22時則，有《靠：，即H一二二整理可得r—2r—1<0

（r+iy（r+2）zr2>2

-—-2r+1

解得+所以2WrW&+l.

因為r€N*,所以r=2,外=烏字=2

z224

又瓦=2,所以數(shù)列｛3｝中第2項最大，即%=然”<3對任意n€N*,都成立.

2'4

所以由kN唁對任意neN*,都成立，可得kN9

2714

由等差數(shù)列的前〃項和求通項公式。I

1.（2023下?寧夏吳忠?高一?？计谥校┮阎獢?shù)列｛%｝的所有項均為正數(shù)，其前n項和為分,且S”=\a^+\an-

*則｛口?｝的通項公式為（）

A.an=2n—1B.an=2n+1

C.an=4n—1D.an=4n+1

【解題思路】令幾=1,由%=Si=:口亥+：的-：可求得的的值，當幾22時，廝=S九一ST可得｛&J是等

42471

差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式即可求解.

【解答過程】當九=1時，％.=Si=（嫌+—￡整理可得譜—2al—3=0,

解得：ar=3或%=—1,

因為G九>0,所以的=3,

當九之2時，

+

冊=S九-Sn_r=-+2-4~\4。九_1+2Q^T-4/4^-4。九一12-2。九一1，

整理可得：W總-12an—2。九_1=。即（Q九+a九一1）（“九—。九-1—2）=0,

a

因為a九+CLn-1>0,所以%i—n-l=2,

所以｛冊｝是以的=3為首項，公差為2的等差數(shù)列，

所以a九=3+2（九—1）—2.71+1,

故選：B.

2.（2022下?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知均為等差數(shù)列的｛%｝與也｝的前〃項和分別為%,加且弱=注,

/nn+1

則戶等的值為（）

b2+b10

A.-B.-C.-D.-

41067

【解題思路】設％=之九（2幾+3）,Tn=kn（n+1）,由劭=$5—54,b6=T6—T5,即可求解結果.

【解答過程】因為菖券=爭=詈，又因為*=票，

匕2+匕102匕6匕6Tnn+1

所以可設%=fcn（2n+3）,Tn—kn（n+1）,

則=S5-S4=65k-44fc=21k,b6=T6-T5=42k-30k=12fc

故選：A.

3.（2023下?四川雅安?高一統(tǒng)考期末）己知分是等差數(shù)列｛%J的前n項和，且￡=一2"+巧九

（1）求數(shù)列｛a"的通項公式；

（2）n為何值時，S”取得最大值并求其最大值.

【解題思路】（1）利用公式an=L進行求解；

（2）對%=-2/+15幾進行配方，然后結合由幾EN*,可以求出％的最大值以及此時打的值.

2

【解答過程】（1）由題意可知：Sn——2n+15n,當九=1時，ar=Sr=—2+15=13,

當?！之2時，an=Sn-^n-i=-2九2+15n—[—2（九-+15（n—1）]=17—4幾，

當九=1時，顯然成立，.??數(shù)列｛七｝的通項公式時=17-4n；

2

(2)Sn=-2n+15n=-2(n-抒+等,

由neN*,則幾=4時，取得最大值28,

...當n為4時，5口取得最大值，最大值28.

4.（2023上?湖南衡陽?高二?？计谀┘褐獢?shù)列｛廝｝的前w項和無=/-4"，n￡N*.

（1）證明：數(shù)列｛廝｝是等差數(shù)列；

（2）已知6=」一，求數(shù)列｛%｝的前n項和.

nanan+l

【解題思路】（1）根據(jù)%=n2-4n求出數(shù)列｛a"的通項公式即可證明數(shù)列是等差數(shù)列.

（2）利用裂項相消的方法求數(shù)列｛g｝的前〃項和即可.

【解答過程】（1）rSn=1-4n,neN*,①

?,?當71=1時，Qi=S]=-3;

22

當九>2時,Sn_i=（n—l）—4（n-1）=n—6n+5.

由①一②得。九=S九一Sn_x=2n—5.

當九=1時，ar=-3滿足上式，

?,?數(shù)列｛冊｝的通項公式為冊=2n-5,nGN*.

???-%i=2,為常數(shù)，

???數(shù)列是等差數(shù)列.

（2）由（1）知如=（2n_5：2n-3）=（（七一六）'

.??數(shù)列｛5｝的前n項和為|3一+沿_3+…+X表-熹）

2\3~2n-3)

4,等差數(shù)列前〃項和的性質

1.（2023下?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）記無為等差數(shù)列｛&J的前n項和，S2=4,S6=18,則S4=（）

A.8B.9C.10D.11

【解題思路】結合等差數(shù)列的性質求解即可；

【解答過程】（法一）???數(shù)列｛a"為等差數(shù)列,

.?.有S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,

,,,2(S4—S?)=S2+(S6—S4),

解得S4=10,

故選：C.

(法—.)由題意知，S?=2al4——d—4,—6alH——d-18,

解得藥,=：，4=I，

S4=4alH——d=10,

故選：C.

2.（2022.貴州畢節(jié).統(tǒng)考模擬預測）等差數(shù)列｛即｝的前ri項和為%,若符=粉+1且%=3,貝M）

A.an=2n+1B.an=n+1

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n—n

【解題思路】等差數(shù)列前〃項和無構成的數(shù)列｛手｝為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一半.

【解答過程】設｛即｝的公差為兒

?；Sn=na1+d

?S九.TI—1jdd

??-=a〕H----，d=—?71+01-----，

n12212

即｛1｝為等差數(shù)列，公差為2

n2

S20201知7=1=d=2,

2020

故。九=2n+1,Sn=混3+:+1)=荏2+2九.

故選：A.

3.（2023.高二課時練習）設兩個等差數(shù)列｛冊｝,也｝的前幾項和分別為％、Tn,已知m="，求詈的值.

Tn九+305

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前九項和性質有金=含萼=沁=臂即可得解.

795（匕1+匕9）2X2t，5外

【解答過程】由題意得?=”^=泛=詈

丁9+匕9）/2外如

所以詈=§=.

。57912

4.（2022.高二課時練習）設等差數(shù)列｛&J的前〃項和為％.

(1)已知。6=10,5,5=5,求$8；

(2)已知S4=2,S9=-6,求S12；

(3)已知。2+。4+。6=—3,。3+。5+。7=6，求$20；

(4)已知S3=6,S6=-8,求S9.

【解題思路】(1)利用等差數(shù)列通項公式和前幾項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出S8.

(2)由等差數(shù)列的前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，繼而求出S12.

(3)利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出S2o.

(4)由等差數(shù)列｛七｝中S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,能求出S,

【解答過程】(1)?.?等差數(shù)列｛即｝中，-6=10,$5=5,

怒=%+5d=10

｛S5=5a1+d=5'

解得Qi=-5,d=3.

58=8%+等4=-40+84=44.

(2)?.?等差數(shù)列｛冊｝中,54=2,S9=-6,

6

,[4的+6d=2的

，，，5

(9a1+36d=-6即倚jd二7

V15

解得%=12x標誓x(一臺=—號.

(3),等差數(shù)列｛%｝中，口2+口4+。6=-3，的+。5+。7=6,

+d+cii+34+。1+5d=-3

+2d+a1+4d+%+6d=6

解得的=-10,d=3,

???S20=20al+生fd=-200+570=370.

(4)?,?等差數(shù)列｛七｝中，S3=6,56=-8,

S3,S6T3,S9-5