2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.設(shè)x,yeR,向量M=行=(1,k1),3=(2,-4,2),且3工分，b//c，則|萬(wàn)+4

等于(

A.272B.3c.VioD.4

2.已知〃=(0,1,2),加),若Z，b，"共面，則加=()

A.0B.1C.2D.-1

3.已知空間三點(diǎn)/(o,2,3),3(-2,1,6),c(l,-1,5),則下列命題正確的是()

A.若M為/C的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

B.若四邊形/BCD為平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,-2,8)

C.向量方與向量衣夾角為120。

D.以4瓦/C為鄰邊的平行四邊形面積為7方

4.已知〃=(3,a+6,a-b)(a,6eR)是直線/的方向向量，〃=(1,2,3)是平面a的法向量,

若/_La,貝！Ja+26=)

A,”39

B.——C.6D.-

222

5.已知直線/的一個(gè)方向向量為Z=(2,-3,1),平面a的一個(gè)法向量為1=(3,1,-3),則

直線/與平面。的關(guān)系是(

A.lC\a=PB.ILaC.I/laD./ua或///c

6.設(shè)向量&是平面a的法向量,向量，是直線團(tuán)的方向向量，且〃貝!]“展力=0”

是“機(jī)||a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.在正方體/BCD-///C/D/中，AB=a,AD=b，AAx=c,若E為DDi的中點(diǎn)，F(xiàn)

在AD上，且BF=2FD,則麗等于(

[-1r]一

C.——a——b+—cD.—a——b+—c

33223

8.棱長(zhǎng)為1的正四面體力BCD中，點(diǎn)￡是4。的中點(diǎn)，則瓦5.段=（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.若｛@,瓦?［是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）

A.a,2b>3cB.a+bb+c9c+a

C.a+2b2b+3c3a—9cD.a+b+c>B,c

10.下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是（）

A.點(diǎn)/（-3,-1,2）與川3,-1,-2）點(diǎn)關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)

B.點(diǎn)尸（2,-2,0）與點(diǎn)。（2,2,0）關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)

C.點(diǎn)/（T-1,4）與點(diǎn)3（3,-1,-4）關(guān)于平面xOz對(duì)稱(chēng)

D.空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個(gè)部分

11.已知空間中三點(diǎn)/（0,1,1）,2（2,2,1）,C（2,1,0）,則（）

A.|就卜石

B.無(wú)方向上的單位向量是（0,g,5）

C.3=(1,-2,2)是平面/BC的一個(gè)法向量

D數(shù)在左上的投影向量的模為與

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知向量Z=(2,0,3),S=(-1,1,2),則|加=,a+2b=.

13.設(shè)直線心4的方向向量分別為1=(-2,2,1),3=(3,-2,加)，若則

m=

14.如圖，在正六棱柱N8CDE尸片中.

(2)化簡(jiǎn)：DE+E^+FD+BB.+A^=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知空間三點(diǎn)/(一2,0,2),2(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)￡=益,石=工.

(1)求2];

⑵若向量忘+另與左￡-2坂互相垂直，求實(shí)數(shù)人的值.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體O-N8C中，2而=反，點(diǎn)￡為4D的中點(diǎn)，設(shè)

OA=a>OB=b>OC^c.

(2)求OE的長(zhǎng).

17.如圖，在正方體NBCD-44G2中，及尸,G分別是棱/2,BC,CD的中點(diǎn).

(1)證明：EF//4G；

(2)證明：AXF±QE.

18.如圖所示，在直二面角。-43-E中，四邊形/8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形,

且平面ACE.

(1)求證：/￡_!.平面BCE；

(2)求證：平面3DF_L平面4BCD.

19.如圖，在直三棱柱N3C-4耳G中，CA=CB=^AAt=1,BC1AC,P為&B上的

動(dòng)點(diǎn)，。為棱CC的中點(diǎn).

(1)設(shè)平面480n平面/3C=/,若尸為48的中點(diǎn)，求證：尸?！?；

⑵設(shè)3尸=2網(wǎng)，問(wèn)線段4臺(tái)上是否存在點(diǎn)尸，使得/尸工平面印。？若存在，求出實(shí)

數(shù)2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案

1.【正確答案】B

xxl+lxV+1x1=0C1

\X=l

【詳解】由題可得IyInc，

ly=-2

〔2-42i

所以向量3=(w),6=(l,-2,l),所以「+5=(2,T,2),

所以B+同=J⑵2+(-1)2+⑵2=3.

故選：B.

2.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)椤?5,。共面，所以c=+

即(―1,0,m)=即0,1,2)+即—U,1)=(—%x+y,2x+y),

則jx+〉=0,解得x=_l,y=l,加=—1.

2x+y=

故選：D.

3.【正確答案】D

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤镹C的中點(diǎn)，所以M

即故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?皮,

由方=(一2,-1,3),設(shè)D(x,y,z),則祝=(1一了,一1一％5一),

x=3

解得卜=0,即。(3,0,2),故B錯(cuò)誤;

所以<一1一>二一1

5—z=3z=2

對(duì)于C,由方=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

則刀.衣;=-2+3+6=7，|詞=而；，|就|=.，

——AB-AX：71

所以8S"，心畫(huà)畫(huà)=布而已

所以向量焉與向量衣夾角為60。，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由C知，cosZBAC=60°,%,二"？，|^c|=V14,

所以以為鄰邊的平行四邊形面積為：

2x-|Z§||^c|-sinZ^C=JTxJTx^-=T,故D正確.

故選：D.

4.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)閆=(3,a+仇Q-b)(a,b￡R)是直線/的方向向量，3=(1,2,3)是平面。的法

向量，且/_La,

[一一,3a+ba—b匚匚”[。+6=6々刀，曰1573

則〃〃〃,則；=。=「，所以'\,C，解得a=k'b=_二,

123[a-b=922

因止匕，a+26=￡+2x]-g]=：.

故選：D.

5.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)?(2,-3,1>(3,1,-3)=6-3-3=0,

所以￡_L3，貝!|/uc或///a.

故選：D

6.【正確答案】C

【詳解】因?yàn)檎狗?0o@_Li7,

由_L力''可以推出“加//a”,

由“加//a”也可以推出

故“方位=0”是“m〃a”的充要條件.

故選：C.

7.【正確答案】B

【詳解】而=而_瓦=；麗=卜

故選：B.

8.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)槌?0+而，

所以西?屋=而(<3+荏)=BA-CA+BA^AE,

又網(wǎng)=i可=1,祠=1俾，s=m，（就碼=彳,

-------->TT12兀1

所以BACE=Ixlxcos—+lx—xcos——=—.

3234

故選：A.

9.【正確答案】ABD

【詳解】由已知a,b,己不共面，則2b>33不共面，A選項(xiàng)正確；

y=1

T^a+b=x^b+c^+y（c+a^=ya+xb+^c+y,即<x=l方程無(wú)解，

x+y=0

所以5+B,b+c,5+萬(wàn)不共面，B選項(xiàng)正確；

3n=l

設(shè)之+2*=加（2b+3cj+z?（33-9c）=3na+2mb+°加-9n,即<2m=2，解得：

3m-9“=0

m=1

<n=—1>

I3

即,+2Z^=（2*+3/）+§（37-9,），所以3+2b，2b+3c>31-93共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)3+5+3=痛+〃/,顯然三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

10.【正確答案】AD

【詳解】點(diǎn)/（-3,-1,2）關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（3,-1,-2）,所以A選項(xiàng)正確；

點(diǎn)尸（2,-2,0）關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（-2,2,0）,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

點(diǎn)/（-3,-1,4）關(guān)于平面xOz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（-3,1,4）,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個(gè)部分，所以D選項(xiàng)正

確.

故選：AD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】由題意：^C=（2,0,-l）,CS=（0,1,1）,5C=（O,-l,-l）.

對(duì)A：因?yàn)?不2。+（—1）2=V5,故A正確；

CB（0,1,1）（C）

對(duì)B：因?yàn)椤嚎?一五l=1°，—]-，—，即C3方向上的單位向量是5=-丁,故B

錯(cuò)誤；

對(duì)C：因?yàn)槲?就=（1,-2,2）-（2,0,-1）=2-2=0,M-SC=（1-2,2）-（0,-1,-1）=2-2=0,

所以萬(wàn)_1就，k_L灰?成立，故:是平面43C的一個(gè)法向量，故C正確；

BC-AC.2,0-1亞

對(duì)D：由』-----p==——^=當(dāng)，故D正確.

'—J7

\AC\A/2+15

故選：ACD

12.【正確答案】V6(0,2,7)

【詳解】空1,因?yàn)橄蛄?=(-1」,2),所以⑻=,(-1)2+12+22=遍；

空2,因?yàn)橄蛄俊?(2,0,3),5=(-1,1,2),

所以￡+2辦=(2,0,3)+2(-1,1,2)=(0,2,7).

故逐；(0,2,7).

13.【正確答案】10

【詳解】由已知'，3即a/B，

貝!Ja-b=(-2)x3+2x(-2)+lxm=0,

解得加=10,

故答案為.10

UUUL.

14.【正確答案】ADX西

【詳解】(1)麗-訪-血+西+麗+市

AF+FE+AB+33^015+DC=AE+ABl+0

—AE+ED1—ADX.

(2)讀+麗+而+西+適

=DE+EF+FD+BB[+B、D[

=DF+FD+BDi=0+BDi=BDi

故語(yǔ);西

15.【正確答案】(1)-1

(2)4=2或后=_g

【分析】(1)先求出￡花的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即得；

(2)先求出|印,|?和13，再利用向量垂直的充要條件列出方程，代入化簡(jiǎn)計(jì)算即

得左值.

【詳解】(1)由題意，￡=刀=(1,1,0),1=而=(-1,0,2),則

a.S=(l,l,0).(-l,0,2)=-l；

(2)由(1)可得|a|=5|=追，

因向量的+石與石-25互相垂直，則得：

(ka+b)-(ka-2b)=k2\a^-ka-b-2\b^2k2+k-10=0,

解得，k=2或k=3

2

—?1一1-]一

16.【正確答案】(1)?！?立+/+于

236

(2)730

【詳解】(1)解：依題意，OE=OA+AE=OA+^AD=OA-^(OD-04

=-OA+-OD=-04-^(OB+BD)=」方J礪J反

2222226

=-OA+^OB+-(pC-OB)

226

1一11一

——U.H—b7H----C,

236

—>1-1一1一

即OE=—4+—6+—c.

236

(2)解：因?yàn)閨西『=(g@+gB+gc)2=;同2+詈,2+!同

=9+4+6+-^-x|a|x|^|xcosj-+^-x|c|x|z)|xcosy+-^-x|a|x|c|xcosy=30,

所以巧卜胸，即0￡的長(zhǎng)相.

17.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

￡(2,1,0),尸(1,2,0)，4(2,0,2),。工0,2,2),

故配=(-2,2,0),麗=(-1,1,0),

由于布>2方，故而//而，顯然E尸，4G不重合，故E尸〃4G；；

故礪?年=(-1,2-2).(2-1-2)=-2-2+4=0,

因此好_L*,故4尸_L￡E

18.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

【詳解】(1)為正方形，ABCVAB,

「二面角為直二面角，BC_L平面4EB,

以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,0E所在直線為x軸，所在直線為了軸,

過(guò)。點(diǎn)平行于/。的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則40,-1,0),5(0,1,0),C(0,l,2),￡)(0,-1,2),

設(shè)雙尤0,0,0)(%>0),

?.?尸為CE上的點(diǎn)，^C=(-x0,l,2),

：.^EF=AEC=(-2x0,2,22),/.^((l-A)x0,A,22),

BF=((1—^)x0,A—1,2A),AC=(0,2,2),AE=(x0,l,0),

VSFliFffiACE,AE、NCu平面/C￡,.,.而?就=2(4-1)+42=0,

S.BF-AE=(l-A)x^+A-l=0,解得%=1,A=1,A￡(1,0,0),F(|,1,|),

所以2g=(1,1,0),礪=(-1,1,0),AAE-BE=0,AE1BE,

；BC_L平面/即，NEu平面/￡3,/.BCLAE,

又BCcBE=B,BC、BEu平面BCE,/E_L平面BCE；

(2)由題意可知，平面48C。的法向量為瓦=(1,0,0),

__222__?

設(shè)面BDF的法向量為加=(%//),