四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B． C．0.3 D.2．已知直線過點(diǎn)，，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．3．已知直線，，則與的距離為(

)A．1 B．2 C． D．4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A．?2 B． C． D．5．設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識(shí)，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚7．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為．根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.9．一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D．已知直線過定點(diǎn)且與以為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．B．平面平面C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為1D．存在點(diǎn)，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.13.在三棱錐中，，，，則.14．關(guān)于直線?，有下列說法:①對(duì)任意?，直線?不過定點(diǎn)；②平面內(nèi)任給一點(diǎn)，總存在?，使得直線?經(jīng)過該點(diǎn)；③對(duì)任意?，且有?，則直線?與?的交點(diǎn)軌跡為一直線；④當(dāng)?時(shí)，點(diǎn)?到直線?的距離最小值為?.其中正確的是.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知頂點(diǎn)、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．16．—只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，求這2個(gè)都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球，求2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值18．如圖，在四棱錐中，，，，，底面為正方形，，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求三棱錐的體積．19．已知點(diǎn)和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線、均過點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線、是一組“共軛線對(duì)”，如直線和是一組“共軛線對(duì)”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）已知、是一組“共軛線對(duì)”，且知直線，求直線的方程；（2）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條傾斜角為銳角的直線、、上的點(diǎn)（、、與、、均不重合），且直線、是“共軛線對(duì)”，直線、是“共軛線對(duì)”，直線、是“共軛線對(duì)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，直線、是“共軛線對(duì)”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r(shí)，求原點(diǎn)到直線、的距離之積的取值范圍.四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B． C．0.3 D．【正確答案】A【詳解】由可得，由于與是互斥事件，故,2．已知直線過點(diǎn)，，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線的斜率為，所以，則4.3．已知直線，，則與的距離為(

)A．1 B．2 C． D．【正確答案】D【詳解】由題意得，與的距離.4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A．?2 B． C． D．【正確答案】B【詳解】由，得，解得，即，由，得，解得，則，所以.故選：B5．設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，故，而，故，6.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識(shí)，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚【正確答案】B假設(shè)兩人繼續(xù)進(jìn)行比賽，甲獲取360枚金幣有：第四局甲贏，或第四局甲輸，第五局甲贏，故概率為，乙獲取360枚金幣有：第四、五局乙都贏，故概率為，則甲應(yīng)該獲得枚金幣，乙應(yīng)該獲得枚金幣，7．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為．根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面與的一個(gè)法向量為和，設(shè)直線的一個(gè)方向向量為，則，不妨取，則，直線與平面所成的角為，則，8．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】作交于點(diǎn)，得，進(jìn)而得點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，求出弧長(zhǎng)即可.【詳解】作交于點(diǎn)，則由正方體性質(zhì)可知，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，如圖，所以，所以，所以，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為弧長(zhǎng).故選：C.思路點(diǎn)睛：作交于點(diǎn)，由定值，和求出是一個(gè)定值，進(jìn)而得點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，再利用已知條件求出，再結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.9．一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件【正確答案】ACD【詳解】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時(shí)發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對(duì)立事件的概率和為1，，，，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時(shí)發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D．已知直線過定點(diǎn)且與以為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【正確答案】ACD【詳解】A.由2,3是直線的一個(gè)方向向量得也是直線的方向向量，因?yàn)槭侵本€的方向向量，所以，選項(xiàng)A正確；B.由兩直線互相垂直得，，解得或，可知“”兩直線垂直的充分不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C.將直線方程變形為，由得，直線過定點(diǎn)，斜率為.當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大.因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C正確；D.如圖，，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線與線段有交點(diǎn).故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．B．平面平面C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為1D．存在點(diǎn)，使得【正確答案】AB【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A：，，，因?yàn)樗杂?，所?正確；B:設(shè)平面的法向量為，，取，可得，所以，所以平面平面平面的法向量為，，因?yàn)樗杂?，C：因?yàn)?，其中，，又，所以三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn)的軌跡為,長(zhǎng)度為，錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上，設(shè)到平面的距離為,由可得：，解得，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為到平面上點(diǎn)距離的最小值，又，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.【正確答案】【詳解】由題意，，解得.故13.在三棱錐中，，，，則.【正確答案】/【詳解】如圖，因，，，則故答案為.14．關(guān)于直線?，有下列說法:①對(duì)任意?，直線?不過定點(diǎn)；②平面內(nèi)任給一點(diǎn)，總存在?，使得直線?經(jīng)過該點(diǎn)；③對(duì)任意?，且有?，則直線?與?的交點(diǎn)軌跡為一直線；④當(dāng)?時(shí)，點(diǎn)?到直線?的距離最小值為?.其中正確的是.【正確答案】①④【詳解】①對(duì)任意，隨著的變化，也隨之變化，故直線不過定點(diǎn)，①正確；平面內(nèi)取點(diǎn)，則，即，無解，故②錯(cuò)誤；聯(lián)立直線與，得到，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，但當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以交點(diǎn)取不到，所以交點(diǎn)軌跡為一直線的一部分，③錯(cuò)誤.點(diǎn)到直線的距離，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，④正確；故①④.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知頂點(diǎn)、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由、，可知中點(diǎn)為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16．—只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，求這2個(gè)都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球，求2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率.【正確答案】(1)；【詳解】（1）將3個(gè)紅球記為紅1，紅2，紅3，2個(gè)白球記為白1，白2，則任意摸出2個(gè)球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個(gè)樣本點(diǎn)，其中2球均為白球事件的樣本點(diǎn)只有1個(gè)，因此2個(gè)球都是白球概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球，將3個(gè)紅球記為紅1，紅2，紅3，2個(gè)白球記為白1，白2，列表如圖所示：第2次摸球第1次摸球紅1紅2紅3白1白2紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅3）（紅1，白1）（紅1，白2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅3）（紅2，白1）（紅2，白2）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3，白1）（紅3，白2）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，紅3）（白1,白1）（白1,白2）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，紅3）（白2,白1）（白2,白2）所以攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球事件的樣本空間共有25個(gè)樣本點(diǎn)，它們出現(xiàn)的可能性相同，其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球”的樣本點(diǎn)有12個(gè)，所以.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?，，所以為等邊三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，則，所以.又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，