高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修二）第12講423二項(xiàng)分布與超幾何分布

4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布TOC\o"13"\h\u題型1n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 3題型2二項(xiàng)分布的分布列 9題型3二項(xiàng)分布概率最大值問(wèn)題 17題型4實(shí)際問(wèn)題中的二項(xiàng)分布 24題型5超幾何分布辨析 29題型6超幾何分布的分布列 35題型7超幾何分布的概率 43知識(shí)點(diǎn)一.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時(shí)，人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率一般地，事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生k次，共有Ceq\o\al(k,n)種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知"A在k次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余（nk）次試驗(yàn)中不發(fā)生"的概率都是pk·(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pk(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k（k=0，1，2，…，n）.注意：（1）上述公式必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用；（2）使用公式時(shí)一定要明確該公式中各量表示的意義∶n為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)；p是在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率；1p是在1次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生的概率；k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)；（3）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例.一般地，有“恰好發(fā)生k次”“恰有k次發(fā)生”字樣的問(wèn)題，求概率時(shí)，用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)便.知識(shí)點(diǎn)二.二項(xiàng)分布定義∶一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)"成功"的概率為p，記q=1p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…k，…n}，而且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－kk＝0,1,2，…，n.因此X的分布列如下表所示.X01…k…nPCeq\o\al(0,n)(1－p)nCeq\o\al(1,n)p1(1－p)n－1…Ceq\o\al(k,n)pk·(1－p)n－k…Ceq\o\al(n,n)pn·(1－p)0稱這樣的離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開(kāi)式中，第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(1－p)n－kpk，可見(jiàn)P(X＝k)就是二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng)，故此分布叫做二項(xiàng)分布．注意：（1）二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n=1的二項(xiàng)分布（2）判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵在于它是否同時(shí)滿足以下三個(gè)條件∶①對(duì)立性∶在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生與否必居其一.②重復(fù)性∶試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，且每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p.③X的取值從0到n，中間不間斷.由上可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n=1時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式，二項(xiàng)分布中的每次試驗(yàn)的結(jié)果都服從兩點(diǎn)分布.知識(shí)點(diǎn)三.超幾何分布定義：一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件（M<N），從所有物品中隨機(jī)取出n件（n≤N），則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)（即n≤NM）時(shí)取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差（即t=n（NM）），而且P（X=k）=CM注意：對(duì)超幾何分布的理解超幾何分布的模型是不放回抽樣；（2）超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n；（3）超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學(xué)中的男和女等問(wèn)題，往往由差異明顯的兩部分組成.【注意】超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別∶（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是不放回抽樣，而二項(xiàng)分布是放回抽樣（獨(dú)立重復(fù)），當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.題型1n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【方法總結(jié)】n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的判斷依據(jù)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行.（2）每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響.（3）每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生、不發(fā)生.注意點(diǎn)∶n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次，“重復(fù)”意味著各次試驗(yàn)成功的概率相同.（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.【例題1】（2022·全國(guó)·）下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒(méi)射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次5次擊中目標(biāo).其中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件，以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義可以判斷：①，甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；③是互斥事件；④是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).【詳解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；④是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；所以只有④符合題意，故選：D.【變式11】1．（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率，不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是（

）A．0.4,1 B．0,0.4C．0,0.6 D．0.6,1【答案】A【分析】設(shè)事件A發(fā)生一次的概率為p，根據(jù)二項(xiàng)分布求出隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率，和恰好發(fā)生2次的概率，建立p的不等式關(guān)系，求解即可.【詳解】設(shè)事件A發(fā)生一次的概率為p，則事件A的概率可以構(gòu)成二項(xiàng)分布，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可得C41p(1?p)3故選：A.【變式11】2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在某次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次的概率為（

）A．1?pk C．1?1?pk【答案】D【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：A出現(xiàn)1次的概率為1?p，由二項(xiàng)分布概率公式可得A出現(xiàn)k次的概率為：C故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的概率公式，是基礎(chǔ)題.【變式11】3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是___________.（填序號(hào)）①每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；③每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是均等的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的.【答案】①②③【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義判斷①②③④的正確性即可得正確答案.【詳解】在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況，每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是均等的，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以①②③正確，④不正確，故答案為：①②③.【變式11】4．（2018·全國(guó)·高二單元測(cè)試）為研究“在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個(gè)課題，我們可以分三步進(jìn)行研究：（I）取特殊事件進(jìn)行研究;(Ⅱ)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；（Ⅲ）試證明你得到的結(jié)論．現(xiàn)在，請(qǐng)你完成:(1)拋擲硬幣4次,設(shè)P0,P1,(2)拋擲一顆骰子三次,設(shè)P0,P1,(3)由（1）、（2）寫(xiě)出結(jié)論,并對(duì)得到的結(jié)論給予解釋或給予證明.【答案】(1)P0=1(2)P0=125(3)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(【分析】（1）拋擲硬幣擲得正面向上的次數(shù)X服從X~B4,12（2）拋擲骰子擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是3的的次數(shù)X服從X~B3,16（3）根據(jù)A1（1）用Aii=1,2,3,4表示第i次拋擲硬幣擲得正面向上的事件,則Ai發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X～所以P0=1（2）用Aii=1,2,3則Ai發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～所以Pi=C∴P（3）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生kk證明:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A每一次發(fā)生的概率為p，則X～B∴Pi=Cnip【變式11】5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）．①某同學(xué)投籃的命中率為0.7，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X服從二項(xiàng)分布B10,0.7②某福彩中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了20張彩票，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X服從二項(xiàng)分布B20,③從裝有大小與質(zhì)地相同的5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹梗瑒t摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且X服從二項(xiàng)分布BnA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率模型，判斷3個(gè)命題的真假，推出結(jié)果即可．【詳解】解：①某同學(xué)投籃投中的概率P=0.7，該運(yùn)動(dòng)員重復(fù)10則命中次數(shù)X服從二項(xiàng)分布X~②福彩中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了20張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，滿足二項(xiàng)分布X~③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，則X的可能取值為1、2、3、?、n、?，且PX=1=12，PX=2=1不是二項(xiàng)分布，所以③不正確；故選：C．【變式11】6．（2022·新疆石河子一中高二階段練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B6,A．1316 B．4243 C．13243【答案】D【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算．【詳解】P(【變式11】7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B20,13，Y服從二項(xiàng)分布B20,23，那么當(dāng)【答案】21【分析】由二項(xiàng)分布概率公式可構(gòu)造方程得到xk+y【詳解】由PX=x即C20xk又0≤xk≤20，0≤yk≤20，故答案為：21.【變式11】8．（2022·福建·福州三中高二期末）為了保障我國(guó)民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為19，第二輪檢測(cè)不合格的概率為110，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則A．96625 B．256625 C．608625【答案】C【分析】根據(jù)題意可求得該產(chǎn)品能銷售的概率，寫(xiě)出X的取值，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ服從二項(xiàng)分布，分別求出X的取值對(duì)于得概率，從而可得答案.【詳解】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為1?191?110=45，易知所以Pξ=k=CPX=40=故PX故選：C.題型2二項(xiàng)分布的分布列【方法總結(jié)】二項(xiàng)分布問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)∶一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.（2）二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清X~B（n.p）中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.（3）對(duì)于公式P（X=k）=Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，（k=0，1.2，…，n），必須在滿足"獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)"時(shí)才能運(yùn)用.【例題2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）福州紙傘是歷史悠久的中國(guó)傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一．紙傘的制作工序大致分為三步：第一步削傘架，第二步裱傘面，第三步繪花刷油．已知某工藝師在每個(gè)步驟制作合格的概率分別為34，45，(1)求該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有1次制作成功的概率；(2)若該工藝師制作4次，其中制作成功的次數(shù)為X，求X的分布列．【答案】(1)54125(2)X【分析】（1）先求出1次制作成功的概率，在結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式，即可求解；（2）若該工藝師制作4次，其中制作成功的次數(shù)為X，X的可能取值為0，1，2，3，4，即可得X的分布列.（1）由題意可知，1次制作成功的概率為34所以該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有1次制作成功的概率P=（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，X～它的分布列為P即X01234P812162169616【變式21】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市民法律援助熱線接通率為34【答案】分布列見(jiàn)解析【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得X的分布列.【詳解】由題意可知X服從二項(xiàng)分布B3,所以PX=k即PX=0=C30?所以X的分布列為：X0123P192727【變式21】2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從學(xué)校乘車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是25，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ【答案】分布列見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意ξ～【詳解】由題意知ξ～3，25，則P(ξ=2)=所以ξ的概率分布如下表：ξ0123P2754368【變式21】3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某公園種植了4棵棕櫚樹(shù)，各棵棕櫚樹(shù)成活與否是相互獨(dú)立的，且成活率均為23，設(shè)ξ(1)求ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹(shù)未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹(shù)的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)11【分析】（1）根據(jù)題意成活棕櫚樹(shù)的棵數(shù)服從二項(xiàng)分布，再求出分布列即可；（2）由題意計(jì)算Pξ（1）易知ξ所有可能的取值為0，1，2，3，4，且Pξ=0=Pξ=2=Pξ所以ξ的分布列為ξ01234P1883216（2）記“需要補(bǔ)種棕櫚樹(shù)”為事件A，由（1）得，PA所以需要補(bǔ)種棕櫚樹(shù)的概率為1127【變式21】4．（2022·北京師大附中高二期中）某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是［0，100］，樣本數(shù)據(jù)分組為［0，20），［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］.(1)求直方圖中x的值；(2)從該校學(xué)生中任選4人，這4名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X，以直方圖中學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的頻率作為學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率.（i）求X的分布列；（ii）求這4人中至少有1人上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率.【答案】(1)0.0125(2)（i）分布列見(jiàn)解析；（ii）175【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于1列方程可得；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式先求概率，然后可得分布列；由對(duì)立事件的概率公式可得.(1)由直方圖可得：20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1所以x＝0.0125.(2)（i）X的可能取值為0，1，2，3，4.由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為14P(P(P(P(P(所以X的分布列為：X01234P81272731（ii）這4人中至少有1人上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為181256=【變式21】5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在10件產(chǎn)品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．(1)若從這10件產(chǎn)品中任意抽取1件，設(shè)抽取到一等品的件數(shù)為ξ，求ξ的分布列．(2)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，設(shè)抽取到一等品的件數(shù)為η，求η的分布列，(3)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，設(shè)抽取到一等品的件數(shù)為X，求①X的分布列；②抽取到的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)分布列見(jiàn)解析(3)①分布列見(jiàn)解析；②31【分析】（1）根據(jù)題意可得ξ的可能取值，且ξ服從兩點(diǎn)分布，根據(jù)兩點(diǎn)分布計(jì)算其概率，列出分布列即可；（2）根據(jù)題意可得η滿足二項(xiàng)分布，建立二項(xiàng)分布模型，得出η的可能取值，利用二項(xiàng)分布分別計(jì)算其概率，列出分布列即可；（3）根據(jù)題意可得滿足超幾何分布，建立超幾何分布模型，得出的可能取值，分別計(jì)算其概率，列出分布列，設(shè)基本事件A,A1【詳解】（1）解：由題意知ξ的可能取值為0，1，所以ξ服從兩點(diǎn)分布，Pξ=1=因此ξ的分布列為ξ01P73（2）解：若每次抽取后都放回，則每次抽到一等品的概率均為3103次抽取可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此η～它的分布列為Pη=kη0123P34344118927（3）①若每次抽取后都不放回，則隨機(jī)抽取3次可看成隨機(jī)抽取1次，且1次抽取了3件，因此一等品件數(shù)X服從超幾何分布，所以從10件產(chǎn)品中任意抽取3件，其中恰有m件一等品的概率為PX=m所以X的分布列為X0123P72171②設(shè)事件A=A1A2A3=“抽取到的3件產(chǎn)品均為一等品”，則事件A1，A2，因?yàn)镻A1=C3所以PA即抽取到的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為31120【變式21】6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)A=，其中，a1=1，akk=2,3,4,5出現(xiàn)0的概率為1(1)X=3(2)X的分布列．【答案】(1)827【分析】（1）由于a1=1，所以要使（2）令Y=a2+a（1）已知a1=1，要使所以PX（2）令Y=a2易知Y服從二項(xiàng)分布B4,23PXPXPXPXPX所以X的分布列為X12345P1883216【變式21】7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）食品安全問(wèn)題越來(lái)越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對(duì)每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測(cè)，只有三輪檢測(cè)都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測(cè)不合格的概率為17，第二輪檢測(cè)不合格的概率為18，第三輪檢測(cè)合格的概率為(1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；(2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．【答案】(1)13【分析】（1）先求出每輪合格的概率，再利用對(duì)立事件的概率即可求得求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；（2）先分析出4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X的所有可能，再利用二項(xiàng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布的公式求出每種情況的概率，最后寫(xiě)出分布列即可【詳解】（1）解：記Ai(i＝1，2，3)分別為事件“第一、二、三輪檢測(cè)合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”．由題設(shè)知P(A1)＝1－17＝67，P(A2)＝1－18＝7所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－67×78×89（2）解：設(shè)這4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為1600，1000，400，－200，－800，且P(X＝1600)＝C4P(X＝1000)＝C4P(X＝400)＝C4P(X＝－200)＝C4P(X＝－800)＝C4故X的分布列為X16001000400－200－800P168132812481881181題型3二項(xiàng)分布概率最大值問(wèn)題【例題3】（2022·廣東云浮·高二期末）已?X～Bn,pA．56 B．45 C．34【答案】B【分析】根據(jù)4PX=2【詳解】由題意可知n≥3，因?yàn)?PX整理得41?p=n?2p，即p=【變式31】1．（2022·北京通州·高二期末）若X～B10,12A．4 B．5 C．6 D．5或6【答案】B【分析】求得P(【詳解】因?yàn)閄~B10,由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)k=5時(shí)C10k故選：B【變式31】2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人射擊一發(fā)子彈的命中率為0.8，現(xiàn)他射擊19發(fā)子彈，理論和實(shí)踐都表明，這19發(fā)子彈中命中目標(biāo)的子彈數(shù)n的概率fn如下表，若fn01…k…19f0.2C…C…0.8【答案】15或16##16或15【分析】由fk最大可知f【詳解】因?yàn)閒k最大，所以fk≥解得15≤k【變式31】3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分，己知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34,2(1)求X=2(2)求甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的的概率.【答案】(1)1124(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得答案；（2）由題意，根據(jù)概率乘法公式與二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合概率加法公式，可得答案.（1）X=2，則甲隊(duì)有兩人答對(duì)，一人答錯(cuò)，故P（2）設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4為事件A，設(shè)乙隊(duì)得分為Y，則Y～P(P(P(Y=1)=P(∴P=1【變式31】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān)．為了解高中生的數(shù)學(xué)閱讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，在問(wèn)卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間（x小時(shí)/周）00<0.5<x人數(shù)20403010(1)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用PX=k表示這10名學(xué)生中恰有kk∈N,0≤【答案】(1)815【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可知10人有4人閱讀時(shí)間大于0.5，由組合即可求解概率，(2)將頻率視為概率則k~B10,25（1）抽取的10人中，周閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的有4人，小于等于0.5小時(shí)的有6人，故恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率為C（2）周閱讀時(shí)間在0,0.5小時(shí)的頻率為25，故概率為25，則k~由P(k)≥P解得175≤k≤22【變式31】5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價(jià)越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計(jì)了一套方案，并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.實(shí)驗(yàn)周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個(gè)果實(shí)，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（單位：mm）.統(tǒng)計(jì)后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為“大果”.(1)估計(jì)實(shí)驗(yàn)園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，再?gòu)倪@10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中“大果”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)以頻率估計(jì)概率，從對(duì)照?qǐng)@這批果實(shí)中隨機(jī)抽取n（n≥2，n【答案】(1)60%(2)分布列見(jiàn)解析(3)6【分析】（1）根據(jù)頻率為頻率分布直方圖中條形的面積求解即可；（2）根據(jù)題意X的可能取值為0，1，2，3，再根據(jù)超幾何分布的概率求解即可；（3）根據(jù)Pn?1P（1）由題中實(shí)驗(yàn)園的頻率分布直方圖得這100個(gè)果實(shí)中大果的頻率為0.110+0.010×5=0.6（2）由題中對(duì)照?qǐng)@的頻率分布直方圖得，這100個(gè)果者實(shí)中大果的個(gè)數(shù)為0.040+0.020×5×100=30.采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，其中大果有30從這10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中“大果”的個(gè)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，PX=0=C73C所以X的分布列為X0123P72171（3）由題可知Pn=Cn2×0.32×0.7n∴173<n<20【變式31】6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強(qiáng)化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣，健康飲食”的口號(hào)．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來(lái)滿足同學(xué)們的需求．在某學(xué)期期末，校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的用餐滿意度，從用餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)其評(píng)分，滿分為100分．隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將得分分成5組：第1組50,60，第2組60,70，第3組70,80，第4組80,90，第5組90,100，得到頻率分布直方圖如圖．(1)求圖中a的值；若要在平均數(shù)和眾數(shù)中選用一個(gè)量代表學(xué)生對(duì)本校食堂的評(píng)分情況，哪一個(gè)量比較合適，并簡(jiǎn)述理由；(2)以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從學(xué)校所有學(xué)生中中隨機(jī)抽取18名，調(diào)查其對(duì)本校食堂的用餐滿意度，記隨機(jī)變量X為這18名學(xué)生中評(píng)分在[50,70]的人數(shù)，請(qǐng)估計(jì)這18名學(xué)生的評(píng)分在[50,70]最有可能為多少人？【答案】(1)a=0.005【分析】（1）根據(jù)在頻率直方圖中所有小矩形面積之和為1，結(jié)合平均數(shù)和眾數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.（1）由圖知：(2a+0.055+0.02+0.015)×10=1，故①選用平均數(shù)比較合適，因?yàn)橐环矫嫫骄鶖?shù)反映了評(píng)分的平均水平，另一方面由頻率分布直方圖估計(jì)時(shí)評(píng)分的極端值所占比例較少，故選用平均數(shù)較合理.②選用眾數(shù)比較合適，因?yàn)橐环矫姹姅?shù)反映了出現(xiàn)頻率最多的那個(gè)值的信息，反映了普遍性的傾向，另一方面由頻率分步直方圖估計(jì)其中評(píng)分在60,70的人數(shù)超過(guò)了一半，從而選用眾數(shù)也比較合理；（2）記18名學(xué)生中k名學(xué)生的成績(jī)?cè)赱50,70)的概率為P(X=由已知得X~B(18，0.6)，∴P令P(X=k)≥P(x=k?1)P(【變式31】7．（2022·北京·牛欄山一中高二階段練習(xí)）甲和乙參加相同的含有10個(gè)判斷題的考試.甲回答正確任一問(wèn)題的概率為0.7，且這些問(wèn)題的回答相互獨(dú)立，乙回答正確任一問(wèn)題的概率為0.4，且這些問(wèn)題的回答相互獨(dú)立，兩人的發(fā)揮也相互獨(dú)立.(1)甲乙兩人第一題答案不同的概率；(2)甲恰好答對(duì)5個(gè)題的概率；（只需列出式子）(3)乙答對(duì)幾個(gè)題的概率最大?直接寫(xiě)出結(jié)論.【答案】(1)0.54(2)C105【分析】（1）先計(jì)算甲乙兩人第一題都答對(duì)和都答錯(cuò)的概率，進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件的概率得答案；（2）由題知甲回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)X～（3）由題知乙回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)Y～(1)解：因?yàn)?，甲回答正確任一問(wèn)題的概率為0.7，乙回答正確任一問(wèn)題的概率為0.4，所以甲乙兩人第一題都答對(duì)的概率為P1=0.7×0.4=0.28，都答錯(cuò)的概率為所以，甲乙兩人第一題答案不同的概率為P(2)解：由于甲回答正確任一問(wèn)題的概率為0.7，且這些問(wèn)題的回答相互獨(dú)立，所以，甲回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)X～所以，甲恰好答對(duì)5個(gè)題的概率為PX(3)解：乙答對(duì)4個(gè)題的概率最大.因?yàn)橐一卮鹫_任一問(wèn)題的概率為0.4，且這些問(wèn)題的回答相互獨(dú)立，所以，乙回答問(wèn)題正確的個(gè)數(shù)Y～所以，假設(shè)乙答對(duì)k個(gè)題的概率最大，則概率為PY=k則C10k0.4k0.6所以，當(dāng)k=4時(shí)，C【變式31】8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端．某種植戶對(duì)一塊地的n個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為12，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．則當(dāng)n【答案】

5或6##6或5

516【分析】由題設(shè)可得補(bǔ)播種的概率P=12【詳解】對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率P=所以補(bǔ)播種坑的數(shù)量服從B(n,要使Cn312n當(dāng)n=5或n=6，所以，當(dāng)n=5或n=6時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為故答案為：5或6，516題型4實(shí)際問(wèn)題中的二項(xiàng)分布【例題4】（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高二階段練習(xí)）高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過(guò)程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止現(xiàn)從入口放進(jìn)一個(gè)白球，則其落在第③個(gè)格子的概率為（

）A．164 B．1564 C．21128【答案】C【分析】小球從起點(diǎn)到第③個(gè)格子一共跳了7次，其中向左邊跳動(dòng)5次，向右邊跳動(dòng)2次，向左向右的概率均為12，則向右的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B【詳解】小球從起點(diǎn)到第③個(gè)格子一共跳了7次，其中向左邊跳動(dòng)5次，向右邊跳動(dòng)2次，向左向右的概率均為12，則向右的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B所求概率為P=故選：C．【變式41】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為1，2，3，?，6，用X表示小球落入格子的號(hào)碼，假定底部6個(gè)格子足夠長(zhǎng)，投入160粒小球，則落入3號(hào)格的小球大約有__________．【答案】50【分析】設(shè)Y=X?1，由題意得Y~B【詳解】解：設(shè)A=“向右下落”，則A=“向左下落”，且設(shè)Y=X?1，∵小球下落過(guò)程中共碰撞5∴P(Y=k∴P(X=3)=C52故答案為：50．【變式41】2．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行.如圖所示的為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲?乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲?乙每次投壺投中的概率分別為12【答案】17【分析】按照乙只投中1次、乙只投中2次、乙投中3次，分3種情況求出乙獲勝的概率再相加可得結(jié)果.【詳解】若乙只投中1次，則甲投中0次時(shí)乙獲勝，其概率為C3若乙只投中2次，則甲投中0次或1次時(shí)乙獲勝，其概率為C32?若乙投中3次，則乙必獲勝，其概率為(13)故答案為：17【變式41】3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某種小麥在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，今調(diào)查該種小麥100株，試計(jì)算獲得2株和2株以上變異植株的概率.【答案】0.0751【分析】根據(jù)題意發(fā)生變異株的株數(shù)X滿足X~【詳解】解：設(shè)發(fā)生變異株的株數(shù)為X，則X~所以P所以獲得2株和2株以上變異植株的概率約為0.0751【變式41】4．（2021·湖北武漢·高二期中）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)．每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次．求下列事件的概率．（1）質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的位置；（2）質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)距離不大于2．【答案】（1）516；（2）25【分析】（1）分析質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)情況為右移3次，左移3次，每次移動(dòng)左、右發(fā)生的概率均為12，所以服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的公式求出結(jié)果；（2）設(shè)X表示質(zhì)點(diǎn)在6次運(yùn)動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)，則向左移動(dòng)6?X次，與原點(diǎn)距離不大于2即為6?2X≤2，求解【詳解】（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)6次回到原點(diǎn)，則必定右移3次，左移3次，則可看作質(zhì)點(diǎn)作6次運(yùn)動(dòng)，X表示向右移動(dòng)的次數(shù)，則X~B6,（2）設(shè)X表示質(zhì)點(diǎn)在6次運(yùn)動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)，則向左移動(dòng)6?X次，則質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)距離不大于2為6?2X≤2，即X【變式41】5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某藥廠研制一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為90%.隨機(jī)選擇了10個(gè)病人，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過(guò)6人，你是否懷疑藥廠的宣傳.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布求概率得出隨機(jī)選10人，治愈人數(shù)不超過(guò)6人的概率約為0.013，概率很小，所以可懷疑可不懷疑藥廠的宣傳.【詳解】由題意知，若此藥治療某種疾病有效率為90%，則隨機(jī)選擇了10個(gè)病人，治愈人數(shù)不超過(guò)6人的概率為：1?C所以概率非常小，因此治愈人數(shù)不超過(guò)6人是小概率事件，在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，然而現(xiàn)在發(fā)生了，從這個(gè)角度，就可以懷疑藥廠是虛假宣傳；換另一個(gè)角度，治愈人數(shù)不超過(guò)6人是一個(gè)隨機(jī)事件，在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，所以從這個(gè)角度看，也可以不懷疑藥廠的宣傳.【變式41】6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)．每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，則質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的位置的概率為_(kāi)_____，質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)的距離不大于2的概率為_(kāi)_____．【答案】

516##0.3125

25【分析】設(shè)X表示向右移動(dòng)的次數(shù)，則X～B6,12，質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率PX=3=C63【詳解】設(shè)X表示向右移動(dòng)的次數(shù)，則X～所以質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率PX設(shè)事件Y表示質(zhì)點(diǎn)位置與原點(diǎn)的距離，則Y=6?X若Y=6?2X所以PY≤2=故答案為：516；25題型5超幾何分布辨析【方法總結(jié)】方法技巧判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象；（2）是否為不放回抽樣（3）隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).【例題5】（2021·全國(guó)·）（多選）關(guān)于超幾何分布下列說(shuō)法正確的是（

）A．超幾何分布的模型是不放回抽樣 B．超幾何分布的總體里可以只有一類物品C．超幾何分布中的參數(shù)是N，M，n D．超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成【答案】ACD【分析】根據(jù)超幾何分布的概念及內(nèi)涵，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】由超幾何分布的定義，超幾何模型為不放回抽樣，故A正確；超幾何分布實(shí)質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M(M<N)件，從所有物品中任取n(n≤N)件，這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為k時(shí)的概率為故選：ACD【變式51】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項(xiàng).【詳解】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.故選：B.【變式51】2．（2022·河北邢臺(tái)）（多選）中秋節(jié)又稱祭月節(jié)、仲秋節(jié)、拜月節(jié)、團(tuán)圓節(jié)等，是中國(guó)民間的傳統(tǒng)節(jié)日．中秋節(jié)自古便有祭月、賞月、吃月餅等民俗，流傳至今，經(jīng)久不息．在一個(gè)食盒中裝有大小一樣的五仁月餅6個(gè)，鮮肉月餅4個(gè)，小明同學(xué)從中一次性任取4個(gè)月餅，設(shè)取出的4個(gè)月餅中鮮肉月餅的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．PX=2C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布 D．P【答案】ACD【分析】根據(jù)題意隨機(jī)變量服從超幾何分布可判斷BC，再由超幾何分布計(jì)算X=2,3【詳解】由題意知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；PX=2=所以P1<故選：ACD【變式51】3．（2022·江蘇揚(yáng)州·）（多選）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．取出的白球個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布B．取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C．取出2個(gè)白球的概率為3D．若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為3【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合二項(xiàng)分布、超幾何分布的意義判斷A，B；求出概率值判斷C，D作答.【詳解】從10個(gè)球中任取3個(gè)球，可視為不放回取球3次，每次取到白球的概率不同，各次試驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立，取出的白球個(gè)數(shù)X不服從二項(xiàng)分布，A不正確；從10個(gè)球中任取3個(gè)球，取出的黑球個(gè)數(shù)Y的分布列P(從10個(gè)球中任取3個(gè)球，取出2個(gè)白球的概率P1依題意，取出3球總得分最大是6分，即取出3個(gè)黑球的事件，其概率為：P2故選：BC【變式51】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一箱中裝有6個(gè)同樣大小的紅球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的黃球，編號(hào)為7，8，9，10．現(xiàn)從箱中任取4個(gè)球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最小號(hào)碼B．若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號(hào)碼C．取出一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)黃球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分D．若有放回的取球時(shí)，X表示取出的黃球個(gè)數(shù)【答案】C【分析】分別計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中X的分布列或X的分布列類型，根據(jù)超幾何分布的概念及計(jì)算公式，進(jìn)行判斷.【詳解】超幾何分布的概念為：設(shè)總體有N個(gè)，其中含有M個(gè)不合格品。若從中隨機(jī)不放回抽取n個(gè)產(chǎn)品，則不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，若n>M，則可能取0,1,2…，M，由古典方法可以求得X=k的概率是：PX假如n≤M，則X可能取0,1,2…，n；此時(shí)求得X=PX=k根據(jù)超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C選項(xiàng)滿足A選項(xiàng)，X可能取值為1,2,3,4,5,6,7，PX=7=1CPX=4=C6PXX的分布列為：X1234567P2412121B選項(xiàng)，若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號(hào)碼，則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，PX=1=PXPX?，故不滿足超幾何分布；C選項(xiàng)，X表示取出的4個(gè)球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8，PX=4=PX=6=PX顯然滿足超幾何分布，D選項(xiàng)，若有放回的取球時(shí)，X表示取出的黃球個(gè)數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3,4，由于是有放回的取球，故X～故選：C【變式51】5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有（

）A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量XD．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X【答案】ABD【分析】根據(jù)超幾何分布的定義可以得出答案.【詳解】解：依據(jù)超幾何分布模型定義可知，試驗(yàn)必須是不放回地抽取n次，A、B、D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問(wèn)題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.故選：ABD【變式51】6．（2022·全國(guó)·）（多選）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最大號(hào)碼B．X表示取出的最小號(hào)碼C．取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分D．X表示取出的黑球個(gè)數(shù)【答案】CD【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取；由此逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】AB不符合超幾何分布的定義，無(wú)法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，即AB錯(cuò)；CD選項(xiàng)符合超幾何分布的定義，將黑球視作次品，白球視作正品，則可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，即CD正確；故選：CD.【變式51】7．（2022·全國(guó)·）寫(xiě)出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？（1）X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)．（2）X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和．（3）有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X3．（4）有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M>n>0)．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】（1）由條件可知X1～Bn,【詳解】【解】（1）X1的分布列為X1012…nPCnCC…CX1服從二項(xiàng)分布，即X1～Bn（2）X2的分布列為X223456789101112P136236345654321（3）X3的分布列為X3012…nP1?MCC…MNX3服從二項(xiàng)分布，即X3～Bn(4)X4的分布列為X401…k…nPCNC…C…CX4服從超幾何分布．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是讀懂題意，分清變量服從的分布類型，再根據(jù)公式求解.題型6超幾何分布的分布列【例題6】（2022·湖北孝感·高二期末）已知某批產(chǎn)品共20件，其中二等品有8件.從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，試填寫(xiě)下列關(guān)于ξ的分布列.ξ012P33______________________【答案】

4895

【分析】利用超幾何分布求解即可【詳解】由題意可得Pξ=1=故答案為：4895；14【變式61】1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某校高一、高二的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生．推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)99100【分析】（1）利用對(duì)立事件求得高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.（2）根據(jù)超幾何分布的分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出X的分布列.（1）高一高二共推薦6名男生和6名女生，高一沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為C3所以高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1?1（2）根據(jù)題意得知，X的所有可能取值為1、2、3．PX=1=C3所以X的分布列為X123P131【變式61】2．（2022·北京延慶·高二期末）袋中有4個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到1個(gè)黑球的概率；(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列．【答案】(1)49【分析】（1）法一：根據(jù)古典概型的公式，求的總數(shù)和符合題意事件的個(gè)數(shù)，可得答案；法二：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式，先求一次實(shí)驗(yàn)的概率，可得答案.（2）根據(jù)超幾何分布的概念及其概率公式，可得答案.（1）法一：有放回地抽取3次，取法總數(shù)為6×6×6=216種，設(shè)恰好取出一個(gè)黑球?yàn)槭录嗀，A中包含有3×2×4×4=96種取法，所以P(法二：抽取1次取出黑球的概率為26=1則P(（2）從6個(gè)球中任意取出3個(gè)球的取法總數(shù)為C63=20，P(X=0)=C2所以X的分布列為：X012P131【變式61】3．（2022·北京·昌平一中高二期中）某校為舉辦甲乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二、為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)袖樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校全體男生及全體女生中各隨機(jī)抽取1人（i）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率，該校女生支持方案一的概率；（ii）并依此計(jì)算這2人中恰有1人支持方案一的概率；(2)從該校上述支持方案一的樣本中，按性別分層抽樣選取5人，再?gòu)倪@5人中任取3人進(jìn)行訪談，設(shè)隨機(jī)變量X表示3人中男生的人數(shù)，求X的分布列；(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p0，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1，試比較p0【答案】(1)（i）男生支持方案一的概率為13；女生支持方案一的概率為34(2)分布列見(jiàn)解析(3)p【分析】（1）（i）由頻率估計(jì)概率即可得到結(jié)果；（ii）由獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）按照分層抽樣原則可得5人中的男女生人數(shù)，由此可得X所有可能的取值，利用超幾何分布概率公式計(jì)算可得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；（3）由表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得p0=1(1)（i）由表格數(shù)據(jù)可得：該校男生支持方案一的概率為200200+400=1（ii）2人中恰有1人支持方案一的概率為13(2)∵支持方案一的男女生比例為2:3，∴抽取的5人中，有男生2人，女生3人，則X所有可能的取值為0,1,2，∴PX=0=C∴XX012P133(3)由表格數(shù)據(jù)知：該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值p0其中男生支持方案二的概率估計(jì)值為350350+250=7∴一年級(jí)學(xué)生支持方案二的人數(shù)為500×7設(shè)該校共有學(xué)生n人，則p1=1【變式61】4．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二階段練習(xí)）老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學(xué)只能背誦其中的6篇，求(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列(2)他能及格的概率【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)超幾何概率公式，求概率，再寫(xiě)出分布列；（2）根據(jù)分布列計(jì)算P(（1)設(shè)廈門中學(xué)生助手抽到能背誦的課文篇數(shù)為X，X的可能取值為0，1，2，3則X的分布列為P(X0123P1311(2)及格的概率為P【變式61】5．（2022·吉林·遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)校高二期末）某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項(xiàng)活動(dòng)．(1)求選出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；(2)用X表示選出的2人中男生的個(gè)數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)35【分析】（1）根據(jù)組合的應(yīng)用，結(jié)合古典概型計(jì)算即可；（2）由題知X可能的取值為0，1，2，進(jìn)而根據(jù)超幾何分布求解即可.(1)解：某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，從中選2人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有C5設(shè)“選出的兩人中，恰有1名男生，1名女生”為事件A，則P(2)解：根據(jù)題意，X可能的取值為0，1，2．PX=0=C2故X的分布列為X012P133【變式61】6．（2022·廣東廣州·高二期中）某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對(duì)該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：分組區(qū)間(單位：克)(490,495](495,500](500,505](505,510](510,515]產(chǎn)品件數(shù)34751包裝質(zhì)量在(495,510]克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.(1)估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；(2)從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.【答案】(1)45【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意X的可能取值為0、1、2，求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列；（3）依題意Y～B2,(1)樣本中一共有3+4+7+5+1=20件產(chǎn)品，包裝質(zhì)量在(495,510]克的產(chǎn)品有4+7+5=16件，故從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率P=(2)依題意X的可能取值為0、1、2；PX=2=C故X的分布列為：X012P33212(3)依題意Y～B2,45，則Y的可能取值為0，1，故Y的分布列為：Y012P1816【變式61】7．（2022·廣東·海珠外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）某校從學(xué)生會(huì)宣傳部6名成員（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動(dòng).(1)選拔前6個(gè)人站成一排拍照，其中2個(gè)女生不能相鄰，共有多少種不同的站法(2)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布.【答案】(1)480(2)答案見(jiàn)解析【分析】(1)要使女生不相鄰，先排男生，再讓女生排在男生之間的空隙中；(2)根據(jù)題意可得ξ的所有可能取值為0,1,2，再求出ξ取每一個(gè)值的概率,可得ξ的分布.(1)先4個(gè)男生站成一排有A44種站法，這4個(gè)男生之間和男生的兩邊共有5個(gè)“空檔”，在這5個(gè)“空檔”中選取2個(gè)排女生，共有A5(2)ξ的所有可能取值為0,1,2，依題意得P(ξ＝0)＝C43C63＝15，P(ξ＝1)＝C42C∴ξ的分布列為:ξ012P131【變式61】8．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）分別指出下列隨機(jī)變量服從什么分布，并用合適的符號(hào)表示：(1)某班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名學(xué)生戴眼鏡，隨機(jī)從這個(gè)班級(jí)中抽取5人，設(shè)抽到的不戴眼鏡的人數(shù)為X；(2)已知女性患色盲的概率為0.25%，任意抽取300名女性，設(shè)其中患色盲的人數(shù)為X；(3)學(xué)校要從3名男教師和4名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中男教師的人數(shù)為X．【答案】(1)X～H30,5,20(2)【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的定義判斷可得；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的定義判斷可得；（3）根據(jù)超幾何分布的定義判斷可得；(1)解：依題意不戴眼鏡的人數(shù)為X服從參數(shù)為30，5，20的超幾何分布，即X(2)解：依題意每次抽到患色盲的概率為0.25%，任意抽取300名女性，設(shè)其中患色盲的人數(shù)為X，則X(3)解：抽取的人中男教師的人數(shù)為X服從參數(shù)為7，3，3的超幾何分布，即X題型7超幾何分布的概率【例題7】（遼寧·高考真題）設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為（

）A．C804?C106C10010【答案】D【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解.【詳解】從袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球共有C100恰好有6個(gè)紅球，則有4個(gè)白球，故取法有C806?故選：D【變式71】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把半圓弧分成4等份，以這些分點(diǎn)（包括直徑的兩端點(diǎn)）為頂點(diǎn)，作出三角形，從中任取3個(gè)不同的三角形，則這3個(gè)不同的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)X不少于2的概率為_(kāi)_____．【答案】49【分析】確定三角形的個(gè)數(shù)，以及直角三角形、鈍角三角形的個(gè)數(shù)，利用組合計(jì)數(shù)原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】如下圖所示，設(shè)AB為半圓弧的直徑，C、D、E為半圓弧另外的三個(gè)四等分點(diǎn)，從A、B、C、D、E這5個(gè)點(diǎn)任取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，一共能組成三角形的個(gè)數(shù)為C5其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3由題意可知X∈0,1,2,3，PX因此，所求概率為P=故答案為：4960【變式71】2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布；②取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布；③取出2個(gè)白球的概率為114④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為1A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取可判斷①②；利用超幾何分布求概率的方式即可判斷③④【詳解】對(duì)于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號(hào)碼X不符合超幾何分布的定義，無(wú)法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取出的黑球個(gè)數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故②正確；對(duì)于③，取出2個(gè)白球的概率為C6對(duì)于④，若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則取出四個(gè)黑球的總得分最大，∴總得分最大的概率為C6故選：B【變式71】3．（2007·四川·高考真題（文））廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家對(duì)一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按規(guī)定拾取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否驗(yàn)收這批產(chǎn)品：(1)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格產(chǎn)品的概率；(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件產(chǎn)品合格時(shí)才接收這些產(chǎn)品，否則拒收，分別求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產(chǎn)品的概率．【答案】(1)0.7599；(2)答案見(jiàn)詳解.【分析】（1）由對(duì)立事件概率公式及產(chǎn)品合格的概率為0.3，即可求出從產(chǎn)品中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)至少有1件是合格的概率；（2）根據(jù)超幾何分布求出對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合對(duì)立事件概率公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件事合格品”為事件A用A的對(duì)立事件來(lái)算，有P(（2）設(shè)商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0,1,2，Pξ=0=C17所以商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品為1件、2件的概率分別為51190、3記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率P所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為2795【變式71】4．（2007·天津·高考真題（文））已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(1)求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；(2)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.【答案】(1)5126(2)【分析】（1）若“取出的4個(gè)球均為紅球”，則從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球均為紅球，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）若“取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”，則有兩種可能：“甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中有1個(gè)紅球，乙盒內(nèi)任取2個(gè)球中沒(méi)有紅球”和“甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中沒(méi)有紅球，乙盒內(nèi)任取2個(gè)球中有1個(gè)紅球”，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）記“從甲盒內(nèi)任取2個(gè)球中有ii=0,1,2個(gè)紅球”為事件Aii=0,1,2則PAi=故取出的4個(gè)球均為紅球的概率P=（2）取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率P=【變式71】5．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)高二期中）共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注．某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這50人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按