2024-2025學(xué)年天津市北辰區(qū)高二年級上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市北辰區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共9小題）

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點M（-3,1,5）,關(guān)于平面x。對稱的點的坐標(biāo)是（)

A.(-3,-1,-5)B.(-3,1,-5)C.(3,1,-5)D.(3,-1,-5)

2.直線y=-岳+加的傾斜角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.在四棱錐尸中，底面ZBCQ是正方形，￡是尸。的中點,若

貝1礪=

A.-a--b+-cB.-a--b--c

222222

1一31一

C.—ci----br+—cD.-a--b+-c

222222

4.過直線'+>+1=0和x-2y+7=0的交點，且與直線x+2y-3=0垂直的直線方程是

A.2x—y+3=0B.2x—y+5=0C.x+2y—4=0D.2x—y+8=0

5.若圓G：(X_1)2+(y_1)2=4與圓G：12+「_8]_]+加=0外切，貝lj加=（

A.32B.26C.18D.-24

6.已知3是空間的一組基底，其中您=2。+3幾AC=a-c^~AD=2b+Ac-若

A,B,C,。四點共面，則4=（)

334

A.——B.一D.——

443

7.若直線4m-y+i=o與4：x-町-1=。平行，則4與，2間的距離為（

B.V3C.V2D.2

8.設(shè)點/（4,-3）,5（5,5）,直線/過點尸（1,1）且與線段N8相交，則直線/的斜率左的取

值范圍是（）

44

A.k>l^k<-4B.k>l^k<C.-4<k<lD.一一</c<l

33

9.若圓光2+7=/（廠>0）上僅有2個點到直線x-y-2=0的距離為1,則實數(shù)，?的取值

范圍為（）

A.+l,+cojB.^A/2—1,V2+ijC.^0,V2—ijD.（0,A/^+1）

二、填空題（本大題共6小題）

10.已知向量3=（x,2,-l）,b=（2,3,0）,|fl|=V5,則鼠?=.

11.已知橢圓二+片=1的焦距是4,則該橢圓的長軸長為.

m4

12.圓尤2+必一8=0與圓x2+j?-3x+4y-18=0的公共弦的長為.

13.直線/過點（-2,4）,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線/的方程為.

14.如圖，隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，假設(shè)

貨車的最大寬度為am,那么要正常駛?cè)朐撍淼?，貨車的限高?

15.已知圓-2x+V-2啊+2〃z-4=0,當(dāng)圓C的面積最小時，直線

/:3x-4y+a=0與圓C相切，則實數(shù)。的值為.

三、解答題（本大題共5小題）

16.已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且圓心為（2,0）.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知直線/：3x+4y-l=0與圓C相交于A,8兩點，求弦長|Na的值；

⑶過點尸（4,-4）引圓C的切線，求切線的方程.

17.如圖，/E_L平面/BCD,AD1AB,CFIIAE,AD!IBC,AB=CF=2AD=2,

AE=IBC=8

(1)求證：3。1平面EC尸；

⑵求平面8CF與平面ECF夾角的余弦值；

(3)求點B到平面ECF的距離.

22

18.已知橢圓C：A+4=l(a>6>0)的左右焦點分別為耳，耳，上頂點為尸，長軸長

ab

為4,若△咫為為正三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點片，斜率為g的直線與橢圓相交兩點，求的長；

(3)過點片的直線與橢圓相交于45兩點，國=2乖,求直線的方程.

19.如圖，在三棱錐尸-N8C中，平面PNCJ.平面48C,PALAC,ZBAC=90°,點

D,E,N分別為棱PN,PC,8c的中點，M是線段的中點，PA=4,

AB=AC=2.

(1)求證：MNU平面BDE；

(2)求直線CE與平面所成角的正弦值；

2

⑶已知點H在棱加上，且直線的與直線BE所成角的余弦值為求線段的

長.

22(府

20.設(shè)橢圓￡:3+4=1(°>6>0)的左右焦點分別為公，F(xiàn)2,且過點后，一，離心

abI2,

率為g.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)動直線/與坐標(biāo)軸不垂直，/與曲線E交于不同的M,N兩點，且直線工M和

工N的斜率互為相反數(shù).

①證明：動直線/恒過x軸上的某個定點，并求出該定點的坐標(biāo)；

②求AQMN面積的最大值.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】點M（-3,l,5）,關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不動，豎坐標(biāo)變成相

反數(shù)，所以坐標(biāo)是（-3,1,-5）.

故選：B

2.【正確答案】C

【詳解】因為直線y=—6x+%的斜率為左=—6,由左=tana=—6?e[0,7i）,得到

a=120。，

所以直線了=-岳的傾斜角為120。，

故選：C.

3.【正確答案】C

【詳解[BE="PE-PB=^PD-JB=yiPB=]-^D-PB）

^^[BA+BC-PB^^-（PA-PB+PC-PB-PB）

=-PA--PB+-PC=-a-3-b+I".

222222

故選：C.

4.【正確答案】D

fx+y+1—0=-3,、

【詳解】聯(lián)立方程、…，解得、,所以交點坐標(biāo)為-3,2；

[%—2>+7=0[>=2

1-X-2

直線x+2y-3=0的斜率為一;，所以所求直線方程的斜率為1一/,

2一5

由點斜式直線方程得：所求直線方程為>-2=2（X+3）,即2x-y+8=0；

故選：D

5.【正確答案】A

【詳解】由（X—1『+5-1）2=4得圓心12,

由x12+j^2-8x-10j/+m=0（x-4）2+（y-5）2=41-m,

圓心G（4,5）,r2=141-加,

因為兩圓向外切，所以|GG|=4+4，

即J(4_1)2+(5—1)2=2+j41—加，可得J41-加=3,解得"7=32,

故選：A

6.【正確答案】C

【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對(xj),使得方=x二+y而,

即21+3B=x('-?)+y(25+點)，

貝！J2a+?>b=xa+2yb+(Ay-x)c,

34

則x=2,j^=—,^y-x=O,解得；［=§.

故選：C

7.【正確答案】C

【詳解】由題意，直線4：ax-y+l=0與4：x-即T=0平行，

故ax(—tz)+l=0a=±1

當(dāng)4=1時，直線4：x—y+l=O,/2：X-J；-1=O,兩直線平行；

當(dāng)。=一1時，直線4：—x—y+i=o,個%+歹―1=0，兩直線重合，舍去.

故。=1

.1—(—1)rr

此時k與。間的距離"=/J、2=也

故選：C

8.【正確答案】D

-3-1475-1

【詳解】-'kpR=

4-1395-1

數(shù)形結(jié)合知，直線/的斜率左需滿足%“左《左os

4

即一一<*<1,

3

9.【正確答案】B

【詳解】作與直線x-y-2=0平行，且到直線x-y-2=0的距離等于1的兩條直線,

?.,圓X2+必=/的圓心為原點，

原點至IJ直線x-V-2=0的距離為4=也專引=收，

，兩條平行線中與圓心。距離較遠的一條到原點的距離為亞+1，

較近的一條到原點的距離為&-1，

又?.?圓/+/=/。＞0）上有2個點到直線x-y-2=0的距離為1,

兩條平行線中與圓心較近的與圓/+/=/有2個公共點，

10.【正確答案】6

【詳解】由G=（x,2,-1）,可知同=Jx。+4+1=屁,解得x=0,

所以限B=0X2+2X3+0X（-1）=6,

故6

11.【正確答案】472

【詳解】當(dāng)焦點在x軸上時，獷4=2,解得〃7=8,

所以長軸長為4&;

當(dāng)焦點在〉軸上時，J4-加=2,解得〃?=0（舍去），

綜上所述，橢圓的長軸長為4&.

故答案為.4及

12.【正確答案】4

【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓/+丁=8的圓心到

相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.

【詳解】將圓尤2+/—8=0與圓/+/—3》+4〉一18=0相減可得3%-4y+10=0,

即兩圓的公共弦所在的直線方程為3x-4y+10=0,

又圓/+/-8=0圓心O至I」直線3x-4y+10=0的距離d==2,

A/32+42

圓》2+丁=8的半徑為2C，所以公共弦長為2，（2后）2-屋=2,（2S"j一2?=4.

故答案為.4

13.【正確答案】2x+y=0或x+y-2=0

【詳解】當(dāng)截距為0時，設(shè)了=區(qū)，

將（-2,4）代入直線方程，一左=2,解得左=-2,

故直線/的方程為V=-2x,

當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線/的方程為±+上=1,

aa

_r）4

將（-2,4）代入直線方程，—+-=1,解得。=2,

aa

故直線/的方程為x+y=2,

故直線/的方程為2x+y=0或x+y-2=0.

故2x+y=0或x+y-2=0

14.【正確答案】716-（z2m

【詳解】如圖，矩形OWN尸是貨車截面圖，|OM|=a,則

\MN\=yj\ON^-\OMf=716-a2.

15.【正確答案】H或-9

【詳解】解：由圓C:x2-2x+/-2my+2m-1=0,

得—=(〃2_I)2+%

當(dāng)〃z=l時，圓C的半徑最小為2,即面積最小，

所以當(dāng)圓C的面積最小時，圓的方程為(x-l『+(y-l)2=4,

圓心C(l,l),半徑廠=1,

因為直線/：3》-4>+。=0與圓C相切，

所以圓心C(l,1)到直線/的距離與:;，=2,

解得Q=11或—9.

故11或-9.

16.【正確答案】⑴(x-2p+y2=4

(2)26

(3)1=4和3%+4歹+4=0

【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2,0),半徑為2,則圓C的方程為

(x-2)2+y2=4；

(2)由(1)可知：圓C的半徑廠=2,

設(shè)圓心C(2,0)到/:3x+4y-l=0的距離為4,則"=與』=1,

所以卸=2y/r2-d2=2百.

(3)當(dāng)斜率不存在時，x=4為過點尸的圓C的切線.

當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為了+4=左(》一4),即融一—4一4左=0,

|4+2左|3

d=V^=2,解得左=一:，所以3x+4y+4=0.

V1+A-24

綜上所述：切線的方程為x=4和3x+4y+4=0.

17.【正確答案】（1）證明見解析

（2）亭

⑶手

【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】（1）因為平面/8C。，AD1AB,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,4,o）,￡＞（0,1,0）,￡（0,0,8）,尸（2,4,2）,

所以麗=（-2,1,0）,CE=（-2,-4,8）,麗=（0,0,2）,

所以麗?屋=0，麗.麗=0，

所以南上區(qū),BDLCF,即3。_LCE,BDLCF,

又CEnCF=C,CE,CFu平面ECF,所以8。1平面ECF.

（2）因為數(shù)=（0,4,0）,而=（0,0,2）,設(shè)平面5CF的法向量為五=（x/,z）,

m-BC=4v=0---

則一一-，取〃7=。z,0,0）,又平面ECF的法向量可以為z（-2,1,0）,

mCF=2z=0

\m-BD\22J

設(shè)平面5CF與平面ECF的夾角為0,則cos0=.L,,——=-i==—

\m\-\BD\V55

所以平面5CF與平面ECF夾角的余弦值為亭.

[BC-BD\4475

（3）點5到平面ECF的距離d=\一—=

\BD\V55

18.【正確答案】⑴工+2=1

43

喈

(3)y=±等(x+1)

【分析】（1）根據(jù)題干條件求出。，ac即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長公式進行求解；

（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達定理，列方程組求解.

【詳解】（1）

依題意，2a=4,則。=2,由△尸片工為正三角形，則。=尸尸1=/匕=2c,故c=l,于

是62=/一°2=3,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1；

43

（2）由（1）知，耳故該直線為：y=V3（x+1）,和橢圓聯(lián)立：

y=6（x+l）

，尤2y2,整理可得5/+8X=0,故匹=-牙％=0,由弦長公式，

143

|MV|=J1+左2忖_%|=《

（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對稱性，函=耶），設(shè)直線

為：y=k{x+\）,和橢圓方程聯(lián)立得，（4左2+3）f+8左2%+4左2_12=0,

AF{=2FXB,貝！）（一1一％口一%）=2（%2+L%）,故石+2%=-3,

由韋達定理可得：七+3二-3^，平廣壬皆

4左+3H7t十。

于是L界4F一9生(4/+9)(4/一9)4k2-12

L訴T故2=.+3)2=#3

即16后4-81=(4后2+3)(4無2—12),

化簡可得4左2=5,解得左=±—,

2

故直線AB為：y=±(x+1)

19.【正確答案】(1)證明見解析

⑵*

⑶彳

【詳解】(1)取中點尸，連接MF,NF,如圖所示:

因為為中點，所以MF//BD,

又因為平面瓦加，BDu平面BDE,所以MFV/平面5DE,

因為N,尸為中點，RE為尸4尸C中點，所以NF//AC,DE//AC,

所以NF//DE,又因為W平面DEu平面8DE,

所以NF//平面8DE,

又因為NFcMF=F,NF,MFu平面FMN,所以平面句MV//平面,

又因為MNu平面FMN,所以MN//平面BDE.

(2),平面P/C_L平面/BC,平面尸/Cc平面/8C=/C,PN_L/C,

R4u平面P/C,.?.尸N_L平面PNC.

平面A8C,s.PALAB,又/R4c=90°,

則以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x,%z軸，建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則8（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,2）,￡（0,l,2）,

所以。=（O,-1,2）,麗=（2,0,-2）,歷=（0,1,0,

設(shè)平面也乃一個法向量為力=（x/,z）,

n?DB=0\x-z=0

所以_—,所以,

n-DE=0U=n0

令x=l,則y=0,z=l,所以萬=（1,0,1）,

設(shè)直線CE與平面瓦加所成角為e,

|0+0+2|Vw

所以sin6=cosCE,n\=

75x725

所以直線C￡與平面BDE所成角的正弦值為色.

（3）設(shè)〃（0,0,m）（04機44）,且N（l,l,0）,

所以麗=（一1,一1,加），麗=（-2,1,2）,

27

所以的煙，燈二…晨解得““

7

所以

4

22

20.【正確答案】（1）?+《=1

（2）①證明見解析，定點7（4,0）；②百

c1________

【詳解】（1）因為--=2，所以"2,c=l,