2024屆山西省（晉城地區(qū)）九年級數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

2024屆山西省(晉城地區(qū))九年級數(shù)學第一學期期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(每題4分，共48分)

1.方程x2=3x的解為()

A.x=3B.x=0C.xi=0,X2=-3D.xi=0,xz=3

2.已知函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點p(j,4),則該圖象必經(jīng)過點()

A.(1,4)B.(-1,-4)C.(-4,1)D.(4,-1)

3.拋物線y=2(x-2>-1的頂點坐標是()

A.(0,-1)B.(-2,-1)C.(2,-1)D.(0,1)

4.如圖，線段A5兩個端點的坐標分別是A(6,4),B(8,2),以原點。為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段A5縮

小為原來的1后得到線段CD,則端點C的坐標為(

)

￥

心

J

0,-------

A.(3,2)B.(4,1)C.(3,1)D.(4,2)

5.拋物線y=at?+bx+c(aw0)的對稱軸為直線％=1,與x軸的一個交點坐標為4(4,0),其部分圖象如圖所示.下

x

列敘述中：①<4ac；②關(guān)于的方程就？+fct+c=0的兩個根是石=-2,X2=4；③2a+/?=0；④a+b+c<0；

⑤當0<x<4時，V隨x增大而增大.正確的個數(shù)是()

9999

A.k<-B.k>一一且左wOC.k>一一D.k>——且左WO

4444

8.用配方法解方程9+4%+1=0,經(jīng)過配方，得到（）

A.（%+2）2=5B.（尤-2『=5C.@-2）2=3D.（%+2）2=3

9.方程2f—3%+2=0的根的情況（

A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.有兩個實數(shù)根

10.通過計算幾何圖形的面積可表示代數(shù)恒等式，圖中可表示的代數(shù)恒等式是（）

A.(a+Z?)(a—b)=a"—bB.(a+Z?)2=a~+2ab+/

C.2a(a+b)=2a2+labD.(a—b)?！猚i—2ab+Z?2

11.如圖,在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP,作射線PD,使NAPD=60。，PD

交AC于點D,已知AB=a,設(shè)CD=y,BP=x,則y與x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

12.我們知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式進行求解.對于一元三次方程ax3+^2+cx+d=o

（%b,c,d為常數(shù)，且分0）也可以通過因式分解、換元等方法，使三次方程“降次”為二次方程或一次程，進而求

解.這兒的“降次”所體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）

A.轉(zhuǎn)化思想B.分類討論思想

C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，點A,B的坐標分別為（1,4）和（4,4）,拋物線y=a（x-m）?+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交

于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為-3,則點D的橫坐標最大值為.

14.如圖，ABC。的對角線交于O,點E為DC中點，AC=10cm,4OCE的周長為18cm,貝！IABCD的周長為

15.如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形.若正三角形

邊長為3cm,則該萊洛三角形的周長為<

16.若x=-1是一元二次方程/+2%+”=0的一個根，則”的值為

17.化簡：73-（sin60°-1）0-2cos30°=.

三、解答題（共78分）

19.（8分）拋物線y=-2x2+8x-L

（1）用配方法求頂點坐標，對稱軸；

（2）x取何值時，y隨x的增大而減??？

20.（8分）解下列兩題：

,a342〃+3屋乙”

（1）已知:二:，求-------的值；

b4a

（2）已知a為銳角，且2sina=4cos300-tan60°,求a的度數(shù).

21.（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,ZAOD=60°,AB=2A/3，AELBD于點E,求OE的

長.

22.（10分）用適當?shù)姆椒ń庀路匠蹋?2x-2

23.（10分）已知在△ABC中，AB^AC\ZBAC=af直線/經(jīng)過點A（不經(jīng)過點5或點C）,點C關(guān)于直線/的對稱點

為點。，連接5。，CD.

/7\V'x/

￡4——1

/C/r

12

（1）如圖1,

①求證：點5,C,O在以點A為圓心，A3為半徑的圓上;

②直接寫出N50c的度數(shù)(用含a的式子表示)為；

(2)如圖2,當a=60。時，過點。作80的垂線與直線/交于點E,求證：AE=BD；

(3)如圖3,當a=90。時，記直線/與CZ＞的交點為尸，連接8尸.將直線/繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，在什么情況下線段

3斤的長取得最大值？若AC=20a,試寫出此時8尸的值.

24.(10分)如圖，已知正方形ABC。的邊長為2行，點E是對角線AC上一點，連接OE,將線段OE繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)90°至。支的位置，連接AF、EF.

(1)求證：AADF^ACDE；

(2)當點E在什么位置時，，.AEF的面積最大？并說明理由.

25.(12分)某活動小組對函數(shù)y=f-2岡的圖象性質(zhì)進行探究，請你也來參與

(1)自變量》的取值范圍是;

(2)表中列出了X、y的一些對應值，貝!；

(3)依據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你把函數(shù)圖象補充完整；

X-3-2-10123

y3m-10-103

(4)就圖象說明，當方程一一2兇=a共有4個實數(shù)根時，。的取值范圍是

26.中華隔是國家一級保護動物，它是大型澗游性魚類，生在長江，長在海洋，受生態(tài)環(huán)境的影響，數(shù)量逐年下降。

中華婚研究所每年定期通過人工養(yǎng)殖放流來增加中華婚的數(shù)量，每年放流的中華鰥中有少數(shù)體內(nèi)安裝了長效聲吶標記,

便于檢測它們從長江到海洋的適應情況，這部分中華解簡稱為“聲吶解”，研究所收集了它們到達下游監(jiān)測點A的時間

t(h)的相關(guān)數(shù)據(jù)，并制作如下不完整統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表.

已知：今年和去年分別有20尾“聲吶鮑”在放流的96小時內(nèi)到達監(jiān)測點A,今年落在24<648內(nèi)的“聲吶鋸”比去年多1

尾，今年落在48<飪72內(nèi)的數(shù)據(jù)分別為49,60,68,68,1.

去年20尾“聲吶酮”到達監(jiān)測點A所用時間t(h)的扇形統(tǒng)計圖

關(guān)于“聲吶閡，，到達監(jiān)測點A所用時間t(h)的統(tǒng)計表

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

去年64.2687315.6

今年56.2a68629.7

(1)請補全頻數(shù)分布直方圖，并根據(jù)以上信息填空：a=

(2)中華鮑到達海洋的時間越快，說明它從長江到海洋的適應情況就越好，請根據(jù)上述信息，選擇一個統(tǒng)計量說明去

年和今年中哪一年中華閡從長江到海洋的適應情況更好；

(3)去年和今年該放流點共放流1300尾中華鮑，其中“聲吶鮑”共有50尾，請估計今年和去年在放流72小時內(nèi)共有

多少尾中華隔通過監(jiān)測站A.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解.

【詳解】Vx2-lx=O,

x(x-1)=0,

.,.x=0或x-1=0,

解得：Xl=0,X2=l.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解題的關(guān)鍵.

2、A

【解析】把P點坐標代入二次函數(shù)解析式可求得a的值，則可求得二次函數(shù)解析式，再把選項中所給點的坐標代入判

斷即可；

【詳解】?.?二次函數(shù)y=a/的圖象經(jīng)過點p(_i,4),

?*.4=ax(-以，

解得a=4,

...二次函數(shù)解析式為y=4f；

當x=l或x=-l時，y=4；

當x=4或x=-4時，y=64；

故點(1,4)在拋物線上；

故選A.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式頂點坐標表示方法，直接寫出頂點坐標即可.

【詳解】解：?..頂點式y(tǒng)=a(x-入戶+匕頂點坐標是①，k),

.4=2(x-2)2-1的頂點坐標是(2,-1).

故選：c.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)頂點式，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)頂點式中頂點坐標的表示方法.

4、A

【解析】試題分析：；線段AB的兩個端點坐標分別為A(6,4),B(8,2),以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)

將線段AB縮小為原來的二后得到線段CD,.?.端點C的橫坐標和縱坐標都變?yōu)锳點的一半，.?.端點C的坐標為：(3,

2

2).故選A.

考點：L位似變換；2.坐標與圖形性質(zhì).

5、B

【分析】由拋物線的對稱軸是x=l,可知系數(shù)a,b之間的關(guān)系，由題意，與X軸的一個交點坐標為4(4,0),根據(jù)

拋物線的對稱性，求得拋物線與x軸的一個交點坐標為5(-2,0),從而可判斷拋物線與x軸有兩個不同的交點，進而

可轉(zhuǎn)化求一元二次方程根的判別式，當尤=1時，代入解析式，可求得函數(shù)值，即可判斷其V的值是正數(shù)或負數(shù).

【詳解】拋物線的對稱軸是x=l

b

-----1,2〃+Z?=0；③正確，

2a

與X軸的一個交點坐標為A(4,o)

二拋物線與與x軸的另一個交點坐標為5(-2,0)

二關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩個根是石=-2,%=4；②正確，

當x=l時，y=a+b+c<0；④正確

拋物線與x軸有兩個不同的交點

b2-4ac>0，b2>4ac則①錯誤；

當o<x<i時，y隨％增大而減小

當1W%<4時，y隨X增大而增大，⑤錯誤；

二②③④正確，①⑤錯誤

故選:B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)：對稱性、增減性、函數(shù)值的特殊性、二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用，是常

見考點，難度適中，熟練掌握二次函數(shù)圖象基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6、B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特點，k/0,所以分k>0和kVO兩種情況討論；當兩函數(shù)系數(shù)k取相同符號

值，兩函數(shù)圖象共存于同一坐標系內(nèi)的即為正確答案.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①當k>0時，y=kx-3與y軸的交點在負半軸，過一、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限；

②當kVO時，y=kx-3與y軸的交點在負半軸，過二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，

觀察只有B選項符合，

故選B.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.

7、C

【分析】關(guān)于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；

當方程為一元一次方程時，k=l；

是一元二次方程時，必須滿足下列條件：(1)二次項系數(shù)不為零；(2)在有實數(shù)根下必須滿足△=b2-4acNL

【詳解】當k=l時，方程為3x4=1,有實數(shù)根，

當片1時,A=b2-4ac=32-4xkx(-1)=9+4k>l,

9

解得1^--.

4

9

綜上可知，當kN-7時，方程有實數(shù)根；

4

故選C.

【點睛】

本題考查了方程有實數(shù)根的含義，一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這

一隱含條件.注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

8、D

【分析】通過配方法的步驟計算即可；

【詳解】X2+4X+1=0.

x~+4%=—1>

x2+4x+22=-1+22,

(X+2)2=3,

故答案選D.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的配方法應用，準確計算是解題的關(guān)鍵.

9、B

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△nfVO,進而可得出該方程沒有實數(shù)根.

【詳解】2f—3X+2=0

a=2,b=-3,c=2,

VA=b2-4ac=9-4x2x2=-7<0,

關(guān)于x的一元二次方程2必—3x+2=0沒有實數(shù)根.

故選：B.

【點睛】

本題考查了根的判別式，牢記“當△<()時，方程無實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

10、A

【分析】根據(jù)陰影部分面積的兩種表示方法，即可解答.

【詳解】圖1中陰影部分的面積為：a2-b2,

圖2中的面積為：(a+b)(a-b),

貝(J(a+b^a-b')-a2-b2

故選：A.

【點睛】

本題考查了平方差公式的幾何背景，解決本題的關(guān)鍵是表示陰影部分的面積.

11、C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出NB=NC=60°,由等角的補角相等可得出NBAP=NCPD,進而即可

證出△ABPs^PCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出y=-4x2+x,對照四個選項即可得出.

a

【詳解】???△ABC為等邊三角形，

AZB=ZC=60°,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60°,ZB=60°,

:.ZBAP+ZAPB=120°,ZAPB+ZCPD=120°,

AZBAP=ZCPD,

AAABP^APCD,

CDPCya-x

：.—=—，即nrt土=----,

BPABxa

/.y=--x2+x.

a

故選C.

【點睛】

考查了動點問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)找出y=-1x2+x是解題

a

的關(guān)鍵.

12、A

【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所體現(xiàn)的數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化思想.

【詳解】由題意可知，解一元三次方程的過程是將三次轉(zhuǎn)化為二次，二次轉(zhuǎn)化為一次，從而解題，在解題技巧上是降

次，在解題思想上是轉(zhuǎn)化思想.

故選：A.

【點睛】

本題考查高次方程；通過題意，能夠從中提取出解高次方程的一般方法，同時結(jié)合解題過程分析出所運用的解題思想

是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、1

【分析】根據(jù)題意當點C的橫坐標取最小值時，拋物線的頂點與點A重合，進而可得拋物線的對稱軸，則可求出此時

點D的最小值，然后根據(jù)拋物線的平移可求解.

【詳解】解：???點A,B的坐標分別為（1,4）和（4,4）,

；.AB=3,

由拋物線y=a（x-m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），可得：當點C的橫坐

標取最小值時，拋物線的頂點與點A重合，

二拋物線的對稱軸為：直線X=l,

?.?點C（-3,0）,

...點D的坐標為（5,0）,

?.?頂點在線段AB上移動，

點D的橫坐標的最大值為：5+3=1；

故答案為L

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的平移及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14、52cm

【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得AO=OC,再利用三角形中位線定理得出BC=2OE,然后根據(jù)AC=10cm,△OCE

的周長為18cm,可求得BC+CD,即可求得的周長.

【詳解】VABCD的對角線交于O,點E為DC中點，

，EO是ADBC的中位線，AO=CO,CD=2CE,

/.BC=2OE,

VAC=10cm,

CO=5cm,

VAOCE的周長為18cm,

.,.EO+CE=18-5=13(cm),

/.BC+CD=26cm,

/.°ABCD的周長是52cm.

故答案為：52cm.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解答本題的

關(guān)鍵.

15、3萬

【分析】直接利用弧長公式計算即可.

x3

【詳解】解：該萊洛三角形的周長=3x—=3》.

180

故答案為：3兀.

【點睛】

本題考查了弧長公式：上鬻(弧長為1,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑為R),也考查了等邊三角形的性質(zhì).

180

16、1.

【分析】把X=-1代入到一元二次方程中求出n的值即可.

【詳解】解：???％=—1是一元二次方程9+2%+〃=0的一個根，

/.(-l)2+2x(-l)+n=0,

解得：n=\,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，牢記方程的解滿足方程，代入即

可是解決此類問題的關(guān)鍵.

17、-1

【分析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)即可化簡求解.

【詳解】A/3-(sin60°-1)。-2cos30。=石，2x^=四=1

2

故答案為：-1.

【點睛】

此題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊三角函數(shù)值的求解.

3

18、-

5

【分析】先去分母，然后移項合并，即可得到答案.

【詳解】解：???'=3,

2x3

，3(x+y)=8x,

/.3x+3y=Sx,

:.5%=3y,

?_x__3

3

故答案為：

【點睛】

本題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程的方法.

三、解答題(共78分)

19、(1)(2,2),x=2(2)當x、2時，y隨x的增大而減小

【解析】(1)利用配方法將拋物線解析式邊形為y=-2(x-2)2+2,由此即可得出拋物線的頂點坐標以及拋物線的對稱

軸；

(2)由a=-2V0利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當時，y隨x的增大而減小，此題得解.

【詳解】(1)Vy=-2x2+8x-l=-2(x2-4x)-l=-2(x2-4x+4)+8-l=-2(x-2)2+2,

...該拋物線的頂點坐標為(2,2),對稱軸為直線x=2.

(2)Va=-2<0,

...當xN2時，y隨x的增大而減小.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的三種形式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用配方法將二次函數(shù)解析式的一般式換算成頂點式是解題的

關(guān)鍵.

20、(1)6；(2)銳角a=30。

【分析】(1)根據(jù)等式==3,設(shè)"=3晨b=4k,代入所求代數(shù)式化簡求值即可；

b4

(2)由COS3(T=、5,tan60°=73,化簡即可得出sina的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得.

2

【詳解】解：(1)???：=—,

b4

:.設(shè)a=3k,b=4k,

.2a+3b6k+12k

??=-6,

a3k

故答案為：6；

(2)*/2y/3sina=4cos300-tan60°=4x6,

2

1

sina=一,

2

工銳角a=30°,

故答案為：30°.

【點睛】

本題考查了化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值的應用，掌握化簡求值的計算是解題的關(guān)鍵.

21、1

【分析】矩形對角線相等且互相平分，即OA=OD,根據(jù)NAOD=60?？傻肁AOD為等邊三角形，即OA=AD,

VAE±BD,，E為OD的中點，即可求OE的值.

【詳解】解：???對角線相等且互相平分，

???OA=OD

VZAOD=60°

???AAOD為等邊三角形，貝?。軴A=AD,

BD=2DO,AB=^/3AD,

.*.AD=2,

VAE±BD,IE為OD的中點

11

AOE=-OD=-AD=1,

22

答：OE的長度為L

【點睛】

本題考查了矩形對角線的性質(zhì),利用矩形對角線相等是解題關(guān)鍵.

22、x=3或1

【分析】移項，因式分解得到(%―3)(X—1)=0,再求解.

【詳解】解：(%-1)2=2%-2,

:.(%-1)-=,

/.(%-1)2-2(%-1)=0,

:.(x-3)(x-1)=0,

x-3=0或x-l=0,

/.x=3或1.

【點睛】

本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的形式選擇因式分解法.

23、(1)①詳見解析；②ga；(2)詳見解析；(3)當3、0、尸三點共線時3歹最長，(Jid+0)a

【分析】(1)①由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=AC=AB,即可證點B,C,D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上;

②由等腰三角形的性質(zhì)可得NBAC=2NBDC,可求NBDC的度數(shù)；

⑵連接CE,由題意可證△ABC,4DCE是等邊三角形，可得AC=BC,ZDCE=60°=ZACB,CD=CE,根據(jù)“SAS”

nJffiABCD^AACE,可得AE=BD；

(3)取AC的中點O,連接OB,OF,BF,由三角形的三邊關(guān)系可得，當點O,點B,點F三點共線時，BF最長，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求30=46。，OF=OC=Ca，即可求得BF

【詳解】(1)①連接A。，如圖L

1

圖I

V點C與點。關(guān)于直線，對稱，

：.AC=AD.

*：AB=ACf

：.AB=AC=AD.

?,?點￡C,。在以A為圓心，A5為半徑的圓上.

@VAD=AB=AC,

AZADB=ZABD,ZADC=ZACD,

VZBAM=ZADB+ZABD,ZMAC=ZADC+ZACD,

AZBAM=2ZADB,ZMAC=2ZADC,

.\ZBAC=ZBAM+ZMAC=2ZADB+2ZADC=2ZBDC=a

1

.\ZBDC=-a

2

故答案為：-a.

2

(2連接C￡,如圖2.

7>

/]\

VZBAC=60°,AB=AC,

.??△ABC是等邊三角形，

/.BC=AC,ZACB=60°,

1

VZBDC=-a,

2

.,.ZBDC=30°,

VBD±DE,

.,.ZCDE=60°,

??,點C關(guān)于直線1的對稱點為點D,

/.DE=CE,且NCDE=60°

.,.△CDE是等邊三角形，

；.CD=CE=DE,ZDCE=600=ZACB,

.\ZBCD=ZACE,且AC=BC,CD=CE,

.,.△BCD^AACE(SAS)

；.BD=AE,

(3)如圖3,取AC的中點O,連接OB,OF,BF,

B

圖3

尸是以AC為直徑的圓上一點，設(shè)AC中點為0,

?.,在ABOF中，BO+OF>BF,

當3、O、F三點共線時3尸最長；

如圖，過點。作OHLBC,

VZBAC=90°,AB=AC=20a,

；?BC=s/iAC=4a，NACB=45。，且OH'BC,

...NCOH=NHCO=45。，

.\OH=HC,

：?OC=亞HC，

,點O是AC中點，AC=2五a,

???0C=缶，

：.OH=HC=a,

；.BH=3a,

:.BO=Ma，

???點C關(guān)于直線1的對稱點為點D,

.\ZAFC=90°,

??,點O是AC中點，

'OF=OC=叵a，

：.BF=（^+^a,

...當3、0、尸三點共線時B尸最長；最大值為（而+后）a.

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，靈活運

用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關(guān)鍵.

24、（1）見解析；（2）E在AC中點時，.「AEF的面積最大，見解析

【分析】（1）由題意推出NADE=NCDE,結(jié)合正方形的性質(zhì)利用SAS證明；

(2)設(shè)AE=x,表示出AF,根據(jù)NEAF=90。，得出關(guān)于,.AEF面積的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求解.

【詳解】解：(1)繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。至小的位置，

:?DE=DF，ZEDF=90。,

?.?在正方形ABC。中，

：.CD=AD,ZADC=9Q°,

:.ZEDF—ZEDA=ZADC—NEDA,

即NADE=NCDE,

AAAD尸絲△C￡>E(SAS)；

(2)由(1)知AADF冬ACDE,

:.NECD=ZDAF=NCAD=45。,AF=CE,

：.ZEAF=9Q°,

設(shè)AE=x,

???正方形ABCD的邊長為2世，

故AC=J(20y+(2歷=4,

:.AF=CE=4-x,

111,