2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1講不等式和絕對值不等式一不等式第三課時(shí)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式練習(xí)新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1第三課時(shí)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.若實(shí)數(shù)x、y滿意xy＞0，且x2y＝2，則xy＋x2的最小值是A.1 B.2C.3 D.4解析由x2y＝2得xy＝eq\f(2,x)，∴xy＋x2＝eq\f(2,x)＋x2＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x)＋x2≥3eq\r(3,\f(1,x)·\f(1,x)·x2)＝3.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x)＝x2，即x＝1時(shí)取等號.故選C.答案C2.設(shè)x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，則lgx＋lgy＋lgz的取值范圍是A.(－∞，lg6] B.(－∞，3lg2]C.[lg6，＋∞) D.[3lg2，＋∞)解析∵x＋y＋z＝6，∴6≥3eq\r(3,xyz)，∴xyz≤8，∴l(xiāng)gx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.故選B.答案B3.若a＞b＞0，則a＋eq\f(8,b（a－b）)的最小值為A.6 B.9C.eq\r(6) D.eq\r(3,6)解析a＋eq\f(8,b（a－b）)＝a－b＋b＋eq\f(8,b（a－b）)≥3eq\r(3,8)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b＝eq\f(8,b（a－b）)，即a＝4，b＝2時(shí)取等號，故選A.答案A4.函數(shù)y＝4sin2x·cosx的最大值為________.解析y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3)))eq\s\up12(3)＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，∴y2≤eq\f(64,27)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)時(shí)，取等號.∴ymax＝eq\f(8,9)eq\r(3).答案eq\f(8,9)eq\r(3)5.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.證明∵a＋b＝1∴左邊＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＋eq\f(a＋b,ab)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋2·2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝9＝右邊.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.[實(shí)力提升]1.若x>0，則4x＋eq\f(9,x2)的最小值是A.9 B.3eq\r(3,36) C.13 D.不存在解析∵x>0，∴4x＋eq\f(9,x2)＝2x＋2x＋eq\f(9,x2)≥3eq\r(3,36)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(9,x2)，即x＝eq\f(1,2)eq\r(3,36)時(shí)等號成立.答案B2.若正數(shù)x，y滿意xy2＝4，則x＋2y的最小值為A.6 B.3eq\r(3,4) C.6eq\r(3,4) D.不存在解析∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝eq\f(4,y2).∴x＋2y＝eq\f(4,y2)＋2y＝eq\f(4,y2)＋y＋y≥3eq\r(3,\f(4,y2)·y·y)＝3eq\r(3,4).當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(3,4)時(shí)，等號成立，此時(shí)x＋2y的最小值為3eq\r(3,4).答案B3.已知a，b，c為正數(shù)，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有A.最小值3 B.最大值3C.最小值2 D.最大值2答案A4.已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，則A.x≤y≤z B.y≤x≤zC.y≤z≤x D.z≤y≤x答案B5.已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列總成立的是A.V≥π B.V≤πC.V≥eq\f(1,8)π D.V≤eq\f(1,8)π答案B6.已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，….啟發(fā)我們可以推廣為：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，則a的值為A.nn B.2n C.n2 D.2n＋1答案A7.已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝P，xyz＝S.給出下列命題：①假如S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，P的值最大；②假如S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，P的值最小；③假如P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，S的值最大；④假如P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，S的值最小.其中正確的命題為________(寫出序號即可).答案②③8.設(shè)a＞b＞0，則a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,a（a－b）)的最小值是________.答案49.θ為銳角，y＝sinθcos2θ的最大值是________.答案eq\f(2\r(3),9)10.甲、乙兩人同時(shí)從A地動身走向B地，甲先用eq\f(1,3)的時(shí)間以速度p行走，再用eq\f(1,3)的時(shí)間以速度q行走，最終用eq\f(1,3)的時(shí)間以速度r行走；乙在前eq\f(1,3)的路程用速度p行走，中間eq\f(1,3)的路程用速度q行走，最終eq\f(1,3)的路程用速度r行走(p≠q≠r)，問甲、乙兩人誰先到達(dá)B地，為什么？解析設(shè)A，B兩地間的距離為s(s>0)，甲從A到B所用的時(shí)間為t1，乙從A到B所用的時(shí)間為t2，由題意，得s＝p×eq\f(t1,3)＋q×eq\f(t1,3)＋r×eq\f(t1,3)，∴t1＝eq\f(3s,p＋q＋r)，t2＝eq\f(s,3)÷p＋eq\f(s,3)÷q＋eq\f(s,3)÷r＝eq\f(s,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)＋\f(1,q)＋\f(1,r))).∴t2≥seq\r(3,\f(1,pqr))＝eq\f(3s,3\r(3,pqr))>eq\f(3s,p＋q＋r)＝t1.∵p≠q≠r，∴“＝”不成立.∴t1<t2，甲先到B地.11.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿意x＋2y＋z＝1，求eq\f(1,x＋y)＋eq\f(9（x＋y）,y＋z)的最小值.解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y，z滿意x＋2y＋z＝1，所以eq\f(1,x＋y)＋eq\f(9（x＋y）,y＋z)＝eq\f(x＋y＋y＋z,x＋y)＋eq\f(9（x＋y）,y＋z)＝1＋eq\f(y＋z,x＋y)＋eq\f(9（x＋y）,y＋z)≥1＋2eq\r(\f(y＋z,x＋y)×\f(9（x＋y）,y＋z))＝7，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y＋z,x＋y)＝eq\f(9（x＋y）,y＋z)，即x＋y＝eq\f(1,4)，y＋z＝eq\f(3,4)時(shí)，取等號.所以eq\f(1,x＋y)＋eq\f(9（x＋y）,y＋z)的最小值為7.12.已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥6eq\r(3)，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號成立.證明證法一因?yàn)閍、b、c均為正數(shù)，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))，①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3)，②所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥9(abc)－eq\f(2,3).故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)，③所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＝9(abc)－eq\f(2,3)時(shí)，③式等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3eq\s\up6(\f(1,4))時(shí)，原式等號成立.證法二因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥eq\f(1,ab)＋eq\f(1,bc)＋eq\f(1,ac)，②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\r