高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第12講103復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算

10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算TOC\o"13"\h\u題型1復(fù)數(shù)的輻角主值 ④θ在前后一致，可為任意值可簡記為：模非負(fù)、角相同、余弦前、加號連，此四個條件缺一不可.【例題21】（2021·高一課時練習(xí)）下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.（1）12（2）?1（3）12（4）cos7（5）2(cosπ【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式.（1）12(cos7π4+i【解析】復(fù)數(shù)的三角形式是z=r(cosθ+【詳解】（1）中間是““號，不是三角形式.12cosπ4?（2）括號前面是負(fù)數(shù)，不是三角形式，?12cosπ（3）括號內(nèi)前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，12sin5π12（4）是三角形式．（5）括號內(nèi)前后兩個角不相等，不是三角形式，2cosπ3+【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，關(guān)鍵是掌握三角形式：z=r(cosθ+【變式21】1．（2022·高一課時練習(xí)）下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.（1）?2cos（2）sin3【答案】（1）不是，2cos9π【解析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，結(jié)合題意，本題中模是負(fù)數(shù)，顯然不是三角形式，需要借助誘導(dǎo)公式化簡；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，顯然不是復(fù)數(shù)，借助誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】（1）不是.?2cos4（2）不是.sin3【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的辨識，以及化簡復(fù)數(shù)為三角形式的能力，需要注意合理利用誘導(dǎo)公式.【變式21】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）?3cos【答案】不是三角形式，三角形式表示為3cos【分析】根據(jù)三角形式的定義判斷，再根據(jù)三角形式的結(jié)構(gòu)確定輻角主值即可求解.【詳解】因?yàn)槿切问绞切稳鐁cos所以?3cos因?yàn)?3cos且?cosπ所以?3cos即復(fù)數(shù)的三角形式為3cos題型3復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式【方法總結(jié)】將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：（1）先求復(fù)數(shù)的模；（2）決定輻角所在的象限；（3）根據(jù)象限求出輻角；（4）求得復(fù)數(shù)的三角形式.【例題3】（2021·高一課時練習(xí)）畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：（1）12（2）1?i【答案】（1）作圖見解析;12+【分析】只要確定復(fù)數(shù)的模和一個輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.【詳解】解：（1）復(fù)數(shù)12r=因?yàn)榕c12+3于是12（2）復(fù)數(shù)1?ir=因?yàn)榕c1?i對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以arg(1?于是1?i當(dāng)然，把一個復(fù)數(shù)表示成三角形式時，輻角θ不一定取主值.例如2cos?π【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模和輻角，復(fù)數(shù)三角形式中輻角不一定是主值即不一定在[0,2π【變式31】1．（2021·高一課時練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并且畫出與它們對應(yīng)的向量：（1）4；（2）?i（3）23（4）?1【答案】（1）4=4(cos0+isin0)；作圖見解析（2）?i=cos3【解析】只要確定復(fù)數(shù)的模和一個輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.【詳解】解：（1）4=4(cos0+i（2）?i（3）23（4）?1【變式31】2．（2023·高一課時練習(xí)）?cos【答案】cos(π+α【分析】設(shè)?cosα+isinα=【詳解】令?cosα+isin所以r=1cosθ所以三角形式可寫成cos(π+α故答案為：cos(π+α【變式31】3．（2023·高一課時練習(xí)）表示復(fù)數(shù)1+i的三角形式：①2cosπ4+isinπ4；②【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)1+i的三角形式一一判斷四個表達(dá)式，即可得答案【詳解】復(fù)數(shù)1+i=2(22+設(shè)θ為一個幅角，則cosθ=2故復(fù)數(shù)1+i的三角形式為2cosπ4故①③正確，②④中角前后不一致，不是復(fù)數(shù)的三角形式，故正確的個數(shù)是2個，故答案為：2【變式31】4．（2023·高一課時練習(xí)）已知θ∈0,π【答案】當(dāng)θ∈0,π當(dāng)θ∈π【分析】求出復(fù)數(shù)的模長，根據(jù)θ∈0,π【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+itanθ，則當(dāng)θ∈0,π2時，當(dāng)θ∈π2,π題型4將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式【方法總結(jié)】將復(fù)數(shù)的三角形式化為復(fù)數(shù)代數(shù)形式的方法是：復(fù)數(shù)三角形式z=r（cosA＋isinA），代數(shù)形式為z=x+yi，對應(yīng)實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，即x=rcosA，y=rsinA.【例題41】（2021·高一課時練習(xí)）將下列各復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式：（1）3(cosπ（2）32（3）2(cos【答案】（1）332+3【解析】求出三角函數(shù)值，用乘法分配律展開，化為a+【詳解】解：（1）3cos（2）32（3）2cos【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，即化復(fù)數(shù)為a+【變式41】1．（2021·高一課時練習(xí)）將下列各復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式：（1）43（2）6(cos11（3）32（4）8(cos3【答案】（1）?43（2）33?3i【解析】求出三角函數(shù)值，用乘法分配律展開，化為a+【詳解】解：（1）43（2）6cos（3）32（4）8cos【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，解法是求出三角函數(shù)值，用乘法分配律展開，即可化復(fù)數(shù)為a+【變式41】2．（2021·高一課時練習(xí)）下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．(1)2(2)?2(3)2(4)1【答案】(1)不是三角形式．2(2)不是三角形式．2(3)不是三角形式．2(4)是三角形式．【分析】根據(jù)三角形式的定義z=r(cos（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，（2）把?2中的負(fù)號放到括號內(nèi)，括號內(nèi)應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化；（3）應(yīng)用誘導(dǎo)公式交換三角函數(shù)名稱；（4）是三角形式．(1)不是，2(2)不是，?2cos(3)不是，2sin(4)是三角形式．【變式41】3．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）若z=cos30°+isin30°，則argA．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的三角運(yùn)算得到z2【詳解】由z2所以argz故選：B【變式41】4．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）將復(fù)數(shù)i對應(yīng)的向量ON繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3，得到向量OM，則OMA．32＋12i B．－32C．－32－12i D．32【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)i的輻角及旋轉(zhuǎn)過程確定OM對應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角，進(jìn)而寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)即可.【詳解】由argi=π2，順時針旋轉(zhuǎn)π3所以O(shè)M對應(yīng)的復(fù)數(shù)是cosπ故選：A【變式41】5．（2023·高一課時練習(xí)）寫出一個argz【答案】32【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式寫出一個滿足argz【詳解】由題設(shè)z=r(cosθ+isin所以z=cos故答案為：32【例題42】（2023·全國·高一專題練習(xí)）歐拉公式exi=cosx+isinA．eπ2i的虛部為iC．exi=cosx【答案】D【分析】對于A，由eπ2i=i，其虛部為1，可判斷A；對于B，e3π【詳解】對于A，eπ對于B，e3π對于C，exi=cos對于D,eπ3i=cosπ故選：D【變式42】1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）將復(fù)數(shù)32+zi對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)2π3【答案】?12【分析】先求得復(fù)數(shù)i對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)2π3后，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)相等即可求得復(fù)數(shù)【詳解】由題意，復(fù)數(shù)i對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)2π3后，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為則32?故答案為：?【變式42】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，等邊三角形ABC的兩個頂點(diǎn)A，B所表示的復(fù)數(shù)分別是12＋3【答案】2+3i【分析】向量AC可由向量AB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，然后由復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算可得AC再由向量的加法可得OC，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】∵A，B所表示的復(fù)數(shù)分別是12+32i和2，AB所表示的復(fù)數(shù)為32?32i，把AB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AC，AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為故答案為：2+【變式42】3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）△ABC知復(fù)數(shù)z1=cosα+isin【答案】z1=?【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得1z2，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解【詳解】解：因?yàn)閦2=cosβ因此z1從而cosα+cosβ而12?cosβ從而sin2β+(1?3當(dāng)sinβ=0時，當(dāng)sinβ=3因此z1=?1題型5復(fù)數(shù)的乘除法的三角形表示【方法總結(jié)】乘法法則簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加除法法則簡記為：模數(shù)相除，幅角相減【例題51】（2020·高一課時練習(xí)）計算下列各式的值（結(jié)果寫成三角形式）.（1）8cos（2）12cos【答案】（1）16cos5π【解析】若復(fù)數(shù)z1=r【詳解】（1）原式=8=8×2（2）原式=12=12=12【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意題目的要求，只要為三角形式即可.【變式51】1.（2020·全國高一課時練習(xí)）計算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式51】2.（2020·全國高一課時練習(xí)）（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.【變式51】3.（2020·全國高一課時練習(xí)）計算下列各式，并作出幾何解釋：（1）（2）（3）（4）.【答案】（1）4，幾何解釋見解析（2），幾何解釋見解析（3），幾何解釋見解析（4），幾何解釋見解析【解析】（1）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為原來的倍，得到一個長度為4,輻角為π的向量，則即為積所對應(yīng)的向量.（2）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)315°，再將其長度縮短為原來的，得到一個長度為、輻角為的向量，則即為積所對應(yīng)的向量.（3）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)0按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度縮短為原來的，得到一個長度為，輻角為的向量，則即為所對應(yīng)的向量.（4）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點(diǎn)0按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度縮短為原來的，得到一個長度為，輻角為的向量，則即為所對應(yīng)的向量.【變式51】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）計算(cosπ＋isinπ)÷(cosπ【答案】?【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的幾何意義即可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)除法的幾何意義知：(cosπ＋isinπ)÷(cosπ3+isinπ3故答案為：?【例題52】（2022·高一課時練習(xí)）向量OZ1，OZ2，分別對應(yīng)非零復(fù)數(shù)z1，z2，若OZA．負(fù)實(shí)數(shù) B．純虛數(shù)C．正實(shí)數(shù) D．虛數(shù)a＋bi(a，b∈R，a≠0)【答案】B【分析】設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由OZ1⊥利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由OZ1⊥OZz1z2所以z1【變式52】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=cos67.5°A．?22?22i B．?22【答案】A【分析】由已知，可根據(jù)題意直接表示出z2【詳解】由已知，復(fù)數(shù)z=cos67.5(cos故選：A．【變式52】2．（2023·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的模為2，輻角為23π，則【答案】π【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z的模為2，輻角為23π，得到z，進(jìn)而得到【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模為2，輻角為23所以z=2所以zi所以argzi=故答案為：π【變式52】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）歐拉公式eix=cosx+isinA．①②均正確 B．①②均錯誤 C．①對②錯 D．①錯②對【答案】A【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②【詳解】①e②cos則①②均正確故選：A【變式52】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=cosπ12?isinπ【答案】?i【分析】由復(fù)數(shù)的三角表示下乘方運(yùn)算公式計算即可.【詳解】解：由題意可知αcos-6?故答案為：?i【變式52】5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）任意一個復(fù)數(shù)Z都可以表示成三角形式即a+bi=r(cosθ+isinθ).棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754年）創(chuàng)立的，指的是設(shè)兩個復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示）z【答案】1【分析】將z化為三角形式表示，根據(jù)題設(shè)棣莫弗定理化簡z17【詳解】由z=所以z17而cos16π所以z17故答案為：1題型6復(fù)數(shù)的乘方的三角形表示【例題6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（

）A．z2B．z2C．z2D．z2【答案】D【分析】利用第二象限z的輻角范圍確定z2【詳解】由z為第二象限，其對應(yīng)輻角范圍為(π所以z2對應(yīng)輻角為(故z2所以A、B、C錯誤，D正確.故選：D【變式61】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若ω=?12A．1 B．3i C．?1 D．【答案】A【分析】首先用三角形式表示復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方運(yùn)算求得ω3=1，【詳解】由ω=?所以ω3=cos2π綜上，1+ω故選：A【變式61】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)ω=?12【答案】?【分析】將復(fù)數(shù)ω表示成三角形式，利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則可化簡ω10【詳解】因?yàn)棣??所以，ω10故答案為：?1【變式61】3．（2023·高一課時練習(xí)）計算，并用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示計算結(jié)果：2cos【答案