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第1頁/共1頁2025北京北師大實驗中學(xué)高二(上)期末數(shù)學(xué)一、單選題:本大題共10小題,共50分。1.在空間直角坐標系O-xyz中,點M2,-3,1關(guān)于原點對稱的點的坐標為(
)A.-2,-3,-1 B.2,3,-1 C.-2,3,1 D.-2,3,-12.已知直線l的一個方向向量為-1,1,則直線l的傾斜角為(
)A.45° B.90° C.3.拋物線y2=12x的焦點為F,點P在此拋物線上,PF=6,則點P的橫坐標為A.2 B.3 C.4 D.64.圓(x-3)2+(y+2)2=1A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含5.在(x-2x2)A.60 B.15 C.-60 D.-156.某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動,每名同學(xué)只能去1個小區(qū),且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué),則不同的安排方法種數(shù)為(
)A.6 B.12 C.24 D.367.已知正四棱錐P-ABCD的高為4,棱AB的長為2,點H為側(cè)棱PC上的一動點,則△HBD面積的取小值為(
)A.2 B.423 C.8.已知直線l:3x+y-4=0,圓Γ:x2+y2=r2r>0,若直線l上存在兩點A,B,圓ΓA.1,3 B.2,3 C.1,+∞ D.2,+∞9.已知直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,傾斜角分別為αA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.一個平面區(qū)域內(nèi),兩點間距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑,那么曲線x2+y4A.432 B.3 C.22二、填空題:本大題共5小題,共25分。11.如圖,直線l:x-2y+2=0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B,該橢圓的離心率為
.12.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則13.設(shè)(2x-1)4=a4x414.雙曲線M:x2-y23=1的漸近線方程為
;若M與圓O:x215.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為CD①?AA1P②滿足?AA1P的面積為2的點P有且僅有③點P可能為CC④線段AP的最大值為3.其中所有正確結(jié)論的序號是
.三、解答題:本題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。16.某小組共有6名學(xué)生,其中女生2名,男生4名.(1)將6名學(xué)生排成一排,且女生不相鄰的排法有多少種?(2)從6名中選出3人參加某公益活動.(i)共有多少種不同的選擇方法?(ii)如果至少有1位女生入選,共有多少種不同的選擇方法?17.已知A2,4,B-1,1,O為坐標原點,圓C(1)求圓C的標準方程;(2)過原點的直線l被圓C截得的弦長為32,求直線l18.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點
(1)求證:C1(2)求二面角C1-19.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F1,0,離心率為22,直線l過點(1)求橢圓C的方程;(2)延長線段OM與橢圓C交于點P,若四邊形OAPB為平行四邊形,求此時直線l的斜率.20.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為BC的中點.點M條件①:MA=MC條件②:EM⊥AD;條件③:EM//平面CDD(1)求證:M為BD(2)求直線EM與平面MCD所成角的大小,及點E到平面MCD的距離.21.已知橢圓E:x2a2+y2b(1)求橢圓的標準方程;(2)設(shè)A為橢圓E的右頂點,B為橢圓的上頂點,直線l:y=12x與橢圓交于C,D兩點(C在第三象限),P是橢圓上的動點(不與頂點重合),直線AP,BP分別交直線l于點E,F,記ED=λ
參考答案一、單選題:本大題共10小題,共50分。1.D
2.D
3.B
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C
9.A
10.B
二、填空題:本大題共5小題,共25分。11.212.-413.0
14.y=±3x
15.①④
三、解答題:本題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。16.(1)男生先排有A44種,女生插空有所以共有A4(2)(i)6名中選出3人共有C6(ii)6名中選出3名男生有C4所以至少有1位女生入選,共有20-4=16種不同的選擇方法.17.解:(Ⅰ)設(shè)△AOB的外接圓的方程為x2∵A,B,O均在圓C上,∴解得D=-2所以圓C的方程為x2所以圓C的標準方程為(x-1)(Ⅱ)由(Ⅰ)知圓心C(1,2),半徑為5因為直線l被圓C截得的弦長為3所以點C到直線l的距離為d=當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx,即kx-y=0,則|k-2|1+k2=2當直線l的斜率不存在時,不滿足條件,所以直線l的方程為x-y=0或7x-y=0.
18.(1)由于CC1⊥CA,CC1C1故C1故C1M
(2)由于AC⊥平面BCC1B1,故平面設(shè)平面B1ED的一個法向量為B1故B1E?n=-2y-z=0設(shè)二面角C1-B1E-D故cos19.(1)由題意可知,c=1,e=c∵a∴a=2,∴橢圓的方程為x2(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1k≠0,Ax聯(lián)立y=kx-1x22+則x1若四邊形OAPB為平行四邊形,則OA+OB∴x3=∵點P在橢圓上,∴4解得k2=1∴當四邊形OAPB為平行四邊形時,直線l的斜率為k=±20.(1)選條件①:由MA=MC,根據(jù)正方體ABCD-A1B1C選條件②:EM⊥AD,連接CD1,在正方體ABCD-A1B因為CD1?平面CD又因為EM⊥AD,AD//BC,所以EM⊥BC,因為EM,CD1?平面BC又因為E為BC的中點,所以M為BD選擇條件③:EM//平面CDD連接CD1,因為EM//平面CDD1C且平面BCD1∩平面CD因為E為BC的中點,所以M為BD(2)在正方體ABCD-A1B如圖所示,則D(0,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),M(1,1,1),所以DC=(0,2,0),DM=(1,1,1),設(shè)平面MCD的法向量為m=(x,y,z),則令x=1,則y=0,z=-1.于是m=(1,0,-1)設(shè)直線EM與平面MCD所成的角為θ,則sinθ=所以直線EM與平面MCD所成角的大小為30點E到平面MCD的距離為d=EM21.(1)由橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為4,得12?2a?2b=2ab=4,
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