2024年高考數(shù)學(xué)試題和模擬題分類(lèi)匯編：直線(xiàn)與圓（含解析）

專(zhuān)題11直線(xiàn)與圓

一、選擇題部分

1.（2024?新高考全國(guó)I卷?T11）已知點(diǎn)尸在圓（％—5p+（y—5）2=16上，點(diǎn)4（4,0）、

5（0,2）,貝。（）

A.點(diǎn)P到直線(xiàn)A3的距離小于10B.點(diǎn)P到直線(xiàn)A5的距離大于2

C.當(dāng)NP8A最小時(shí)，|PB|=3&D.當(dāng)/PBA最大時(shí)，|尸國(guó)=3夜

【答案】ACD.

【解析】圓（%—5）2+（y—5）2=16的圓心為加（5,5）,半徑為4,

直線(xiàn)A3的方程為］+9=1，即x+2y—4=0,

42

圓心M到直線(xiàn)AB的距離為=n=1^/5>4,

正+22755

所以，點(diǎn)P到直線(xiàn)A5的距離的最小值為生叵-4<2,最大值為生且+4<10,A選項(xiàng)正

55

確；

如下圖所示：

當(dāng)NPBA最大或最小時(shí)，PB與圓M相切，連接MP、BM,可知FA/LPB，

怛M=J（O-5p+（2-5『=后，|阿=4,由勾股定理可得

\BP\==3A/2,CD選項(xiàng)正確.

故選ACD.

2.（2024?江蘇鹽城三模v3）同學(xué)們都知道平面內(nèi)直線(xiàn)方程的一般式為Ar+By+CuO,我們可

以這樣理解：若直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)尸o（xo,加），向量"=（A,2）為直線(xiàn)/的法向量，設(shè)直線(xiàn)/上隨意

一點(diǎn)P(x,y),則7-R)>=0,得直線(xiàn)/的方程為，即可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)方程的一般式.類(lèi)似地，在

空間中，若平面a過(guò)定點(diǎn)Qo(l,0,-2),向量蔡=(2,—3,1)為平面a的法向量，則平面a

的方程為

A.2x—3y+z+4=0B.2x+3y—z—4=0

C.2x—3y+z=0D.2無(wú)+3y—z+4=0

【答案】C.

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的直線(xiàn)方程的求解

【解析】由題意可知，平面a的方程為2(x—1)—3(y—0)+L(z+2)=0,化簡(jiǎn)可得，2x—3y+z

=0,故答案選C.

3.(2024?河南焦作三模?理T9)已知曲線(xiàn)y=x2+4x-3與直線(xiàn)區(qū)7+*-1=。有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A「13、?m3s?l2、?l2、

A.[萬(wàn)，-)B.(0,-)C.弓r，y)D.[r->y)

【答案】A.

【解析】由曲線(xiàn).x2+4x-3,得(X-2)2+儼=1(y2o),是以⑵0)為圓心半徑

為1的上半個(gè)圓，

直線(xiàn)kx-y+k-1=0過(guò)點(diǎn)。(-1,-1),如圖，

過(guò)D(-1,-I)與A(I,0)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率上=粵=5：

1+12

設(shè)過(guò)(-1,-1)且與圓(X-2)2+y2=l相切的直線(xiàn)方程為y+l=Z(X+1),

即fcv-y+k-1=0.

|2k+k-l|___,、q

由J]k，-=L解得2=0或左=￡.

???要使曲線(xiàn)y=4_冒2+47_3與直線(xiàn)kx-y+k-1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)人的取值范圍是：[y,Q

4.(2024?河北張家口三模?T4)“a>0”是“點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2-2ax-2y+a+l=0外”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】將x2+y2-7ax-2y+a+l=3化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-a)2+(y-1)3=a2-a.當(dāng)點(diǎn)

2

?fa-a>0,

(0,1)在圓x2+y2-2ox-5y+a+l=0夕卜時(shí)，有《解得0>1.

342

L(0-a)+(l-l)>a-a

所以“a>3”是“點(diǎn)(0,1)”在圓x7+y2-2ax-2y+a+l=0外”的必要不充分條件.

5.(2024?山東聊城三模?T4.)已知直線(xiàn)2:(a-l)x+y-3=0,圓C:(久一1/+川=5.則

"a=一1"是"/與C相切”的().

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的推斷，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】圓C:(x-I)?+y2=5的圓心為(1,0),半徑?-=有，

由直線(xiàn)I和C相切可得：圓心到直線(xiàn)的距離d=/V=V5,

V(a-1)2+1

解得2a2-a-3=0,解得a=-1或a=|,

故a=-1是a=-1或a=|的充分不必要條件，故答案為：B.

【分析】依據(jù)直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)解得a=-1或a=|,再由充分必要條件即可推斷B正確。

6.(2024?江西南昌三模?理T12.)已知直線(xiàn)/：x-y+4=0與x軸相交于點(diǎn)A,過(guò)直線(xiàn)/上的動(dòng)

點(diǎn)尸作圓N+y2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為C,。兩點(diǎn)，記M是C。的中點(diǎn)，則|AM的最

小值為()

A.2&B.372C.萬(wàn)D.3

【答案】A.

【解析】由題意設(shè)點(diǎn)尸(3什4),C(xi,yi),D(必”)，

因?yàn)槭?。，PC是圓的切線(xiàn)，所以0。，尸。，OCLPC,

22

所以C,。在以O(shè)P為直徑的圓上，其圓的方程為(x?)2+(y_詈

又C,。在圓N+y2=4上，將兩個(gè)圓的方程作差得直線(xiàn)C。的方程為：比+(f+4)y-4=0,

即t(x+y)+4(y-1)=0,所以直線(xiàn)C￡>恒過(guò)定點(diǎn)。(-1,1),

又因?yàn)镺MLC。，M,Q,C,。四點(diǎn)共線(xiàn)，所以。

即M在以。。為直徑的圓Cx+2)2+(y4)2=y±.其圓心為0’(-y,y),半徑為

如圖所示

所以|AMW”=|A。'l-r

所以14M的最小值為2&.

7.（2024?四川內(nèi)江三模?理T10.）已知直線(xiàn)/：y=m（x-2）+2與圓C：x?+y2=9交于A,B兩

點(diǎn)，則使弦長(zhǎng)|AB|為整數(shù)的直線(xiàn)/共有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

【答案】C.

【解析】依據(jù)題意，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)M（2,圓C：x2+/=9的圓心C為（0,7）,

則CM=2證當(dāng)直線(xiàn)與CM垂直時(shí)，M為中點(diǎn)北后=2,此時(shí)直線(xiàn)有一條，

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心C時(shí)，|AB|=2r=6,此時(shí)直線(xiàn)有一條，則當(dāng)|AB|=3,2,5時(shí)，

綜上，共8條直線(xiàn).

8.（2024?安徽馬鞍山三模?文T7.）若過(guò)點(diǎn)（2,-1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線(xiàn)

2x+3y+3=0的出巨離為（)

A275口W5D,

551313

【答案】C.

a>0,b<0

【解析】設(shè)圓心為（。，b）,由已知得，a=-b,

V(a-2)2+(b+l)2=a

解得a=l,b=-1,或a=5,b=-5,

所以圓心為（1,-1）或（5,-5）.

一|2-3+312jiq

當(dāng)圓心為（1,-1）時(shí)，圓心到直線(xiàn)2x+3y+3=0的距禺d―J.2屋=

|2X5+3X(-5)+3|_A,/n

當(dāng)圓心為（5,-5）時(shí)，圓心到直線(xiàn)2x+3y+3=0的距離d=2

722+3213

9.（2°24.安徽蚌埠三模?文T⑵）已知圓C：（x+l）2+戶(hù)疊p2（p＞。），若拋物線(xiàn)E：

4.

儼=22x與圓。的交點(diǎn)為A,B,且sinNA5C=F，則a=()

5

A.6B.4C.3D.2

【答案】D.

22

【解析】設(shè)A(2,州),則B(2,-jo),

2p2p

由圓C：Cx+~）2+產(chǎn)=孕2（>0）,得圓心c（一0）,半徑『學(xué)

4442

所以CD=工+丫0,因?yàn)镹ABC=NR4C,

42p

AD_迎

所以sinZABC=sinZBAC=—=2p,所以cosZBAC=—

5AC5而一星’

10.（2024?上海嘉定三模?T13.）已知直角坐標(biāo)平面上兩條直線(xiàn)方程分別為/i：aix+biy+ci=0,

a[b]

/2：a2X+b2y+C2=0,那么"=0是"兩直線(xiàn)/l,/2平行”的（）

a2b2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

albl

【解析】若“=0則aibi-02bl=0,若oic2-a2cl=0,則/i不平行于h,

a2b2

albl

若，則。由2-a2bi=0,.1

a2b2

a]b

故“=0是“兩直線(xiàn)/l,/2平行的必要不充分條件.

a2b2

11.（2024?遼寧朝陽(yáng)三模?T11.）已知曲線(xiàn)C的方程為,x2+y2=|x+2y|,M：（尤-5）2+y2=

r2-（r>0）,則（）

A.C表示一條直線(xiàn)

B.當(dāng)r=4時(shí)，C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)

C.當(dāng)廠=2時(shí)，存在圓N,使得圓N與圓M相切且圓N與C有4個(gè)公共點(diǎn)

D.當(dāng)C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，r的取值范圍是（4,+8）

【答案】BCD.

【解析】曲線(xiàn)c的方程為Yx2+y2=|x+2y|,兩邊平方可得爐+儼=尤2+4聲4孫，

化為y=0或4x+3y=0,即曲線(xiàn)C表示兩條直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)，=4時(shí)，圓M的圓心為（5,0）,半徑為4,圓M與y=0有兩個(gè)交點(diǎn)；

又圓心M到直線(xiàn)4x+3y=0的距離為至=4=r,所以C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)，故B

正確；

當(dāng)r=2時(shí)，圓M的圓心為（5,0）,半徑r=2,

存在圓N,圓心N（l,0）,半徑為2,圓N與圓M相切且圓N與C有4個(gè)公共點(diǎn)，故C

正確；

當(dāng)C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，且為4個(gè).由r=4時(shí)，C與圓〃有3個(gè)公共點(diǎn)，

可得當(dāng)C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，，的取值范圍是（4,+8）,故。正確.

12.（2024?江蘇常數(shù)三模?T7.）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q為圓M：（x-1）2+（y-1）

2=1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)圓M外一點(diǎn)P向圓M引-條切線(xiàn)，切點(diǎn)為4若|PA|=|PO|,則|PQ|

的最小值為（）

A.圾-1B.圾+1C.?日-1D.-1^/2+1

【答案】C.

【解析】設(shè)P（a，b）,V\PA\^\PO\,圓心M（1,1）,r=L

AVPM2-r2=V（a-l）2+（b-l）2-l=Va2+b2>

工化簡(jiǎn)可得2a+2b-1=0,

?點(diǎn)P滿(mǎn)意表達(dá)式2a+2b-1=0,

,即點(diǎn)P在直線(xiàn)/：2x+2y-1=0,

由題意可知，|PQ|的最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)/的距離d與半徑的差,

11X2+1X2-113^2

：.\PQ\=d-

722+224

13.(2024?寧夏中衛(wèi)三模?理T9.)已知圓M過(guò)點(diǎn)A(1,1)、8(1,-2)、C(3,-2),

則圓M在點(diǎn)8處的切線(xiàn)方程為（）

A.2x+y=0B.3x+2y+l=0C.2x+3y+4=0D.x+2y+3=0

【答案】c.

【解析】依據(jù)題意，設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（機(jī)，〃），

圓/過(guò)點(diǎn)A（1,1）、B（1,-2）、C（3,-2）,則點(diǎn)M在線(xiàn)段A3的垂直平分線(xiàn)上，

則〃=-/，同理：點(diǎn)M在線(xiàn)段2C的垂直平分線(xiàn)上，則加=2,

即圓心的坐標(biāo)為（2,-[■）,則K“B=2則切線(xiàn)的斜率左=-"I"，

2TT23

又由5（1,-2）,則圓M在點(diǎn)3處的切線(xiàn)方程為y+2=-仔（％-1）,變形可得2x+3y+4

O

=0.

14.（2024?天津南開(kāi)二模?T5.）已知直線(xiàn)/與圓C：x2+y2-6x+5=0交于4B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段48

的中點(diǎn)坐標(biāo)為。（2,a）（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】圓C：x2+y2-3x+5=0的圓心（5,0）,

直線(xiàn)/與圓C：xZ+y4-6x+5=5交于48兩點(diǎn)，、/萬(wàn)），

所以弦心距為：?2-4）2+（正-2）2=?,

所以弦長(zhǎng)|AB|為:5V22-（隗）2=2.

15.（2024?廣東潮州二模?T11.）己知圓C：x2-2ax+y2+a2-1=0與圓。：x2+y2^4有且僅有兩

條公共切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

A.-3B.3C.2D.-2

【答案】CD.

【解析】依據(jù)題意，圓C：x2-2（xv+y2+tz2-1=0,即（x-a）2+y2=l,其圓心為（a,0）,

半徑R=l,D：N+y2=4,其圓心￡）（0,0）,半徑r=2,

若兩個(gè)圓有且僅有兩條公共切線(xiàn)，則兩圓相交，則有2-1<間<2+1,即

解可得：-3<a<-1或分析選項(xiàng)可得：C。符合.

16.（2024?安徽淮北二模?文T11.）已知圓Ci：x2+y2—2,圓C2：（x-22+y2—4.若過(guò)

（0,-2）的直線(xiàn)/與圓Ci、C2都有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)/斜率的取值范圍是（）

A.[e，1]B.[0,立]C.[-1,01UE1,V31D.[1,

【答案】D.

【解析】由題意可知，過(guò)（0,-2）的直線(xiàn)與兩個(gè)圓相切，即可滿(mǎn)意題意，就是圖形中的

兩條紅色直線(xiàn)之間的部分，所以直線(xiàn)方程為丫=履+2,所以J]）二后,解得左=Lk=

|2V3k+2|「

-1（舍去），&卜2=2,解得笈=?,（左＜。的解舍去），

所以直線(xiàn)/斜率的取值范圍是[1,Vsl.

17.（2024?河南鄭州二模?文T5.）若直線(xiàn)無(wú)+ay-a-1=0與圓C：（x-2）2+y2=4交于A,B

兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，劣弧源的長(zhǎng)為（）

兀

A.----B.ITC.2irD.3TT

2

【答案】B.

【解析】直線(xiàn)x+ay-a-1=0可化為：（尤T）+a（yT）=0,貝！]當(dāng)x-1=0且y-1=0,

即x=l且y=l時(shí)，等式恒成立，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)1）,設(shè)圓的圓心為C（2,0）,

半徑，=2,當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，|A8|取得最小值，且最小值為24r2-肌|2=2逐工=

2，^,此時(shí)弦長(zhǎng)AB對(duì)的圓心角為-1，所以劣弧長(zhǎng)為-了X2=TT.

18.（2024?新疆烏魯木齊二模?文T9.）已知正方形的一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為3,則其一

條邊所在直線(xiàn)的斜率是（）

A.-3B.-2C.—D.2

3

【答案】B.

【解析】依據(jù)題意，設(shè)正方形的邊所在的直線(xiàn)的斜率為比

正方形的對(duì)角線(xiàn)與四邊的夾角都為45°,則有tan45°=也口=1，

l+3k

解可得：/=微■或-2.

二、填空題部分

19.(2024?上海嘉定三模叮11.)若圓。的半徑為2,圓。的一條弦AB長(zhǎng)為2,P是圓。上隨

意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)意而4而，則屈.與的最大值為.

【答案】10.

【解析】【法一：建系法】如圖以AB中點(diǎn)C為原點(diǎn)建系，則

A(-l,0),B(l,0),0(0,V3)-所以圓。方程為x2+(y-正產(chǎn)=4，

所以設(shè)P(2cos8,英+2sin8)，Q(xo,yo),

因?yàn)槎抖?(2cos8-1,正+2sin8)西=(xo-2cos8,y0-后2sin0),

因?yàn)閏osOH-1,1],所以標(biāo).質(zhì)的最大值為10.

【法二：投影法】連接。4OB過(guò)點(diǎn)。作。CLAB,垂足為C,

???cosNOAB嗤4,

因?yàn)槎鄱?所以薪=4AQ-t4ABO所以品=3AP-2AB=30P-30A-2AB-

ABAQ=AB(30P-30A-2AB)=3AB0P-3ABOA-2|AB|2

=3|AB||0P|cos<^,0P>+3X2X2cosZ0AB-2X22

1n

＜3X2X2Xl+3X2X2Xy-2X2=10-

且僅當(dāng)而If彘且同向時(shí)取等號(hào)，，屈.市的最大值為10.

Il+cosB

20.（2024?上海浦東新區(qū)三模?T9.）若直線(xiàn)3x+4y+w=0與曲線(xiàn)《T=,（。為參數(shù)）沒(méi)

（y=-2+sm

有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是—.

【答案】加＞10或機(jī)＜0.

I=i+cosy

【解析】曲線(xiàn)《Yd（。為參數(shù)）表示的是以（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，

ly=-2+sin6

由于直線(xiàn)3x+4y+wj=0與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，

|3-8+m|-^1

所以圓心（1,-2）到直線(xiàn)的距禺d="7=^=尸＞1,

N3+4：

整理得：|m-5|＞5,解得冽＞10或根＜0.

21.（2024?湖南三模?T15.）直線(xiàn)/：（2a-1）x+（a-3）y+4-3a=0與圓（x-2）2+儼=9相

交于A,B兩點(diǎn)，則|42|的最小值為；此時(shí)。=.

【答案】2折；4-

【解析】:?直線(xiàn)I：（2〃-1）]+（〃-3）y+4-3〃=0恒過(guò)定點(diǎn)（1,1）,

???當(dāng)圓心與點(diǎn)（1,1）的連線(xiàn)與直線(xiàn)A3垂直時(shí)，弦長(zhǎng)發(fā)引最小，

???圓心（2,0）與點(diǎn)（1,1）間的距離為~2一1）2+（0-1）2=圾，半徑為3,

弦長(zhǎng)|相|的最小值為2代工=2析.

i-n

??,圓心（2,0）與點(diǎn)（1,1）連線(xiàn)的斜率為曰=-1，???此時(shí)直線(xiàn)/的斜率為1,

由必==1