高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)8-3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

831．“點(diǎn)P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為()A．P∈m，m∈α B．P∈m，m?αC．P?m，m∈α D．P?m，m?α【解析】點(diǎn)在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”，故選B.【答案】B2．(2018·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面【解析】依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.【答案】D3．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線【解析】不論l∥α，l?α，還是l與α相交，α內(nèi)都有直線m使得m⊥l.【答案】C4．在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，則()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上【解析】由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，HG?平面ACD，所以點(diǎn)M為平面ABC與平面ACD的一個(gè)公共點(diǎn)，而這兩個(gè)平面的交線為AC，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，故選A.【答案】A5．設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，eq\r(2)和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))【解析】此題相當(dāng)于一個(gè)正方形沿著對(duì)角線折成一個(gè)四面體，長(zhǎng)為a的棱長(zhǎng)一定大于0且小于eq\r(2).故選A.【答案】A6．下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D．若直線a∥平面α，點(diǎn)P∈α，則平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線a平行的直線有且只有一條【解析】對(duì)于A，當(dāng)α∥β，a，b分別為第三個(gè)平面γ與α，β的交線時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可知a∥b，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，設(shè)a，b確定的平面為α，顯然a?α，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)a?α?xí)r，直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都平行，故C錯(cuò)誤．易知D正確．故選D.【答案】D7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．A1C1∥平面ABCD B．AC1⊥BDC．AC1與CD成45°角 D．A1C1與B1C成60°角【解析】由A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正確；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正確；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1為A1C1與B1C所成的夾角，又因?yàn)椤鱀A1C1為等邊三角形，所以∠DA1C1＝60°.故選C.【答案】C8．(2018·昆明模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)”共有________對(duì)．【解析】如圖，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線需為面對(duì)角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方形的面對(duì)角線有12條，所以所求的“黃金異面直線對(duì)”共有eq\f(12×4,2)＝24對(duì)(每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以要除以2)．【答案】249．(2018·福建六校聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中錯(cuò)誤的是________．(寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào))【解析】由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)．故填②③④.【答案】②③④10．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為________．【解析】如圖所示，取BC中點(diǎn)D，連接MN，ND，AD.∵M(jìn)，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴MN綊eq\f(1,2)B1C1.又BD綊eq\f(1,2)B1C1，∴MN綊BD，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND∥BM，∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)BC＝2，則BM＝ND＝eq\r(6)，AN＝eq\r(5)，AD＝eq\r(5)，在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝eq\f(ND2＋AN2－AD2,2ND·AN)＝eq\f(\r(30),10).故異面直線BM與AN所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).【答案】eq\f(\r(30),10)11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．【證明】如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線.12.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．【解析】如圖所示，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD.∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角．在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△EAF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,