四川省眉山市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)試題

2023級高二上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線的傾斜角是A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【詳解】依題意有：直線方程為，故傾斜角為.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中點關(guān)于平面對稱的知識確定正確答案.【詳解】依題意，點關(guān)于平面對稱的點坐標(biāo)是.故選：A3.若如圖中的直線的斜率分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象結(jié)合斜率及傾斜角的關(guān)系分別判斷即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，則由圖知，所以，即．故選：D.4.過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】在用截距式求直線方程時需要討論解決是否為0，截距為0則過原點；截距不為0用截距式設(shè)出方程后帶點即可.【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則①，則直線過原點，則直線方程為：②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：綜上所述：該直線方程為或故選：D5.向量，若，且，則的值為（）A.或1 B.1 C.3或 D.3或1【答案】A【解析】【分析】利用空間向量模長坐標(biāo)表示求得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示求，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，可得，又，則，可得，當(dāng)，則；當(dāng)，則；所以的值為或1.故選：A6.如圖，已知大小為的二面角的棱上有兩點A、B，，，，，若，，，則CD的長為（）A.67 B.49 C.7 D.【答案】C【解析】【分析】過A作且，連接、，易得，通過線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，即可求出答案．【詳解】過A作且，連接、，則四邊形是平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，因為，即，而，則是二面角的平面角，即，因為，即為正三角形，所以，因為，，即，，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以在中，，所以，．故選：C．7.皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理.依此定理若在數(shù)集中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解總的取值方法共有種方法，然后求解符合題意的取值方法共有7種，從而可求概率.【詳解】從中任取2個數(shù)：共12種方法；符合題意的共有：共有7種，所以所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為.故選：A.8.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，以D為原點，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為2，則.所以，又所以.故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．）9.下列敘述錯誤的是（）A.若事件發(fā)生的概率為，則B.分層是不放回抽樣，每個個體被抽到的可能性相等C.甲、乙、丙三位同學(xué)爭著去參加一個公益活動，抽簽決定誰去，則先抽的概率大些D.對于任意兩個事件和，都有【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)、不放回抽樣的性質(zhì)，結(jié)合抽簽法的性質(zhì)、并事件的概率性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項，根據(jù)概率的定義可得，若事件發(fā)生的概率為，則，A對，B選項，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義得，分層抽樣是不放回抽樣，每個個體被抽到的可能性相等，B對，C選項，甲、乙、丙三位選手抽到概率是，C錯，D選項，對于任意兩個事件和，，只有當(dāng)事件和是互斥事件時，才有，D錯，故選：CD.10.下列說法中，正確的是（）A.直線的一個方向向量為B.，，三點共線C.直線必過定點D.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】求出直線的斜率可判斷A；由可判斷B；由題意可得出，即，解方程可判斷C；時，直線的斜率不存在可判斷D.【詳解】對于A，因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，故A錯誤；對于B，，，，所以，故B正確；對于C，由可得：，則，解得：，所以直線必過定點，故C正確；對于D，當(dāng)時，直線的斜率不存在，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，直三棱柱所有棱長均為，，，，分別在棱，上，（不與端點重合）且，，分別為，中點，則（）A.平面B.過，，三點的平面截三棱柱所得截面一定為等腰梯形C.在內(nèi)部（含邊界），，則到棱距離的最小值為D.若，分別是平面和內(nèi)的動點，則周長的最小值為3【答案】ACD【解析】【分析】由直三棱柱性質(zhì)以及線面平行判定定理可判斷A正確，易知當(dāng)分別為棱，的中點時截面為為矩形，即B錯誤；易知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)的部分，可判斷C正確，作出點關(guān)于平面和的對稱點，再利用余弦定理可得D正確.【詳解】對于A，如下圖所示：由可得，由三棱柱性質(zhì)可得，因此可得，因為平面，平面，所以平面，即可知A正確；對于B，由可知，結(jié)合A選項可知，當(dāng)分別為棱，的中點時，滿足，如下圖所示：結(jié)合直棱柱性質(zhì)可知，此時過，，三點的平面截三棱柱所得截面為，為矩形；即B錯誤；對于C，易知，又，所以在直角三角形中，，可得；因此可得的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)的部分，即圓弧；如下圖所示：又是邊長為4的正三角形，取為的中點，所以到的距離為，因此可得當(dāng)為圓弧的中點時，到棱距離的最小值為，即C正確；對于D，取點關(guān)于平面和的對稱點分別為，連接與平面和的交點分別為，時，周長的最小，如下圖所示：易知，，由余弦定理可得，因此周長的最小值為，即D正確.故選：ACD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知直線過點，傾斜角為，則坐標(biāo)原點到直線的距離為______．【答案】【解析】【分析】先求出直線的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意知，斜率為，則直線方程為，即，則坐標(biāo)原點到直線的距離為.故答案為：.13.已知過點的直線與以點和為端點的線段AB相交，求直線的斜率的取值范圍______.【答案】【解析】【分析】首先利用兩點式斜率公式求出，，再結(jié)合圖象即可求出直線斜率的取值范圍.【詳解】設(shè)點，依題意，．因為直線與線段有交點，所以或，由圖可知直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．14.在棱長為2的正方體中，動點，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時，與平面所成角的正弦值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合等積法，可求出當(dāng)?shù)捏w積最小時，，分別是所在棱的中點；法一，根據(jù)，可求出點到平面的距離為，結(jié)合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.【詳解】設(shè)，則．由等體積法，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以當(dāng)?shù)捏w積最小時，，分別是所在棱的中點．方法一易知，，．由余弦定理，得，所以，所以．設(shè)點到平面的距離為．根據(jù)，得，解得．所以與平面所成角的正弦值為．方法二以點為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，則．設(shè)與平面所成的角為，則．故答案為：四、解答題：（第15題13分，1617題每題15分，1819題每題17分．）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.（1）求直線一般式方程；（2）求直線的一般式方程及點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩直線垂直得到直線斜率，用點斜式寫出直線方程.（2）由傾斜角關(guān)系得到直線斜率，由點斜式寫出直線方程，聯(lián)立直線方程組，解出交點坐標(biāo)【小問1詳解】∵，∴且，∴，∵，∴直線：，即【小問2詳解】∵，∴，∴方程，令，則，∴，∴，∴，∴直線：聯(lián)立方程，解得即16.如圖所示，已知是平行六面體．（1）化簡；（2）設(shè)是底面的中心，是側(cè)面對角線上的分點，設(shè)，試求，，的值．【答案】（1）；（2），，.【解析】【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)及向量的線性運算即得；（2）利用向量線性運算的幾何表示可得，進(jìn)而即得.【小問1詳解】∵是平行六面體，∴【小問2詳解】∵，又，∴，，.17.某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進(jìn)入這三個社團(tuán)成功與否相互獨立．2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為、、，已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個社團(tuán)活動安排情況，對進(jìn)入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進(jìn)入“詩詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，假設(shè)該同學(xué)通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為、、，已知三個社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，且，利用相關(guān)公式建立方程組，即可求得與的值；（2）根據(jù)題意，可知不低于4分包括了得分為4分、5分、6分三種情況，之后應(yīng)用乘法和加法公式求得結(jié)果.【詳解】（1）依題，解得（2）由題令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，獲得本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件，則；；.故.【點睛】該題考查的是有關(guān)概率的問題，涉及到的知識點有相互獨立事件同時發(fā)生的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，注意對公式的正確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，（i）求平面PDM與平面BDM的余弦值；（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，先證四邊形是平行四邊形，可知，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再證，，兩兩垂直，然后以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，（ⅰ）利用向量法求平面與平面的夾角即可；（ⅱ）設(shè)，利用向量法表示出點到平面的距離，可得關(guān)于的方程，解之即可．【小問1詳解】取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，，，∴四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面．【小問2詳解】，∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，

∴以點D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，為棱的中點，

（i），設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，

，∴平面PDM與平面BDM的余弦值為；（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設(shè)，則，

由（2）知平面的一個法向量為，，∴點Q到平面的距離是，

．19.已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，（1）試計算的絕對值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜