2024年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)綜合測試卷（含解析）

綜合測試卷

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

L設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意出=l-i,則復(fù)數(shù)z=()

A.2iB.-2iC.iD.-i

答案:C

解析：：蟲=l-i,

2.若集合Z={x/log2(2x+l)<1},集合B=[x/\<2A'<4]，則/C6=()

A.(0,JC.(0,2)D,g,2)

答案:A

解析：,2={x/log2(2x<l)<1}彳卜！<<%

B={xf\={x/0<r<2},

.../n對|o<<；},故選A.

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村

的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖：

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

第三產(chǎn)業(yè)收入

28%\

種植收入(官其他收入

(37%

/30%)

養(yǎng)殖收入

建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入削減

B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

答案:A

解析:設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為1,則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2,建設(shè)前種植收入為0.6,建設(shè)后種植收入為

2X0.374）.74,故A不正確;建設(shè)前的其他收入為0.04,養(yǎng)殖收入為0.3,建設(shè)后其他收入為0.1,養(yǎng)

殖收入為0.6,故B,C正確;建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和所占比例為58%,故D正確,故選

A.

4.設(shè)直線是曲線y=Lnx的一條切線，則6的值為（）

A.In2-1B.In2-2C.21n2-1D.21n2-2

答案:A

解析:設(shè)切點(diǎn)為（見ri）,則n=lnm.

函數(shù)尸Inx的導(dǎo)數(shù)為力」,可得切線的斜率為上

則上=?

解得片2,則Z7=ln2,故i>=n^/n=ln2-l.故選A.

5.設(shè)adR,貝U“a=l”是"/■（x）=ln（+吃）為奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:C

解析:若a=l,則f{x）=ln（lH——-

故函數(shù)AX）的定義域?yàn)椋?8,J）U（1,+8）,關(guān)于原點(diǎn)對稱.

又f(-x)<f(x)=1n+1=1n(=lnl4),

所以函數(shù)/Xx)是奇函數(shù),即充分性成立.

若/U)=ln(+卷)為奇函數(shù)，

則/(-x)4(x)=ln(+V)+ln(+7^)4),

化為(a-1)［(a+1)(41)闋或此式對于定義域內(nèi)的隨意x都成立,故a=l,

即必要性成立.故“a=l”是“f(x)=ln(+卷)為奇函數(shù)”的充要條件.故選C.

6.執(zhí)行下面的程序框圖，假如輸出的函數(shù)值在區(qū)間［1,2］上,那么輸入實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

CW)

/輸入工/

/輸出

A.(-『o)B.[-1,0]C.[1,+8)D.[0,1]

答案:D

解析:依據(jù)題意,得當(dāng)xe[-2,2]時(shí),F(x)夕,

...1W2*W2,；.0W啟1;

當(dāng)居[-2,2]時(shí),/U)=3,不符合題意，

??.X的取值范圍是[0,1].

7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj,a、a2a3$,ajSsfie=lO,則)

A.5V2B.7C.6D.4禽

答案:A

解析：:aia2a3=5,^巧.

?ci7c?8c29—10,■?g—10.

又5=a2a8,/.I=I|=50.

??汰氏氏二HV2,故選A.

8.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示,則該幾何體的體積等于（)

俯視圖

A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3

答案:B

解析：由三視圖可知該幾何體為三棱柱/阿-頌削去一個(gè)三棱錐A-BCD,如圖.

因?yàn)槔庵母邽?,底面為直角三角形,且直角三角形的兩直角邊長分別為3,4,

所以幾何體的體積KX3X4XgX3X4X5=20(cm3).故選B.

9.(2024浙江,9)已知a,6CR,abX),函數(shù)9(x)=ax歷(xOR).若f(s),成等比數(shù)列,則

平面上點(diǎn)（s,t）的軌跡是（）

A.直線和圓B.直線和橢圓

C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

答案:C

解析：.."(sY),f(s),f(s旬成等比數(shù)列,

:.f(s?f^s+t)=/(s),

即\_a^s-t)~+b\\_a(^s+t)2+b\=(as+b)2,

整理，得「(a/-2asa+26)=0.

當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)（s,t）的軌跡是直線;

當(dāng)ad-2as〃2力4）時(shí),2s'--工人，

22

即-----9-~11此時(shí)點(diǎn)（S,力的軌跡是雙曲線.

故選C.

10.已知的三個(gè)頂點(diǎn)在以。為球心的球面上,且cosBC=1,心3,三棱錐0TA7的體積為

?，則球。的表面積為（）

6

A.36JiB.16JiC.12JiD.—

3

答案:B

2_|_2_22In_i9、歷.—

解析：由余弦定理,得cosJ---------=—=嚕解得AB之例.

263

故A^+B6=A6,即ABLBC.

因此4C是平面/8C與球的截面圓的直徑.

作切,平面ABC,則D為AC的中點(diǎn).

所以VOTBC±SSC?0D=X:義2Y1X\X0D~\^,

3326

所以0吟.所以O(shè)AX一^^2.

所以S球產(chǎn)4n?（242=16n.故選B.

/掰/60°.若戶是△被7所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且"之，則）的最大

值為（）

A.10B.12C.10+2V37D.8

答案:C

解析：以點(diǎn)A為原點(diǎn),邊/C所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則2(0,0),^,學(xué))，C(4,0).

設(shè)P(2cos&,2sin9),JeR,

可得,=Q-2COS，竽-2sin),

>=(4-2cos9,-2sin9),

故‘-'=(|-2cos)(4-2cos0)-2sinS(^-2sin6)=-11cos9-3-\/3sin9+10=-

2V37sin(9+a)+10.

其中a為銳角，且tana，GR.

故當(dāng)sin(8+a)=-l時(shí),(取最大值10+2V37.

故選C.

12.已知函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對隨意xGR都有f'(x)?(x)成立，則()

A.3f(In2)>2f(ln3)

B.3f(In2)=2f(ln3)

C.3f(In2)<2Aln3)

D.3/(ln2)與2f(ln3)的大小不確定

答案:C

解析:令g(x)~(\

因?yàn)閷﹄S意xGR都有f'(x)>f(x),

所以g'(x)X,即g(x)在R上單調(diào)遞增.

又ln2<ln3,

所以g(ln2)<k(ln3),

即坐^<坐上

1gln2gln3

所以空以〈智N即3f(In2)<2f(ln3),故選C.

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

13.用系統(tǒng)抽樣的方法從300名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將300名學(xué)生從1"300編號,按編號

依次平均分成20組,若第16組抽出的號碼為231,則第1組中用抽簽法確定的號碼

是.

答案：6

解析:不妨設(shè)第1組抽到的號碼為x.

因?yàn)?00名學(xué)生平均分成20組,所以每組15人,

所以在第16組中應(yīng)抽出的號碼為15X15*%

即225+矛之31,故產(chǎn)6.

22

14.已知雙曲線「-^=1(aA),6為)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.若△/斯為等腰

三角形,則該雙曲線的離心率為.

答案:1A/9

解析：由題意,得尸(-C,0),力(a,0).

不妨設(shè)8(0"),則/班742+―4>cjAFl=a+c>c,/AB/^2+—^=c.

因?yàn)椤?如為等腰三角形，

所以只能是〃尸片/母7,

即a+c=\J~2；

整理,得c2^2a"-2ac=0,

即e2-2e-24),解得e=l大倍(舍去負(fù)值).

3--6<0,

15.設(shè)。滿意約束條件-+220,若目標(biāo)函數(shù)z=ax〃>y(aX),6X)的最大值為12,則人+上的最

.>0,>0,

小值為.

答案片

O

解析:依據(jù)約束條件繪制可行域,如圖所示.

將轉(zhuǎn)化為尸一xJ,

???aA）,6X,?,?直線片一乃一的斜率為負(fù),最大截距對應(yīng)最大的z值,易知點(diǎn)/為最大值點(diǎn).

解得｛二:'即2（4,6）.

目標(biāo)函數(shù)Z二的最大值為12,

；.12Nav66,即—2_=1,

6

25

?一+*=+f+*)T+-+-W攵~6'

當(dāng)且僅當(dāng)一=一,且\*=1,

0

即時(shí)取等號.

16.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧所在圓

的圓心,A是圓弧46與直線AG的切點(diǎn),方是圓弧43與直線寬的切點(diǎn)，四邊形應(yīng)FG為矩形,BCVDG,

垂足為C,tan/MCj,BH//DG,EF=12cm,龐=2cm,A到直線龐和哥1的距離均為7cm,圓孔半徑為1

5

cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

答案:gm+4

解析：作OM,CG交CG于點(diǎn)、M,APLOH交加于點(diǎn)已留小必交CG于點(diǎn)Q,圖略.

設(shè)OM^ix,貝ijDMYx,

：.0P=MQ7與X、

：.AP^-2-3x^~3x,

r；-Q

tanXAOP=——=----.

7-5

又,:NAOP=/HAP,

.\tanN物/^——=

7-2

(-o~=],解得X-1.

：.ZAOP=^,AP畛,

4

：.0A=2yf2,

Xl2-|x(JI-^)X(2V2)2^X2V2X2V2-^JI=3Ji必《=必，

三、解答題(本大題共6小題,共70分)

17.(12分)在△被7中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且c=bcosA+asinB.

(1)求角8的度數(shù)；

(2)若為6。上的一點(diǎn)如=1,cos/C物卷求的面積

D,5,.

解：(1)因?yàn)閏=bcosA+asinB,

所以由正弦定理,得sinC-sinBcosA-^sin^sinB.

又sinC=sin(/坳=sin/cos6加os/sina

所以sin/cosaA:os/sin廬sin%os/AinZsin4

化簡得tan^-1.

又因?yàn)?<5(兀，所以B*.

(2)cosXBDA=cos(兀-ZCDA)二rosNCZZ4二日sinN_5ZZ4=\/]_cos2N

5

，sinN掰〃=sin(?+N

考(sinN薇4代osN94)年.

在中，由正弦定理，得在」.二5%.

sinN

所以SAA/BD?AD?sin/a08aXIX5X-=2.

225

18.(12分)如圖，四邊形BCDE為矩形,平面/6CL平面BCDE,ACY.BC,AC=CD±BC畛，F(xiàn)是49的中點(diǎn).

(1)求證:/6〃平面CEF-,

(2)求點(diǎn)A到平面面的距離.

答案：⑴證明如圖，連接"交費(fèi)于點(diǎn)〃連接加

：四邊形BCDE為矩形,

〃是線段初的中點(diǎn).

又點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn),

勿是△/!劭的中位線.

J.FH//AB.

又FHc.平面CEF,AW平面CEF,

平面CEF.

(2)解設(shè)A到平面儂'的距離為d,

則VA-CEF^dSt^CEF^/DE/,SlxKCF.

由題意可知CF^/2,彷2指,鰭=3方,則CFLEF,

故S.EF,XV2X3禽=3,則得，

即點(diǎn)/到平面儂'的距離是（

19.（12分）“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)App推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款，楊老師的微信摯友圈內(nèi)有

600名好友參加了“微信運(yùn)動(dòng)”.他隨機(jī)選取了40名微信好友（女20人,男20人），統(tǒng)計(jì)其在某一天

的走路步數(shù).其中，女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下：

5860852073266798732584303216745311754986087536450

729048501022397637988917664215980

男性好友走路的步數(shù)狀況可分為五個(gè)類別：/（02000步）（說明：“0D000”表示大于等于0,小于

等于2000.下同），6（2001名000步），C（5001力000步），2（800110000步），￡（10001步及以

上），且8,D,￡三種類別人數(shù)比例為173：4,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖所示的條形圖.

若某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“衛(wèi)健型”，否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.

（1）若以楊老師抽取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來估計(jì)全部微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,

請估計(jì)楊老師的微信摯友圈內(nèi)參加“微信運(yùn)動(dòng)”的600名好友中，每天走路步數(shù)在5001'10000

步的人數(shù)；

（2）請依據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的2X2列聯(lián)表,并據(jù)此推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

的前提下認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān)？

類型

性別總計(jì)

衛(wèi)健型進(jìn)步型

男20

女20

總計(jì)40

（3）若從楊老師當(dāng)天選取的步數(shù)大于10000的好友中按男女比例分層選取5人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,

然后再從這5名好友中選取2名進(jìn)行訪談,求至少有一名女性好友的概率.

尸（川沁）0.100.050.0250.010

Ao2.7063.8415.0246.635

解：⑴在樣本數(shù)據(jù)中，男性摯友8類別設(shè)為x人,則由題意可知1力3+3x^00,解得x3,故6類

別有2人,2類別有6人,￡類別有8人,走路步數(shù)在500110000步的包括以，兩類別共計(jì)9人;女

性摯友走路步數(shù)在5001'10000步共有16人.

用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)楊老師的微信摯友圈內(nèi)參加“微信運(yùn)動(dòng)”的600名好友中，每天走路步數(shù)在

5001、0000步的人數(shù)為

600X—^375.

（2）2X2列聯(lián)表如下:

類型

性別總計(jì)

衛(wèi)健型進(jìn)步型

男14620

女81220

總計(jì)221840

2

K的觀測值636<3.841,

ZvXZUXZZX1o

故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān).

（3）在步數(shù)大于10000的好友中分層選取5名好友,男性有5（人），記為A,B,C,D,

o+Z

女性有5乂4二1（人），記為e.

從這5人中選取2人,基本領(lǐng)件是AB,AC,AD,

Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De,共10種,這2人中至少有一名女性好友的事務(wù)有Ae,Be,Ce,De,共4種，

故所求概率喘=1

20.（12分）設(shè)橢圓。:二+-=1（a%X）的離心率右,右焦點(diǎn)到直線一+-=1的距離d耳。為坐標(biāo)

原點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)。作兩條相互垂直的射線,與橢圓。分別交于48兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)。到直線的距離為定值,

并求弦26長度的最小值.

解：⑴由e],得一=1即a=2C,故g/金.

由右焦點(diǎn)到直線一+―=1的距離為理，

付J2+2-7，

角軍得a2b二小.

22

所以橢圓。的方程為7+亍=1.

⑵設(shè)2(荀,yi),6(x2,72),直線AB的方程為y=kx+m,

22

聯(lián)立直線/夕：產(chǎn)而場與橢圓7+丁=1,

消去y得3/掰(如片-^kmx+m)-124),

化簡得(3弘/f+8為7行4^—124).

2

mi|,_83-12

則歷田二片巧，荀e一3+42,

'JOAA.OB,.x\x-x+y\y^.

:?xixz+lkxi+ni){kx2+m)=Q,

即(必丹,)X1X2+km{x\+X2)+m4),

整理得7於12(便粕.

點(diǎn)。到直線AB的距離今二=惇=第為定值.

V2+1777

,：0A10B,：.0代+0百=四，20八，0B.

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?%時(shí)取"三’號.

2

由d-AB=OA?08得d'AB=OA?媚一^,

2T,

即弦AB的長度的最小值是字.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f{x)=~2x為xTnx(a￡R),g(x)^—/3.

e

(1)若函數(shù)F(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若對隨意xG(0,e),都有唯一的[e",e],使得g(x)與(劉)+2。成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴(x)三三~且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,

，f'(x)W0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恒成立，

即4x-ax+1^0在區(qū)間(0,+@內(nèi)恒成立.

zl=a2-4X4X1^0,即"WaW4;

或(7(0即ad.

綜上可知,aW4.

；.g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,e)內(nèi)單調(diào)遞減.

又g(0)=3,g⑴=4,g(e)=e2n3+3>3,

???虱工)的值域?yàn)?3,4].

記h{x}=f(x)+2x2=axTnx,m=g{x),

原問題等價(jià)于Vme(3,4],存在唯一的[e：e],使得爾司)中成立.

：力，(x)=a~~=---xG[e：e].

①當(dāng)a蜷時(shí)"'(x)W0恒成立,Mx)單調(diào)遞減，

e

由力(X)max2(不)二弟/弘24,7?(x)min斗(e)=aeTW3,解得0<84工;

e

②當(dāng)時(shí)，力'(x)20恒