2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：選擇填空之圓中的最值問題

圓中最值

類型、圓中將軍飲馬

例1、如圖，是。。的直徑，MN=2,點(diǎn)A在。。上，ZAMN=30°,3為弧

AN的中點(diǎn)，尸是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+P3的最小值為▲.

【解答】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交MN于點(diǎn)P,則P點(diǎn)就是所求作的

點(diǎn).

此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng).―—乂

連接OA,0C,1

VZAMN=30°,AZA0N=60°,

???弧AN的度數(shù)是60°,則弧BN的度數(shù)是30°,FOP―T

根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30°,\/

則NA0C=90°,又0A=0C=l,則AC=&

1、已知圓0的面積為3萬，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為

20度，點(diǎn)P為直徑AB上任一點(diǎn)，則PC+CD的最小值為,即PC+PD的最小

值為3.

2、如圖，菱形ABC中，NA=60度，AB=3,OA、。8的半徑為2和1寸、E、F分

別是CD,?A和。B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為APE+PF的最小值

是3.

3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A(-2,3),B(3,4)為圓心，以1、2為半徑

作。A、QB,M,N分別是。4、上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則FW+PN的最

小值等于▲一.

B=N(3+2,+(4+3/=后,

：.MN=A'B-BN-A'乂=迎—2—1=迎—3,

：.PM+PN的最小值為仃一3.

故答案為取一3.

類型：圓的定義(一周同長(zhǎng))

例2木桿AB斜靠在墻壁上,當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí),木桿的底端B也隨之沿

著射線0M方向滑動(dòng)。下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)P隨之下落的路線,其中正確的是()

解答：如右圖，連接0P,由于0P是RtZkAOB斜邊上的中線，所以O(shè)P=12AB,不管木桿如何

滑動(dòng)，它的長(zhǎng)度不變，也就是0P是一個(gè)定值，點(diǎn)P就在以。為圓心的圓弧上，那么中點(diǎn)P

下落的路線是一段弧線。選D.

1、如圖，己知AB=AC=AD,/CBD=2NBDC,/BAC=44。，則/CAD的度數(shù)為

考點(diǎn)：［圓周角定理］解答：；AB=AC=AD,；.B,C,D在以A為圓心,AB為半徑的圓上，

CAD=2ZCBD,ZBAC=2ZBDC,VZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°，/CAD=2NBAC=88。.故答案

為：88°.

2、在平面直角坐標(biāo)系中，A(4,0)、B(0,-3),以點(diǎn)B為圓心、

2為半徑的圓B上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接AP,若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接

0C,則0C的最小值為

3

解答：—

2

3.如圖，AB是。。的弦，AB=8,點(diǎn)C是。0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ACB=45°,若點(diǎn)M、N分別

是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是.

4.如圖所示，四邊形A3CD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2.則3。的

長(zhǎng)為()

【解答】解：以A為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)交OA于

F,^^DF'：DC//AB,

：.hu(DF)=hu(BC),：.DF=CB=1,BF=2+2=4,

?.?RB是(DA的直徑，

：.ZFDB=90°,：.BD=gh{BK-DF'(2))=715.1……下)

故選：B.

5在等腰△ABC中，AC=BC,ZC=100°，點(diǎn)尸在△ABC的外部，并且PC=

BC,求NAP3的度數(shù).

【分析】根據(jù)已知條件得到A、B、P三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，根

據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：,：AC=BC,PC=BC,/---、

；.A、3、P三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，/C

若P、。在A3的同側(cè)，則

VZACB=10Q°,P'

：.ZAPB=5Q°

若尸、C在A3的異側(cè)，則NAPB=180°—50°=130°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的

關(guān)鍵.

6.(1)問題背景…

如圖①，BC是。0的直徑，點(diǎn)A在。0上，AB=AC,P為扁C上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,

C重合)，求證：:PA=PB+PC.

小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三

條線段A3,AP,AC,且A3=AC,這就為

旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考

請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.

(2)類比遷移

如圖②，。0的半徑為3,點(diǎn)A,B在。0上，C為。0內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB±AC,

垂足為A,求0C的最小值.

(3)拓展延伸

4

如圖③，。。的半徑為3,點(diǎn)A,B在。0上，C為。0內(nèi)一點(diǎn)，AB=-AC,AB±AC,

o

垂足為A,則0C的最小值為.

【解答】（1）證明：將△P4C繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4

（如圖①）;,.?3C是直徑，：.ZBAC=9Q°,\'AB=AC,：.ZACB=AABC

=45°,由旋轉(zhuǎn)可得NQA4=NPC4,ZACB=ZAPB=45°,PC=QB,

,：ZPCA+ZPBA=180°,

：.ZQBA+ZPBA=18Q°,：.Q,B,P三點(diǎn)共線，

AZQAB+ZBAP=ZBAP-\-ZPAC=9Q°,：.QP2=AP2+AQ2

：.QP=\l2AP=QB+BP=PC+PB,：.\f2AP=PC+PB.

（2）解：如圖②中，連接。4,將△O4C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4

QAB,連接OQ,

'：AB±AC：.ZBAC=9Q°

由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC,AQ=OA,ZQAB=ZOAC

：.ZQAB+ZBAO=ZBAO+N。4c=90°

B

圖②

.?.在Rt^OAQ中，OQ=3y[2,4。=3.，.在4。03中，BQ^OQ~OB=3出一

3

即0c最小值是3娟一3

_4

(3)如圖③中，作AQLOA,使得AQ=aO4,連接。。，BQ,0B.

O

'：ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,

44

(QA)/(O4)=(AB)/(AC)=鼻，：.^QAB^AOAC,：.BQ=~OC,

ou

當(dāng)BQ最小時(shí)，0c最小，易知。4=3,AQ=4,0Q=5,BQ^OQ-OB,：.BQ

333

三2,.，.臺(tái)。的最小值為2,.二。。的最小值為2=],故答案為萬.

類型、折疊隱圓

預(yù)備定理

如圖1、2,平面內(nèi)有一定點(diǎn)A和一定圓。。，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)A。并

延長(zhǎng)，分別交。。于8、。兩點(diǎn)（稱8、C分別為直線0A與。。的近交點(diǎn)與遠(yuǎn)

交點(diǎn)），則A3為AP的最小值，AC為AP的最大值.設(shè)。。的半徑為r;,那么AP

的最小值為|A0-",AP的最大值為AO+r.

圖1圖2

【基本原理】（一箭穿心）

點(diǎn)A為圓外一點(diǎn)，P為圓0上動(dòng)點(diǎn)，連接A0并延長(zhǎng)

交圓于PLP2,則AP的最小值為AP2I,最大值為APi

例、【問題情境】

如圖1,尸是。。外的一點(diǎn)，直線P。分別交。。于點(diǎn)A、B

小明認(rèn)為線段必是點(diǎn)尸到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在。。上任

意取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C,連接0C、CP,則有。尸C0C+PC,即。P—0CVPC,由。4

=0C得。尸一。4<尸。，即B4VpC,從而得出線段必是點(diǎn)尸到。。上各點(diǎn)的距離中最短

的線段

小紅認(rèn)為在圖1中，線段PB是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段，你認(rèn)為小紅的說法

正確嗎？請(qǐng)說明理由

【直接運(yùn)用】

如圖3,在RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于。，P

是版（C0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則AP的最小值是

【構(gòu)造運(yùn)用】

如圖4,在邊長(zhǎng)為4的菱形中，NA=60°,M是4。邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，

將△AMN沿所在的直線翻折得到AA'MN,連接A'C,請(qǐng)求出A'C長(zhǎng)度的最小值

解：由折疊知A'M^AM,又M是的中點(diǎn)，可得MA=MA'=MD,做點(diǎn)A'在以AD

為直徑的圓上，如圖5,以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑畫。過M作垂足為X

（請(qǐng)繼續(xù)完成本題的后續(xù)解題過程）

如圖6,△ABC、△EFG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC、斯的中點(diǎn)，直線AG、

FC相交于點(diǎn)當(dāng)△EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，則線段長(zhǎng)的最小值和最大值分別是

【解答】解：【問題情境】如答圖1,在圓。上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)B的點(diǎn)C,連接0C、

0P.

則有OP+OOPC.

由02=0C得到：OP+OB>PC,gpPB>PC.

從而得出線段PB是點(diǎn)P到圓。上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段；

答圖1

【直接運(yùn)用】如答圖2,找到BC的中點(diǎn)E,連接AE,交半圓于2，在半圓上取尸1，連接

APPEPi，

可見，APX+EPY>AE,

即A2是人尸的最小值，；AE=y/^P=#,尸2石=1，

：.AP2=y[5-l.故答案為：乖T.

【構(gòu)造運(yùn)用】如答圖3所示：是定值，A'C長(zhǎng)度取最小值時(shí),

上時(shí)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)R

:在邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。中，ZA=60°,M為A。中點(diǎn),

.?.2MD=A￡)=CZ)=4,/HDM=60°,:./HMD=3Q°,

：.HD^MD^1,：.HM=DMXcos30°=4,

：.MC=gh(HMi+CM^2))^2巾，.\A,C^MC~MA'=2小一2；

【深度運(yùn)用】設(shè)AC的中點(diǎn)O,連接A。、DG、BO、OM,如答圖4.

1/△ABC,△EEG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC、EF的中點(diǎn),

：.AD±BC,GDA,EF,DA=DG,DC=DF,

：.ZADG='3QO~ZCDG=ZFDC,(DA)/(DC)=(DG)/(DF),

：.ADAG^ADCF,

/DAG=ZDCF.

：.A,D、C、M四點(diǎn)共圓.

①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BO^BM+OM,即當(dāng)M在線

段BO與該圓的交點(diǎn)處時(shí)，線段BM最小，此時(shí)，BO=g/z/C2—。。八(2))=

^/42-22=2木,OM=1AC=2,

則3A/=BO—OAf=2y[3-2.

②根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BM^BO+OM,當(dāng)M在線段8。延長(zhǎng)線與該圓的交點(diǎn)處時(shí),

線段3M最長(zhǎng)，此時(shí)，BO=gh(BC-OC^2))=yl^-22=2y[3,OM=^AC=2,則

BO+OM=2,73+2.

故答案是：2小一2；2A/3+2.

1、已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A(H,0),

點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，經(jīng)過點(diǎn)0、P

折疊該紙片，則CB'的最小值為

2、四邊形ABCD中，AD〃BC,ZA=90,AD=LAB=2,BC=3,P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn),

將4ABP沿BP所在直線翻折得到△QBP,則4CQD的面積最小值為

3如圖3,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，尸是線段

上的動(dòng)點(diǎn)，將A￡Bb沿所所在直線折疊得到AE5/,連結(jié)方。，則"。的最

小值是（）

由題意可知，點(diǎn)用隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng).：E是邊的中點(diǎn)，

I.EB=-AB=2.由折疊性質(zhì)可知EB,=EB=2，所以動(dòng)點(diǎn)B'到定點(diǎn)E的距

2

離為定長(zhǎng)2,即動(dòng)點(diǎn)￡的軌跡是以E為圓心，2為半徑的圓，如圖4.

由預(yù)備定理可知，連結(jié)。E交。E于點(diǎn)此時(shí)?。最小，且有

2222

B,Dm.a=DE—EB'=A/A￡+AD-EB'=72+6-2=2710-2.

4如圖5,在AABC中，ZACB=9Q°,AB=5,BC=3,尸是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)6重合），將ASCP沿CP所在的直線翻折，得到她（尸，連結(jié)￡A,則￡A

長(zhǎng)度的最小值是.

解析由題意可知，點(diǎn)方隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).由翻

折的性質(zhì)得QC=BC=3,即動(dòng)點(diǎn)61到定點(diǎn)。的距離等

于定長(zhǎng)3,所以動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是以定點(diǎn)。為圓心，3為半

徑的圓，如圖6.當(dāng)點(diǎn)方落在AC邊上時(shí)，即A、B'、。三

點(diǎn)共線時(shí)，￡A長(zhǎng)度最小，且有

圖5

=,52-32-3=1.

5如圖7,在小AABC中，ZC=90%AC=6,BC=8,點(diǎn)/在邊AC上，并且

CE=2,點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將ACEF沿直線所翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,

則點(diǎn)尸到邊距離的最小值是.

圖8

解析由題意可知，點(diǎn)尸隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).由翻折的性質(zhì)得

PF=FC=2,所以動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)廠的距離等于定長(zhǎng)2,即動(dòng)點(diǎn)尸在以定點(diǎn)廠為

圓心，2為半徑的圓上，如圖8.過點(diǎn)尸作PGLAB于點(diǎn)G,連結(jié)/G,則有

PG>FG-FP=FG-2.所以要使PG最小，只需使bG最小根據(jù)垂線段最短，

可知當(dāng)FGLAB,且E、尸、G三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)G最小.

在HfAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.由勾股定理，得AB=10,再

由面積法，得FG=4.8,所以點(diǎn)P到邊A5距離的最小值為

PG*=FGmm-2=FG'-2=4.8-2=2.8.

6如圖9,菱形至"的邊"=8,ZB=60°,尸是AB上一點(diǎn)，BP=3,。是

邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線P。折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,當(dāng)CT的長(zhǎng)

度最小時(shí)，C。的長(zhǎng)為（）

解析如圖10,記梯形APQD沿直線PQ折疊后的梯形為4PQDL由折疊

性質(zhì)可知

A'P=AP=AB-BP=8-3=5.即動(dòng)點(diǎn)4到定點(diǎn)P的距離等于定長(zhǎng)5,少

所以動(dòng)點(diǎn)4在以定點(diǎn)P為圓心，5為半徑的圓上.由預(yù)備定理知，當(dāng)點(diǎn)4落笠

在CP邊上時(shí)，C4長(zhǎng)度最小，此時(shí)，由折疊性質(zhì)，知NCPQ=ZAPQ：

4FpB

CD//AB,：.NCQP=/APQ,、:

：.ZCQP=ZCPQ,I.CQ=CP.作CFLAB于F,由菱形的性質(zhì)和圖

1r-

N5=60。，可得3尸=—AB=4,。尸=46.由勾股定理，得

2

CP=y/CF2+PF2=7（4A/3）2+12=7,所以當(dāng)CV的長(zhǎng)度最小時(shí)，C。的長(zhǎng)

為7.

類型、隨動(dòng)位似隱圓

例、在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=6.點(diǎn)D是邊AC上一

D'

?尸

D,

點(diǎn)D且AD=26,將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得線段AD',點(diǎn)F始終為BD'的中點(diǎn),

則將線段CF最大值為

［分析］:易知D，軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運(yùn)動(dòng)過程中AD為定

值26，故取AB中點(diǎn)G,則FG為中位線，F(xiàn)G=，AD=A^，故F點(diǎn)軌跡為以G

2

為圓心，6為半徑的圓。問題實(shí)質(zhì)為已知圓外一點(diǎn)C和圓G上一點(diǎn)F,求CF

的最大值。

思路2：倍長(zhǎng)BC到BI則CF為△BTTB的中位線，CF=-B，D\當(dāng)BR，最大

2

時(shí)，CF也取最大值，問題實(shí)質(zhì)為D在圓A上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，BD取最大。

【方法歸納】①、如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)01為定點(diǎn)，圓01半徑為定值，P為圓01

上動(dòng)點(diǎn)，M為AP中點(diǎn)=點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡為圓02,且02為AOi中點(diǎn)。②、構(gòu)造

中位線

1、如圖，在中，ZACB=90°,。是AC的中點(diǎn)，航是3。的中點(diǎn)，將

線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M是3。的中點(diǎn)），若AC=4,

BC=3,那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是

A

2、如圖，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任

意一點(diǎn),M為BP中點(diǎn)，則在點(diǎn)P由A到C運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

3.

如圖，中,Z^CB=90*.AC=BC=4.點(diǎn)尸在以斜邊為直徑的半HI上.點(diǎn)M

為？C的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半附從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)Af運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

4：如圖，已知P是。。外一點(diǎn)，Q是。。上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M,連接OP,0M.若

。。的半徑為2,0P=4,求線段0M的最小值.

5汝口圖，在中，ZACB=90o,AC=4,BC=3,點(diǎn)。是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且AD=2,M為3。的中點(diǎn)，在。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,線段C舷長(zhǎng)度的取值范圍是

解答:

作AB的中點(diǎn)E,連接EM、CE.在直角「

△ABC中,AB=5,：E是直角△ABC斜邊［

AB上的中點(diǎn)，

.,.CE=1/2AB=5/2,VM是BD的中點(diǎn)，E

是AB的中點(diǎn)，??.ME=1/2AD=1.

.?.在^CEM中,5/2—l《CM45/2+l力|33/24CM47/2.故答案是：3/2<CM<7/2.

6：如圖，在等邊AABC中，AB=2,點(diǎn)D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，

連接CD,E為CD的中點(diǎn)，連接BE,取BE的中點(diǎn)M,連接AM、CM則BE的最大值

與最小值

類型、捆綁旋轉(zhuǎn)

例、已知A(2,0),B(5,0)，點(diǎn)P為圓A上一動(dòng)點(diǎn)，圓A半徑為2,以PB

為邊作等邊△PMB,求線段AM的取值范圍。

［分析］:思路1：要求AM的取值范圍，則先確定M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌

跡。由等邊三角形聯(lián)想共頂點(diǎn)的雙等邊結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造和aPBU

共頂點(diǎn)B的等邊aABH,則4APB咨△HBMnHM=PA=2,所以點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡為以

H為圓心，半徑為2的圓H上的點(diǎn)。AM過圓心時(shí)取得相應(yīng)最大和最小值。

思路2：線段BM可看作由線段PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，當(dāng)點(diǎn)P在圓A

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作出其繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度后的每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則其應(yīng)點(diǎn)的集合

就是點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡。顯然其軌跡為圓。因?yàn)槊總€(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都是點(diǎn)P繞點(diǎn)B順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60度得到，所以點(diǎn)M所在圓的圓心即為將P點(diǎn)所在圓圓心A繞點(diǎn)B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60度得到。［想象成鐘擺繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度］

1、如圖，已知A(2,0),圓0半徑為1,點(diǎn)B為圓0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象

限，且4ABC為等腰直角三角形，ZBAC=90度,求線段0C的最大值_____________

2、如圖，AB為。。的直徑，AB=4,點(diǎn)C為半圓AB上動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在。0外

作正方形BCDE,(點(diǎn)D在直線AB的上方)連接0D.當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段0D

的最大值為

3如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，NA4c=90。，AC=2,以點(diǎn)C為圓心，1

為半徑作圓，點(diǎn)P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,并繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP',

連結(jié)CP,則CP的取值范圍是.

25/2-l<CP,<2>/2^1

4如圖，線段AB=8,。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足QE=2,連接BE,

將BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EC,連接AC、BC,則線段AC長(zhǎng)度的最大值為

【解答】解：以BD為直角邊在BD上方作等腰直角三角形BOD,如圖，連接CO、

AO.

則(BC)/(EB)={BO]/{BD)=gh(2),又/CBO=/EBD,

:.△EBDs^CBO.

(CO)/(DE)=gh(2).

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，OE=2為半徑的圓，

；.C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以。為圓心，OC=2小為半徑的圓.

VAC<AO+OC,AO=4小,OC=2事.

...AC最大值為4小+2小=65.

故答案為6書.

5.如圖，48=4,。為A8的中點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，以

為直角邊的等腰直角三角形PBC(點(diǎn)尸、B、C按逆時(shí)針方向排列)，則線段AC的長(zhǎng)的

取值范圍為

【解答】解：如圖，作OK_LAB,在OK上截取OK=OA=OB,連

接AK、BK、KC、OP.

"：OK=OA=OB,OKLAB,：.KA=KB,ZAKB=90°,

...△AKB是等腰直角三角形，Y/OBK=NPBC,：.ZOBP=ZKBC,

AOB

,/(OB)/(BK)=(PB)/(BQ=^,:.△OBPsAKBC,

(KC)/(OP)=(BQ/(PB)=/,：OP=1,:.KC=P

.?.點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，

AK=y[^0A=24,；.AC的最大值為3AC的最小值小，

；.4WACW3心.

故答案為mWACW3y[2.

類型、定性分析一一垂線段最短

例、如圖，半圓0的半徑為1,AC±AB,BD±AB,且AC=1,BD=3,

P是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是

【分析】：思路1、連接CD、梯形ABCD面積為定值，要使封閉圖形ABDPC

面積取最大值，則使4CPD面積取最小即可，4CPD中，底邊CD為定值，

則當(dāng)高取最小值時(shí)，面積有最小值，故問題變成當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)

P到CD距離最小。C、D、0為定點(diǎn)，則點(diǎn)0到CD距離為定值,計(jì)算CD、OC、0D

長(zhǎng)，由勾逆知OCLCD,設(shè)點(diǎn)P到CD距離為h,貝Uh+r》OC,.'.hNOC-r,即當(dāng)0、

P、M三點(diǎn)共線時(shí)，h有最小值，此時(shí)M與點(diǎn)C重合，故0C與圓0交點(diǎn)即為所求

點(diǎn)Po

思路2：P點(diǎn)的確定也可以這樣想，平移CD,設(shè)平移后的直線為m,則直線m與

CD間的距離即為CD邊上的高，顯然，當(dāng)直線m與圓0相切時(shí)，高h(yuǎn)有最小值。

1.如圖，P為。。內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、A。分別與

。。交于3、C兩點(diǎn).若。。的半徑長(zhǎng)為3,OP=yj3,則弦3C的最大值為()

【解答】解：過點(diǎn)。作0ELA3于E,如圖：

?。為圓心，：.AE=BE,：.OE=~BC,YOEWOP,

.?.3CW2OP,...當(dāng)E、P重合時(shí)，即0P垂直A3時(shí)，BC

取最大值，最大值為2OP=2

故選：A.

2如圖，A3為。。的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，。。的半徑為2,A3=8,點(diǎn)P是

直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PM與。C切于點(diǎn)M,則PM的取值范圍為

【解答】解：連結(jié)PC、MC、OC、BC,如圖，\

?.,直徑A3=8,.,.0B=0C=4,為半圓的中點(diǎn)，\P7

.?.0SA3,.,.△。底為等腰直角三角形，

A

:.BC=(0C=4/,與。C切于點(diǎn)

：.CM±PM,：.ZPMC=9Q°,在RtaPMC中，PM*2=PC2-MC2=PC2~4,

當(dāng)PC最小時(shí)，尸M最小,此時(shí)點(diǎn)P在。點(diǎn)處，所以的最小值=44?—4=2小;

當(dāng)PC最大時(shí)，PM最大，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A或3點(diǎn)時(shí)，所以PM的最大值=

](4的2_4=2巾，

...PM的取值范圍為2/WPMW2小./

故答案為2小WPMW2yfi.\

3.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為

2

半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接A。、BD、CD,則w的最小值是

O

【解答】解：在C4上截取CM,使得CM=4,連接DM,BM.

"：CD=6,CM=4,CA=9,：.CI^=CM.CA,~~~

月D

(CD)/(CM)=(CA)/(CD),VZDCM=ZACD,'/

AADCM^AACD,/.(DM)/(AD)=(CD)/(AC)=|,(C]

：.DM=^AD,：.^AD+BD=DM+BD,'：DM+BD^BM,

在中，'：ZCMB=90°,CM=4,BC=12,A'B

.,.BM=^/42+122=4y[lQ,：.^AD+BD^^y[lQ,

：.^AD+BD的最小值為4y[10.故答案為4y[lQ.

4.在△ABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以點(diǎn)C為圓心，4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)

D,連接A。，BD,CD,則最D+A。的最小值是

【解答】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)尸，使得CF=2,連接C￡),AF.,

；.cr>=4,CF=2,CB=8,：.CD2^CF.CB,/

，(CD)/(CF)=(CB)/(CF),,：ZFCD=ZDCB,:.△FCDs^DCB,\

：.(DF)/(BD)=(CF)/(CD)^~,：.DF^~BD,

：.^BD+AD=DF+AF,'：DF+AD^AF,AF=^22+62=2枷,

：.^BD+AD的最小值是2W，[

故答案為2V10.V

5.如圖，AB是。。的直徑，CE切。O于點(diǎn)C交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D是弦AC上任意一點(diǎn)(不

含端點(diǎn))，若NCEA=30。，BE=4,則CD+2OD的最小值為()1

【解答】解：如圖，作OF平分NAOC,交。0于F,連接AF、CF、DF,：CE切(DO于點(diǎn)C,...NOCE=90°,

XVZCEA=30°,.,.ZAOC=120°,^J/AOF=/COF=LNAOC=L(180°-60°)=60°.TBE=4,

.?.2OC=OB+BE,即20c=OC+4,則0C=4,即圓的半徑為4,,..OA=OF=OC,.,.△AOF、ZxCOF是等邊三

角形，...AF=AO=OC=FC,...四邊形AOCF是菱形，，根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO.過點(diǎn)D作DH_LOC于H,

?.?OA=OC,.,.ZOCA=ZOAC=30°,DH=DC?sinZDCH=DC?sin30°=—DC,/.AcD+OD=DH+FD.根據(jù)

22

垂線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(即^CD+OD)最小，此時(shí)CD+2OD=2(DH+FD),

2

FH=OF*sinZFOH=2Zl.OF=2V3'.??CD+2OD=2(DH+FD)=2FH=4?,故選：D.

2

6.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2&,D是線段BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫。0分別交AB,AC于E,F,連結(jié)EF,則線段

EF長(zhǎng)度的最小值為.

解析將EF置于△OEF中，由NEOF=2NEAF,得圓心角NEOF=120°

為定值，等腰AOEF的腰長(zhǎng)最小時(shí)，底邊EF也最小.由“垂線段最短”可知，

當(dāng)ADXBC時(shí)，直徑AD最短，則半徑（等腰OEF的腰長(zhǎng)）最短，EF最小值也

就迎刃而解.如圖4,連接OF、OE,過O點(diǎn)作OHLEF,垂足為H在RtAADB

中，AD=ABsinZB=2,即此時(shí)圓的直徑為2.由圓周角定理，可知NEOH=N

EOF=ZBAC=60°；在Rt^EOH中，EH=OE?sin60°=—.由垂徑定理,

2

得EF=2EH=石.

評(píng)析這道題屬于另一類幾何中常見的“一定一動(dòng)型”最值問題，即在直線

外有一定點(diǎn)，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，求這兩點(diǎn)間的最小距離.我們可以將問題化歸到

“垂線段最短”的模型中加以解決.但這道題目并不是求垂線段AD的最小值，

而是求圓中弦EF的最小值，這就需要我們利用圓的相關(guān)性質(zhì)建立所求事項(xiàng)和已

知事項(xiàng)之間的聯(lián)系，將求EF的最小

值，最終轉(zhuǎn)化到求直徑AD的最小值.

7.如圖，在Rt^AOB中，OA=OB=3也，的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為

解析P、Q是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接求PQ的最小值將無路可走，若我們注意到PQ

是。。的切線，則PQLOQ,就可柳暗花明，如圖6,連結(jié)OQ、OP.由PQ,

OQ,得PQ2=Op2—OQ2,這里求PQ的最小值，可求PQ2的最小值.設(shè)PQ2=y,

OP=x,則y=x2—l（3WxW3虛），由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)x=3時(shí)，ymin=8,

故PQ的最小值為2四.

評(píng)析這道題的最值問題與切線密切相關(guān)，也可通過合情推理思考：在Rt

AOPQ中，0P為定值，要求PQ最小值，就是求0P的最小值，同例2,利用“垂

線段最短”求解.當(dāng)然，在構(gòu)造二次函數(shù)解題時(shí)，求自變量x的取值范圍時(shí)，確

定x的最小值同樣指向“垂線段最短”.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)0為圓心的圓過點(diǎn)A(13,0),直線y=kx

—3k+4與。。交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為.

解析直線y=kx—3k+4必過點(diǎn)D(3,4).由圓的性質(zhì)知：最短的弦BC是

過點(diǎn)D且垂直于OD的弦(如圖7).由D(3,4),得OD=5；由以原點(diǎn)O為圓

心的圓過點(diǎn)A(13,0),得半徑OB=13.在Rt^OBD中，BD=A/OB2-0￡>2=

12.由垂徑定理，得BC=2BD=24.

評(píng)析要求過點(diǎn)D的弦BC的最小值，關(guān)鍵是如何確定BC的位置，由直覺

或已有經(jīng)驗(yàn)我們知：“過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，垂直于該點(diǎn)所在直徑的弦最短”.我

們可對(duì)其簡(jiǎn)證如下：如圖8,連接OB、OC,由相交弦定理，得BD.CD為定值.由

均值定理，得BD+CDN2jBD?CD,當(dāng)且僅當(dāng)BD=CD時(shí)，BD+CD取最小值,

即弦BC長(zhǎng)取得最小值.由OB=OC,BD=CD,根據(jù)等腰三角形三線合一，得

ODXBC.即最短弦長(zhǎng)BC的位置為：過點(diǎn)D且與點(diǎn)D所在直徑垂直的弦.

9.如圖，AB是。。的一條弦，點(diǎn)C是。O上一動(dòng)點(diǎn)，且NACB=30°,點(diǎn)E、F

分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與。。交于G、H兩點(diǎn).若。。的半徑為7,

則GE+FH的最大值為.

解析連結(jié)OA,OB(如圖12).由NAOB=2NACB=60°，我們可得△OAB

為等邊三角形，OA=OB=AB=7.又E、F為AC、BC的中點(diǎn)，故EF=，AB

2

=3.5.這里GE+FH=GH—EF,要使GE+FH最大，而EF為定值，則GH取

最大值時(shí)GE+FH有最大值.根據(jù)“直徑是圓中最長(zhǎng)的弦”知，當(dāng)GH為直徑時(shí),

GE+F-H的最大值為14-3.5=10.5.

評(píng)析此題構(gòu)思巧妙、題型新穎，也是求兩條線段的和最值問題，但與例1

卻完全不同，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，隨之引起EF及GH的運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程

中，我們要抓住變化的量和不變的量，在這里，EF是定量，GH是變量.從而

將求GE+FH和的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦GH的最大值.

類型、定弦定角

【基本原理】

如圖1\。0中，A、B為定點(diǎn)，則AB為定弦，點(diǎn)C為優(yōu)弧上任一點(diǎn)，在C點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)過程中則NACB的度數(shù)不變=逆運(yùn)用臺(tái)如圖2、點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C為線段

AB外一點(diǎn)，且NACB=。（。為固定值）=點(diǎn)C在以AB為弦的圓上運(yùn)動(dòng)（不與

A、B重合）

2

例、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足NACB=60度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫

出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，簡(jiǎn)要說明作圖步驟

步驟1、___________________________________________________

步驟2、___________________________________________________

練習(xí)、1、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足NACB=120度，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡,并寫出圓心角ZAOB=

2、如圖，AB為定長(zhǎng)，點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，且滿足NACB=120度，請(qǐng)?jiān)趫D中畫

出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，

AB

【實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用】

例、如圖，。。的半徑為1,弦AB=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACLAP交

直線PB于點(diǎn)C,則4ABC的最大面積是

1、如圖，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BELAD于

2、如圖，Rt^ABC中，ABXBC,AB=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足/PAB=NPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為

3【操作體驗(yàn)】

(1)如圖①，已知線段48和直線1,用直尺和圓規(guī)在/上作出所有的點(diǎn)尸，使得

30°,寫出作圖過程并說明理由.

【方法遷移】

(2)如圖②，已知矩形ABC。，BC=2,AB=m,P為邊上的點(diǎn)，若滿足NBPC=45°

的點(diǎn)尸恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為.

【深入探究】

(3)如圖③，已知矩形ABC￡>,AB=3,BC=2,P為矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且N2PC=135°

若線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ.請(qǐng)問尸。是否有最小值，如果有最小值,

請(qǐng)求出此時(shí)四邊形ABPQ的面積；若沒有，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)第一步：分別以點(diǎn)A,B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在

A3上方交于點(diǎn)。；第二步：連接。4,0B-,

第三步：以。為圓心，長(zhǎng)為半徑作。。，交/于尸1，2；

所以圖中2,2即為所求的點(diǎn)；如圖1所示：

理由如下：連接4尸卜—AP2.BP”如圖2所示：

'：OA^OB=AB,.?.△042是等邊三角形，AZA0B=60°,

由圖②得：ZAP1B=|ZAOB=30°；

(2)在A8上截取8E=2C,連接CE,以CE為直徑。。，如圖3所示:

,:BE=BC=2,:.CE=2低

...。0的半徑為鏡，即。E=0G=/，V0G±EF,

：.BE^AB<BM,

：.2^m<2,+y/2-1,即鏡+1,

故答案為：2&m<^2+1；

(3)PQ有最小值，理由如下：

如圖4,構(gòu)建。。，使NCOB=90°,在優(yōu)弧〃aCBC)上取一點(diǎn)X,則NC//B=45°

：.ZCPB=135°,o

由旋轉(zhuǎn)得：△AP。是等腰直角三角形，

：.PQ=/AP,

；.PQ取最小值時(shí)，就是AP取最小值，

當(dāng)尸與E重合時(shí)，即A、P、。在同一直線上時(shí)，AP最小，則尸。的值最小，

在RtZiAFO中，AF=1,OF=3+1=4,

.?.AO=^/12+42=V17,

.,.AE^y[17—y/2,—AP,

即AP的最小值為迎一鋪；

.?.尸。=44尸=取一2；

(￡Af)/(AE)=-F=,

717

宿但=1一①，四邊形ABE。的面積=的面積+ZVIE。的面積

111倔、1廠233A/341

=~ABXEM+~AEXAQ=-X3X(1--TT-)+-(J17—、2)=~———十~

乙乙/，_L/乙乙。個(gè)乙

(19-2a)=11-著產(chǎn),

即PQ取最小值時(shí)，此時(shí)四邊形A2PQ的面積為1卜.儼.

4如圖，AABC中，AC=3,BC=4A/2,ZACB=45°,D為AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OO

為AACD的外接圓，直線BD父。0于P點(diǎn)，父BC于E點(diǎn)，弧AE=CP,則AD的

最小值為（）

A.1

B.2

C.V2

D.741-472

5如圖，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓,

連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE,則CE的最小值為（）

A.V13-2

B.V13+2

C.5

D.16

~9

6如圖，在AABC中，AC=3,BC=4.s/2,ZACB=45°,AM/7BC,點(diǎn)P在射線AM

上運(yùn)動(dòng)，連BP交AAPC的外接圓于D,則AD的最小值為（）

A.1

B.2

c.V2

D.4V2-3

7如圖，。0的半徑為1,弦AB=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，ACLAP交直線PB

于點(diǎn)C,則AABC的最大面積是（）

A.￡

2

行

BQ.2

6

2一

D.顯

4

8如圖，邊長(zhǎng)為3的等邊AABC,D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,AD、

BE交于P點(diǎn)，則CP的最小值為

9如圖，A(l,0)、B(3,0),以AB為直徑作。M,射線OF交。M于E、F兩點(diǎn)，C

為弧AB的中點(diǎn),D為EF的中點(diǎn).當(dāng)射線繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),CD的最小值為

10如圖，AB是。0的直徑，AB=2,ZABC=60°,P是上一動(dòng)點(diǎn)，D是AP的中

點(diǎn)，連接CD,則CD的最小值為

針對(duì)練習(xí)：

1.如圖，在動(dòng)點(diǎn)C與定長(zhǎng)線段AB組成的AABC中，AB=6,ADLBC于點(diǎn)D,BE

LAC于點(diǎn)E,連接DE.當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，始終有匹=走，則點(diǎn)C到AB的

AB2

距離的最大值是一

2.如圖，已知以BC為直徑的。0,A為8C中點(diǎn)，P為AC上任意一點(diǎn)，AD±AP

交BP于D,連CD.若BC=8,則CD的最小值為

類型六、定弦定角一一反客為主

例、如圖，ZXOY=45°,一把直角三角尺ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、3分別在OX、

0y上移動(dòng)，其中A8=10,那么點(diǎn)。到頂點(diǎn)A的距離最大值為點(diǎn)。到

AB的距離的最大值為

x

【分析】：題意中AB為定長(zhǎng)線段在角的兩邊滑動(dòng)，0為定點(diǎn)，滑動(dòng)中C為動(dòng)點(diǎn),

AB兩點(diǎn)位置發(fā)生變化，點(diǎn)0到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借

助物理中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性可知，若將AABC固定，將NXOV的兩邊繞AB滑動(dòng)，與

原題中運(yùn)動(dòng)效果等價(jià)，題目中數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫?dāng)點(diǎn)。在圓

上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，點(diǎn)0到AB距離最大。

1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且