2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布2.2.1條件概率練習(xí)新人教A版選修2-3

PAGE2-1條件概率[綜合訓(xùn)練·實力提升]一、選擇題（每小題5分，共30分）1．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，則P(AB)等于A.eq\f(5,6)B.eq\f(9,10)C.eq\f(2,15)D.eq\f(1,15)解析由P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15).答案C2．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，科研人員進(jìn)行了動物試驗，結(jié)果如下表：患病未患病總計服用藥104555未服藥203050總計3075105在服藥的前提下，未患病的概率為A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,7)C.eq\f(9,11)D.eq\f(11,15)解析在服藥的前提下，未患病的概率P＝eq\f(45,55)＝eq\f(9,11).答案C3．4張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽?。粢阎谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎券，則最終一名同學(xué)抽到中獎券的概率是A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1解析因為第一名同學(xué)沒有抽到中獎券已知，所以問題變?yōu)?張獎券，1張能中獎，最終一名同學(xué)抽到中獎券的概率，明顯是eq\f(1,3).答案B4．某班學(xué)生的考試成果中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)解析設(shè)A為事務(wù)“數(shù)學(xué)不及格”，B為事務(wù)“語文不及格”，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.03,0.15)＝eq\f(1,5).所以數(shù)學(xué)不及格時，該學(xué)生語文也不及格的概率為eq\f(1,5).答案A5．彩票公司每天開獎一次，從1，2，3，4四個號碼中隨機(jī)開出一個作為中獎號碼，開獎時假如開出的號碼與前一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止．假如第一天開出的號碼是4，則第五天開出的號碼也同樣是4的概率為A.eq\f(1,3)B.eq\f(7,27)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,27)解析第一天開出4，則后四天開出的中獎號碼的種數(shù)有34種．第五天同樣開出4，則中間三天開出的號碼種數(shù)：其次天有3種，第三天假如是4，則第四天有3種；假如第三天不是4，則第三天有2種，第四天有2種，所以滿意條件的種數(shù)有3×2×2＋3×1×3＝21種．所以所求概率為eq\f(21,81)＝eq\f(7,27).答案B6．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事務(wù)A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事務(wù)B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)解析∵P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,4).答案B二、填空題（每小題5分，共15分）7．設(shè)A，B為兩個事務(wù)，若事務(wù)A和B同時發(fā)生的概率為eq\f(3,10)，在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則事務(wù)A發(fā)生的概率為________．解析由題意知，P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，由P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，得P(A)＝eq\f(P（AB）,P（B|A）)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)8．某氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為eq\f(4,5)，刮四級以上風(fēng)的概率為eq\f(2,15)，既刮四級以上的風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10).設(shè)A為下雨，B為刮四級以上的風(fēng)，則P(B|A)＝________．解析由題意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).答案eq\f(3,8)9．高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知甲、乙二人相鄰，則甲、丙相鄰的概率是________．解析設(shè)“甲、乙二人相鄰”為事務(wù)A，“甲、丙二人相鄰”為事務(wù)B，則所求概率為P(B|A)，由于P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，而P(A)＝eq\f(2Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)，AB是表示事務(wù)“甲與乙、丙都相鄰”，故P(AB)＝eq\f(2Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(1,10)，于是P(B|A)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)三、解答題（本大題共3小題，共35分）10．（10分）某個愛好小組有學(xué)生10人，其中有4人是三好學(xué)生，現(xiàn)已把這10人分成兩小組進(jìn)行競賽輔導(dǎo)，第一小組5人，其中三好學(xué)生2人．(1)假如要從這10人中選一名同學(xué)作為該愛好小組組長，那么這個同學(xué)恰好在第一小組內(nèi)的概率是多少？(2)現(xiàn)在要在這10人中任選一名三好學(xué)生當(dāng)組長，問這名同學(xué)在第一小組內(nèi)的概率是多少？解析設(shè)A表示“在愛好小組內(nèi)任選1名同學(xué)，該同學(xué)在第一小組內(nèi)”，B表示“在愛好小組內(nèi)任選一名同學(xué)，該同學(xué)是三好學(xué)生”，而其次問中所求概率為P(A|B)．(1)由等可能事務(wù)概率的定義知，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(1,2).(2)P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(1,5).所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(1,2).答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(1,2)11．（12分）一袋中共有10個大小相同的黑球和白球．若從袋中隨意摸出2個球，至少有1個白球的概率為eq\f(7,9)，(1)求白球的個數(shù)；(2)現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解析(1)記“從袋中隨意摸出2個球，至少有1個白球”為事務(wù)A，記袋中白球數(shù)為x個．則P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,10－x),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，故x＝5，即白球的個數(shù)為5.(2)令“第2次取得白球”為事務(wù)B，“第1次取得黑球”為事務(wù)C，則P(BC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,10))·eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(25,90)＝eq\f(5,18)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(25＋20,90)＝eq\f(1,2).故P(C|B)＝eq\f(P（BC）,P（B）)＝eq\f(\f(5,18),\f(1,2))＝eq\f(5,9).答案(1)5(2)eq\f(5,9)12．（13分）甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品．(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．解析(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝28，這2個產(chǎn)品都是次品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3.所以這2個產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事務(wù)A為“從乙箱中取一個正品”，事務(wù)B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事務(wù)B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事務(wù)B3為“從甲箱中取出2個次品都是次品”，則事務(wù)B1，事務(wù)B2，事務(wù)B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(6,9)，P(A|B2)＝eq\f(5,