【數(shù)學】平方根（第3課時）教案+2024-2025學年人教版數(shù)學七年級下冊

教學設計課程基本信息學科數(shù)學年級七年級學期春季課題8.1平方根（第3課時）編寫教師工作單位指導專家工作單位教學目標1．會用計算器求算術平方根（或近似值）．2．在解決實際問題中，會按要求進行簡單的近似計算，提高運算能力．教學內容教學重點會用計算器求算術平方根（或近似值），并解決實際問題．教學難點用計算器探究算術平方根的規(guī)律．教學過程教學環(huán)節(jié)主要師生活動新課導入回顧：估計的范圍的方法．師生活動：師生共同回顧估計的范圍的方法，并提出能否更高效地進行算術平方根計算和估算問題．上節(jié)課，我們使用夾逼的方法，利用的一系列不足近似值和過剩近似值估計它的大小，得到了的近似值，并給出了是無限不循環(huán)小數(shù)的結論．可以按如下過程用有理數(shù)估計無理數(shù)的范圍．因為12＝1，22＝4，12＜2＜22，所以1＜＜2；因為1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.42＜2＜1.52，所以1.4＜＜1.5；因為1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，1.412＜2＜1.422，所以1.41＜＜1.42；因為1.4142＝1.999396，1.4152＝2.002225，1.4142＜2＜1.4152，所以1.414＜＜1.415；……如此進行下去，可以得到的更精確的估計范圍．事實上，＝1.414213562373…，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)．實際上，很多正有理數(shù)的算術平方根（例如，，等）都是無限不循環(huán)小數(shù)．因此都可以使用夾逼的方法估計它們的范圍，并得到近似值．追問：這個計算過程看起來較為繁瑣，有沒有更高效的方法呢？師生活動：教師追問引發(fā)學生思考，引出計算器的使用．設計意圖：回顧用有理數(shù)估計一個無理數(shù)大致范圍的方法，并由計算的復雜性引出用計算器求正有理數(shù)算術平方根（或其近似值）的合理性．新知探究我們曾用計算器進行過比較復雜的有理數(shù)的計算，并且發(fā)現(xiàn)比筆算要快捷得多．實際上，大多數(shù)計算器都有鍵，用它可以方便地求出一個正有理數(shù)的算術平方根（或其近似值），使計算更高效．使用計算器時需注意：不同品牌的計算器，按鍵順序有所不同．問題1：如何用計算器求一個正有理數(shù)的算術平方根（或其近似值）？例1用計算器求下列各式的值：（1）；（2）（結果保留小數(shù)點后三位）．解：（1）依次按鍵，顯示：56．所以＝56．總結：如果一個較大數(shù)是一個正有理數(shù)的平方，則用計算器可以方便地求出該數(shù)的算術平方根．（2）依次按鍵，顯示：1.414213562．所以≈1.414．總結：如果一個數(shù)的算術平方根是無限不循環(huán)小數(shù)，則用計算器可以方便地求出該數(shù)算術平方根的近似值．師生活動：教師介紹用計算器計算算術平方根的方法，并引導學生使用計算器求正有理數(shù)的算術平方根（或其近似值）．設計意圖：讓學生熟悉使用計算器計算正有理數(shù)的算術平方根（或其近似值）的操作方法．問題2：當“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度υ（單位：m/s）時，它就會克服地球引力，永遠離開地球，飛向火星．υ的大小滿足υ2＝2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8（單位：m/s2），R是地球半徑，R≈6.4×106（單位：m）．怎樣求υ呢？師生活動：學生閱讀章引言提出的問題，并分析問題中的信息，教師引導學生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系．追問1：υ的大小滿足什么關系式？這個關系式中涉及哪些量？師生活動：υ的大小滿足關系式υ2＝2gR，這個關系式中還涉及地球表面的重力加速度g和地球半徑R．追問2：你能用重力加速度g和地球半徑R表示出υ嗎？師生活動：根據(jù)υ2＝2gR及υ的實際意義，可得υ＝．追問3：哪些量是已知的？怎樣求υ呢？師生活動：g≈9.8（單位：m/s2），R≈6.4×106（單位：m）．因此υ≈，這個表達式較為復雜，可以用計算器求得υ≈1.12×104．因此，第二宇宙速度υ約為1.12×104m/s，即11.2km/s．總結：計算器是很好的工具，可以讓我們方便、快捷地計算一些復雜的算式，從而讓我們專注于解決問題本身，而不是具體的計算．設計意圖：以章節(jié)引言的問題為背景，說明計算器在實際問題中的應用，引出接下來用計算器探究算術平方根性質的討論．通過本問題，學會按實際問題的要求，進行簡單的近似計算，提高運算能力．探究：用計算器不僅可以更好地解決實際問題，也能幫我們探究數(shù)學規(guī)律．（1）用計算器計算下表中的算術平方根，并將計算結果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？師生活動：學生用計算器計算表中的算術平方根，并將結果填入表格中．追問1：這些算術平方根有什么規(guī)律？師生活動：從運算結果可以發(fā)現(xiàn)，每隔一個數(shù)，算術平方根的小數(shù)點會向右移動一位．也就是說，被開方數(shù)的小數(shù)點向右移動2位，它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右移動1位．追問2：如果被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動2位，也有類似的規(guī)律嗎？師生活動：有．如果被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動2位，它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向左移動1位．下面利用（1）的規(guī)律來解決問題．（2）用計算器計算（結果保留小數(shù)點后三位），并利用你在（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出，，的近似值，你能根據(jù)的值求出的近似值嗎？師生活動：使用計算器可得≈1.732．根據(jù)（1）的規(guī)律，將3的小數(shù)點向左移動2位可得到0.03，因此求的近似值時，只需要將的值的小數(shù)點相應地向左移動1位，所以的近似值為0.1732．同理，將1.732的小數(shù)點向右移動1位，可得到的近似值為17.32；將1.732的小數(shù)點向右移動2位，可得到的近似值為173.2．利用你在（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，繼續(xù)探究根據(jù)的值能否求出的近似值．師生活動：從3到30，由于被開方數(shù)的小數(shù)點移動的位數(shù)為奇數(shù)位，所以不能由的值直接推出是多少．但可以通過進一步挖掘（1）中的規(guī)律來解決這個問題．根據(jù)（1）中的表格：計算表格中相鄰算術平方根比值近似值，可得到下表：可以發(fā)現(xiàn)，當被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動1位時，它的算術平方根會變成原來算術平方根的約3.16倍．因此，根據(jù)的值，可估計的近似值為1.732×3.16≈5.5．設計意圖：結合探究內容，讓學生體會利用計算器探究數(shù)學規(guī)律．例2小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長與寬的比為3∶2．但她不知道能否裁得出來，正在發(fā)愁，小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片！”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出想要的紙片嗎？師生活動：學生閱讀例題并分析問題中的信息，教師引導學生分析要想回答問題，只需要比較正方形紙片的邊長和長方形紙片的長即可判斷．如果長方形紙片的長不大于正方形紙片的邊長，則可以裁得出來；如果長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長，則不能裁得出來．追問1：你能求出正方形紙片的長嗎？師生活動：正方形紙片的面積為400cm2，因為＝20，所以正方形紙片的邊長為20cm．追問2：如何求長方形紙片的長？師生活動：可以用列方程求解的方法．設長方形紙片的長為3xcm，寬為2xcm．根據(jù)長和寬與面積的關系，得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50．由長的實際意義，得x＝．因此長方形紙片的長為．備注：就是3×．只需要比較和20的大小即可．追問3：如何比較和20的大??？師生活動：有兩種方法，估計算術平方根的大小，或直接用計算器計算．方法1：通過上節(jié)課的內容可以知道，被開方數(shù)越大，對應的算術平方根就越大．這個結論對所有正數(shù)都成立．由此可知，因為50＞49，所以＞7，因上可知＞21，所以＞20．又因為正方形紙片的邊長為20cm，所以長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長，這說明不能同意小明的說法，小麗不能用這塊紙片裁出想要的紙片．方法2：用計算器可計算得≈21.21＞20，也可以得到長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長，結論同上．經(jīng)驗總結：用面積大的紙片不一定能裁出一塊符合問題要求的面積小的紙片．完整解答過程如下．解：設長方形紙片的長為3xcm，寬為2xcm．根據(jù)長和寬與面積的關系，得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50．由長的實際意義，得x＝．因此長方形紙片的長為．因為50＞49，所以＞7．由上可知＞21，即長方形紙片的長應該大于21cm．因為＝20，所以正方形紙片的邊長只有20cm．這樣，長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長．答：不同意小明的說法，小麗不能用這塊紙片裁出想要的紙片．設計意圖：通過一個實際問題，讓學生在解決問題中，會按問題的要求進行簡單的近似計算；能用計算器計算算術平方根（或近似值），提高運算能力．拓展提升問題3：任意找一個正數(shù)，比如1234，利用計算器對它開平方，再對得到的算術平方根開平方……如此進行下去，你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：學生借助計算器得出：≈35.128，≈5.927，≈2.435，≈1.560，≈1.249，≈1.118，≈1.057，≈1.028，……由此可發(fā)現(xiàn)，隨著進行的次數(shù)變多，所得結果逐漸減小，并越來越接近1．同理考慮其他情形，我們得到：對于1，每次開平方所得的算術平方根均為1；對于小于1的正數(shù)，每次開平方所得的算術平方根逐漸增大，并趨近于1；對于大于1的正數(shù)，每次開平方所得的算術平方根逐漸減小，并趨近于1．設計意圖：讓學生熟練使用計算器計算算術平方根，并能探究算術平方根的規(guī)律，體會使用計算器進行復雜運算的優(yōu)越性．課堂小結師生共同回顧