四川省攀枝花市第三高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷

攀枝花市三中高2026屆高二上第三次月考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線過兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率，再利用斜率和傾斜角的關(guān)系，即得解【詳解】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，故，由于，故.故選：C.2.已知點(diǎn)則以線段AB為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直徑求出圓心、半徑即可得解【詳解】因?yàn)锳B為直徑，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：C3.已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，得到，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得到拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D.4.平行六面體中，為與的交點(diǎn)，設(shè)，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的基底表示以及線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知.故選：D5.設(shè)是等比數(shù)列，下列說法一定正確的是（）A成等比數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】D【解析】【詳解】項(xiàng)中，故項(xiàng)說法錯誤；項(xiàng)中，故項(xiàng)說法錯誤；項(xiàng)中，故項(xiàng)說法錯誤；故項(xiàng)中，故項(xiàng)說法正確，故選D.6.已知圓和，若動圓與圓內(nèi)切，同時與圓外切，則該動圓圓心的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可知，結(jié)合橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】由已知圓和，可知，，，，且，又動圓與圓內(nèi)切，同時與圓外切，則，，所以，所以動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之和為定值，即滿足橢圓的定義，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長度，焦距，即，，所以，橢圓方程為，故選：C7.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B8.如圖，在直三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，求出、和平面的法向量，進(jìn)而利用A與到平面的距離相等得①，再由得②從而求出，接著由結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可得解.【詳解】由題意可以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，，設(shè)平面的法向量，則，，令，則，所以，所以A與到平面的距離即①，又，所以②，所以由①②得，所以由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決，設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，利用A與到平面的距離相等和求出，接著由結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出即可得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于直線與圓，下列說法正確的是（）A.過定點(diǎn) B.的半徑為9C.與可能相切 D.被截得的弦長最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)含參直線方程求定點(diǎn)坐標(biāo)判斷項(xiàng)；根據(jù)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化判斷項(xiàng)；根據(jù)直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，知直線與圓必相交判斷項(xiàng)；當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時，被截得的弦長最小，從而計(jì)算弦長最小值可判斷項(xiàng).【詳解】對于，可變形為，由得所以直線過定點(diǎn)，故正確；對于，圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為，故錯誤；對于，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與不可能相切，故錯誤；對于，設(shè)直線所過定點(diǎn)為，則當(dāng)直線時，直線被截得的弦長最小.因?yàn)閳A心，所以，所以直線的斜率，解得，此時直線.因?yàn)閳A心到直線的距離，所以弦長，故正確.故選：.10.泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡曲線是線段B.是“最遠(yuǎn)距離直線”C.過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，則以為直徑的圓與軸相交D.過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】由題意可知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，求出軌跡方程，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，直線，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，所以動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，所以拋物線方程為，對于A，點(diǎn)的軌跡是拋物線，所以A錯誤，對于B，由，得，解得，所以直線與拋物線相交于點(diǎn)，所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，所以B正確，對于C，設(shè)過點(diǎn)的直線為，，由，得，所以，所以，所以，所以以為直徑的圓的半徑為，因?yàn)閳A心到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相交，所以C正確，對于D，，所以D錯誤，故選：BC11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．記斐波那契數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】利用給定定義逐個選項(xiàng)分析數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意可得，A正確；由，B錯誤；，C正確；，累加得，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列，解題關(guān)鍵是利用題目給定定義，然后結(jié)合累加法得到所證明的等量關(guān)系即可．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線與有相同的漸近線，且直線過雙曲線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】抓住共漸近線即漸近線斜率一樣，焦點(diǎn)與有關(guān)，結(jié)合可解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過雙曲線的焦點(diǎn)，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以.因?yàn)榈臐u近線方程為，所以.結(jié)合，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.13.設(shè)，且，則_______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示及共線向量的坐標(biāo)表示分別求出參數(shù)，進(jìn)而求出向量的模.【詳解】依題意，由，得，解得，由，得，解得，即，，所以.故答案為：314.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，則______.【答案】2025【解析】【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可.【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正，當(dāng)時，，解得，由，得當(dāng)時，，即，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，所以.故答案為：2025四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出兩直線的交點(diǎn)，再根據(jù)兩直線垂直求出直線的斜率，最后寫出點(diǎn)斜式方程；（2）分類討論，直線斜率不存在和存在兩種，利用圓心到直線的距離列式計(jì)算.【小問1詳解】聯(lián)立兩直線和，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為：.綜上：直線的方程為或.16.記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，【小問2詳解】因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.17.橢圓C：過點(diǎn)P（，1）且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，定點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若面積為3，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及，即可求解.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點(diǎn)．（1）平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使∥平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值．【答案】（1）證明見詳解（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角；（3）設(shè)，利用空間向量結(jié)合線面平行可得，即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，為中點(diǎn)，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得由題意可知：平面的法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.設(shè)，則，若平面，則，可得，解得，即，可知，所以存在點(diǎn)，使平面，此時.19.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線：與軸交于點(diǎn)，且．（1）求方程；（2）點(diǎn)為上不同于點(diǎn)的動點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過作的兩條切線，分別交軸于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)．①證明：是的中點(diǎn)；②證明：．【答案】（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用雙曲線的幾何性質(zhì)，分別得出c的取值、的長度表達(dá)式，根據(jù)題意建立等量關(guān)系從而求出a，b，c的值，最終得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)B坐標(biāo)，以及過B點(diǎn)與雙曲線相切的直線方程，可得P，Q縱坐標(biāo)表達(dá)式，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得出兩條切線斜率的關(guān)系，再表示出直線BF方程，可表示出R點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式證得是的中點(diǎn)；同樣可表示出坐標(biāo)，進(jìn)而得到各條線段長度表達(dá)式，代入后再結(jié)合前面的關(guān)系得證.【小問1詳解】如圖所示