2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：定點(diǎn)、定值問題（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練28

定點(diǎn)、定值問題

［考情分析］解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，定點(diǎn)和定值問題是

高考考查的重點(diǎn)知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大,

多次以壓軸題出現(xiàn).

【練前疑難講解】

一、定點(diǎn)問題

求解定點(diǎn)問題常用的方法

(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般

性證明.

⑵“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定

點(diǎn)坐標(biāo).

(3)求證直線過定點(diǎn)(xo,yo),常利用直線的點(diǎn)斜式方程y—yo=Z(x—xo)來證明.

二、定值問題

求圓錐曲線中定值問題常用的方法

(1)引出變量法：其解題流程為

(2)特例法：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

一、單選題

1.(22-23高三下?河北衡水?階段練習(xí))己知拋物線。：^=22日(夕>0)過點(diǎn)4(2,4),動點(diǎn)

M,N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0,直線/的斜率為-1,且過C的焦

點(diǎn)F,/把一4VW分成面積相等的兩部分，則直線的方程為()

A.x+y-6=QB.x-y+6=0

C.尤一y+40-6=OD.無+y+4&-6=0

22

2.(22-23高二上?山東濟(jì)寧?期末)已知雙曲線C:0-2=l(a>O/>O),拋物線

E：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，拋物線E的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)若

△ABF為正三角形，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±^-xB.y=±^-x

32

C.y=±2近xD.y=±V3x

3

二、多選題

22

3.（22-23高三上?山東東營?期末）已知橢圓C:*+方=l（〃>b>0）與直線/：%—>T=0交

于兩點(diǎn)，記直線/與工軸的交點(diǎn)為E,點(diǎn)瓦廠關(guān)于原點(diǎn)對稱，若/AEB=90，貝IJ

（）

A.2a2+b2=a2b2B.橢圓。過4個定點(diǎn)

7

C.存在實(shí)數(shù)a,使得|回卜3D.\AB\<-

22

4.（2023?江蘇?二模）已知橢圓幣尢=1,點(diǎn)P為右焦點(diǎn)，直線丫=質(zhì)優(yōu)片0）與橢圓交于

P，。兩點(diǎn)，直線尸尸與橢圓交于另一點(diǎn)〃，則（）

A.PQM周長為定值B.直線鹿與的斜率乘積為定值

C.線段的長度存在最小值D.該橢圓離心率為:

三、填空題

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線?-%=1（6>0）的一條漸近線的傾斜角的正切值為

口5.若直線丁=〃優(yōu)+”（環(huán)<4且/*2）與雙曲線交于A,2兩點(diǎn)，直線Q4,。8的斜

55

率的倒數(shù)和為此，則直線V=："+"恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.

m

22

6.（2023?福建漳州?三模）已知橢圓C:a+方=1（。>6>。）的長軸長為4，離心率為

顯,RQ為C上的兩個動點(diǎn)，且直線。尸與。。斜率之積為-。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓

C的短軸長為,|OP|2+|OQ「=.

四、解答題

22

7.（2024?北京?高考真題）已知橢圓E：口方=l（a>6>0）,以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)（0,。1>0）且斜率存在的直線與橢圓E交于

不同的兩點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A和C（0,l）的直線AC與橢圓E的另一個交點(diǎn)為D.

⑴求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線8。的斜率為0,求f的值.

8.（23-24高三上?上海閔行?期中）已知雙曲線C：「-2=1（。＞0力＞0）的離心率為

ab

0，點(diǎn)（3,-1）在雙曲線C上.過C的左焦點(diǎn)廠作直線/交C的左支于A、B兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程；

⑵若M（-2,0）,試問：是否存在直線/,使得點(diǎn)M在以A3為直徑的圓上?請說明理由.

⑶點(diǎn)P（T,2）,直線AP交直線x=-2于點(diǎn)。.設(shè)直線。4、的斜率分別《、k2,求

證：為定值.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（22-23高二上?北京豐臺?期末）設(shè)圓O:/+y2=2,直線/:尤+y-4=0,尸為/上的動

點(diǎn).過點(diǎn)P作圓。的兩條切線尸4尸2,切點(diǎn)為42,給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)四邊形OAP3為正方形時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2）

②1PAi的取值范圍為［#,+8）

③當(dāng)，加為等邊三角形時，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,3）

④直線A3恒過定點(diǎn)

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（21-22高二上?安徽蚌埠?期末）已知直線/與拋物線丁=4無交于不同的兩點(diǎn)A,B,O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OAOB的斜率之積為一1,則直線/恒過定點(diǎn)（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（0,-4）D.（-4,0）

3.（22-23高三下?湖南?階段練習(xí)）已知拋物線＞2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上（異

于頂點(diǎn)），OM=2ON（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)N作直線的垂線與x軸交于點(diǎn)尸，則

2\OP\-\MF\^（）

A.6B.26C.4D.2百

22

4.（22-23高二上?上海浦東新,期末）已知雙曲線「：土-匕=1,點(diǎn)尸為曲線「在第三象限

2425

一個動點(diǎn)，以下兩個命題，則（）

①點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離為4，d2,貝lj4-4為定值.

②已知A、8是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱不同于P的兩個點(diǎn)，若抬、尸8的斜率存在且分別為

h，k2,則尤?后2為定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

二、多選題

5.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知尸是拋物線C:y2=x的焦點(diǎn),

4（%1，%）,3（%2，%）是C上的兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則（）

A.若88,垂直C的準(zhǔn)線于點(diǎn)？，且忸Bl=2|OF|,則四邊形麗畫的周長為21

4

B.若區(qū)產(chǎn)|=:，貝UA"的面積為1

C.若直線過點(diǎn)歹，則2%+%的最小值為變

2

D.若OAOB==,則直線A3恒過定點(diǎn)［可

6.（22-23高二下?浙江,開學(xué)考試）設(shè)〃為雙曲線C：y一二=］上一動點(diǎn)，片,尸2為上、

3

下焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)N（0,8）,則|網(wǎng)最小值為7

B.若過點(diǎn)。的直線交C于A8兩點(diǎn)（A8與M均不重合），貝

C.若點(diǎn)0（8,1）,M在雙曲線C的上支，則|颯|+|同。最小值為2+屈

D.過K的直線/交C于G、H不同兩點(diǎn)，若|G"|=7,貝心有4條

7.（22-23高二上?湖南衡陽?期中）圓錐曲線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫

做"阿基米德三角形".如圖△腸仍是拋物線E-.y2=2Px（p>0）的阿基米德三角形，弦AB經(jīng)

過焦點(diǎn)尸，又BC,均垂直于準(zhǔn)線/,且C,。為垂足，則下列說法正確的有（）

A.以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切于加點(diǎn)

B.制而為定值4

\Ar'\Dr

C.k°A*k°B為定值—4

4

D.tanNAQB有最小值-1

22

8.（22-23高三上?廣東云浮?階段練習(xí)）已知橢圓C:±+上=1的左、右焦點(diǎn)分別是

169

耳心，左、右頂點(diǎn)分別是4,4,點(diǎn)尸是橢圓C上異于4,4的任意一點(diǎn)，則下列說法正

確的是（）

A.\PF^\PF2\=4B.若耳尸鳥的面積為2々，則點(diǎn)尸的橫坐

標(biāo)為±g行

C.存在點(diǎn)尸滿足/耳尸乙=90。D.直線尸4與直線尸&的斜率之積為-J9

16

三、填空題

9.（2023?湖南長沙?一模）如圖，已知拋物線C：V=2x,圓E：（x-2）2+/=4,直線

OA,。8分別交拋物線于A,8兩點(diǎn)，且直線OA與直線08的斜率之積等于-2,則直線

被圓E所截的弦長最小值為.

10.（22-23高二上?山東棗莊?期末）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為。（0,1）,且長軸長為2板，過。

任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，則直線A3過定點(diǎn).

11.（2022高三?全國?專題練習(xí)）已知橢圓C:5+y2=i左頂點(diǎn)為A,尸,。為橢圓C上兩動

點(diǎn)，直線P。交AQ于E,直線。。交AP于。，直線OROQ的斜率分別為左,%且

k&=_g,AD=ADF,AE=^iEQ（4〃是非零實(shí)數(shù)），求4+筋=.

22

12.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知尸為雙曲線土-匕=1上一點(diǎn)，以尸為切點(diǎn)的切線為

45

I,直線/與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)貝必的（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積

為.

四、解答題

13.（2024?浙江杭州?二模）已知是橢圓E:土+y2=i的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)

4,

”（〃7,0）（〃2>0）與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

（1）求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

⑵過點(diǎn)M作直線/交橢圓E于C，D兩點(diǎn)（與A,2不重合），連接AC,BD交于點(diǎn)G.

（回）證明：點(diǎn)G在定直線上；

（回）是否存在點(diǎn)G使得CGJ_DG,若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

22

14.（2023?江蘇南通?一模）已知雙曲線C:三-馬=1（。>0,6>0）的左頂點(diǎn)為A,過左焦點(diǎn)

ab

產(chǎn)的直線與C交于兩點(diǎn).當(dāng)尸QJL無軸時，|E4|=JI5,△尸A。的面積為3.

（1）求C的方程；

（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).

22

15.（2023?四川南充?三模）己知橢圓<7:\+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)］,離

心率為:?點(diǎn)尸是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線尸耳、尸居分別與橢圓C交于點(diǎn)

A、B,△尸￡8的周長為8.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若尸石PFL&F/,求證：4+4為定值.

22

16.（23-24高二上?浙江?期中）已知雙曲線二-斗=1（°>0,6>0）的右焦點(diǎn)尸（2,0）,離心

ab

率為空.

3

⑴求雙曲線的方程；

⑵過點(diǎn)尸］|,。］直線與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，設(shè)直線AF,BF的斜率分別為KK（她W0）,

求證：K+瓦為定值.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（21-22高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）點(diǎn)耳，尸?是曲線C：］一/=1的左右焦點(diǎn)，過月

作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A,8和C,D-,線段A8,CD的中點(diǎn)分別為

N,直線明與x軸垂直且點(diǎn)G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，則圓面

積的最小值為（）

115176%49乃28萬

A.------B.-----C.-----D.-----

3333

2.（21-22高二下?貴州貴陽?期末）拋物線V=4x的焦點(diǎn)為廠，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為

N,過點(diǎn)尸作直線與此拋物線交于A,3兩點(diǎn)，若NBLAB,則|人尸|-|卸尸（）

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

3.（2023?安徽?三模）已知拋物線C:尤2=2y的焦點(diǎn)為p，準(zhǔn)線為/,A、B是C上異于點(diǎn)

。的兩點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說法正確的是（）

A.若A、F、3三點(diǎn)共線，則|明的最小值為2

B.若|A刊=|，則AO尸的面積為當(dāng)

C.若。則直線A3過定點(diǎn)（2,0）

AB

D.若NAEB=60,過AB的中點(diǎn)。作DE，/于點(diǎn)E,則苛的最小值為1

DE

4.（22-23高三下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）己知P是拋物線W：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)

4（1,2）在拋物線W上，過點(diǎn)尸的兩條互相垂直的直線上乙分別與拋物線W交于8，C和

D,E,過點(diǎn)A分別作乙，4的垂線，垂足分別為M，N,則（）

A.四邊形AWW面積的最大值為2

B.四邊形AMF7V周長的最大值為4近

111

c-歸可為定值萬

D.四邊形BDCE面積的最小值為32

三、填空題

22

5.（2023?遼寧大連?三模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳居是雙曲線2=l（a>0,b>0）的

左、右焦點(diǎn)，雙曲線C上一點(diǎn)尸滿足（OP+。耳"尸=0,且同，PK|=2/,則雙曲線C

的漸近線方程為.點(diǎn)A是雙曲線C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)5（0,1）的動直線/與雙曲線C交

于M,N兩點(diǎn)，七”+左期為定值幾，則當(dāng)a=0時實(shí)數(shù)2的值為.

22

6.（2023?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，橢圓忘=l（a>b>0）與雙曲線

22

3一與=1（根>0,">0）有公共焦點(diǎn)耳口,0）,鳥（c,o）（c>o）,橢圓的離心率為％,雙曲

mn

13

線的離心率為與，點(diǎn)尸為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且4尸居=60。，則下+下=_____；/為

6]e2

月產(chǎn)入的內(nèi)心，耳,1,G三點(diǎn)共線，且GP/P=0，無軸上點(diǎn)AB滿足A/=&P，

BG—GP,則外+〃2的最小值為.

X

四、解答題

22

7.（2022?遼寧沈陽?二模）已知橢圓C:會+方=1（。>6>0）的焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

⑵經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)p且斜率為無體片0）的動直線/與橢圓交于