2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷3（浙江專用）含解析

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（浙江專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)全集U=R,集合A={x,2-x-2>o},8={尤|無(wú)21},貝i](aA)c3=()

A.[1,2]B.(1,2]C.(2,”)D.[1,2)

7

2.已知復(fù)數(shù)z=2+i,貝力廣d=()

1-1

A.-@C.—D.a

2

3.已知向量a=(l,-l),b=(x-2,x2),則“x=—2”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

兀4

4.已矢口0<f3<a<—,cos(6r-y0)=—,cosacos尸=—,貝!J---------------=()

2tanatan夕

13

A.B.C.-1D.-2

ioTo

5.若正四棱錐的高為8,且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）

A.24B.32C.96D.128

71八

tanx+a,—<x<0

2

6.已知函數(shù)/（%）=,的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（)

ex+ln(x+1)-----,x>0

x+i

A.(^o,0]B.C.[0,+oo)D.[-1,-KX))

7.已知雙曲線y2=i（〃〉o）,點(diǎn)河在。上，過點(diǎn)河作。兩條漸近線的垂線，垂足分別為A&若

a

3

\MA\^\MB\=~,則雙曲線。的離心率為（）

A.顯B.空C.邁D.百

233

X

8.直線y=2九一2與曲線y=sin7ix+——7T的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

x-1

A.2B.3C.4D.5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.給出下列命題，其中正確命題為（）

A.已知數(shù)據(jù)%,%，工3，，/，滿足：x,-x,-1=2（2<z<10）,若去掉尤1、再。后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)

的方差為168

B.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1,4）,P（x>1.5）=0.34,若尸（尤<。）=0.34,貝|。=0.5

66

C.一組數(shù)據(jù)（號(hào)》）?=1,2,3,4,5,6）的線性回歸方程為）,=2犬+3,若E%=30,貝1]￡%=63

i=li=l

D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越大，則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小

10.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)耳（-2,0）與到點(diǎn)鳥（2,0）的距離之積為4,則下

B.點(diǎn)”（羽1）（尤>0）在C上,則防|=2點(diǎn)

22

C.點(diǎn)。在橢圓L+匕=1上，若KQLKQ,則QeC

62

D.過F?作x軸的垂線交C于A,B兩點(diǎn)，貝

11.定義在（-M）的函數(shù)滿足-〃y）="三（J,且當(dāng)時(shí)，f（x）<0,則（）

A.是奇函數(shù)B.在（-M）上單調(diào)遞增

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)尸在圓0-5）2+（卜_5）2=16上，點(diǎn)4（4,0）,8（0,2）,當(dāng)NP5A最小時(shí)，歸到=.

13.在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)o為樣本空間，若事件4,4,…,4兩兩互斥，4。4口,=。,

則對(duì)任意的事件3=0,有尸(3)=尸(A)尸⑻A)+P(4)尸(印4)++P(4)P⑻4).若甲盒中有2個(gè)白

球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有X個(gè)白球(xeN)、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放

入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于三,

則工的最大值為.

14.若過點(diǎn)(0,0)的直線是曲線、=爐+1(%>0)和曲線y=ln尤-告+。的公切線，則。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

LA

15.(13分)己知VA3C的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,且j3asinC=Zccos?—.

2

⑴求A；

(2)若。=2,b+c=3,求VA2C的面積S.

16.(15分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，24_1平面438,4￡>//5。,48_18。，E為RD的中點(diǎn).

(1)若EA=EC,證明：。_1平面43；

(2)已知AT>=2R4=2BC=4AB=4,求平面ACE和平面PCD所成的二面角的正弦值.

17.(15分)已知橢圓C:[+/=l(a>6>0)的離心率為冬右焦點(diǎn)為八點(diǎn)(-5，當(dāng)在C上.

⑴求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線/：、=辰+機(jī)(人。)上，若直線/與C相切，且E4JU,求『山的值.

18.(17分)已知函數(shù)分(x)=e、(密-ox-a),aeR.

(1)當(dāng)。>-2時(shí)，研究“X)的單調(diào)性；

(2)若aNO,當(dāng)苫=為時(shí)，函數(shù)〃元)有極大值加；當(dāng)x=%時(shí)，〃尤)有極小值“求機(jī)-”的取值范圍.

19.(17分)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3,則稱這個(gè)數(shù)列為“G型數(shù)列”.

(xf1,M—1

⑴若數(shù)列｛4｝滿足4=?>0,判斷｛4｝是否為“G型數(shù)列”，并說明理由；

(2)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝為“G型數(shù)列”,%=1,數(shù)列出｝滿足。=。,+2,"wN*,凡｝是等比數(shù)列，公比為正

整數(shù)，且不是“G型數(shù)列”，

①求證：數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列；

②求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（浙江專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)全集U=R,集合A={x|Y-x-2>o},8={尤|無(wú)21},貝i］（aA）c3=（）

A.[1,2]B.(1,2]C.(2,”)D.[1,2)

【答案】A

【分析】解不等式得到集合A,進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可求解.

【詳解]由4=卜產(chǎn)_尤_2>()}={無(wú)以>2或工<-1},

則用4={討-1<%<2},

因止匕(eA)cB={H_lKxK2}c{x,Nl}=1x|l<x<21,

即&A)B=[l,2],

故選：A.

7

2.已知復(fù)數(shù)z=2+i,貝力-1=()

1-1

A&B布.萼

22

【答案】D

7

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出E，再求出復(fù)數(shù)的模.

1-1

【詳解】復(fù)數(shù)z=2+i,則三=2=2辿=/=14i

1-i1-i(l-i)(l+i)222

故選：D

3.已知向量a=(l,-1),b=(x-2,x2),則“％=-2”是“a〃6”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)關(guān)系，即可由充分不必要條件的定義求解.

【詳解】由4=(1,一1),b=(x-2,x2),

若a口b，貝U爐=2—%,解得％=—2或x=1,

故”=-2”是“a//b”的充分不必要條件,

故選：A

兀4J11

4.已知。</?<[<—,cos(a—Q)=一,cosacosS=—,貝---------)

252tanatan用

A-:B

-亮C.-1D.-2

【答案】D

1高轉(zhuǎn)化為cosasin/?-cos尸sina

【分析】將,整體代入求解.

tanasincifsin/?sinasinp

【詳解】因?yàn)閏os(a—4)=[,0<a<三,0<a-j3,

.,.sin(a-0)>0,故sin(a-")=^l-cos2(cr-/7)=且cos(a—y0)=cosacosQ+sinasiny0=g,故

3

sinasin夕=—,

_3

1_1_cosacos尸_cosasin夕一cos夕sina_sin(尸一a)_5

tanatan，sinasin尸sinasin萬(wàn)sinasin尸3

10

故選：D.

5.若正四棱錐的高為8,且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）

A.24B.32C.96D.128

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征求出錐體的底邊邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，然后結(jié)合勾股定理利用側(cè)面積公式計(jì)算

即可.

如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G,易知正四棱錐尸-ABCD的外接球球心在尸G上,

由題意球。的半徑=？。=4。=5,。6=8-5=3,

__________5

所以AG=^52—32=4，PA-Vs2+42=4y[5，貝UA3=8x-^―=4A/2,

故，中，邊AP的高為J（46）2-（20）2=6&,

所以該正四棱錐的側(cè)面積為4義1x40x6忘=96.

2

故選：C

71八

tanx+tz,—<x<0

2

6.已知函數(shù)y（x）=的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

ex+ln(x+1)--------,x>0

x+1

A.(^o,0]B.(^o,-l]C.[0,+oo)D.[-l,+oo)

【答案】C

【分析】分段函數(shù)分段考慮，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)在［0,+8）上的單調(diào)性求得值域；利用正切函數(shù)的單調(diào)性

求出函數(shù)在（-全0）上的值域，由題意即得.

【詳解】當(dāng)XN0時(shí)，/（x）=e%+ln（x+l）----，，

由廣⑶=e'+占+＞?？芍?e'+In（x+1）-占在區(qū)間［0,+“）單調(diào)遞增,

故/（xRf（O）=O；

7Trr

當(dāng)一5＜兀＜0時(shí)，/a）=tan%+a在（一］,。）內(nèi)單調(diào)遞增，所以/（%）v/（0）=々，

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的值域?yàn)镽,故須使〃20,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［。,+8）.

故選：C.

7.已知雙曲線C：W-y2=i（a＞o）,點(diǎn)加在c上，過點(diǎn)〃作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為4臺(tái)，若

a

3

\MA\-\MB\=~,則雙曲線C的離心率為（）

A.顯B.空C.9D.也

233

【答案】B

【分析】設(shè)點(diǎn)加（為,%）,利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)加在C上即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)貝一y=1,即其一。2邸=1，

a

又兩條漸近線方程為y=±』x,即x±ay=O,

a

|xo+ay||xo-gy|a3

故有|腸小|血匈=oo

V?2+1'Ja2+14

Y

8.直線y=2x-2與曲線y=sin7ix+——的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

x-1

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由題意知要求交點(diǎn)即求函數(shù)2x-2=s而》x+一二的零點(diǎn)，等價(jià)于求5血萬(wàn)％=2%-2----二的零點(diǎn)，等

x—1x-1

價(jià)于求〃X）=S加G和M￡）=2（尤-1）—一二兩函數(shù)交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，利用數(shù)型結(jié)合從而可求解.

X-L

X1

【詳解】由題意可得y=s加》%+—--l=sinjix+―所以其與直線y=2x—2的交點(diǎn)，

x—lX—1

等價(jià)于求sinjrx+-^―=2%-2的零點(diǎn)，等價(jià)于sinnx=2x-2--二的零點(diǎn)，

X-1X-L

等價(jià)于求函數(shù)=S加公與函數(shù)/z（x）=2（x-1）——二的交點(diǎn)，

x—\

易得函數(shù)/（x）=s加加為周期為2的函數(shù)，且X=1時(shí)，"1）=5加萬(wàn)=0,

所以（1,。）是函數(shù)/（X）=Siwix的一個(gè)對(duì)稱中心,

對(duì)于Zi（無(wú)）=2"-1）,/?（l+x）+〃（l-x）=2（元+1-1）-----1—+2（l-x-l）------1—=0,

X1X+111X1

所以〃（x）關(guān)于點(diǎn)。,0）對(duì)稱，且y=2（x-l）為增函數(shù)，y=■為增函數(shù)，

X—1

所以Zz（x）=2（尤一1）--1T在（—」）,上單調(diào)遞增,

x—1

所以可以作出了⑺和圖象如下圖,

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.給出下列命題，其中正確命題為()

A.已知數(shù)據(jù)網(wǎng),馬，％3，?，%，滿足：%-％T=2(24ZW10),若去掉不、％后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)

的方差為168

B.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,4),P(x>1.5)=0.34,若P(x<q)=0.34,貝|a=0.5

66

C.一組數(shù)據(jù)(4》)?=1,2,3,4,5,6)的線性回歸方程為>=2%+3,若?=30,則￡%=63

i=\i=l

D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越大，則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小

【答案】BD

【分析】根據(jù)方差的定義求新數(shù)據(jù)的方差可判斷A,由條件，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可求。，判斷

B,

_6

由條件結(jié)合回歸方程過中心點(diǎn)可求7，由此可求Z%，判斷C,根據(jù)/性質(zhì)判斷D.

1=1

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，去掉和1后的平均數(shù)為+%="衛(wèi)=%+9,

OO

方差為--9)2++(無(wú)廣%—9)2=2],故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8

對(duì)于B選項(xiàng)，由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布

P(X>1.5)=0.34,P(x<a)=0.34,

故尸(Xva)=尸(X>1.5),

所以a,1.5關(guān)于1對(duì)稱，

所以。=0.5,故B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椤暧?30,所以1=5，

Z=1

又因?yàn)榛貧w方程為y=2x+3，

所以7=2x5+3=13,

6

所以±%=13x6=78,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

三1

對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越大，則兩變量有關(guān)系的程度的錯(cuò)誤率更低，

故/越大，判定“兩變量有關(guān)系”的錯(cuò)誤率更低，D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

10.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)耳(-2,0)與到點(diǎn)瑪(2,0)的距離之積為4,則下

B.點(diǎn)M(x』)(x>0)在C上,則眼耳|=2后

22

C.點(diǎn)。在橢圓工+工=1上，若則QwC

62

D.過歹2作X軸的垂線交c于A,8兩點(diǎn)，則|A5|<2

【答案】ACD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)“雙紐線”定義得到M(君,1),再

計(jì)算團(tuán)即可判斷B錯(cuò)誤,對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確,對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)A(2,y),

根據(jù)勾股定理得到==16+丁，再解方程即可判斷D正確.

y

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)閨函|。閶=(2忘+2)(2點(diǎn)-2)=4,由定義知DeC,故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,點(diǎn)”(x,l)(x>0)在C上，

則|M^||M^|=^[(X+2)2+1][(X-2)2+1]=4,

化簡(jiǎn)得無(wú)■*一61+9=0,所以x=6，阿片|=J(g+2)2+lx2&,B錯(cuò)誤;

22

對(duì)選項(xiàng)C,橢圓L+工=1上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為耳(-2,0)與月(2,0),

62

則閨。1+憂0=2?,又埒2，々2,所以閨°「+叵°「=16,

故比@.同@_(甯山+因°『；低。『+陽(yáng)°「)_4,所以。eC，C正確；

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)A(2,y),則|明=2H,

因?yàn)锳eC,則=又|A周2=16+9，

所以￡=16+此化簡(jiǎn)得>4+16丁-16=0,故V=40-8,所以產(chǎn)-1=4石-9<0,故回<1,所以|鉆|<2,

故D正確，

故選：ACD

11.定義在(-U)的函數(shù)〃尤)滿足〃X)-〃=且當(dāng)T<x<0時(shí)，〃x)<0,則()

A.“X)是奇函數(shù)B.在(-U)上單調(diào)遞增

仁出心+心<心

【答案】ABC

【分析】根據(jù)奇偶性的定義分析判斷A,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義分析判斷B,利用賦值法分析判斷C,根據(jù)

選項(xiàng)C及函數(shù)單調(diào)性判斷D.

【詳解】對(duì)于A,令無(wú)=y=0,可得/(0)=0,再令x=0,可得-〃y)=/(r),且函數(shù)定義域?yàn)?一1,1),

所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；

1<0

對(duì)B,令一1<玉<馬<1，貝J』一工2<0，1-占,尤2>。，可得―土+]=0+：')0+.)>0,所以_]<『~—,

1—XjX2]一石％2]_七％2

由函數(shù)性質(zhì)可得〃為)-〃々)=/4^<0,即〃%)</6)，所以/⑺在(一1,1)上單調(diào)遞增，故B

<1-X1X2J

正確;

j__l

對(duì)于C,令x==［可得「=上高=(,所以

231-xy5y2J⑶

23

故C正確；

對(duì)D,因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以由C可知故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)P在圓（x-5『+（y-5）2=16上，點(diǎn)A（4,0）,B（0,2）,當(dāng)NP8A最小時(shí)，|尸理=.

【答案】3&

【分析】找到當(dāng)NHM最小時(shí)P點(diǎn)所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓（尤-5）2+（,-5）2=16的圓心為〃（5,5）,半徑為4,

如圖所示：當(dāng)NPBA最小時(shí)，尸3與圓M相切，連接

貝IJPAf_LP8,|BM|=7（0-5）2+（2-5）2=,而1N尸1=4,

由勾股定理得|PB\=7|BM|2-|MP|2=3夜，

所以當(dāng)NP8A最小時(shí)，|P81=30.

故答案為：3立.

13.在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)o為樣本空間，若事件4,A，…,A兩兩互斥，A口&。"4=。,

則對(duì)任意的事件有p（3）=尸（a）尸⑻a）+P（4）尸（曰4）++P（A）P⑻4）.若甲盒中有2個(gè)白

球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有x個(gè)白球（xeN）、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放

入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于三,

12

則x的最大值為.

【答案】6

【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合全概率公式列式求解即可.

【詳解】設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為4，4，4，

從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為8,

21r+i43

則尸(A)=尸(4)=7尸(A)=1P?IA)=一多尸(例4)=--,P(B|4)=-z

55x+6x+6x+6

可得P(3)=P(A)尸(BA)+P(4)尸⑻4)+P(A)尸(514)

2x+124132x+13、5

5x+65x+65尤+65(x+6)12'

解得尤46,則x的最大值為6.

故答案為：6.

14.若過點(diǎn)(0,0)的直線是曲線y=V+l(x>0)和曲線y=lnx-《1+a的公切線，貝心=.

【答案】4

【分析】設(shè)該公切線在〉=f+1(3>0)的切點(diǎn)為包,%)(玉>0),借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線y=2x,再

y=2無(wú)與曲線y=+a切于(9,%)(々>0)，計(jì)算即可得解.

【詳解】設(shè)直線與曲線>=f+1(%>0)的切點(diǎn)為(%,乂)&>0),

由y'=2x,得切線方程為y-x=2%(x-%),又必=裔+i,

所以y-才-1=2王(x-石)，將點(diǎn)(0,0)代入,有x：+l=2尤;，

解得士=1(負(fù)值舍去)，所以切線方程為y=2x,

設(shè)切線與曲線>=ln尤-=+a的切點(diǎn)為(%,%)>0),

X+1

,1,11aa

又，w+而廣所以互+而了=2,*=叱一行+*%=2馬，

消去〃、當(dāng),得—%+In%—1=0，

當(dāng)且僅當(dāng)X=g時(shí)，等號(hào)成立，

即函數(shù)“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又f⑴=0,

所以方程2xf-x2+lnx2-l=0的實(shí)數(shù)解為々=1,

故有2=lnl—三+a,解得。=4.

1+1

故答案為：4.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

LA

15.（13分）已知VABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。也且，3asinC=Zccos?—.

2

⑴求A；

（2）若。=2,b+c=3,求VABC的面積S.

【答案】（1）4=5

⑵s=*

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化和二倍角余弦公式得到后sinA-cosA=l,再利用輔助角求解即可.

77"5

(2)根據(jù)余弦定理22=。2+02-2Acos§得到歷=],再利用面積公式求解即可.

【詳解】(1)y/3asinC=2ccos2\/3sinAsinC=2sinC-(1+cosA),.....................................2分

因?yàn)閟inC>0,所以GsinA-cosA=1.....................................3分

所以2sinNqj=l,即sin（A4J=g.....................................5分

因?yàn)橐皇?一KN所以A-W，即Ag....................................7分

JTS

(2)由余弦定理得，22=b2+c2-2/?ccosy=>4=(Z?+c)-3bc=>be=—,10分

15V35A/3

所以S=——X—X------=--------13分

23212

16.（15分）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，巳4_1平面43。,&￡>//3。,48_13。，E為PO的中點(diǎn).

（1）若E4=EC,證明：。。_1平面43；

（2）已知AD=2PA=2BC=4AB=4,求平面ACE和平面PCD所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵逑

9

【分析】（1）分別證明24,C2PC_LCD,再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)

恒等關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,

可知PA_LAD,PA_LC￡）,.......................................................................2分

又E為尸。的中點(diǎn)，則E4=Lp。，..................................3分

2

^EA=EC,^EC=-PD,則PC_LCD,.....................................................................4分

2

且以PC=P,PA,PCu平面ACP,.....................................................................5分

所以CD_L平面ACP....................................................................................................6分

（2）由題意可知：申，平面ABC2ABLAD,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4氏4。,4尸為達(dá)弘2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示：...................................7分

x

因?yàn)锳D=2PA=2BC=4=4,

則A（0,0,0）,C（l,2,0）,D（0,4,0）,P（0,0,2）,E（0,2,l）,.......................................................................8分

可得AE=（0,2,1）,AC=（1,2,0）,尸口=（0,4,-2）,CD=（-1,2,0）,......................................................................9分

m-AE=2yl+4=0

設(shè)平面ACE的法向量為相式小M烏），貝卜

m-AC=玉+2yl=0

令尤i=2,可得加=（2,-1,2）；...................................11分

n?PD=4y2一2z=0

設(shè)平面PCD的法向量為〃=（%2，%，Z2），貝卜2

n-CD=—x2+2y2=0

令％=2,可得"=（2,1,2）；13分

?\m-n\4-1+47

由題意可得:cosm,n\==/~1=-14分

mM<4+1+4-V4+1+49

所以平面ACE和平面PCD所成二面角的正弦值為15分

17.(15分)已知橢圓C：5+/=l(a>6>0)的離心率為冷，右焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)(-5，5)在C上.

(1)求C的方程;

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線/：、=履+機(jī)(左力。)上，若直線/與C相切，且E4，/,求『山的值.

【答案】⑴,+丁=1

(2)|tM|=V2

【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及。，4c的關(guān)系式列出方程組，解之即得;

(2)將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由A=0推得瘍=2^+1,又由反，/,寫出直線網(wǎng)的方

程，與直線/聯(lián)立，求得點(diǎn)A坐標(biāo)，計(jì)算|04『，將前式代入化簡(jiǎn)即得.

c_A/2

a2

13?

【詳解】⑴設(shè)F(c,0),依題意，------1------=12分

2a24b2'

a2=b2+c2

解得"=2,〃=1,......................................................................4分

故C的方程為上+V=1......................................................................5分

2

y=kx+m,

如圖,依題意尸(1,0),聯(lián)立尤22消去y,可得（2左2+1）X2+4近+2m2—2=0,7分

一+y=1,

12

依題意，需使A=16長(zhǎng)療一4(2左2+1)(2療-2)=0,整理得病=2/+1(*).9分

因?yàn)镋4，/,則直線E4的斜率為則其方程為y=........10分

KK

1-km

1Z1\X=5

聯(lián)立k一％"T,解得<TTFBn.("kmk+m']

12分

k+m

y=kx+my=

TTF'

222222

s412_(l-krri)+(k+m)_^m+k+1_(^+1)(>+1)_m+1

故—訴7一二一訴y一二收)2二二，........

將(*)代入得，+?="￥=2,故|。4|=0........15分

1+k21+k211

18.(17分)已知函數(shù)/'(力=6"(爐--一。),aeR.

⑴當(dāng)a>-2時(shí)，研究“X)的單調(diào)性;

(2)若。20,當(dāng)X=X]時(shí)，函數(shù)”X)有極大值比；當(dāng)x=3時(shí)，“X)有極小值小求"L"的取值范圍.

【答案】(D/(x)在上單調(diào)遞減，在(y,_2),(a,+x)上單調(diào)遞增；

(2)[4e-2,+co)

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合。>-2即可判斷出〃x)的單調(diào)性；

(2