2020-超常數(shù)學(xué)競(jìng)賽-8年級(jí)-初賽-真題（含答案）

PAGEPAGE/2020年超常（數(shù)學(xué)）思維與創(chuàng)新能力測(cè)（初二初賽姓名 考試時(shí)間：90分鐘滿分：120分25道不定項(xiàng)選擇題（可能有幾個(gè)選項(xiàng)正確）1?104分，11—20521?256分。位置的畫面為止在右邊五個(gè)答案中，有一個(gè)畫面即為在問號(hào)位置的畫面請(qǐng)你將這個(gè)畫面找出，然后選出正確的答案.（）0.328181818181?則??+??的值為

，??與?? 成為五個(gè)答案中的一組，請(qǐng)將這一組方格找出.（ O6條射線形成的角滿足∠??????=∠??????=∠??????=∠??????=∠??????=18°.直線??分別交這6條射線依次于點(diǎn)??，??，??，??，??，??.則圖 1

，23 ，456

，（??和??為互素正整數(shù)）. 資產(chǎn)價(jià)值在6月末和1月初相同，則??+??的值為 設(shè)直線????+(??+1)??=√2（??為自然數(shù)）????(??=1，2，?，2020)，則??1+??2+??3+?+??2020的值為

2085013分則他共做了（） 有麥田5塊A，B，C，D，E，它們的產(chǎn)量（單位：t）、交通狀況和每相鄰兩打麥場(chǎng)則建在（）塊麥田上（不允許建在麥田以外的其他地方）才能使總運(yùn)輸量最小??，??，????<??< 中，這七點(diǎn)固定，且令∠??+∠??+∠??+∠??+∠??=??，在圖（b），（c）中，A，B，C，G四點(diǎn)固定，D，E，F(xiàn)變動(dòng)，此時(shí)，令∠??+∠??+∠??+∠??+∠??=??，則下 ??≥ B.??= C.??<D.??比??有時(shí)大有時(shí) E.無法確2名女同學(xué)，則甲班第一組有（）名女同學(xué). 1AB、C

BA、C

C 是A、B兩體積之和的

所有不超過100的恰好有三個(gè)正整數(shù)因子的正整數(shù)的乘積是（ 河水是流動(dòng)的Q處流入靜止的湖中一游泳者在河中順流從P到Q，然后穿過湖到R，共用3小時(shí).若他由RQ再到P，共需6小時(shí).如果湖水也是流PQR2.5小時(shí).在這樣的條件下，RQP需（）小時(shí). 一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是°，，，（）. 位等找出其正確的排列情形.以下選項(xiàng)符合上述規(guī)律的是（）.2021年新年快到了，兩位數(shù)學(xué)家所寄的賀年片很獨(dú)特，是一個(gè)加法式，給出的條件是??2??，同時(shí)每一個(gè)不同的字母代表一個(gè)不同的數(shù)字，則下面加法問題的??????????=（）. 滿足式

=的正整數(shù)??，??，??(??≥??≥??)的數(shù)組(??，??，??)2 如圖所示，6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正八邊形以2乘3的排列方式內(nèi)接于一個(gè)正方形.正方形面積可以表示為??+??√2，??和??為正整數(shù).則??+??的值為（ 11活動(dòng)中，某平臺(tái)中的某商品擬做兩次調(diào)價(jià)，設(shè)??>??>0，有下列先漲價(jià)??%，再降價(jià)先漲價(jià)??%，再降價(jià)2

%，再降 %2先漲價(jià)√????%，再降價(jià)√????%2

%，再降價(jià)√????%先漲價(jià)√????%，再降 2若規(guī)定兩次調(diào)價(jià)后該商品的價(jià)格最高的方案稱為好方案，則其中方案（）是 交點(diǎn)，則??△??????:??□????????=（ B.3 C.1 D.3 E.5五個(gè)答案中找出這些立體圖形所結(jié)合的一組來.（）最少需要稱（）次假定十一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)幣的質(zhì)量全部相等，而那個(gè)偽幣比標(biāo)準(zhǔn)幣不 2020張罰單（每一張52元）5元、4元、3元、2元罰款單4元、3元、2元、5元的一樣多假定他們的罰款總數(shù)相同，則小李收到了（）2元罰單. 整數(shù)，??是一個(gè)固定的數(shù)字(0≤??≤9).例如，14958236表示數(shù)111199999883332??3??5??+3??5??2??=則有序三元組(??，??，??)為 盡可能小，則乙能使得到的和的絕對(duì)值達(dá)到的最大值為（）. PAGEPAGE/2020年超常（數(shù)學(xué)）思維與創(chuàng)新能力測(cè)（初二初賽答案姓名 考試時(shí)間：90分鐘滿分：120分25道不定項(xiàng)選擇題（可能有幾個(gè)選項(xiàng)正確）1?104分，11—20521?256分。位置的畫面為止在右邊五個(gè)答案中，有一個(gè)畫面即為在問號(hào)位置的畫面請(qǐng)你將這個(gè)畫面找出，然后選出正確的答案.（）CPAGEPAGE/0.328181818181?則??+??的值為

，??與?? 解0.328181818181?=0.32+0.008181818181?

44×8+

得到答案1100+361=1461.解B五個(gè)答案中的一組，請(qǐng)將這一組方格找出解BO6條射線形成的角滿足∠??????=∠??????=∠??????=∠??????=∠??????=18°.直線??分別交這6條射線依次于點(diǎn)??，??，??，??，??，??.則圖 PAGEPAGE/解易知∠??????=185=90°O

2

?1=14(個(gè)10個(gè)銳角，因此圖中至少有1410=24個(gè)銳角.26個(gè)，銳角的個(gè)數(shù)只可能是偶數(shù).CE. 1

，23 ，456

，（??和??為互素正整數(shù)）. 資產(chǎn)價(jià)值在6月末和1月初相同，則??+??的值為 解1=(1

)(14

)(14

)(13

)(15

)(1

???

??? 因此，5??=8???8??，8??=3??，解得??=3，??=8，進(jìn)而得到??+??=設(shè)直線????+(??+1)??=√2（??為自然數(shù)）????(??=1，2，?，2020)，則??1+??2+??3+?+??2020的值為

由題意可得

√2

當(dāng)??=1時(shí)，?? 當(dāng)??=2

√2×√2=??2=2×

當(dāng)??=3

√2×√2=??3=2×

PAGEPAGE/?當(dāng)??=2020 ??2020=2×2020×2021=2020× ??1+??2+??3+?+??2020=2+2×3+?+2020×

+?

?

=1

=2085013分則他共做了（） 解13道題設(shè)??為解對(duì)的題的個(gè)數(shù)，??為解錯(cuò)的題的個(gè)數(shù)，則有8???5??=將方程變形 8(??+??)=13(1+????13????20????=13(此時(shí)??=??=可以用下面的方法解方程8???5??=由視察法易得方程的一組解??0=1，??0=?1，對(duì)于任意的整數(shù)??{??=1+??=?1+8???5??=8(1+5??)?5(?1+8??)=8+5+40???40??=??+??=13??，因??+??≤20，????=1，??+??=所 ??=6，??=PAGEPAGE/對(duì)形如??????????(??，??互素)的任意線性方程，其整數(shù)解的一般形式可按如下先找出方程的任意一組整數(shù)解??0，??0，則??=??0????，??=??0????(??∈??)即為有麥田5塊A，B，C，D，E，它們的產(chǎn)量（單位：t）、交通狀況和每相鄰兩打麥場(chǎng)則建在（）塊麥田上（不允許建在麥田以外的其他地方）才能使總運(yùn)輸量最小??，??，????<??< 設(shè)在??處的最少運(yùn)輸量為??(??)，根據(jù)三角形邊的長(zhǎng)度關(guān)系，有??+??>??是??(??)=3??+5(??+??)+4(??+??)+6??=18??+5??+??(??)=10??+8??+??(??)=18??+??(??)=14??+??(??)=26??+min{??(??)，??(??)，??(??)，??(??)，??(??)}=??(??)B處為最佳選擇.B.中，這七點(diǎn)固定，且令∠??+∠??+∠??+∠??+∠??=??，在圖（b），（c）中，A，B，C，G四點(diǎn)固定，D，E，F(xiàn)變動(dòng)，此時(shí)，令∠??+∠??+∠??+∠??+∠??=??，則下 ??≥ B.??= C.??<D.??比??有時(shí)大，有時(shí) E.無法確對(duì)于題圖(a)CDFGM，BCFGN，如解圖(a).∠??+∠??+∠??????+∠G=∠??+∠??+∠??+∠??????=及∠??????+∠??????=180°?∠??????+180°?∠??????=360°?(180°?=180°+∠??+∠??+∠??+∠??????+∠??+∠??+∠??+=∠??+∠??+∠??+∠??+∠??+∠??+180°+∠??=??=720°?180°?∠???∠??=540°?∠???(a)??=540°?∠???對(duì)于題圖(c)AGDELABCDL和???????∠??+∠??+∠??+∠??+∠??????=(5?2)×180°=∠??+∠??+∠??????+∠??+∠??????=及∠??????+∠??????=180°?∠??+∠??+∠??+∠??+∠??????+∠??+∠??+∠??????+∠??+∠??????=故??=720°?180°?∠???∠??=540°?∠???名女同學(xué).如果把甲班的第一組女生都調(diào)到乙班，乙班的第一組女生都調(diào)到丙班，2名女同學(xué)，則甲班第一組有（）名女同學(xué). 1設(shè)丙班有??名女同學(xué)，甲班第一組有??名女同學(xué)，乙班第一組有??名女同學(xué).則乙班原有??+1名女同學(xué)，甲班原有??+5名女同學(xué).依題意，列出方程(??+5)???+2=(??+1)???+??=???2+解得??=5，??=

7???=1???+??=???{7?2??=1???1+??=2???254名女同學(xué).解法 甲班比乙班多4名女同學(xué)，乙班比丙班多1名女同學(xué)，顯然，甲班312名，則三個(gè)班女同學(xué)人數(shù)相等，不妨稱此人達(dá)到“調(diào)等人數(shù)”.4名女同學(xué).人，丙班第一組2名女同學(xué)調(diào)入后，這時(shí)將比“調(diào)等人數(shù)”多5人但甲班第一組4名女同學(xué).1AB、C

BA、C

1C 是A、B兩體積之和的

1CA，B????=??+{????=??+????=??+

??(??+1)=??+??+和

??+1??+1??+

=??+??+=??+??+=??+??+1+??+

+??+

??+

??+??+ =??+??+這時(shí)我們求??1

???????+1=1???+1???+1=(??+1)(??+(??+1)(??+??+1

???????

(??+1)(??+?????

?1

??+??+?????CA，B

所有不超過100的恰好有三個(gè)正整數(shù)因子的正整數(shù)的乘積是（ 首先證明：恰有三個(gè)正整數(shù)因子的正整數(shù)是素?cái)?shù)的平方.1和??本身外還有一個(gè)素因子，設(shè)這個(gè)素因子為????|??，??≠

??=??×??，??≠??=??=100的素?cái)?shù)的平方只有22，32，52，72.22×32×52×72=44100=QP然后穿過湖到R，共用3小時(shí).若他由RQ再到P，共需6小時(shí).如果湖水也是流PQR2.5小時(shí).在這樣的條件下，RQP需（）小時(shí). 1，水速為??，????=??，????=??1+??+

+??= 5 1+ ?即

1?1+

+??= 1=2?

??

1+④即即

1???2=3(1???5(1+??)=??+??2

1+

⑤(4?5??=4?1??2??+1?

??+=1+

1+×1?

1=5 2=12 1? 22

小時(shí). 解ABCDEF120°，且????=1，????=3，????=????=2(解圖==ACDF也是唯一的.據(jù)此，作邊長(zhǎng)為3的正六邊形，將每邊3等分后，作交角為60°（或120°）的平行線(解圖(b)).其中的粗線條六邊形便是已知六邊形，易見????=2，????=4，故周長(zhǎng)為1+2+3+3+2+4=15. 注意，在未確定圖形的唯一性之前，由圖算出周長(zhǎng)是不完整的.位等找出其正確的排列情形.以下選項(xiàng)符合上述規(guī)律的是（ 解(1)題圖：為?90°，180°的連續(xù)圖，其方位由西北→東北→東南(以上端黑方塊①的位置為準(zhǔn)).推論下一個(gè)方位為西南.A1相同，不符B圖：形狀與題圖不同，不符C圖：①位置在西南，且整個(gè)形狀與題圖相同，符合D3相同，不符E圖：形狀與題圖不同，不符C圖為題圖?旋轉(zhuǎn)后正確的方位，形狀亦相同.C.2021年新年快到了，兩位數(shù)學(xué)家所寄的賀年片很獨(dú)特，是一個(gè)加法式，給出的條件是??2??，同時(shí)每一個(gè)不同的字母代表一個(gè)不同的數(shù)字，則下面加法問題的??????????=（）. 解破譯這封巧妙的賀年片有許多辦法，其中最簡(jiǎn)單的辦法如下.從左邊(499，因H9，DS19.H4，E2.第四列加上所進(jìn)的數(shù)一定等于12，這意味著第三列中的DS之和等于13，由此可知，DS或者是85(順序可倒過來58)，或者是76，因?yàn)?已經(jīng)用過了.D不可能是8，否則，最后一列的JR就會(huì)是相同的數(shù)字，它也不可能是57，7，這樣，N8，C9B1(第五列)，J5(第六列).這樣，只能是如下形式：故??????????=94223. 的正整數(shù)??，??，??(??≥??≥??)的數(shù)組(??，??，??)的個(gè)數(shù)為 由??≥??≥??>0，得0<1≤1≤1所以??>2，所以??≥3.

=

?(+) 所以??≤6，所以3≤??≤(1)當(dāng)??=3

PAGEPAGE/1所以

，因?yàn)??>0，所以7≤??≤12由

=，得(??6)(???6) 36.所以???636的因數(shù).因此???6可能是1，2，3，4，6，9，12，18，367≤??≤12，所以??=7，8，9，10，12.相應(yīng)的??=3)，(12，12，3)5個(gè)（2）當(dāng)??=4 1所以4

，5≤??≤8，(??4)(??4)=166，4)，(8，8，4)3個(gè)(3)當(dāng)??=5

+

3所

，5≤??≤因?yàn)??(3???10)=10??，所以(??，??，??)=(10，5，5)1個(gè)(4)當(dāng)??=6 1所以3

，所以??=6，??=6.所以(??，??，??)=（6，6，6），1個(gè)由(1)~(4)，得5311=1010個(gè).E.如圖所示，6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正八邊形以2乘3的排列方式內(nèi)接于一個(gè)正方形.正方形面積可以表示為??+??√2，??和??為正整數(shù).則??+??的值為（ PAGEPAGE/ 經(jīng)過八邊形頂點(diǎn)畫平行于正方形一邊的直線.4條直A，B，C，D從直線BC22.從C到D的距離是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形中的一條直角邊長(zhǎng)長(zhǎng)度

4×2+5×√2=8+ 2 (8+5√2)=8+2×8×5√2+=64+80√2+=114+所求之和為114+80=194.11活動(dòng)中，某平臺(tái)中的某商品擬做兩次調(diào)價(jià)，設(shè)????0，有下列六先漲價(jià)??%，再降價(jià)先漲價(jià)??%，再降價(jià)

2

%，再降 %2先漲價(jià)√????%，再降價(jià)√????%2

%，再降價(jià)√????%先漲價(jià)√????%，再降 2若規(guī)定兩次調(diào)價(jià)后該商品的價(jià)格最高的方案稱為好方案，則其中方案（）是 解設(shè)某商品原價(jià)為1，采用方案??，??，??，??，??，??調(diào)價(jià)后的商品價(jià)格分別??，??，??，??，??，????? ??=(1+??%)(1???%)=1

100???? ??=(1+??%)(1???%)=1

100???+

??+

(??+??=(1

%)(12

%)=1?4×??=(1+√????%)(1?√????%)=1???+

??+??

(??+??=(1

%)(1?√????%)=1

2×??+

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(??+??=(1+√????%)(1因?yàn)??>??

%)=1

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(??+??)2?4×??? (???=?????

100+4×1002>???>?????

???

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√????(??+??)2×1002???3??+

√????(??+???2√????)2×10022(?????)+2√??(√???

√????(√???2× >?????

???

??++

√????(??+??)2×10023??????

√????(??+???2√????)2×10022(?????)+2√??(√???

√????(√???2× >所以??>??，??>??，??>??，??>??，??>??A是好方案.A.交點(diǎn)，則??△??????:??□????????=（ B.3 C.1 D.3 E.5ABCDSPAGEPAGE/ ?????????=??□??????????????????????????????????????=???4?8?4=8令?????????=??1，?????????=??2，?????????=??3，?????????=3??1+??2=?????????=81??2+??3=?????????=8 ??3+??4=?????????=4{??1:??2=??4: ??=??2×??4=(8???3)(4? 故

8???8??+1??3=20?????????:??□????????=1:五個(gè)答案中找出這些立體圖形所結(jié)合的一組來.（ 補(bǔ)充：看其中最清楚的一面組合成新的圖形即可PAGEPAGE/最少需要稱（）次假定十一個(gè)標(biāo)