專題05 一次方程（組）及其應用（講義）

第05講一次方程（組）及其應用目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一等式的基本性質 3題型01利用等式的性質判斷變形正誤 3題型02利用等式的性質求解 3考點二一元一次方程 5題型01判斷一元一次方程 5題型02解一元一次方程 6題型03一元一次方程的特殊解題技巧 7題型04錯看或錯解一元一次方程問題 10考點三二元一次方程（組） 12題型01二元一次方程（組）的概念 12題型02解二元一次方程組 13題型03二元一次方程組特殊解法 13題型04錯看或錯解二元一次方程組問題 17題型05構造二元一次方程組求解 19題型06解三元一次方程組 19考點四一次方程（組）的應用 21題型01利用一元一次方程解決實際問題 22題型02利用二元一次方程解決實際問題 29

考點要求新課標要求命題預測等式的基本性質理解等式的基本性質一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”.中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點.預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．一元一次方程能解一元一次方程二元一次方程（組）掌握消元法，能解二元一次方程組能解簡單的三元一次方程組[選學]一次方程（組）的應用利用一次方程求解實際問題

考點一等式的基本性質易混易錯：1.利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母.題型01利用等式的性質判斷變形正誤【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【變式1-1】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）下列等式變形正確的是（

）A．若x=y，則xz=yz C．若x2=4x，則x=4 D．若a【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y，那么根據等式的性質下列變形正確的是（

）x＋y＝0 B．x5=5y方法技巧：利用等式的性質對等式變形時,應分析變形前后式子發(fā)生了哪些變化,發(fā)生加減變形的依據是等式的性質1,發(fā)生乘除變形的依據是等式的性質2.題型02利用等式的性質求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（

）A． B．C． D．【變式2-1】（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不為0）C．如果a?c=b?c，那么a=b（a，b，c均不為0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不為0）【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據是（A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2【變式2-3】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知20212022?20222021+x=0A．20222021+2021C．20222021?2021【變式2-4】（2023衡水市中考模擬）若等式m+a=n-b根據等式的性質變形得到m=n，則a、b滿足的條件是（A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．無法確定

考點二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一個未知數，且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程標準形式：ax+b=0（x為未知數，a、b是常數且a≠0）解一元一次方程的基本步驟：易混易錯：1.一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.2.一元一次方程只含有一個未知數,未知數的次數都為1.3.解方程的五個步驟有些可能用不到，有些可能重復使用，也不一定有固定的順序，要根據方程的特點靈活運用．4.對于分母中含有小數的一元一次方程．當分母中含有一位小數時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數為整數；當分母中含有兩位小數時，含分母項的分子、分母都乘100，化分母中的小數為整數．題型01判斷一元一次方程【例1】（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①?2+5=3；②3x?5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【變式1-2】（2023九江市一模）已知k?1xk+3=0是關于x的一元一次方程，則k【變式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是關于x的一元一次方程，則題型02解一元一次方程【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【變式2-1】（2023·內蒙古包頭·校考一模）若4x+12的值與x?7互為相反數，則xA．1 B．1310 C．3 D．【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項式?xyb與12xay3A．x=13 B．x=?13 C．【變式2-3】（2019·山東濟南·中考真題）代數式2x?13與代數式3?2x的和為4，則x=_____【變式2-4】（2023揚州市三模）規(guī)定一種新的運算：a?b=2?a?b，求2x?13?1+x【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實數a，b，c滿足a2=b3=c【變式2-6】（2021·山東煙臺·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為____________．題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數的一元一次方程技巧1巧化分母為1【例3】解方程：0.6x+0.5【變式3-1】解方程：0.3x技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6技巧3巧約分去分母【例5】解方程：x?4【變式5-1】解方程：0.3x?1【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x?1【變式6-1】解方程：x?12【變式6-2】解方程：x2【變式6-3】解方程：x2技巧2巧用對消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【類型三】含括號的一元一次方程技巧1利用倒數關系去括號【例9】解方程：6【變式9-1】解方程：解方程3技巧2整體合并去括號【例10】解方程：x?1【變式10-1】解方程：x?1技巧3整體合并去分母【例11】解方程：13【變式11-1】解方程：14技巧4由外向內去括號【例12】解方程：解方程：13技巧5由內向外去括號【例13】解方程：24【變式13-1】解方程：41題型04錯看或錯解一元一次方程問題【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號，得3x+3?1=2x?2②移項，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項，得x=?4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程x?x?3解：兩邊同乘以3，得3x?x?3=3，移項，合并同類項，得2x=6，兩邊同除以2，得x=3，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【變式14-2】（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1去括號，得4x+2?5x+1=1……第二步移項，得4x?5x=1?1?2……第三步合并同類項，得?x=?2，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．A．等式的基本性質

B．不等式的基本性質

C．分式的基本性質

D．乘法分配律(2)從第_________步開始出現錯誤；(3)該方程正確的解為____________【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：?6×(1)如果被污染的數字是12，請計算?6(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．【變式14-4】在做解方程練習時，有一個方程“y?15=2y+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個有理數，該方程的解與當x＝2時整式5（x

考點三二元一次方程（組）易混易錯1.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數.4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．題型01二元一次方程（組）的概念【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯考一模）若二元一次方程組x+y=23x?5y=4的解為x=ay=b，則a?b=【變式1-2】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是關于x，y題型02解二元一次方程組【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組3x+y=8【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3方法技巧：解二元一次方程組的方法選擇：1)當方程組中某一個未知數的系數是1或者-1時，選用代入消元法；2)當方程組中某一個方程的常數項為0時，選用代入消元法；3)當方程組中同一個未知數的系數相同或互為相反數時，選用加減消元法；4)當兩個方程中同一個未知數的系數成整數倍關系時，選用加減消元法．題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入參數法解題技巧：當方程組中出現x/a=y/b的形式時，常考慮先用參數分別表示出x，y的值，然后將x，y的值代入另一個方程求出參數的值，最后將參數的值回代就能求出方程組的解.【例3】用代入法解方程組：x【變式3-1】用代入法解方程組：x類型二特殊消元法-方程組中兩未知數系數之差的絕對值相等解題技巧：觀察方程組1和2的系數特點，數值都比較大.如果用常規(guī)的代入法或加減法來解，不僅計算量大，而且容易出現計算錯誤.根據方程組中的兩個未知數的對應系數之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法求解，更為簡便.【例4】解方程組：2015x+2016y=2017①【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：19x+18y=17解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x?16y=16④②-④，得x=把x=?1，代入③，得?1+y=1所以原方程組的解為：x=?1(1)請仿照上面的方法解方程組：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)請猜想關于x，y的方程組(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b類型三特殊消元法-方程組中兩未知數系數之和的絕對值相等解題技巧：當兩式相加時，x和y的系數相等，化簡即可得到x+y=a;當兩式相減時，x和y的系數互為相反數，化簡即可得到-x+y=b.由此達到化簡方程組的目的.【例5】解方程組：13x+14y=40①【變式5-1】感悟思想：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．如①-②可得x?4y=?2①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．體會思想：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x?y=______，x+y=(2)解方程組：x+y=5(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？類型四換元法【例6】解方程組：1x【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個整體，設m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組3x【變式6-2】數學方法：解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設2x+y=m，x?2y=n(1)直接填空：已知關于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關于m、n的二元一次方程組am+n+b(2)知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應用：已知關于x，y的二元一次方程組a1x+b求關于x，y的方程組2a類型五同解交換法解題技巧：先將兩個方程組中不含字母a、b的兩個方程聯立,求得方程組的解,然后由“方程組的解適合每一個方程”得到關于a、b的二元一次方程組,進而確定a、b的值.【例7】（2020·廣東·中考真題）已知關于x，y的方程組ax+23y=?103（1）求a，b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關于x的方程x【變式7-1】若關于x，y的二元一次方程組2x+5y=?26ax?by=?4，和3x?5y=36(1)求這兩個方程組的解；(2)求代數式2a+b2022類型六主元法解題技巧：本題不能直接求出x，y，z的值，這時可以把其中一個未知數當成一個常數，然后用含這個未知數的式子去表示另外兩個未知數.【例8】已知4x?3y?3z=0x?3y?z=0（x，y，z均不為0），求xy+2yz【變式8-1】（2023·浙江·模擬預測）實數x,y,z滿足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．則x+3y2017x+2017y+2017z=題型04錯看或錯解二元一次方程組問題【例9】在解方程組ax+5y=104x?by=?4時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，得到的解為x=?3y=?1，乙看錯了方程組中的b，得到的解為x=?2y=8 B．x=15y=8 C．x=?2y=6方法技巧：解“看錯系數”問題的方法看錯方程組中某個方程的系數,所得的解既是方程組中看錯系數的方程的解，也是方程組中沒有看錯系數的方程的解，把解代入沒有看錯系數的方程中，構建新的方程組,然后解方程組.【變式9-1】（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：x?2y=1第一步：由①得，x=2y+1③；第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5第三步：解得y=第四步：將y=1代入③，解得x=7第五步：所以原方程組的解為x=任務一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；任務二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現錯誤，錯誤的原因是________．任務三：請寫出方程組正確的解答過程．【變式9-2】（2021·浙江嘉興·二模）解方程組：3x?2y=6①小海同學的解題過程如下：解：由②，得y=5+x③……（1）把③代入①，得：3x?2x+5=6……（2）解得：x=?1……（3）把x=?1代入③，得y=4……（4）∴此方程組的解為x=?1y=4判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．題型05構造二元一次方程組求解【例10】（2022·貴州黔東南·中考真題）若2x+y?52+x+2y+4=0，則【變式10-1】（2019·江蘇宿遷·中考真題）下面3個天平左盤中“△”“□”分別表示兩種質量不同的物體，則第三個天平右盤中砝碼的質量為_____．【變式10-2】（2022·湖南長沙·校考一模）如果單項式?3ax?2yb2與14【變式10-3】請你根據下圖中所給的內容，完成下列各小題．我們定義一個關于非零常數a，b的新運算，規(guī)定：a◎b=ax+by．例如：(1)如果x=?5，2◎4=?18，求(2)1◎1=8，4◎2=20，求題型06解三元一次方程組【例11】（2023·上海長寧·二模）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經過點A（A．2 B．3 C．4 D．t【變式11-1】已知方程組x+2y=k2x+y=1A．10 B．8 C．2 D．－8【變式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，

考點四一次方程（組）的應用用方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.與一次方程（組）有關應用題的常見類型：題型01利用一元一次方程解決實際問題類型一配套問題【例1】（2022濱州市二模）某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套．設安排x名工人生產螺釘，則下面所列方程正確的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x【變式1-1】（2023哈爾濱市三模）某車間有27名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母組成的產品，每人每天生產螺母64個或螺栓22個．若分配x名工人生產螺栓，其它工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（

）A．22x=64(27?x) B．64x=22(27?x)C．2×22x=64(27?x) D．2×64x=22(27?x)【變式1-2】（2023西安尊德中學二模）制作一張方桌要用1個桌面和4條桌腿，若1m3木材可制作20個桌面或400條桌腿，現有12m3木材，要使生產出來的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求應安排多少木材用來制作桌面．類型二工程問題【例2】（2022·遼寧阜新·一模）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（

）A．x+1020+1025=1 B．1025【變式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學?？寄M預測）某工人在規(guī)定的時間內做完一批零件，若每小時做10個就可以超額完成3個，若每小時做11個就可以提前1h完成，則這批零件一共有多少個？設這批零件一共有x個，則根據題意得到的正確方程是（

）A．x10?3=xC．x10+3【變式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用30h，現先安排一部分人用2h整理，隨后又增加5人和他們一起又做了類型三增長率問題【例3】（2022·安徽合肥·模擬預測）一種商品，先提價20%，再降價10%，這時的價格是2160元．則該商品原來的價格是（

）A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元【變式3-1】（2023蚌埠高新區(qū)模擬）受季節(jié)影響，某商品每件售價按原價降低a%再降價8元后的售價是100元，那么該商品每件的原售價可表示為（

）A．921?a% B．1081?a% C．類型四銷售利潤問題【例4】（2023寧波市一模）互聯網“微商”經營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（

）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元【變式4-1】（2023巴東縣模擬）一商店在某一時間以每件120元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（）A．不盈不虧 B．盈利20元 C．虧損10元 D．虧損30元【變式4-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┠撤N商品進價為200元，標價為300元．現打折銷售，要使利潤率為5%類型五比賽積分問題【例5】（2023·湖南長沙·長沙麓山國際實驗學校?？寄M預測）全國青少年校園足球聯賽，是國內歷史最久遠、覆蓋范圍最廣的中學足球賽事，在小組賽中，每小組有4個隊，小組內進行單循環(huán)賽（兩支球隊間只比賽一場），已知勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分，小組賽結束后，積分前兩名（相同積分比較凈勝球）可以進入下一輪比賽．如表是某次小組賽的積分表：排名球隊積分1甲62乙43丙44丁如果本小組比賽中只有一場戰(zhàn)平，根據此表，可以推斷丁隊的積分是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-1】（2022·河北石家莊·?？寄M預測）在全國足球甲級A組的前11輪比賽中，某隊保持不敗，共積累23分．按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊勝的場數是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式5-2】（2022·陜西西安·西安市西光中學?？级＃橛行鋵嶋p減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數。類型六方案選擇問題【例6】（2023·陜西西安·高新一中校考三模）A、B兩家旅行社推出家庭旅游優(yōu)惠活動，兩家旅行社的票價均為每人90元，但優(yōu)惠的辦法不同，A旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優(yōu)惠；B旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家每人均按6折票價優(yōu)惠．請問當家庭的人數是多少時，兩家旅行社的費用相同？【變式6-1】（2023懷遠縣二模）現需運送一批貨物，有甲、乙兩種型號貨車可供選擇．兩種型號貨車出租價格如表：起步價/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲種型號貨車在限定里程80km內，只需付起步價108元，超過限定里程的部分按3元/km收費，租用乙種型號貨車在限定里程100km內，只需支付起步價180元，超過限定里程的部分按2元/km收費，設里程為x千米．（1）當x＞100時，用x分別表示租用甲、乙兩種型號貨車的費用；（2）當里程為多少千米時，租用兩種型號的貨車費用相等？類型七數字問題【例7】（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則mn=（A．1 B．2 C．3 D．0【變式7-1】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學校?？寄M預測）一個兩位數的個位數字與十位數字都是x，如果將個位數字與十位數字分別加2和1，所得的新數比原數大12，則可列的方程是（

）A．2x+3=12B．10x+2+3=12C．(10x+x)?10(x+1)?(x+2)=12D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12類型八日歷問題【例8】（2023增城區(qū)一模）在一張掛歷上，任意圈出同一列上的三個數的和不可能是()A．4 B．33 C．51 D．27【變式8-1】將連續(xù)的偶數2，4，6，8，…排成下圖所示，若將十字框上下左右移動，可框住五個數，這五個數的和可能等于（

）A．123 B．115 C．240 D．400【變式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個數a、b、c，并求出了它們的和為36，這三個數在日歷中的排布不可能是（

）A．

B．

C．

D．

類型九幾何問題【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學?？家荒＃┤鐖D，在數軸上，點A、B分別表示數a、b，且a、b互為相反數，若AB=8，則點A表示的數為（

）

A．8 B．4 C．0 D．?4【變式9-1】（2023·廣西南寧·一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為30cm，寬為18cm，AD=A．960cm3 B．800cm3 C．【變式9-2】如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒，若紙盒的體積是類型十和差倍分問題【例10】（2020·湖南張家界·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（

）A．x+23=x2?9C．x3?2=x+92【變式10-1】（2022·江蘇蘇州·一模）我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設牧童有x人，根據題意可列方程為（

）A．6x+14=8x B．6x+14C．8x+14=6x D．8【變式10-2】（2022·江蘇宿遷·二模）我國明代數學讀本《算法統宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設銀子共有x兩，則可列方程為（

）A．7x+4=9x?8 B．7x?4=9x+8C．x+47=x?89【變式10-3】（2022·廣東·中考真題）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？類型十一行程問題【例11】（2023·湖北荊州·一模）野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．現野鴨與大雁分別從南海和北海同時起飛，問經過多少天相遇？設野鴨與大雁經過x天相遇，根據題意，下面所列方程正確的是（

）A．x7+x9=1 B．x7【變式11-1】（2023天水市一模）船在靜水中的速度為36千米/時，水流速度為4千米/時，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭，共用了9小時（中途不停留），設甲、乙兩碼頭的距離為x千米，則下面所列方程正確的是（

）A．36+4x+36?49?xC．x36+x【變式11-2】（20223延邊州一模）我國元朝數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載了一道問題，大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果設快馬x天可以追上慢馬，那么根據題意可列方程為（

）A．240x=150x+12 B．C．240x?12=150x 【變式11-3】（2022·湖南常德·中考真題）小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，某天，他們以平常的速度行駛了12【變式11-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃〢、B兩地相距300千米，甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地．已知兩車同時出發(fā)，乙車的速度是甲車的1.5倍．(1)若2小時后兩車還未相遇，此時兩車相距100千米，求甲車的速度；(2)若乙車中途因故停留了75分鐘，從而與甲車同時到達目的地，求甲車的速度．題型02利用二元一次方程解決實際問題類型一配套問題【例12】（2023衢州市一模）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（

）A．5x+2y=1503x+6y=100 B．C．5x+3y=1502y+6x=100 D．【變式12-1】工廠需要用鐵皮制作包裝盒，每張鐵皮可制作盒身15個，或制作盒底20個，一個盒身與兩個盒底配成一套包裝盒．現有40張鐵皮，設用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成包裝盒，則下列方程組中符合題意的是（

）A．x+y=40y=2x B．C．x+y=402×15x=20y D．類型二方案選擇問題【例13】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式13-1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準備將生產的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式13-2】（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．類型三年齡問題【例14】（2021淮濱縣一模）甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么（

）A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲【變式14-1】（2021·江蘇無錫·一模）一天，小民去問爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現在這么大，我已經是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺到底是_____歲．【變式14-2】（2022·安徽蕪湖·校考一模）已知甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現在的年齡的差．類型四幾何問題【例15】（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A．60dm3 B．72dm3 C．【變式15-1】（2021·廣東深圳·?？家荒＃├脙蓧K完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數據如圖，則桌子的高度等于（

）A．60cm B．65cm C．70cm【變式15-2】（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

.369(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．類型五行程問題【例16】（2020·福建福州·?？寄M預測）甲、乙二人同時同地出發(fā)，都以不變的速度在300米環(huán)形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（

）A．{x+y=300x?y=20 C．{20x+20y=300300x?300y=300 【變式16-1】（2023·浙江臺州·一模）作業(yè)本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時從家中出發(fā)，先走平路，然后登山，中午12時到達山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時到家．若他平路每小時走4km，登山每小時走3km，下山每小時走6km，求小明家到山頂的路程．”小李查看解答時發(fā)現答案中的方程組中有污損，3a=6bA．3a+2b=12 B．a4+b3=3 【變式16-2】設甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉給甲車，然后甲車繼續(xù)前行，乙車向原地返回．設x秒后兩車間的距離為y米，y關于x的函數關系如圖所示，則甲車的速度為

（

）A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒【變式16-3】（2023·黑龍江哈爾濱·一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇．(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少．(2)若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發(fā)生故障不動了，為了保證乙車再經過不超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？類型六古代問題【例17】（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總容暴為2斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（

）A．x+5y=35x+y=2 B．5x+y=3x+5y=2 C．5x=y+3x=5y+2【變式17-1】（2023·青海西寧·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設木長x尺，繩長y尺，根據題意列方程組得（

）A．y?x=4.512y=x?1 B．x?y=4.512y=x?1【變式17-2】（2023龍崗區(qū)一模）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（）A．11x=9yB．10y+x=8x+yC．9x=11yD．9x=11y【變式17-3】（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據譯文，解決下列問題：(1)設獸有x個，鳥有y只，可列方程組為_______________；(2)求獸、鳥各有多少．類型七圖表問題【例18】（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了作為獎品的三種物品，回到學校后發(fā)現發(fā)票被弄花了，有幾個數據變得不清楚，如圖．請根據圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數據，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數量及對應的金額．【變式18-1】（2022宜昌市中考診斷）一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車．已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：第一次第二次甲種貨車輛數（輛）25乙種貨車輛數（輛）36累計運貨噸數（噸）15.535現租用該公司3輛甲種貨車及5輛乙種貨車一次剛好運完這批貨，如果按每噸付運費30元計算，問貨主應付運費多少元？【變式18-2】（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶?！爸袊伯a黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數量是展板數量的5倍，廣告公司制作每件產品所需時間和利潤如下表：產品展板宣傳冊橫幅制作一件產品所需時間（小時）111制作一件產品所獲利潤（元）20310（1）若制作三種產品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數量；（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產品均有制作．求制作三種產品總量的最小值．類型八工程問題【例19】（2022定安縣一模）為了打造環(huán)湖風光帶，現有一段長為88米的河道清淤任務，由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天清理10米，乙工程隊每天清理8米，共用時10天，則甲乙工程隊各清理了幾天？【變式19-1】（2021昭通市一模）計劃對河道進行改造，現有甲乙兩個工程隊參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個工程隊施工．若甲工程隊先單獨施工3天，再由乙工程隊單獨施工5天，則可以完成550米施工任務：若甲工程隊先單獨施工2天，再由乙工程對單獨施工4天，則可以完成420米的施工任務．（1）求甲、乙兩個工程隊平均每天分別能完成多少米施工任務？（2）該河道全長6000米，若兩隊合作工期不能超過90天，乙工程隊至少施工多少天？

第05講一次方程（組）及其應用答案解析考點一等式的基本性質【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【答案】C【提示】直接利用等式的基本性質以及結合絕對值的性質提示得出答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當c≠0，則a=b，故此選項錯誤；B、若a2=bC、若ac=bD、若?13x=6故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，正確把握等式的基本性質是解題關鍵．【變式1-1】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）下列等式變形正確的是（

）A．若x=y，則xz=yz C．若x2=4x，則x=4 D．若a【答案】D【提示】根據等式的性質逐一判斷即可．【詳解】解：A、當z=0時，由x=y不能得到xzB、當c=0時，由ac=bc不一定能得到a=b，變形錯誤，不符合題意；C、若x2=4x，則x=4或D、由ac=b故選D．【點睛】本題主要考查了等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵：等式兩邊同時加上或減去一個數或式子等式仍然成立；等式兩邊同時乘以一個數或式子等式兩邊仍然成立，等式兩邊同時除以一個不為0的數或式子等式仍然成立．【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y，那么根據等式的性質下列變形正確的是（

）A．x＋y＝0 B．x5=5y【答案】C【提示】利用等式的基本性質逐一判斷各選項可得答案．【詳解】解：∵x=y，∴x?y=y?y=0,故A錯誤；∵x=y，∴x5=∵x=y，∴x?2=y?2,故C正確；∵x=y，∴x+7=y+7,故D錯誤；故選：C.【點睛】本題考查的是等式的基本性質，掌握等式的基本性質是解題的關鍵．題型02利用等式的性質求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（

）A． B．C． D．【答案】B【提示】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y“●”的質量為m，列出等式，根據等式的性質計算判斷即可．【詳解】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y“●”的質量為m，根據題意，得2x=4y即x=2y，故A正確，不符合題意；∴x+m=m+2y，故C正確，不符合題意；故B不正確，符合題意；∴x+2m=2m+2y，故D正確，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了等式的性質，正確理解等式的性質是解題的關鍵．【變式2-1】（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不為0）C．如果a?c=b?c，那么a=b（a，b，c均不為0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不為0）【答案】A【提示】根據等式的性質解答即可．【詳解】解：觀察圖形，是等式a+c=b+c的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質1，得到a=b，即如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）．故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質，掌握等式兩邊加或減去同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式是解題的關鍵．【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據是（A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2【答案】B【提示】根據等式的性質2可得答案．【詳解】解：I=UR去分母得故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．【變式2-3】（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知20212022?20222021+x=0A．20222021+2021C．20222021?2021【答案】C【提示】根據等式的性質進行計算即可．【詳解】解：將原式兩邊同時減去20212022?2022即x=2022故選：C．【點睛】本題考查等式的基本性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【變式2-4】（2023衡水市中考模擬）若等式m+a=n-b根據等式的性質變形得到m=n，則a、b滿足的條件是（A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．無法確定【答案】C【提示】根據等式的性質，兩邊都加上b，然后判斷即可得解．【詳解】解：m+a=n-b兩邊都加上b得，m+a+b=n，∵等式可變形為m=n，∴a+b=0，∴a=-b．故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立．考點二一元一次方程題型01判斷一元一次方程【例1】（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①?2+5=3；②3x?5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據一元一次方程的定義逐個判斷即可【詳解】解：①不含未知數，故錯②未知數的最高次數為2，故錯③含一個未知數，次數為1，是等式且兩邊均為整式，故對④左邊不是整式，故錯⑤不是等式，故錯⑥含一個未知數，次數為1，是等式且兩邊均為整式，故對故選：B【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關鍵【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進而求出k的值即可．【詳解】解：∵方程k2?4x∴k2解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，故選：D．【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關鍵．【變式1-2】（2023九江市一模）已知k?1xk+3=0是關于x的一元一次方程，則k【答案】?1【分析】由一元一次方程的定義可直接進行列式求解．【詳解】解：∵方程k?1xk+2=3∴k=1,k?1≠0解得：k=?1；故答案為?1．【點睛】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．【變式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是關于x的一元一次方程，則【答案】2023【分析】只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a，b是常數且【詳解】解：∵(k+2)x|k+1|+6=0∴k+2≠0，k+1=1解得：k=0．∴k+2023=2023，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指數是1，一次項系數不是0，這是這類題目考查的重點．題型02解一元一次方程【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】x=3．【分析】先把方程化移項，合并同類項，系數化1法即可．【詳解】解：4x﹣1＝2x+5，移項得：4x﹣2x＝5+1合并同類項得：2x=6，∴系數化1得：x=3．【點睛】本題考查了一元一次方程的解法移項、合并同類項、系數化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根據方程的特點靈活選用合適的方法【變式2-1】（2023·內蒙古包頭·?？家荒＃┤?x+12的值與x?7互為相反數，則xA．1 B．1310 C．3 D．【答案】A【分析】根據互為相反數的兩數之和為0，列出方程進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：4x+解得：x=1；故選A．【點睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握互為相反數的兩數之和為0，是解題的關鍵．【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項式?xyb與12xay3A．x=13 B．x=?13 C．【答案】B【分析】根據同類項的定義得出，a=1，b=3，代入方程bx+a=0，解得即可．【詳解】∵單項式?xyb與∴a=1，b=3，∴方程為3x+1=0，解得x=?1故選：B．【點睛】本題考查同類項和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，解題的關鍵是熟知同類項的定義．【變式2-3】（2019·山東濟南·中考真題）代數式2x?13與代數式3?2x的和為4，則x=_____【答案】﹣1.【分析】根據題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【詳解】根據題意得：2x?13去分母得：2x?1+9?6x=12，移項合并得：?4x=4，解得：x=?1，故答案為﹣1.【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式2-4】（2023揚州市三模）規(guī)定一種新的運算：a?b=2?a?b，求2x?13?1+x【答案】x=【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．【詳解】解：根據題中的新定義化簡得：2?2x?1去分母得：12?22x?1去括號得：12?4x+2?3?3x=6，移項合并得：?7x=?5，解得：x=5故答案為：x=5【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，以及有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實數a，b，c滿足a2=b3=c【答案】2【分析】先根據等式的性質得：a=2k，b=3k，c=4k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到關于k的一元一次方程，解這個方程即可．【詳解】解：由a2=b3=c4代入到等式a+2b+3c=40中，得：2k+6k+12k=40，解得：k=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了等式的基本性質、代入消元法及一元一次方程的解法，熟練掌握等式的基本性質是本題的關鍵．【變式2-6】（2021·山東煙臺·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為____________．【答案】2【分析】設處第一行第一列、第三列第三行、對角線上的未知量，用三數之和為15就可以求出a．【詳解】解：如圖，把部分未知的格子設上相應的量第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4∵f=4∵對角線上6+c+f=15∴6+4+c=15，得到c=5∵c=5另外一條對角線上8+c+a=15∴8+5+a=15，得到a=2故答案為：2．【點睛】本題考查有理數的加法和一元一次方程的綜合題，找出式子之間的關系是解題的關鍵．題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數的一元一次方程技巧1巧化分母為1【例3】解方程：0.6x+0.5【詳解】解：0.6x+0.56x+536x+518x+15?3x?20=2x?1818x?3x?2x=?18?15+2013x=?13x=?1．【變式3-1】解方程：0.3x【詳解】解：原方程可化為3x去分母，得3(3x去括號，得9x移項，得9x合并同類項，得13x系數化為1，得x=3【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解題關鍵．技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6【詳解】解：x化為同分母，得，0.1x去分母，得0.1x?0.16+0.5x=0.06．解得x=11技巧3巧約分去分母【例5】解方程：x?4【詳解】解：解：x?410x?40550x?200?100=200x?60050x?200x=?600+200+100?150x=?300x=2．【變式5-1】解方程：0.3x?1【詳解】解：0.3x?10.02整理，得(15x?50)?(0.8x?16)=1，去括號，得15x?50?0.8x+16=1，移項、合并同類項，得14.2x=35，系數化為1，得x=175【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x?1【詳解】解：3x?1將原式拆分為：3x4-14解得x=11．【變式6-1】解方程：x?12【答案】x=4【詳解】解：x?1將原式拆分為：x2-12-x3解得x=4．【變式6-2】解方程：x2【詳解】解：拆項，得x?x整理得：x?x解得：x=5【變式6-3】解方程：x2解：x2x1×2(1?1x?1x?120082009x=2009．技巧2巧用對消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【詳解】解：方程兩邊分別通分后相加，得5(x+3)?7(x+2)35化簡，得?2x+135解得x=?362【類型三】含括號的一元一次方程技巧1利用倒數關系去括號【例9】解方程：6解：62x+1+6?1=4x2x?4x=?6?2x=?6x=3．【變式9-1】解方程：解方程3【詳解】解：3去括號得：14x﹣1﹣3﹣x移項，合并同類項得：﹣34x系數化為1得：x＝﹣8．技巧2整體合并去括號【例10】解方程：x?1【詳解】解：x?x?移項，合并同類項得：23解得：x=0；【變式10-1】解方程：x?1【詳解】解：去括號，得：x?1移項，得：x?合并同類項，得：12系數化為1，得：x=2．技巧3整體合并去分母【例11】解方程：13【詳解】解：移項，得1合并同類項，得x?5=3系數化為1，得：x=8．【變式11-1】解方程：14【詳解】解：移項，得1合并同類項，得x?2=8系數化為1，得：x=10．技巧4由外向內去括號【例12】解方程：解方程：13【詳解】解：1去中括號，得，1去小括號，得，1移項，得，1系數化為1，得x=3．技巧5由內向外去括號【例13】解方程：24【詳解】解：2去小括號，得2去中括號，得4移項，合并同類項，得7系數化為1，得x=?12【變式13-1】解方程：41【詳解】解：去括號得：4去括號得：2x?3x+3=移項得：2x?3x?合并同類項得：?4解得：x=1．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟記解一元一次方程的步驟，能正確的去括號，移項是解題的關鍵．題型04錯看或錯解一元一次方程問題【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號，得3x+3?1=2x?2②移項，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項，得x=?4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案．【詳解】解：方程兩邊同乘6，得3x+1∴開始出錯的一步是①，故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項是解決問題的關鍵．【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程x?x?33解：兩邊同乘以3，得3x?x?3=3，移項，合并同類項，得2x=6，兩邊同除以2，得x=3，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【答案】圓圓的解答過程有錯誤，方程的解為x=0．【分析】由去分母后沒有及時添加括號；可得圓圓的解答過程有錯誤，再去分母正確的解方程即可．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，去分母后沒有及時添加括號；正解：x?兩邊同乘以3，得3x?x?3∴3x?x+3=3，移項，合并同類項，得2x=0，兩邊同除以2，得x=0．【點睛】本題考查的是一元一次方程的解法，熟練的掌握一元一次方程的解法與步驟是解本題的關鍵．【變式14-2】（2023·湖南長沙·?？级＃┫旅媸切》f同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1去括號，得4x+2?5x+1=1……第二步移項，得4x?5x=1?1?2……第三步合并同類項，得?x=?2，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．A．等式的基本性質

B．不等式的基本性質

C．分式的基本性質

D．乘法分配律(2)從第_________步開始出現錯誤；(3)該方程正確的解為____________【答案】(1)A(2)一(3)x=?3【分析】（1）根據移項的變形依據回答即可；（2）根據去分母漏乘沒有分母的項回答即可；（3）寫出正確的解題過程，即可得到答案．【詳解】（1）解：移項的依據是等式的基本性質，故選：A（2）從第一步開始出現錯誤，方程右邊的1沒有乘以6，故答案為：一（3）2x+1解：去分母，得22x+1去括號，得4x+2?5x+1=6……第二步移項，得4x?5x=6?1?2……第三步合并同類項，得?x=3，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=?3．……第五步故答案為：x=?3【點睛】此題考查了一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：?6×(1)如果被污染的數字是12，請計算?6(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根據有理數混合運算法則計算即可；（2）設被污染的數字為x，由題意，得?6×【詳解】（1）解：?6×23（2）設被污染的數字為x，由題意，得?6×23所以被污染的數字是3．【點睛】本題主要考查有理數的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關運算法則和步驟是接替的關鍵．【變式14-4】在做解方程練習時，有一個方程“y?15=2y+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個有理數，該方程的解與當x＝2時整式5（x【答案】“■”這個有理數為?65，方程的解為：【分析】利用“該方程的解與當x＝2時整式5（x?1）?2（x?2）?4的值相同”求出方程的解；再將方程的解代入y?15【詳解】解：當x＝2時，整式5（x?1）?2（x?2）?4＝5×（2?1）?2×（2?2）?4＝1．∵方程的解與當x＝2時整式5（x?1）?2（x?2）?4的值相同，∴方程的解為：y＝1．當y＝1時，y?15∴1?1解得：■＝?6答：“■”這個有理數為?65，方程的解為：【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，求代數式的值．利用方程的解的意義，將方程的解去替換未知數的值是解題的關鍵．考點三二元一次方程（組）題型01二元一次方程（組）的概念【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【答案】D【提示】將選項中的x,y的值分別代入方程的左邊，進而即可求解．【詳解】解：A、當x=1y=2時，2x+y=4，則x=1y=2是二元一次方程2x+y=4B、當x=2y=0時，2x+y=4，則x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解C、當x=0.5y=3時，2x+y=4，則x=0.5y=3是二元一次方程D、當x=?2y=4時，2x+y=0，則x=?2y=4不是二元一次方程故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯考一模）若二元一次方程組x+y=23x?5y=4的解為x=ay=b，則a?b=【答案】3【提示】把x、y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出a?b的值．【詳解】解：將x=ay=b代入方程組x+y=2得：a+b=2????①①+②得：∴a?b=6故答案為：32【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是觀察兩方程的系數，從而求出a?b的值．【變式1-2】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是關于x，y【答案】1【提示】根據二元一次方程的定義求解，只需要令x，y的次數為1，并且系數不為零，即可求出m的值．【詳解】∵7xm+m+1y=6∴可列式得m=1解得m=1．故答案為1．【點睛】此題主要考查二元一次方程的定義，解題的關鍵是根據其定義列式求解．題型02解二元一次方程組【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組3x+y=8【答案】x=3【提示】方程組運用加減消元法求解即可．【詳解】解：3x+y=8①①+②得5x=15，解得x=3，將x=3代入①得3×3+y=8，解得y=?1．∴原方程組的解為x=3,【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3【答案】x=5【提示】整理方程組得x?2y=3①【詳解】解：整理方程組得x?2y=3①2x+3y=13①×2?②得?7y=?7，把y=1代入①得x?2=3，解得x=5，∴方程組的解為x=5y=1【點睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計算是解題的關鍵．題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入參數法【例3】用代入法解方程組：x【答案】x=5【提示】采用先換元，再代入即可作答．【詳解】解：由①，得x5設x5=?y6=k將x=5k，y=?6k代入方程②，得35k+6k解這個方程得k=1，即x=5，y=?6，所以原方程組的解是x=5【點睛】本題考查了利用換元法和代入法解二元一次方程組的知識，掌握換元法，準確換元，是解答本題的關鍵．【變式3-1】用代入法解方程組：x【詳解】解：由①，得x3設x3=?y4=k將x=3k，y=?4k代入方程②，得23k?4k解這個方程得k=2，即x=6，y=?8，所以原方程組的解是x=6類型二特殊消元法-方程組中兩未知數系數之差的絕對值相等【例4】解方程組：2015x+2016y=2017①【答案】x=?1【提示】根據方程組中的兩個未知數的對應系數之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法即可求解.【詳解】解：②?①，得x+y=1③，由③，得x=1?y④，把④代入方程①，得2015(1?y)+2016y=2017，解這個方程，得y=2，把y=2代入方程③，得x=?1，所以原方程組的解為x=?1y=2【點睛】本題主要考查數值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對應數值的關系是解題的關鍵．【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：19x+18y=17解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x?16y=16④②-④，得x=把x=?1，代入③，得?1+y=1所以原方程組的解為：x=?1(1)請仿照上面的方法解方程組：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)請猜想關于x，y的方程組(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b【答案】(1)x=?1(2)x=?1y=2【提示】（1）仿照題干的方法求解即可；（2）根據題干和（1）中的結果直接猜測即可．【詳解】（1）2022x+2021y=2020①由①?②，得2x+2y=2，即x+y=1③，③×2019，得2019x+2019y=2019④，②?④得x=把代入③，得?1+y=1，∴y=2，∴原方程組的解是x=?1y=2（2）根據題干和（1）的結果，猜測方程組a+2x+a+1y=a驗證：將x=?1y=2代入方程(a+2)x+(a+1)y=a左邊=a+(?2)+2a+2=a，所以左邊=右邊．將x=?1y=2代入方程(b+2)x+(b+1)y=b同理可得左邊=右邊，∴此方程組的解是x=?1y=2【點睛】本題考查了解二元一次方程組：利用代入法或加減消元法把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，理解題干的方法是解題的關鍵．類型三特殊消元法-方程組中兩未知數系數之和的絕對值相等【例5】解方程組：13x+14y=40①【詳解】解：②+①，化簡得x+y=3③，由③，得x=3?y④，把④代入方程①，得13(3?y)+14y=40，解這個方程，得y=1，把y=1代入方程③，得x=2，所以原方程組的解為x=2y=1【點睛】本題主要考查數值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對應數值的關系是解題的關鍵．【變式5-1】感悟思想：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．如①-②可得x?4y=?2①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．體會思想：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x?y=______，x+y=(2)解方程組：x+y=5(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？【答案】(1)-1，5(2)x=2(3)30元【提示】（1）把兩個方程相加可求x+y=5，相減可求x?y=?1；（2）把3個方程相加得x+y+z=6，分別減三個方程可求解；（3）設未知數列出方程組，用整體思想求解即可．【詳解】（1）解：2x+y=7①+②得3x+3y=15，解得x+y=5，①-②得x?y=?1，故答案為：-1，5．（2）解：x+y=5①x+z=3②①+②+③得，2x+2y+2z=12，即x+y+z=6④，④-①得，z=1，④-②得，y=3，④-③得，x=2，方程組的解為x=2z=1（3）解：設購買1支鉛筆a元，1塊橡皮b元，1本日記本c元,根據題意列方程組得，20a+3b+2c=32①①×2-②得，a+b+c=6，則5a+5b+5c=30；答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．【點睛】本題考查了利用整體思想解方程組，解題關鍵是熟練利用整體思想，通過整體運算求解．類型四換元法【例6】解方程組：1x【答案】x=1y=?0.5【提示】設1x=a，【詳解】解：設1x=a，則原方程組化為：a+b=3①3a?b=1②①+②得：4a=4，解得：a=1，把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即1x=11經檢驗x=1y=?0.5所以原方程組的解是x=1y=?0.5【點睛】本題考查了換元法解方程組，解題關鍵是抓住方程組的特征，巧妙換元，熟練的解二元一次方程組和分式方程，注意：分式方程要檢驗．【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個整體，設m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組3x【答案】(1)a(2)x【提示】（1）根據題意所給材料可得出a+（2）根據題意所給材料可令m=x+y，n=x-y，則原方程組可化為3m?解得：m=2815【詳解】（1）∵方程組2x?3y∴a+解得：a=（2）對于3x+y則原方程組可化為3m?解得：m=∴x+解得：x=【點睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關鍵．【變式6