專題03 勾股定理的證明 帶解析

2022-2023學年人教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題03勾股定理的證明一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A． B． C． D．解：A．根據(jù)圖形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A選項不符合題意；B．不能用于證明勾股定理，故B選項符合題意；C．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4×ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C選項不符合題意；D．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D選項不符合題意，故選：B．2．（2分）（2022春?南潯區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務拓展學習上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點I．記小正方形EFGH的面積為S1，大正方形ABCD的面積為S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，則GI的值是（）A． B． C． D．解：如圖，連接DG，∵趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面積為S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面積為S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵將EG延長交CD于點I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，設(shè)AE＝BF＝CG＝DH＝x，則AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故選：A．3．（2分）（2022春?順平縣期末）意大利著名畫家達?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)左邊圖中空白部分的面積為S1，右邊圖中空白部分的面積為S2，則下列對S1，S2所列等式不正確的是（）A．S1＝a2+b2+2ab B．S2＝c2+ab C．S1＝S2 D．a(chǎn)2+b2＝c2解：由勾股定理得：a2+b2＝c2，由題意得：S1＝S2＝a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab＝c2+ab，故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意，故選：A．4．（2分）（2022春?寧津縣期末）勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，如圖1是由邊長均為1的小正方形和Rt△ABC構(gòu)成，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理，將圖1按圖2所示“嵌入”長方形LMJK，則該長方形的面積為（）A．60 B．100 C．110 D．121解：延長AB交KL于點O，延長AC交LM于點P，如圖所示：則四邊形AOLP是矩形，∴∠BOF＝∠BAC＝90°，∵四邊形BCGF是正方形，∴BC＝BF，∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC（AAS），∴PC＝AB，∴AB+OB＝PC+AC，即OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，邊長AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴長方形LMJK的面積為：10×11＝110，故選：C．5．（2分）（2022春?博興縣期末）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，且（a+b）2＝11，小正方形的面積為3，則大正方形的邊長為（）A．10 B．7 C． D．解：設(shè)大正方形的邊長為c，則c2＝a2+b2，∵（a+b）2＝11，∴a2+2ab+b2＝11①，∵小正方形的面積為3，∴（a﹣b）2＝3，∴a2﹣2ab+b2＝3②，①+②得2a2+2b2＝14，∴a2+b2＝7，∴c＝＝，故選：D．6．（2分）（2022春?高要區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．2解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE＝＝＝8，∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF＝HE＝2，故選：D．7．（2分）（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144解：設(shè)將CA延長到點D，連接BD，根據(jù)題意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴這個風車的外圍周長是37×4＝148．故選：A．8．（2分）（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③解：由題意知，由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝．∴結(jié)論①②③正確，④錯誤．故選：C．9．（2分）（2021春?銅官區(qū)期中）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝4EF，則正方形ABCD的面積為（）A．17S B．13S C．16S D．12S解：設(shè)AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a2+b2，由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝4EF，∴2a＝4b，∴a＝2b，∵正方形EFGH的面積為S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面積＝4a2+b2＝17b2＝17S，故選：A．10．（2分）（2021春?滄縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成大正方形，若小正方形的邊長為3，大正方形邊長為15，則一個直角三角形的周長是（）A．45 B．36 C．25 D．18解：設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為a和b，由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b＝3，根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可知：225＝4×ab+9，所以2ab＝216，根據(jù)勾股定理，得a2+b2＝152，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，因為a+b＞0，所以a+b＝21，所以21+15＝36．所以一個直角三角形的周長是36．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?東莞市期中）把圖1中長和寬分別為6和3的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為9．解：由題意知，小正方形ABCD的面積為（6﹣3）2＝9，故答案為：9．12．（2分）（2022春?閩侯縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，則a+b的值為8．解：∵大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，∴a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，∴4×ab＝34﹣4＝30，∴2ab＝30，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+60＝64，∴a+b＝8．故答案為：8．13．（2分）（2022秋?張店區(qū)期中）勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，如圖1是由邊長均為1的小正方形和Rt△ABC構(gòu)成，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理，將圖1按圖2所示“嵌入”長方形LMJK，則該長方形的面積為110．解：延長AB交KF于點O，延長AC交GM于點P，如圖所示：則四邊形OALP是矩形，∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，邊長AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴長方形KLMJ的面積為10×11＝110，故答案為：110．14．（2分）（2022春?秦皇島期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，則GE＝2．解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE＝＝＝8，∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四邊形EFGH是正方形，∴GE＝HE＝2，故答案為：2．15．（2分）（2021春?涪城區(qū)校級期中）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖示的“數(shù)學風車”，若△BCD的周長是30，則這個風車的外圍周長是76．解：設(shè)“數(shù)學風車”中的四個全等的直角三角形的斜邊長為x，AC＝y(tǒng)，則AD＝AC＝y(tǒng)，CD＝2y，∠ACB＝90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得：x2＝（2y）2+52，∵△BCD的周長是30，∴x+2y+5＝30，∴，解得：，∴“數(shù)學風車”的周長是：（13+6）×4＝76，故答案為：76．16．（2分）（2020春?陽西縣期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，若ab＝8，小正方形的面積為9，則大正方形的邊長為5．解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：ab＝×8＝4，∴大正方形的面積為：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的邊長為5．故答案為：5．17．（2分）（2019春?臨海市期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補”的方法證明了勾股定理．小明受此啟發(fā)，探究后發(fā)現(xiàn)，若將4個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，用等積法也可以證明勾股定理，則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是（用含有a、b、c的式子表示）c2+ab，a2+b2+ab．解：如圖所示：①S＝c2+ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．故答案為：c2+ab，a2+b2+ab．18．（2分）（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為110．解：由題意得，，∴2ab＝50，b﹣a＝，∴a2+b2+2ab＝60+50，∴（a+b）2＝110，故答案為：110．19．（2分）（2021春?鐵西區(qū)期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么ab的值為12．解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴直角三角形的面積是（25﹣1）÷4＝6，又∵直角三角形的面積是ab＝6，∴ab＝12．故答案為：12．20．（2分）（2020春?臨江市校級期末）圖1是我國著名的“趙爽弦圖”，它由四個全等的直角三角形所圍成．將四個直角三角形的較短邊（如AF）向外延長與此邊長相等的長度得到點A'，B'，C'，D'，得到圖2．已知正方形EFGH與正方形A'B'C'D'的面積分別為1cm2和85cm2，則陰影部分的面積為30cm2．解：∵正方形EFGH與正方形A′B′C′D′的面積分別為1cm2和85cm2，∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝，設(shè)四個直角三角形的較短邊為x，則在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由題意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化簡得：2x2+x﹣21＝0，∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍），∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4，∴圖2中陰影部分的面積是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30，故答案為：30．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2021秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．證明：∵兩個全等的直角三角形如圖擺放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用兩種方法求梯形的面積：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化簡得a2+b2＝c2．22．（8分）（2022春?大觀區(qū)校級期中）閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數(shù)學等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化簡證得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步運用】（1）如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝5：9；（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為28；（3）如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風車狀圖案的面積．（4）如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導過程．知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k．解：【初步運用】（1）由題意：b＝2a，c＝a，∴小正方形面積：大正方形面積＝5a2：9a2＝5：9，故答案為：5：9．（2）空白部分的面積為＝52﹣2××4×6＝28．故答案為：28．（3）24÷4＝6，設(shè)AC＝x，依題意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．故該飛鏢狀圖案的面積是24．（4）將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案為：．[遷移運用]結(jié)論：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由題意：大正三角形面積＝三個全等三角形面積+小正三角形面積可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．23．（6分）（2021春?利辛縣期中）如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．證明：∵四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．24．（8分）（2021春?滑縣期末）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c．請你開動腦筋，用它們拼出正方形圖案，要求拼圖時直角三角形紙片不能互相重疊．（1）請你畫出拼成的這個圖形的示意圖；（2）利用（1）中畫出的圖形證明勾股定理．解：（1）（答案不唯一）如圖；（2）證明：∵大正方形的面積可表示為（a+b）2，大正方形的面積也可表示為：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．25．（6分）（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為4，點E、F、M、N分別是正方形紙片四條邊上的點，且AE＝BF＝CM＝DN．（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）把圖1的四個直角三角形剪下來，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形）．若EN＝，求中間小正方形的面積．（1）證明：如圖1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS），∴EN＝NM＝MF＝EF，∠ENA＝∠DMN，∴四邊形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°，∴四邊形EFMN是正方形；（2）解：∵△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF，∴EF＝FM＝MN＝NE，EH＝FG＝MR＝NQ，EQ＝FH＝MG＝NR，如圖2，設(shè)正方形EFMN的邊長EF＝FM＝MN＝NE＝c，EH＝FG＝MR＝NQ＝b，EQ＝FH＝MG＝NR＝a，則小正方形QHGR的邊長QH＝b﹣a，∴小正方形QHGR的面積為（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10，∵正方形ABCD的邊長為4，∴a+b＝4，∴a2+b2+2ab＝16，∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6，∴中間小正方形QHGR的面積為10﹣6＝4．26．（9分）（2021春?蕪湖期中）圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若圖①中大正方形的面積為61，小正方形的面積為1，求（m+n）2；（2）若將圖①中的四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”，求這個風車的外圍周長（圖中實線部分）．解：（1）由題意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，∴2mn＝60，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；（2）由（1）可知，∴，