專項(xiàng)17-勾股定理的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型

勾股定理的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【題型1勾股定理的應(yīng)用（最短路徑問題）】【例1】（肥鄉(xiāng)區(qū)月考）如圖所示，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為55cm，10cm，6cm，點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，那么這只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少？【變式1-1】（長春期末）如圖所示，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從A點(diǎn)爬到【變式1-2】（碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上底面距離為4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長為多少？【變式1-3】（淅川縣期末）如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點(diǎn)M在棱AB上，且AM＝6cm，點(diǎn)N是FG的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程是多少？【題型2勾股定理的應(yīng)用（方位角問題）】【例2】（龍口市期中）甲、乙兩船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以30海里/時(shí)的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°向航行，2小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C，B兩島相距100海里，問乙船的速度是每小時(shí)多少海里？【變式2-1】（孟村縣期末）如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口O出發(fā)，甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行，乙輪船向南偏西45°方向航行．已知它們離開港口O兩小時(shí)后，兩艘輪船相距50海里，求乙輪船平均每小時(shí)航行多少海里？【變式2-2】（鹿邑縣期中）如圖，北部灣誨面有一艘解放軍軍艦正在基地A的正東方向且距A地40海里的B處訓(xùn)練，突然接到基地命令，要該艦前往C島接送一名患病的漁民到基地的醫(yī)院救治．已知C島在基地A的北偏東58°方向且距基地A32海里，在B處的北偏西32°的方向上．軍艦從B處出發(fā)，平均每小時(shí)行駛40海里．問至少需要多長時(shí)間能把患病漁民送到基地？【變式2-3】（灌陽縣期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【題型3勾股定理的應(yīng)用（范圍影響問題）】【例3】（江岸區(qū)校級(jí)月考）國家交通法規(guī)定：汽車在城市街道上行駛速度不得超過60km/h，一輛汽車在解放大道上由西向東行駛，此時(shí)小汽車在A點(diǎn)處，在它的正南方向21m處的B點(diǎn)處有一個(gè)車速檢測儀，過了4s后，測得小汽車距離測速儀75m．這輛小汽車超速了嗎？通過計(jì)算說明理由．【變式3-1】（南川區(qū)期中）為了積極宣傳防疫，南川區(qū)政府采用了移動(dòng)車進(jìn)行廣播，如圖，小明家在南大街這條筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處，小明家到公路MN的距離為600米，假使廣播車P周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，廣播車P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，若小明此時(shí)在家，他是否能聽到？若能，請求出他總共能聽到多長時(shí)間的廣播？【變式3-2】（雁江區(qū)期末）拖拉機(jī)行駛過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？【變式3-3】（內(nèi)江期末）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由A行駛向B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A，B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，海港C剛好受到影響，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，海港C剛好不受影響，即CE＝CF＝250km，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？【題型4勾股定理的應(yīng)用（梯子問題）】【例4】（前郭縣月考）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈8米處（車尾AE到大廈墻面CD），升起云梯到火災(zāi)窗口B．已知云梯AB長17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，問發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？【變式4-1】（玄武區(qū)期末）如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度一樣，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的長度．【變式4-2】（阜寧縣期中）如圖，教學(xué)樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，求教學(xué)樓走廊的寬度．【變式4-3】（惠來縣期末）如圖所示，一架梯子AB斜靠在墻面上，且AB的長為2.5米．（1）若梯子底端離墻角的距離OB為1.5米，求這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.5米到點(diǎn)A'，那么梯子的底端B在水平方向滑動(dòng)的距離BB'為多少米？【題型5勾股定理的應(yīng)用（九章算術(shù)問題）】【例5】（合肥期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作．書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？【變式5-1】（漢陽區(qū)期中）“引葭赴岸”是《九章算術(shù)》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）【變式5-2】（安慶期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的長．【變式5-3】（2020?廬陽區(qū)一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲乙行各幾何”．大意是說，已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？【題型6勾股定理的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（沙坪壩區(qū)期末）如圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作人員告訴小敏，該項(xiàng)目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平臺(tái)的主視圖．小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大膽猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯(cuò)誤，請求出立柱AB段的正確長度．【變式6-1】（寬城區(qū)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計(jì)算加以說明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【變式6-2】（越秀區(qū)校級(jí)期中）八年級(jí)11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度CE，測得如下數(shù)據(jù)：①測得BD的長度為8米：（注：BD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．（1）求風(fēng)箏的高度CE．（2）若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式6-3】（滎陽市期中）隨著疫情的持續(xù)，各地政府儲(chǔ)存了充足的防疫物品．某防疫物品儲(chǔ)藏室的截面是由如圖所示的圖形構(gòu)成的，圖形下面是長方形ABCD，上面是半圓形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一輛裝滿貨物的運(yùn)輸車，其外形高2.3m，寬1.6m，它能通過儲(chǔ)藏室的門嗎？請說明理由．

勾股定理的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型（解析版）【題型1勾股定理的應(yīng)用（最短路徑問題）】【例1】（肥鄉(xiāng)區(qū)月考）如圖所示，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為55cm，10cm，6cm，點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，那么這只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少？【分析】首先把樓梯展開得到平面幾何圖，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得到螞蟻所走的最短路線為AB，則問題是求AB的長，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出AC、BC的長，再利用勾股定理求出AB的長，即可完成解答．【解答】解：如圖所示，將這個(gè)臺(tái)階展開成一個(gè)平面圖形，則螞蟻爬行的最短路程就是線段AB的長．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．所以AB＝73（cm）．因此，螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是73cm．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（長春期末）如圖所示，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從A點(diǎn)爬到【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：AB=12底面周長=12×π×16π=8（所以AP=82+故螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．【變式1-2】（碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上底面距離為4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長為多少？【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EG的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，作A關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交EG于F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF的長，即AF+BF＝A'B＝20cm，延長BG，過A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202則該圓柱底面周長為24cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．【變式1-3】（淅川縣期末）如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點(diǎn)M在棱AB上，且AM＝6cm，點(diǎn)N是FG的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展開圖有三種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【解答】解：如圖1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122如圖2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+10如圖3中，MN=222+6∵20＜2106＜2130∴螞蟻沿長方體表面爬到米粒處的最短距離為20cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵．【題型2勾股定理的應(yīng)用（方位角問題）】【例2】（龍口市期中）甲、乙兩船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以30海里/時(shí)的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°向航行，2小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C，B兩島相距100海里，問乙船的速度是每小時(shí)多少海里？【分析】根據(jù)已知判定∠CAB為直角，根據(jù)路程公式求得AC的長．再根據(jù)勾股定理求得AB的長，從而根據(jù)公式求得其速度．【解答】解：∵甲的速度是30海里/時(shí)，時(shí)間是2小時(shí)，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，∴∠CAB＝90°．∵BC＝100海里，∴AB=10∵乙船也用2小時(shí)，∴乙船的速度是40海里/時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情況，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．【變式2-1】（孟村縣期末）如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口O出發(fā)，甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行，乙輪船向南偏西45°方向航行．已知它們離開港口O兩小時(shí)后，兩艘輪船相距50海里，求乙輪船平均每小時(shí)航行多少海里？【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：∵甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行，乙輪船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/時(shí)的速度向南偏東45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=A∴乙輪船平均每小時(shí)航行30÷2＝15海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡單．【變式2-2】（鹿邑縣期中）如圖，北部灣誨面有一艘解放軍軍艦正在基地A的正東方向且距A地40海里的B處訓(xùn)練，突然接到基地命令，要該艦前往C島接送一名患病的漁民到基地的醫(yī)院救治．已知C島在基地A的北偏東58°方向且距基地A32海里，在B處的北偏西32°的方向上．軍艦從B處出發(fā)，平均每小時(shí)行駛40海里．問至少需要多長時(shí)間能把患病漁民送到基地？【分析】先根據(jù)方向角得出△ACD是直角三角形，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可求BC，則AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到時(shí)間．【解答】解：根據(jù)題意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°，則∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，在Rt△ACB中，BC=A則AC+CB＝32+24＝56（海里），56÷40＝1.4（小時(shí)）．故至少需要1.4小時(shí)長時(shí)間能把患病漁民送到基地．【點(diǎn)評(píng)】考查了方向角，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出AC的長．【變式2-3】（灌陽縣期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出AC，BC的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離．【解答】解：（1）由題意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×660=12（海里），BC∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向?yàn)楸逼珫|67°；（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為：120×3乙巡邏船航行3分鐘的路程為：50×33分鐘后，甲乙兩巡邏船相距為：62【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3勾股定理的應(yīng)用（范圍影響問題）】【例3】（江岸區(qū)校級(jí)月考）國家交通法規(guī)定：汽車在城市街道上行駛速度不得超過60km/h，一輛汽車在解放大道上由西向東行駛，此時(shí)小汽車在A點(diǎn)處，在它的正南方向21m處的B點(diǎn)處有一個(gè)車速檢測儀，過了4s后，測得小汽車距離測速儀75m．這輛小汽車超速了嗎？通過計(jì)算說明理由．【分析】由勾股定理計(jì)算出小汽車4秒行駛的路程，再計(jì)算出速度，比較即可．【解答】解：如圖，AB＝21，BC＝75，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=BC72÷4＝18米/秒＝64.8千米/時(shí)＞60千米/時(shí)，∴超速了．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出AC的長是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（南川區(qū)期中）為了積極宣傳防疫，南川區(qū)政府采用了移動(dòng)車進(jìn)行廣播，如圖，小明家在南大街這條筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處，小明家到公路MN的距離為600米，假使廣播車P周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，廣播車P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，若小明此時(shí)在家，他是否能聽到？若能，請求出他總共能聽到多長時(shí)間的廣播？【分析】根據(jù)小明A到公路MN的距離為600米＜1000米，可以判斷能否聽到；根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到結(jié)論．【解答】解：小明能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為600米＜1000米，∴小明能聽到宣傳；如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始小明聽到廣播，行駛到Q點(diǎn)小明聽不到廣播，則AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=100∴PQ＝1600米，∴小明聽到廣播的時(shí)間為：1600÷250＝6.4（分鐘），∴他總共能聽到6.4分鐘的廣播．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意．【變式3-2】（雁江區(qū)期末）拖拉機(jī)行駛過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．【解答】解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=∵拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．（2）當(dāng)EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時(shí)，正好影響C學(xué)校，∵ED=EC2∴EF＝100（m），∵拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2分鐘．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【變式3-3】（內(nèi)江期末）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由A行駛向B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A，B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，海港C剛好受到影響，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，海港C剛好不受影響，即CE＝CF＝250km，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)；（2）利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：過點(diǎn)C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響；（3）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時(shí)，正好影響C港口，∵ED=EC2∴EF＝140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，∴140÷20＝7（小時(shí)）．答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為7小時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【題型4勾股定理的應(yīng)用（梯子問題）】【例4】（前郭縣月考）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈8米處（車尾AE到大廈墻面CD），升起云梯到火災(zāi)窗口B．已知云梯AB長17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，問發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？【分析】根據(jù)AB和AC的長度，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的長．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根據(jù)勾股定理，得BC=1∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面16.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．【變式4-1】（玄武區(qū)期末）如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度一樣，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的長度．【分析】設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通過解方程即可求得答案．【解答】解：設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由題意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣1）2+42＝x2解得x＝8.5∴AC＝8.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，難度不大．【變式4-2】（阜寧縣期中）如圖，教學(xué)樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，求教學(xué)樓走廊的寬度．【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．答：教學(xué)樓走廊的寬度是2.2米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【變式4-3】（惠來縣期末）如圖所示，一架梯子AB斜靠在墻面上，且AB的長為2.5米．（1）若梯子底端離墻角的距離OB為1.5米，求這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.5米到點(diǎn)A'，那么梯子的底端B在水平方向滑動(dòng)的距離BB'為多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO=A（2）梯子下滑了0.5米即梯子距離地面的高度為OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根據(jù)勾股定理：OB′=A′B所以當(dāng)梯子的頂端下滑0.5米時(shí)，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：當(dāng)梯子的頂端下滑0.5米時(shí)，梯子的底端水平后移了0.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．【題型5勾股定理的應(yīng)用（九章算術(shù)問題）】【例5】（合肥期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作．書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺．利用勾股定理解題即可．【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：原處還有4.55尺高的竹子．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．【變式5-1】（漢陽區(qū)期中）“引葭赴岸”是《九章算術(shù)》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長為10尺，則B'C＝5尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即蘆葦長13尺，水深12尺．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)題意的理解，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想．【變式5-2】（安慶期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的長．【分析】直接利用勾股定理進(jìn)而得出AC的長．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，設(shè)AC＝x，則AB＝10﹣x，∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x=21答：AC的長為215【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出等式方程是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2020?廬陽區(qū)一模）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲乙行各幾何”．大意是說，已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？【分析】設(shè)經(jīng)x秒二人在B處相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙兩人走的步數(shù)．【解答】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在B處相遇，這時(shí)乙共行AB＝3x，甲共行AC+BC＝7x，∵AC＝10，∴BC＝7x﹣10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2+AB2，∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，∴x＝0（舍去）或x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC+BC＝7x＝24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，尤其本題中的文言文更不容易理解．【題型6勾股定理的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（沙坪壩區(qū)期末）如圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作人員告訴小敏，該項(xiàng)目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平臺(tái)的主視圖．小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大膽猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯(cuò)誤，請求出立柱AB段的正確長度．【分析】如答圖，延長FC交AB于點(diǎn)G，則CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，設(shè)BG＝x米，則BC＝（26﹣1﹣x）米，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：不正確；理由：如答圖，延長FC交AB于點(diǎn)G，則CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，設(shè)BG＝x米，則BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想錯(cuò)誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6