函數(shù)的切線問題（解析版）-高考數(shù)學備考復習重點資料歸納

第5講函數(shù)的切線問題

方法總結：

1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率

（切點導數(shù)）與切點，在利用點斜式寫出直線方程

2、若函數(shù)的導函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點4的橫坐標與，因為與可“一點

兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點的縱坐標/（/），代入到導函數(shù)中可得到切線的斜率

/（%）=%,從而一點一斜率，切線即可求。所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，

千方百計的把它求解出來。

3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)

與導函數(shù)中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標（與,％），再考

慮利用條件解出核心要素與.

4、在解析幾何中也學習了求切線的方法,即先設出切線方程，再與一次方程聯(lián)立利用△=（）

求出參數(shù)值進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標系下，所以兩個方法可以

互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解。

若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點在y軸的拋物線，可看作y關于尤的函數(shù)，則在求

切線時可利用導數(shù)進行快速求解.

5.導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：

一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是

曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

典型例題：

例1.（2022?全國?高三專撅練習）一條傾斜角為60的直線與執(zhí)物線丁=4%交于不同的A3

兩點，設弦A3的中點為C.過C作平行于x軸的直線交拋物線于點。，則以。為切點的拋物

線的切線的斜率為（）

A.1B.2石C.石"半

【答案】C

【解析】

【分析】

設弦A8所在直線的方程為y=+4內,凹）,85,％），聯(lián)立方程得黃竺，攣］，

進而得。,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】

設弦所在直線的方程為y=+4（/））鞏知％），

所以聯(lián)立方程/得獷+（2扇一4卜+1=0,

y=\/3x+m'/

所以△=（2x/5m-4）2-12機2=16-166機＞0,解得機＜當

4-2\/3mm2

x.+x2=---，V2=—,

所以y+）”6a+w）+2，〃=呸芒i+2吁怨，

所以點c的坐標為c（智力，竽）

y2=4x

所以聯(lián)立方程｛2用得D

、,II

此時D點在％軸上方，拋物線對應的函數(shù)為y=24，故求導得歹二云,

的切線的斜率為

故選：C

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關系，導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是中檔題.本題

解題的關鍵在于設弦AB所在直線的方程為y=6x+m,進而與拋物線聯(lián)立計算得

“2-鬲25

LT,進一步計算得。最后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解.

例2.（2022?全國?高三專題練習）若經(jīng)過點P（2,8）作曲線y=d的切線，則切線方程為（）

A.12x-y-16=0B.3x-y+2=0

C.12x-y+16=0或3x-y-2=0D.12x-y-16=0或3/-y+2=0

【答案】D

【解析】

【分析】

因為P點在曲線上，所以需要分兩種情況討論，P點為切點和P點不為切點，分別根據(jù)導數(shù)

的幾何意義求解切線方程即可.

【詳解】

①易知P點在曲線y=d上，當尸點為切點時,y=3x2,^=12,12x-j-16=0.

②當P點不是切點時，設切點為人5，%)，由定義可求得切線的斜率為2=34.

YA在曲線上，

**?%=片?

?,?里|=34.

X。-2

:.￡-3%：+4=0,

2

.\(xn+l)(xo-2)=O,

解得%=T或/=2(舍去)，

k=3,

此時切線方程為尹l=3(x+l),

即3x—y+2=0.

故經(jīng)過點P的曲線的切線有兩條，方程為⑵-y-16=0或3x-y+2=0.

故選：D

例3.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)f(x)=e'-〃，直線y=衣+6是曲線y=/(x)的

切線，則2々+8的最大值是()

A.e-\B.-1C.2e-4D.e2-4

【答案】D

【解析】

【分析】

求出導函數(shù)，設切點(，,/”))，寫出切線方程，把46用，表示，得出加+b的表達式，再構

造新函數(shù).利用導數(shù)求得最大值.

【詳解】

由題得尸(力二，-2.設切點

則切線方程為k(--2/)=(，-2心-/)

即y=(，_2)x+e'(lT)

又因為y=or+b是曲線y=f(x)的切線

所以a=d=

貝ij2a+b=T+3e'-/e'.

令g（，）=Y+女’.

則g（）=（2T）d.

則有f>2時,*（，）<0,&0在（2,壯）上遞減；

f<2時，g'（r）〈O,g⑴在（2,欣）上遞增,

所以f=2時，g（。取最大值g（2）=T+M—）=Y+/

即2a+b的最大值為e2-4.

故選：D.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)求函數(shù)的最值.解題關鍵是掌握求切線

方程的方法，設切點為（fJW）,求出切線方程，可把勿+b表示為，的函數(shù)，然后再由導數(shù)

求得最大值.

例4.（2022?全國?高三專題練習）已知曲線y=lnx在A（N，X）,8（孫必），兩點處的切線

分別與曲線y="相切于。（如力），。（%，%），則上也+為必的值為（）

A.1B.2C.-D.—

24

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)相切得到切點的橫坐標滿足的代數(shù)式，據(jù)此構建方程，從而得到兩根的關系，故可得

正確的選項.

【詳解】

由題設有叫,化簡可得?X_1即1=%+1-xln)=-lnXj,

—司一“3%

JV+]X4-1

整理得到ln、=」-彳，同理皿乙=±-7,不妨設

百一IXj-I

x+l2

令y=Inx-----=lnx-1-----,

x-1x-l

因為當x?0,l）時，y=\nx,y=----；均為增函數(shù)，故y=lnx----；為增函數(shù),

x-lx-\

同理當時，故y=lnx-1為增函數(shù)，

故怎/2分別為y=lnx—-在（0,1）、（1,位）上的唯一解，

X—1

I,1,

—+1—+1

『111X%+1.1I%

又In—=-ln*，T-=一一^―,故In—二-j1—,

百±-1百7K1-1

X芭

故，為y=lnx-空在（1收）的解，故即中2=1.

XX-1%

所以+=為々+*"‘=為9+----=2,

中2

故選：B.

【點睛】

用導數(shù)求切線方程常見類型：

⑴在P（%o，y。）出的切線：P"。，%）為切點，直接寫出切線方程：y-y）=r*o）（x-/）；

（2）過P（%,九）出的切線：P*。,%）不是切點，先設切點，聯(lián)”方程組，求出切點坐標區(qū),凹）,

再寫出切線方程：y-M=ra）a-z）.

例5.（2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（理））若函數(shù)f（x）=x-l+aei（。

為常數(shù)）存在兩條均過原點的切線，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（。'1）B.Q,+8）C.（0,e）D.（e,+<?）

【答案】B

【解析】

【分析】

設切點坐標［0，小-1+的收），利用兩點連線斜率公式和導數(shù)的幾何意義表示出切線斜率，

從而可得。=三，4工-1,將問題轉化為y=。與g（?=￡,XH-1，存在兩個不同的

交點；通過導數(shù)研究g（x）的圖象，從而得到所求范圍.

【詳解】

由題意得了‘（力=1一四J

設切點坐標為：（*,幣T+aJ』），

則過原點的切線斜率：&二"+"""=1-?

不

整理得：?天工-1

%+1

局-1

,「存在兩條過原點的切線，.??。二一;，玉XT,存在兩個不同解,

。+1

設g(x)=Q_,X^-l,則問題等價于^=〃與)，=鼠”存在兩個不同的交點

X+1

，/、ex-l(x+\)-ex~'x~l

又g3=/v-=xe

x+1)-I

二當xw(-oo,0)時，g[x)vO,g(x)單調遞減;

當x?0,2)時,g[x)<0,g(x)單調遞增,

解得：aeg，+8)

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查根據(jù)方程解的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠將問題轉化為平

行于彳軸的直線與曲線的交點個數(shù)問題，通過導數(shù)研究曲線的圖象，通過數(shù)形結合的方式來

確定交點個數(shù)，從而得到參數(shù)范圍.

例6.(2022?全國?高三專題練習)已知曲線)，=-在點(Nd)處的切線與曲線)，=lnx在點

a，lnw)處的切線相同,則(x+l)(w—l)=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

分別表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進行代換即可.

【詳解】

已知曲線y=，在點（冷"）處的切線方程為y—e"二爐（不一%），即y=-5-/K+人，

曲線y=lnx在點（w，lnw）處的切線方程為廣所占=’（工一占），即產；工一1+1門2,

X2X2

1

ex1=—i1

xx

由題意得,x?,得當二戶，e'-e'x{=-l+lnx2=-l+ln—=-l-x）,則

x,x

e-e'xl=-\+\nx2

*二巖又◎=!?所以占二鋁?所以蒼T=￡1-1=言，所以（％+1）&一1）二一2.

X—ICA|°r1、十I七十I

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進行代換，在代換過程中要

盡量去消去指數(shù)和對數(shù)，朝目標化簡.

例7.（2022.全國?高三專題練習（理））若函數(shù)f（x）=lnx-cx+；x2存在垂直于），軸的切線，

[log,A：,X>0__

又g（力=<x+（a+b）3X40，且有⑴]=1，則4+8+c的最小值為（）

A.1B.yfl

C.V2+1D.3

【答案】D

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義結合基本不等式可求得。的最小值，利用g[g（l）]=l可求得a+b的值,

由此可求得a+"c的最小值.

【詳解】

由題意，函數(shù)"力的定義域為（0.y），且r（x）,-c+x,

因為函數(shù)/（力存在垂直于y軸的力線，

所以存在%>o,使得r（M）='-c+xo=o成立，

所。=/+,之2兒-"!~=2,當且僅當毛=',即為=1時，等號成立，

%丫X。/

又8口6］=8（1%1）=8（。）=（。+6）3=1,所以a+b=l,

則a+b+c=l+cN1+2=3.

故選：D.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等““一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，

則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

例8.（2022?全國?高三專題練習）若曲線y=；sin2x+冬os?%在A（wy），研程為）兩點

處的切線互相垂直，則歸-到的最小值為（）

A.-B.-C.—D.乃

323

【答案】B

【解析】

化簡可得y=；sin（2x+?）+手，求出導數(shù)可得切線斜率在［-U］范圍內，即可得出切線斜

率必須一個是1,一個是-1,即可求出.

【詳解】

17521?o,V5l+cos2x1.（-J3

y=—sinzjrH---cosx=—sin2j+——x--------=—sin2x+—+——,

42422213）4

/.y，=cos（2x+?）

???曲線的切線斜率在JU］范圍內，

又曲線在兩點處的切線互相垂直，

故在A（x，yJ,B（蒼,必）兩點處的切線斜率必須一個是1，一個是/.

不妨設在A點處切線的斜率為1,

則有2氏+y=2kl兀*\eZ）,2X2+y=2k/+兀（k?eZ）,

則可得看=（占一七）九一/=&乃一a&eZ）,

所以歸一.

故選：B.

【點睛】

關鍵點睛：解題的關鍵是利用導數(shù)得出切線斜率在LU]范圍內，從而根據(jù)垂直得出斜率必

須一個是1，一個是-1.

過關練習：

1.(2022?四川省南充高級中學高三階段練習(文))若過點(孫〃)可以作曲線產"伍>0且

。01)的兩條切線，則()

A.logrtn<mB.logrtn>tn

C.Iogu7i=/nD.log,小與小的大小關系與。有關

【答案】D

【解析】

【分析】

設切點為：寫出切線方程，根據(jù)點。幾〃)在切線上，得到

小(皿〃?玉一加如〃7-1)+〃=0,根據(jù)過點(孫〃)可以作曲線y="(a>0且"1)的兩條切線,

由方程有兩個不同的根求解.

【詳解】

設切點為：(/,a"),

則y'=?Ina,

所以切線方程為'一。"=a“l(fā)na(/—%),

因為點(加,〃)在切線上，

所以〃一a"=a"Ina(m-M),

即a*(Ina?拓一lna〃?-1)+九=0,

令g(x)=ax[\nax-\nant-l)+n,

則g'(x)=aTlna(ln4x-lna〃。，

令g'(x)=0,得x=m,

當時，/(x)<0,當x>打時，g'(x)>0,

所以當x=加時，g(x)取得極小值gW)=Y"+〃，

因為過點(團,〃)可以作曲線y="9>0且。。1)的兩條切線，

所以一4'”+〃<0，即

所以log“〃與機的大小關系與。有關，

故選：D

2.(2022?河南濮陽?高三開學考試(理))已知函數(shù)f(x)=f+奴-31nM〃wR)，有下列結

論：

①VaeRJ%)在(0,y)上都是增函數(shù)；

②若4=0,則這21；

x

③若4=1,貝iJ/(x)N2；

④若則曲線y=/(x)上不存在相異兩點M,N處的切線互相平行.

其中所有正確結論的序號是()

A.①④B.③C.?@D.@??

【答案】C

【解析】

【分析】

①求人%)導數(shù)為尸(力=2*二優(yōu)一3,討論2/+如一3的正負來判斷人工)單調性；

②代入〃=0,忠用=>>?_”31nx0,判斷g(x)=fT-3hu的最小值是否恒大于或等

X

于零；

③代入4=1，根據(jù)尸3=("7)："3)正負判斷9)單調性,求其最小值即可；

④r@)=2c-3,研究廣(力的導數(shù)判斷其單調性即可.

【詳解】

?f(x)=2x+a-^=2x'+^-->x>0

令/'(力=0,即2/+雙-3=0,???△口2+24>0,?,?方程有兩個不等實數(shù)根，設為林土，

V^=-1<0,故兩根異號，即方程必有一個正根，不妨設該正根為々，

則在(O，W)J'(x)<OJ(x)遞減，在(w，y)j'(x)>oj(x)遞增，即段)在(0,y)不單調,

故①錯誤；

②。=0,/(工)=丁-3111￥,x>0,

§鹿二小)-10=>x2-x-31nV?0,

令g(x)=V-x—31nx,則g(x)mg..O.

g，(x)=(2x-?x+l),g(x)在(o,1)單調遞減，在(T，+8)單調遞增，故

g*)mm=g(￡|=3(}Tn|)<(),故②錯誤；

③a=L/(x)=x2+x-31nx,r(x)=(±-1)(：工+3)

故7(x)在(0,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增，故/(幻1nhi="1)=2.

故③正確；

④八力=2廣+公-3,%>0,令人(幻=((耳，則力，(x)=2+3>o,

XX

???/'(力是公>0時的單調遞增函數(shù)，

故外)不存在兩個相等的導數(shù)值，即不存在相異的兩點切線平行.故④正確.

故選：C.

【點睛】

本題的關鍵點是熟練的運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，熟練掌握利用單調性求函數(shù)的最值.

3.(2022?江西贛州?高三期末(理))曲線在.]處的切線與坐標軸圍成的面積

為()

A.-B.gC.-D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

由導數(shù)的幾何意義求丫=1?2+/在工=1處的切線方程，求出切線與/軸的交點及工=1與曲

線的交點，即可求面積.

【詳解】

由題設，yf=2e2x-2+2x,則川門產4,而>0=2,

工在#=1處的切線為y_2=?xT),即4x-y-2=0,

???切線與x軸交點為(；,0),

???切線、坐標軸、x=l所圍成的面積為:X2X(1-!)=[.

222

故選：B.

4.（2022?安徽黃山?一模（理））已知/（力=〃2'-",曲線），=/（同在不同的三點（.%〃內））,

（毛，〃七）），（WJ（W））處的切線均平行于x軸，則〃?的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由r（x）=〃2—6f=0得m="，令g（x）=",求導分析單調性與極值，依題意得

ee

機=”有三個不同解，即可求解.

e

【詳解】

6x2

由7(x)=,M—6/=0得in=--

ex

令g(%)="，則g，(x)⑵一6/

e-?-

當x<0或x>2時g'（x）<0,當0<xv2時g'（x）>0,

所以g（x）在（一⑼和（2,+8）上單調遞減，在（0,2）上單調遞增，

且g（0）=0,g（2）W

因為曲線y=f（x）在不同的三點（xJ（x））,（牛/仁）），（孫/（巧））處的切線均平行于x

軸

所以機=各有三個不同解，故相

故選：D

5.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三期末）已知函數(shù)啟）=/+紗2—力的圖象在點A（l,川））處的切線方

程為丁=4工一3,則函數(shù)y=Rr）的極大值為（）

A.IB.--C.D.-1

2727

【答案】A

【解析】

【分析】

求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得a的值，再根據(jù)導數(shù)的正負判斷極值點，求得極大值.

【詳解】

由由題意得八%）=3爐+2公-1,

故廣⑴=3+2。-1=4,則a=l,

所以/（X）=3X2+2X-1,令/（x）=3f+2X-1=0,

則內=-1,W=g，

當xv—I或時，r（x）<0；當—l<x<g時，7"）>0,

故函數(shù)/⑴在l=-1時取得極大值為/（T）=T+I+I=I,

故選：A.

6.（2022?浙江?溫州中學高三期末）如圖，函數(shù)=d的圖象「上任取一點叫加工0,

過點A作其切線上交「于點4,過點8作其切線上交「于點C,過點C作其切線L交L

于點。，則篇AD\的取值（）

A.與根有關，且存在最大值B.與加有關，且存在最小值

C.與m有關，但無最值D.與機無關，為定值

【答案】D

【解析】

【分析】

先證明一個結論：函數(shù)/（力=加+加+5+4。W0）的圖象「上任取一點P（"w）,

過點尸作其切線4交于點4&,y）,過點尸作4交「于另兩個點鞏盯B），0（w，%），則

勺+當=2王；利用該結論即可求出反C的橫坐標關于，〃的表達式，進而求出直線A8與。

的方程，聯(lián)立直線43與8的方程，即可求出點。的橫坐標，再根據(jù)黑=上區(qū)，即

可求出結果.

【詳解】

先證函數(shù)/（力=/+而+以+d（a#o）的圖象「上任取.點加工一卷

過點尸作其切線4交于點A&,%）,過點尸作4交「于另兩個點見孫力），。（%％），則

X2+Xy=2%.

vcuc^+bx*"+ex+d

證明:設過點尸（北同的直線為），=可工-加）+〃，聯(lián)立得：;；二及（工_間+〃，得方程

ax,+加+(c-A)x+d+h〃一〃=0.(*)

則方程(*)必有一根x=〃J于是方程(*)可改寫為。(%-回任+5X+7)=0,(**),其中

S,TeR,

當赫與「相切于A點時，方程(**)有重根％=韋達定理知2%二-S；

當8C與相交「于AC點時，方程(**)有另兩個根“=冷"=為，

韋達定理知W+Q=-5.

故再+丹=2%.

由于函數(shù)/(力=丁的圖象「關于原點(0,0)對稱，

設8k2團)，連結OB,交「于另一點8',由對稱性，則&(ft)由上述結論，則

,所以％=

-x2+0=2m-2m；

3

設C(x3,x3)，連結0C交「于另一點C由對稱性,則C(-x,,x/),由上述結論,則F+。=2/,

所以茁=46.

于是直線43為y=3/n2(x-zw)+，直線c￡)為y=48nr(x-4m)+64加，

25

y=3/n(x-m)+m42/n

聯(lián)立得：,解得與

y=48m2(x—4m)+64m*

42

—m-tn

所以四二上315_____r3故\扁AD\的取值與“無關，為定叼3

所以|明一

3m

故選：D.

7.(2022?內蒙古通遼?高三期末(文))若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象

在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f(力具有「性質.下列四個函數(shù)中，具有「性質的所

有函數(shù)的序號為()

?y=sin2x,②y二tanx,@y=----,xe(-2,+oo),@y=ec-lnx

x+2

A.①③B.①④C.?@?D.???

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知其導函數(shù)上存在兩點的導函數(shù)值乘積為-1;對?每一個函數(shù)進行求導，逐個判

斷即可.

【詳解】

y=sii?x=lC；s2%=33cos2x,所以y'=sin2xe[-l,l],其導函數(shù)上存在兩點的導函數(shù)

值乘積為T,即這兩點處的切線互相垂直，滿足條件；

J=tanx,所以）,，=□—>（）恒成立，不滿足條件；

COS-X

,XG(-2,1)

，XG(-2,+OO),所以y'=<,其導函數(shù)上存在兩點的導函數(shù)值

乘積為T,即這兩點處的切線互相垂直，滿足條件；

y=er-lnx,所以y'=e，-L函數(shù)曠=一一工單調遞增，且了,=<^-3<-1,

xx\=3

其導函數(shù)上存在兩點的導函數(shù)值的乘積為T,即這兩點處的切線互相垂直,

滿足條件.

故選：C.

8.（2022?湖南永州?二模）若函數(shù)），="與y=lnx存在兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍是

2e，+0°

【答案】D

【解析】

【分析】

設切線與曲線y=lnx相切于點（川n，），利用導數(shù)寫出曲線y=lnx在點（f』nr）處的切線方程,

將切線方程與函數(shù)y=ad的解析式聯(lián)立，由△=（）可得出直線），=；與曲線8。）=/-產]四

有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)g⑺的單調性與極值，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)。的不等式,

由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設切線與曲線y=lnx相切于點（內皿），對函數(shù)y=lnx求導得了=,，

所以，曲線y=lnx在點處的切線方程為y-lnf=#T),即)，=；x+hw-l,

y=以”

聯(lián)立1可得ar2一一x+1-lnr=0,

y=-x+lnr-lt

由題意可得。工0且△=5—44(lTn/)=0,可得5二/一『1四，

令g(，)="一/hn,其中r>0,則g'(E)=2r_(2flnf+f)=f(l_2hv).

當0</<五時，g'⑺>0,此時函數(shù)g(。單調遞增，

當空加時，g'(f)<0,此時函數(shù)g(t)單調遞減，所以，gS2=g(6)=，

且當0<rve時，g(r)>o,當，>e時，g(r)<0,如下圖所示：

9.(2022?全國?高三專題練習)設拋物線f=2〃)，(尸>0),M為直線y=-2〃上任意一點,

過M引拋物線的切線，切點分別為A,B,A,B,M的橫坐標分別為X.,XR,"則

()

A.XA+X—X”B.XA?X"=X：

1I2

C.—+-iF=T—D.以上都不對

AAARAM

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導數(shù)求出切線斜率，寫出切線方程，消去了,聯(lián)立方程組即可得解.

【詳解】

由f=2py得)，=*,得y=j

2pP

XY

所以直線MA的方程為y+2p=；(“-XM),直線MR的方程為y+2p=藍(1-九)，

V2YY2Y

所以，-^r-+2p=—~(X-X)(1),*^-+2〃=―^(Xs-X”)②

2PpAM2Pp

由①、②得2XM=X/X”

故選：A

10.(2022?全國?高三專題練習)若過點(。,切可以作曲線y=lnx的兩條切線，則()

A.a<In/?B.b<\naC.\nb<aD.\na<b

【答案】D

【解析】

【分析】

設切點坐標為(與，%),由切點坐標求出切線方程，代入坐標(。，3,關于X。的方程有兩個不

同的實數(shù)解，變形后轉化為直線與函數(shù)(構造新函數(shù))圖象有兩個交點，由導數(shù)確定函數(shù)的

性質后可得.

【詳解】

設切點坐標為(%,%),由于>'=4，

X

因此切線方程為丁-皿毛='。一工0),又切線過點3")，

%

貝ij力一In/=———,/>+l=lnx0+—,

兩拓

設/(x)=lnx+g,函數(shù)定義域是。內)，

X

則直線y=b+l與曲線f(x)=lnx-g有兩個不同的交點，

x

當aKO時，/'a)>0恒成立，〃力在定義域內單調遞增，不合題意；

當。>0時.，0<xva時./V)<o,"X)單調遞減，

工>。時，r(x)>0,/(X)單調遞增，所以/(4)2=/(。)=1奴+1,

由題意知6+1>lna+1,即b>lna.

故選：D.

11.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=-V+3x,P為曲線產f(x)在點(2/(2))

處的切線上的一個動點，。為圓C:（x-3）2+（yT）2=W上的一個動點，則|P0的最小值為

.8x/82D7屈「6屈八5>/82

41414141

【答案】D

【解析】

【分析】

利用導數(shù)求得曲線y=f（x）在點（2J（2））處的切線方程，求得圓C的圓心到切線的距離，

由此求得歸。的最小值.

【詳解】

因為“力=一爐+3”,所以〃2）=-2,r（x）=-3x2+3,r（2）=-9,

所以曲線y=F（x）在點（2J（2））處的切線方程為y+2=—9（x—2）,即9r+y-16=0.

網(wǎng)C的圓心坐標為（3,1）,故圓心到直線9x+y-16=0的距離為|9X：："16|=J￡二尊,

V92+lV8241

所以|PQ|的最小值為嚕-暮=蜜.

故選：D

12.（2022?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（力的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確

的是（）

A.-3是“力的極小值點B.T是/（"的極小值點

C.”力在區(qū)間（9,3）上單調遞減D.曲線y=/（x）在x=2處的切線斜率小于零

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)導函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調性，結合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據(jù)導數(shù)的定

義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.

【詳解】

由圖象知，當xv—3或x>3時，/(力>0,4X)單調遞增，

當-3vxv3時，/'(力<0,”6單調遞減，

所以f(x)在區(qū)間(-co,-3),(3,y)內單調遞增，在區(qū)間(-3,3)內單調遞減，

-3是/(x)的極大值點，3是/(X)的極小值點，故ABC錯誤；

又因為廣(2)<0,所以曲線y=/(x)在x=2處切線斜率小于零，故D正確.

故選：D.

13.(2022?全國?高三專題練習)已知f(x)=*lnx,若過一點(叫〃)可以作出該函數(shù)的兩條

切線，則下列選項一定成立的是()

2門

A.n<m\nmB.n>m\nmC.—e<w<0D.m<\

e

【答案】A

【解析】

【分析】

設切點為(fjlnf),求得切線方程為y=(lnr+l)x-r,可得出r-Hni〃一加=0,令

g(t)=t-rn\nt+n-m,分機40、〃?>0兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)g(。的單調性,

根據(jù)方程g("=0有兩根可得出結果.

【詳解】

設切點為(Ulm),對函數(shù)/(力求導得f'(x)=lnx+l,則切線斜率為r?)=lnf+l,

所以，切線方程為y-"nf=(lnf+l)(xT),即y=(lnr+l)x-r,

所以，n=m(\nt+l)-t,可得t-mlnf+〃一/〃=0,

令g(，)=，T〃lnr+〃-加，其中z>0,由題意可知，方程g(，)=0有兩個不等的實根.

g0)=「7=丁.

①當mwo時，對任意的co,g'(，)>o,此時函數(shù)g(。在(o,+8)上單調遞增，

則方程g(/)=o至多只有一個根，不合乎題意；

②當m>0時，當Ovrvm時，g'，)<0,此時函數(shù)g(f)單調遞減，

當加時,/(/)>0,此時函數(shù)g(f)單調遞增.

由題意可得gthn=8(，〃)=〃?一松ln〃?+〃-〃?=〃一相l(xiāng)n〃7Vo,可得

故選：A.

14.(2022?浙江?高三專題練習)若直線上=。與兩曲線y=/,〉=1必分別交于A5兩點，且

曲線)，=e'在點A處的切線為陽，曲線y=lnx在點日處的切線為〃，則下列結論：

03ae（0,+a＞）,使得相〃〃：②當“〃〃時，|4卻取得最小值;

③|四|的最小值為2；④|A回最小值小丁!■.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用導數(shù)求得血〃兩條切線方程，令=，可知故存在零點,

①正確；\AB\=ea-\na,通過求導討論單調性可知|人回有最小值，進而可以判斷最小值范

圍，可以判斷②正確，③錯誤，④正確.

【詳解】

解：由直線x=〃與兩曲線丫=9,/=1四分別交于A8兩點可知：。＞0

曲線y=e，上A點坐標（4產），可求導數(shù)y'=e',則切線〃?斜率匕可知切線加：

y-ea=ea(x-a).

曲線、二山［：3點坐標（《皿々），可求導數(shù)y=g,則切線〃斜率匕=

令心二%，則e“=L令g(x)=d—,(x>0),g出=%-2<0,g(l)=e-l>0,

g，l)使g(x)=O，BP3ae(0,-h?),使即m//〃，故①正確.

由零點存在定理，3ae

\AB\=ea-Ina,令人(a)=e"-lna(a>0),「."(a)=e"-5,由g(x)同理可知有&

人1力'(4)>0=4>/

使e=一,令，??/（a）在處取最小值，即當根〃〃時，|AB|取

%h，(a)<O=>O<a<ao

得最小值，故②正確.

AB

\\min=*Tn/；*=上，a0=ln-=-lna^:.\AB\m，n=工+%是對勾函數(shù)，在

aoaoao

%4,1）上是減函數(shù)，.?.|聞—|+14+1=/疝?42?），故③錯誤，④正確.

＜2＞

故選：C

15.（2022?全國?高三專題練習）過曲線C：y=lnx上一點AQ0）作斜率為4（0＜左＜1）的直

線，該直線與曲線。的另一交點為尸，曲線。在點P處的切線交y軸于點M若..APN的面

3

積為41112—2，貝iJXr=()

2

121

A.—In2B.—In2C.—In2D.In2

332

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，結合三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】

設P(為,lnXo),y=lnx=>/=-,^=—,

x%

切線方程為：y-lnx0=—(x-x0),令x=0,y=\nxQ-ifAN(O,lnxo-1),

S&oN=^l(lnA0-l)=ilnx0-^.

過P作x軸的垂線，垂足為M,

S△PMA=/，(E%)(/T)=-^(lnx0--ln%

梯形PNOM面積S=：011入0-1+11)/>%=/lnxo-

,「3,11,1.

41n2-5=%In%一耳鼻一

3111

即41n2-5=5/111工0-耳鼻+耳,/.41n4=x0InA0-+4,

顯然%=4是該方程的一個根，設g(x)=xlnx-x+4-41n4=>g'(x)=lnx,

由題意可知：x>l,所以g(x)>0,此時函數(shù)單調遞增，

故方程4In4=%In%-％+4有唯一實根,

In42,r

即「(4』n4),:?k=一=-ln2

33

故選：B

關鍵點睛：利用梯形面積建立等式是解題的關鍵.

16.(2022.新疆.烏市八中高三階段練習(理))已知曲線y=lnx在％處的切線經(jīng)過點

(-1,0),則小的人致范圍是()(參考數(shù)據(jù)：e?2.718,e2?7.389)

A.(2,e)B.(e,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】C

【解析】

【分析】

由導數(shù)得幾何意義結合零點的存在性定理即可求解

【詳解】

X

???曲線y=lnx在％=/處的切線方程是y7nxo='.(x-%),

由切線經(jīng)過點(-L0)，得'-In/+1=0.

玉)

令g(x)=(Tnx+l,顯然g(x)單調遞減,

4Ine4-In27In72-In27八

???g(3)=--ln3=>--------------->0

33

小5?/Ine5-In256ln35-ln256八

g(f4=一--<——

???毛的大致范圍是(3,4).

故選：C

17.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線。：犬=20，(〃>0)的焦點到準線的距離為2,點

“(%，%)，%(々,必)在拋物線C上，過點“，N作拋物線C的切線七％其中4U，4，

4不與坐標軸垂直，直線4,，2交于點L，若直線MV過點(0,1),則當?shù)拿娣e最小時,

x1+x2=()

A.±-B.±1C.0D.±-

42

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知條件求出〃=2,設直線MN的方程為了=丘+1,與f=4y聯(lián)立可得百+勺=軟，

百9=-4,由導數(shù)的幾何意義求出兩條切線的方程，由兩切線方程求出點L的坐標，利用點

到直線的距離公式求出aLMN的高，由弦長公式求出|MN|,計算的面積結合函數(shù)的

性質求出面積的最小值即可求解.

【詳解】

因為拋物線C.xi2=2〃y(p>0)的焦點到準線的距離為2,所以〃=2,

因為直線MN過點(0,1),設直線MN的方程為丁="+1,

\y=kx+\

由<2可得/一4右一4=0,所以$+々=4女，人徑=-4,

1/=44y

由f=4y可得丁=：/，所以/=：x,

42

2

所以在點M(5,y)處的切線方程為：y-y=^x1(x-xl)BPj-^-x,=^x1(x-x1),

所以』.一，

同理可得在點N(z，%)處的切線方程為：y=^2x-^x/f

112

y^-xcx--Xl

由，iI2可得:2k,

2

y=-x.-x——x/

24

所以點￡的坐標為（2太-1）,

所以點L（2k,-1）到直線MN：丘-y+1=0的距離d==2護不，

\MN\=VF+i|x,-x,|=〃2+1］（耳+%2）2-4K『=V^2+IV16A2+16=4（Z:2+1）,

所以"MN的面積為S=g|MNM=；x4H2+l）x2jF：T=4（k2+iF，

所以當k=0時，LMN的面積最小，此時％+工2=°，

故選：c