2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖象（九大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第06講函數(shù)的圖象

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:掌握基本初等函數(shù)的圖像..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:函數(shù)圖像作法.........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識(shí)圖）1...........................6

題型二：由圖象選表達(dá)式........................................................................7

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題................................................................9

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題.......................................................................12

題型五：函數(shù)圖象的變換.......................................................................14

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值...................................................15

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式...............................................................15

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題...........................................................16

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).........................................................17

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................20

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................21

易錯(cuò)點(diǎn)：圖像的變換問題.......................................................................21

答題模板：圖像的變換問題.....................................................................22

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點(diǎn)之

2024年全國甲卷第7題，5分一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.高考中總以一

2024年I卷第7題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

(1)函數(shù)圖像的識(shí)別

2023年天津卷第4題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎(chǔ)來考

(2)函數(shù)圖像的應(yīng)用

2022年天津卷第3題，5分查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查

(3)函數(shù)圖像的變換

2022年全國乙卷第8題，5分的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

2022年全國甲卷第5題，5分及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個(gè)數(shù)，屬于每年

必考內(nèi)容之一.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

(2)會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.

(3)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

老占突硒?力理慳宙

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:掌握基本初等函數(shù)的圖像

(1)一次函數(shù)；(2)二次函數(shù)；(3)反比例函數(shù)；(4)指數(shù)函數(shù)；(5)對(duì)數(shù)函數(shù)；(6)三角函數(shù).

【診斷自測(cè)】函數(shù)〃x)=7捻亍的圖象是下列的()

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)圖像作法

1>直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性(或其他對(duì)稱性)、單調(diào)性、周期性、凹凸性;

④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線(對(duì)稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向左平移。個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=/(x-a)(a>0)的圖像是把函數(shù)、=f(x)的圖像沿x軸向右平移。個(gè)單位得到的；

③函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)y=的圖像沿y軸向上平移。個(gè)單位得到的；

④函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿y軸向下平移。個(gè)單位得到的；

(2)對(duì)稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-.r)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；

②若函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或/(x)=f(2a-x)(實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

為0,即(”-x)+(a+x)=q為常數(shù));

2

若函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

/(x)=2b—f(2a—x)或—x)=2b—f{a+x)

③y=|/(?|的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱翻

折上來得到的(如圖(a)和圖(6))所示

④y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

得到函數(shù)》=/(國)左邊的圖像即函數(shù)y=〃國)是一個(gè)偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：|/(砌的圖像先保留原來在X軸上方的圖像，做出X軸下方的圖像關(guān)于X軸對(duì)稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而國)的圖像是先保留在'軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做出

y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)y=與y=/(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.

(3)伸縮變換

①y=4/'(x)(A>0)的圖像，可將>=/(龍)的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(4>1)或縮短(0<A<1)到

原來的A倍得到.

@y=/(twx)((y>0)的圖像，可將y=f(x)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<。<1)或縮短(0>1)到

原來的1倍得到.

【診斷自測(cè)】若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=〃x-l)與y=〃lr)的圖象關(guān)于()

A.直線x=0對(duì)稱B.直線丁=。對(duì)稱

C.直線光=1對(duì)稱D.直線y=l對(duì)稱

解題方法總結(jié)

(1)若/(機(jī)+兀)=/(m-4)恒成立，則丁=/(九)的圖像關(guān)于直線無二加對(duì)稱.

(2)設(shè)函數(shù)＞=/(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=/(x-m)與y=(m＞0)的圖象關(guān)于直線

工二加對(duì)稱.

(3)若/(〃+%)=/(。-％),對(duì)任意xwR恒成立，則y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=巴心對(duì)稱.

2

(4)函數(shù)y=/(a+無)與函數(shù)y=/3-力的圖象關(guān)于直線天=巴也對(duì)稱.

2

(5)函數(shù)y=〃x)與函數(shù)y=/(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(6)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)＞=23-/(2。-尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(°,6)中心對(duì)稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

題型一：由解析式選圖(識(shí)圖)

\dlllA

【典例1-1】(2024?安徽淮北.二模)函數(shù)/(X)=K二的大致圖像為()

【典例1-2】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=xcosx-sinx的部分圖象大致為()

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1］（2024.天津.二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/（6=當(dāng)以的圖象大致為（）

題型二：由圖象選表達(dá)式

【典例2-1】（2024?安徽馬鞍山.三模）已知函數(shù)y=/（x）的大致圖象如圖所示，則y=/（x）的解析式

可能為（）

B.

9X+1

D，*）（/+1）］口（國+2）

【典例2?2】（2024.寧夏固原?一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則〃力的解析式可能為

ex-e~x

D-""I

【方法技巧］

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對(duì)稱性；

3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢(shì)；

5、從特殊點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

【變式2-1］（2024.天津.二模）函數(shù)/（力的圖象如圖所示，則“力的解析式可能為（）

A?小/、In"lxl

B./(x)=—

x2

丫2―1

C./(x)=丁D.

【變式2-2］（2024.湖南.二模）已知函數(shù)〃力的部分圖象如圖所示，則函數(shù)“X）的解析式可能為

2x2

B.〃x)=_

x|+l

仁"謂2國

D.f(x)=-

【變式2-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則/"）的解析式可能為（）

“、xsinxxsinx+x

B.=C./(x)

\x\+l|x|+l

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題

【典例3-1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=x“（無＞0）,a為實(shí)數(shù)，/（%）的導(dǎo)函數(shù)為了’（尤），

在同一直角坐標(biāo)系中，/a）與/‘（X）的大致圖象不可能是（）

【典例3-2】（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=a（x+l）"（x-l）"（其中〃z+〃>0,。#0）

C.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根據(jù)參數(shù)的不同情況對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，推斷出合理的圖像位置關(guān)系，排除相互矛盾的位置關(guān)系,

以得出正確選項(xiàng).

【變式3-1］（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數(shù)=d-1（meR）的圖象可能是（）

【變式3-2］（多選題）函數(shù)=的大致圖象可能是（）

【變式3-3］（多選題）（2024福建泉州.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/。）=皿1+燈-無皿1-x）的大致圖像可能為

【變式3-4］（多選題）函數(shù)〃x）=)

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

【典例4-1】如圖，長方形,8的邊45=2,BC=1,。是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA

運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x.將動(dòng)點(diǎn)尸到AB兩點(diǎn)距離之和表示為X的函數(shù)/J）,則y=/（x）的圖像大致為（）

【典例4-21（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)尸在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是8的中點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)P沿A-3-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸經(jīng)過的路程》與的面積》的函數(shù)y=/（尤）的圖象的形狀大致是

（）

E.均不是

【方法技巧】

（1）從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

（2）從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);

（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

【變式4-1］（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線/在初始位置與等邊ABC的底邊重合，之后/開始在

平面上按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過60。），它掃過的三角形內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間

/的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）

C

【變式4-2］（2024.山東?二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)尸在邊長為1的正方形的邊上沿

AfBfCfO運(yùn)動(dòng)，》表示動(dòng)點(diǎn)尸由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，，表示的面積，則函數(shù)y=/（x）的

A.B.

題型五：函數(shù)圖象的變換

【典例5?1】(2024.北京西城.二模)將函數(shù)/(x)=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象再關(guān)

于丁軸對(duì)稱，得到函數(shù)稱J的圖象,則g(%)=()

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

【典例5-2】(2024?遼寧?三模)已知對(duì)數(shù)函數(shù)"x)=log,x,函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,

橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象恰好

與函數(shù)/a)的圖象重合，貝門的值是()

A.-B.-C.3D.石

233

【方法技巧】

熟悉函數(shù)三種變換：(1)平移變換；(2)對(duì)稱變換；(3)伸縮變換.

【變式5-1](2024.江西贛州?二模)己知函數(shù)/(月的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象

所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式()

C.y=/0-2x)D.y=f\—^\

【變式5-2](2024?四川南充?二模)已知函數(shù)/(x)=e=er,則函數(shù)y=/(x-l)+1的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(-U)對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)

(1,0)對(duì)稱

【變式5-3】己知函數(shù)/(x)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是()

D.

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值

【典例6-1】(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃=若加<",=貝!的

IX+X_：U

最小值為()

A.1B.—C.—D.2

42

【典例6-2]用min{a,。,c}表示〃，b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，則函數(shù)/(x)=min[x+l,-；x+4,-x+6,

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對(duì)函數(shù)的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計(jì)算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

【變式6-1】已知丘R,設(shè)函數(shù)〃尤)=|10員%+2%+4在區(qū)間g+l](r>0)上的最大值為/?.若

MM3)22}=R,則正實(shí)數(shù)/的最大值為.

【變式6-2】對(duì)。，foeR,記max{a,=則函數(shù)/(x)=max1|x+l|,x2_2x+；1的最小值

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式

|log2x|,xe(0,4)

【典例7-1】已知函數(shù)〃x)=**則滿足lV〃x)?3的x的取值范圍為()

A.[0,2]u[4,6]

11「c

C.u[2,4]D.R,5D[2,6]

8_oZ_

【典例7-2】（2024.重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=，則

/（X）>|log2x|的解集是（）

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點(diǎn)，根據(jù)

題意結(jié)合圖像寫出答案.

（yr>0

【變式7-1】已知函數(shù)〃x）=「「八，則不等式/（/（x））<4/（x）+l的解集是（）

3x+l,x<0

【變式7-2]（2024?高三?江西?期中）已知函數(shù)/（x）=\^+l,g（x）=/（x-2）+l,則不等式

/(x)<g(x)的解集為()

A.(-co/)B.(1,2)

C.(1,+co)D.(2,+oo)

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題

【典例8-1】（2024?北京昌平二模）已知函數(shù)/（x）=1'，'若對(duì)任意的'都有|〃尤）|26恒成

ln（x—ll,x>l.

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.~,O]B.[-4,0]C.[-3,0]D.3,2]

|x|+2,x<l

Y

【典例8-2]已知函數(shù)/(犬)=2?，設(shè)aeR,若關(guān)于x的不等式/(x)N§在R上恒成立，貝

x+—,x>l

、%

的取值范圍是()

3

A.-2,—A/2B.[-2,2]

D.-^-y12,^-y/2

22

【方法技巧】

先作出函數(shù)的圖像，觀察參數(shù)的變化怎樣影響函數(shù)的形態(tài)和位置關(guān)系，找到參數(shù)的臨界值，進(jìn)一步得

出參數(shù)的范圍.

【變式8?1]已知函數(shù)/("的定義域?yàn)镽,滿足/(])=2/a-1),且X￡(O,1]時(shí),/(%)=—-「若

3

小(F見都有小)““則。的取值范圍是()

B.Y

D.

【變式8-2](2024?河南新鄉(xiāng)?三模)設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,滿足/(x-2)=2/(x),且當(dāng)xe(0,2]

3

時(shí)，/。)=乳2-》).若對(duì)任意工€團(tuán),+8),都有7?(X)w1成立，貝心的取值范圍是()

O

5

B.—,+00

2

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例9-1】(2024.高三.重慶渝中?期中)已知函數(shù)=’若方程/(x)=裙有兩個(gè)不相

-x2,x<0

等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A-H)C.Z'TD.卜川

f12x+一1—TYlX<0

【典例9-2】設(shè)函數(shù)〃x)="，若函數(shù)/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

A.(-co,-l)B.(-1,2]C.[2,+oo)D.[-1,2)

【方法技巧］

利用函數(shù)圖像判斷方程解的個(gè)數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對(duì)象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解

的個(gè)數(shù).

(QxY<0

【變式9-1】設(shè)函數(shù)/(x)='一若/(x)-左=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

inx\,x>u

()

A.(0,1)B.(0,+e)C.(0,1]D.[0,+°)

/、lx2+5x+4|,x<0/、-

【變式/2](多選題)已知〃x)=l??，若y=/(x)-4乂恰有3個(gè)零點(diǎn)，貝1J〃的可能值

2|x-2|,x>0

為()

A.0B.1C.-D.2

2

【變式9.3】已知a,bwR,定義：min{a,)}=；：'“<?,設(shè)/(%)=疝11{2"-0,-％+6-。),%￡11.若函數(shù)

\b^a>b1}

y=/(%)+依有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-2,0)

/(x)J(x)Wg(x)

【變式9-4］(2024?高三?廣東江門?開學(xué)考試)定義函數(shù)min{/(x),g(x)}=

g(x),/(x)>g(x)

〃(x)=min{國-1,尤2_26+<7+2},若/i(x)=0至少有3個(gè)不同的解廁實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)當(dāng)xi［0,2捫時(shí)，曲線二sinx與y=2sin(3尤的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

()

A.3B.4C.6D.8

2.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)函數(shù)/(力=--+.-b同M在區(qū)間［-2.8,2.8］的大致圖像為

3.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)“X）的部分圖象如下圖所示，則/（力的解析式可能為（

(1)求函數(shù)y=g。)的解析式；

(2)利用信息技術(shù)，畫出函數(shù)y=g(x)的圖象;

(3)求函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn)(精確度為0.1)

2.如圖，OAB是邊長為2的正三角形，記一。位于直線x=《/>0)左側(cè)的圖形的面積為了(0.試求函

數(shù)y=的解析式，并畫出函數(shù))=/”)的圖象.

3.經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究供求關(guān)系時(shí)，一般用縱軸表示產(chǎn)品價(jià)格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變

量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應(yīng)曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？

4.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象.

（1）試說明圖（1）上點(diǎn)A,點(diǎn)8以及射線A8上的點(diǎn)的實(shí)際意義；

（2）由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示，你能根據(jù)

圖象，說明這兩種建議是什么嗎？

匐6

\\

易錯(cuò)點(diǎn)：圖像的變換問題

易錯(cuò)分析：平移變換是高中數(shù)學(xué)圖像變換中的基礎(chǔ)，包括左右平移和上下平移.在平移過程中，學(xué)生

常常會(huì)出現(xiàn)平移方向或平移單位長度的誤判.學(xué)生在對(duì)稱變換方面的易錯(cuò)點(diǎn)主要是對(duì)稱關(guān)系的混淆.伸縮變

換主要涉及圖像的橫向和縱向拉伸或壓縮，學(xué)生在這方面的易錯(cuò)點(diǎn)主要是伸縮比例的理解和應(yīng)用.翻折變換

主要涉及圖像沿X軸或y軸的翻折，在這方面的易錯(cuò)點(diǎn)主要是翻折軸的選擇和翻折后的圖像判斷.

答題模板：圖像的變換問題

1、模板解決思路

仔細(xì)閱讀題目，然后確定題目要求的是哪種圖像變換，如平移、伸縮、對(duì)稱、翻折等。

2、模板解決步驟

第一步：確定變換類型，理解變換規(guī)則

第二步：分析函數(shù)表達(dá)式，繪制草圖

第三步：應(yīng)用變換規(guī)則，驗(yàn)證結(jié)果

2x(x<l)

則〃2-x）的圖象是（）

【易錯(cuò)題1】已知函數(shù)，（功=log1x(x>1”

2

占的圖象,()

X—LX

A.向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度

B.向右平移1個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

C.向左平移1個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度

D.向左平移1個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

第06講函數(shù)的圖象

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：掌握基本初等函數(shù)的圖像..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)圖像作法.........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識(shí)圖）..................................................................6

題型二：由圖象選表達(dá)式........................................................................7

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題................................................................9

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題.......................................................................12

題型五：函數(shù)圖象的變換.......................................................................14

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值...................................................15

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式...............................................................15

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題...........................................................16

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).........................................................17

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................20

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................21

易錯(cuò)點(diǎn)：圖像的變換問題.......................................................................21

答題模板：圖像的變換問題.....................................................................22

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點(diǎn)之

2024年全國甲卷第7題，5分一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.高考中總以一

2024年I卷第7題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

(1)函數(shù)圖像的識(shí)別

2023年天津卷第4題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎(chǔ)來考

(2)函數(shù)圖像的應(yīng)用

2022年天津卷第3題，5分查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查

(3)函數(shù)圖像的變換

2022年全國乙卷第8題，5分的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

2022年全國甲卷第5題，5分及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個(gè)數(shù)，屬于每年

必考內(nèi)容之一.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

(2)會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.

(3)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

考點(diǎn)突破■題型探究

--------------[HHHJT,

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1:掌握基本初等函數(shù)的圖像

（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對(duì)數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).

【診斷自測(cè)】函數(shù)〃力=石導(dǎo)的圖象是下列的（）

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃*=石、的定義域?yàn)?一/>0,解得：一2Vx<2,故B錯(cuò)誤.

一XJQ

"-"=石=下=-〃力，則函數(shù)=（X）=為奇函數(shù),故C,D錯(cuò)誤;

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對(duì)稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性;

④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線(對(duì)稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(%+?)(?>0)的圖像是把函數(shù)、=/(無)的圖像沿x軸向左平移a個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=f(x-a\a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向右平移a個(gè)單位得到的；

③函數(shù)y=f(x)+。(。>0)的圖像是把函數(shù)y=/(X)的圖像沿y軸向上平移a個(gè)單位得到的；

④函數(shù)y=f(x)+a{a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(無)的圖像沿y軸向下平移a個(gè)單位得到的；

(2)對(duì)稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-X)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=—/(-X)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；

②若函數(shù)/(尤)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或/(x)=f(2a-x)(實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

為a,即(ax)+3+x)=a為常數(shù));

2

若函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

/(%)-2b-/(2a-x)^f(a-x)=2b-f(a+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像保留X軸上方的部分不變，將X軸下方的部分關(guān)于X軸對(duì)稱翻

折上來得到的(如圖(a)和圖(6))所示

④y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)“X)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

得到函數(shù)y=/(|x|)左邊的圖像即函數(shù)>=/(國)是一個(gè)偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：|/(刈的圖像先保留f(x)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱圖形，然后

擦去x軸下方的圖像得到；而“國)的圖像是先保留〃x)在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后

做出y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)y=/T(x)與y=/(%)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.

(3)伸縮變換

①y=4A(尤)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到

原來的A倍得到.

@y=/(。*)(。>0)的圖像，可將y=f(x)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<。<1)或縮短(0>1)到

原來的工倍得到.

CD

【診斷自測(cè)】若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=/(x-i)與y=-x)的圖象關(guān)于()

A.直線x=0對(duì)稱B.直線y=0對(duì)稱

C.直線x=l對(duì)稱D.直線y=l對(duì)稱

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x-1)的圖象是/(力的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，

“1-=的圖象是x)的圖象也向右平移1個(gè)單位得到的；

又因?yàn)?(x)與〃-X)的圖象是關(guān)于，軸(直線x=0)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=/(x-l)與y=〃l-X)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱.

故選：C.

解題方法總結(jié)

(1)若/(機(jī)+%)=/(機(jī)-%)恒成立，則y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=用對(duì)稱.

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=f(x-m)與y=(m>0)的圖象關(guān)于直線

x=m對(duì)稱.

(3)若/(〃+%)=/(/?-x),對(duì)任意恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線％=巴產(chǎn)對(duì)稱.

(4)函數(shù)y=/(〃+x)與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x=@7對(duì)稱.

(5)函數(shù))=與函數(shù)y=/(2a-%)的圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱.

(6)函數(shù),=/(%)與函數(shù)y=2Z?-/(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(〃，力中心對(duì)稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

「題型麻

題型一：由解析式選圖（識(shí)圖）

“、sinx

【典例1-1】（2024.安徽淮北.二模）函數(shù)〃尤）==7的大致圖像為（）

【答案】A

c（\sinx兀

【解析】由/（力=立4可知，cosx^O,即+左EZ,顯然該函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

cosx2

./、sin（-x）sinx.,、

由=|cos（r）廣市的=一/⑴可知，函數(shù)為奇函數(shù)’排除B,D兩項(xiàng),

又八:）=_小=1>°，排除A項(xiàng)，故C項(xiàng)正確?

4?3兀

cos——

4

故選：C.

【典例1-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，=%cos%-sinx的部分圖象大致為（）

【答案】B

【解析】當(dāng)x=o時(shí)，>=。，故排除選項(xiàng)c；

當(dāng)*=兀時(shí)，y=-n<0,故排除選項(xiàng)B；

令/（x）=xcosx-sinx,則f（-%）=—xcosx+sinx=—/（x）在［-71,兀］上恒成立,

函數(shù)y=xcosx-sinx在區(qū)間［-兀,可上是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故排除選項(xiàng)D,A選項(xiàng)正確.

故選：A.

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1］（2024.天津.二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/（%）=當(dāng)區(qū)的圖象大致為（）

v7x2+l

【答案】B

【解析】“到=?1定義域?yàn)椋?8,0）。（0,+8）,即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

廠同〃/一》、）=^-x^In=1x一1〃/“、，

所以/（X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除CD,

注意到當(dāng)0<x<l時(shí)，有無1?。?,爐+1）0,即〃力<0,

此時(shí)函數(shù)圖象位于％軸下方，故排除A,經(jīng)檢驗(yàn)B選項(xiàng)符合題意.

故選：B.

【變式1-2］（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)外力=1_1-1加的圖象大致為（）

【答案】B

xx

zxr-92e-e-21n（V-x）,x<0

［解析］/（x）=e'-e'-lnx=（,

ex-ex-21nx,x>0

i

因?yàn)楫?dāng)X<0時(shí)，y=e,y=y=_21n（-x）都為增函數(shù)，

所以，丫=^-1_2皿-力在（十，0）上單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤;

1

x2

又因?yàn)?（_尤）=b-e-Inx豐—f（x）,

所以/（x）不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：A

題型二：由圖象選表達(dá)式

【典例2-1】（2024?安徽馬鞍山?三模）已知函數(shù)y=/（元）的大致圖象如圖所示，則y=/（X）的解析式可

能為（）

x-y

B.f(x)=

9X+1

D，")(x2+l)ln(|x|+2)

【答案】C

3

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?⑴=?>0,與圖象不符，故A錯(cuò)誤;