2025年新高考數(shù)學一輪復習：計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（測試）（學生版+解析）

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知〃的分布列為：

7-101

j_J_J_

P

236

設(shè)＜=3〃-2則磯為的值為（）

42

A.—3B.—C.—D.5

33

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體玩具.設(shè)事件A為“向上一面點數(shù)為偶數(shù)”,

事件B為“向上一面點數(shù)為6的約數(shù)”，則尸（AUB）等于（）

11-25

A.-B.-C.一D.-

3236

3.在二項式［

6的展開式中，常數(shù)項為（）

A.180B.270C.360D.540

4.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運數(shù)”（如2024是“幸運數(shù)”）,

并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有（）

A.32個B.28個C.27個D.24個

5.已知X?N（1.8,O.F）,y?N（2.1,0.01）,貝ljP（X>1.9）+尸（丫>2）“（）

（注:若隨機變量Z?N3b2）,則尸（Z<〃+0=0.8413）

A.0.1587B.0.8413C.1D.0.4206

6.如果隨機變量J?3（a,p）,且E（3J）=12,￡>（3=：,貝ijp=（）

7.小剛參與一種答題游戲，需要解答A,B,C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為。，且各

2

題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為:，則他三道題都答錯的概率為（）

A.—B.-C.-D.一

2346

8.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右

下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到H：1-2T3-5-7—8-9-10-11就是一條移

動路線.從1移動到數(shù)字〃（〃=2,3,…11）的不同路線條數(shù)記為5，從1移動到H的事件中，跳過數(shù)字

=2,3,…10）的概率記為p,，則下列結(jié)論正確的是（）

①芍=34,②*>*③2=嬴，@p9>pl0.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.假設(shè)A3是兩個事件，且尸（A）=g,尸（B|A）=P（B）,則（）

A.P（AB）=*B.尸（A耳=gC.P（A+B）=|D.P（A|B）=1

10.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵3名志愿者到甲、

乙、丙、丁四個場館進行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館，下列說法中正

確的有（）

A.所有可能的方法有34種

B.若場館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種

C.若志愿者小明必須去場館甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種

11.端午將至，超市特推出“粽情一夏，情濃端午”為主題的甲乙兩款端午粽子禮盒，但是由于工作人員分裝

時的疏忽，禮盒內(nèi)的粽子發(fā)生了錯亂，此時甲款禮盒內(nèi)已有一個肉粽，乙款禮盒內(nèi)有三個肉粽和三個甜粽，

現(xiàn)從乙款禮盒內(nèi)隨機取出￡個粽子，其中含7個肉粽，放入甲款禮盒后，再從甲款禮盒內(nèi)隨機取出一個粽

子，記取到肉粽的個數(shù)為其中d￡eN*,下列說法正確的是（）

A.當尸=2時，隨機變量7服從兩點分布B.隨著戶的增大，E（a）減少，〃（a）增加

C.當尸=2時，隨機變量7服從二項分布D.隨著￡的增大，E（a）增加，減小

(1)(i)共有多少種不同的栽種方法；

(ii)記“在③和⑤區(qū)域栽種不同的花卉”為事件4“完成該標志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為

事件B,求P(A|B)；

(2)設(shè)完成該標志的栽種所用的花卉品種數(shù)為J,求J的概率分布及期望.

17.(15分)

足球比賽積分規(guī)則為：球隊勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分.常州龍城足球隊2024年10月

將迎來主場與A隊和客場與3隊的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊主場與A隊比賽：勝的概率

為!■,平的概率為:，負的概率為:；客場與3隊比賽：勝的概率為:，平的概率為J,負的概率為

366362

且兩場比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求常州龍城隊10月主場與A隊比賽獲得積分超過客場與2隊比賽獲得積分的概率；

(2)用X表示常州龍城隊10月與A隊和8隊比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望.

18.(17分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五

組質(zhì)量指標值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值X服從正

態(tài)分布N(〃Q2),并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為3等品.現(xiàn)從該品牌芯片的

生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標值的標準差5的近似值為11,用樣本平均數(shù)元作為，的近似值,

用樣本標準差s作為。的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點后

面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量J服從正態(tài)分布N(〃Q2),則

尸(〃一cr<g<〃+cr)20.6827,P(/J-2cr<J<〃+2cr)?0.9545,P(F-3cr<J<〃+3cr)?0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在［85,95］

的芯片件數(shù)為"，求〃的分布列和數(shù)學期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品

芯片的利潤是根(1<加<24)元，一件3等品芯片的利潤是ln(25-m)元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求機的值,

使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.

19.(17分)

設(shè)離散型隨機變量X,￥的取值分別為｛占,％X,｝,｛為｝(。應(yīng)eN*).定義X關(guān)于事件“￥=匕”

P

(1WJWq)的條件數(shù)學期望為：E(X\Y=yj)=XXiP(X=x,.|y=y,.).己知條件數(shù)學期望滿足全期望公式：

Z=1

q

E(X)=￡E(X|Y=y,)P(y=%).解決如下問題：

Z=1

為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實驗室計劃進行生物實驗.在第1天上午，實驗人

員向培養(yǎng)皿中加入10個A的個體.從第1天開始，實驗人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物.當加入

藥物時，A的每個個體立即以相等的概率隨機產(chǎn)生1次如下的生理反應(yīng)(設(shè)A的每個個體在當天的其他時刻

均不發(fā)生變化，不同個體的生理反應(yīng)相互獨立)：

①直接死亡；②分裂為2個個體.

設(shè)第"天上午培養(yǎng)皿中A的個體數(shù)量為X".規(guī)定E(XJ=10,D(Xl)=0.

⑴求E2%=6)：

(2)求E(X“)；

(3)已知E(X：|X,T=A)=A:(Z:+l)(&eN*),證明：D(X")隨著”的增大而增大.

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知〃的分布列為：

-101

￡j_￡

P

236

設(shè)4=3〃-2則E⑷的值為（）

D.5

【答案】A

【解析】由題意可知ES)=-1X(+0X，+1XJ=_1,

2363

,：.E(^)-￡(3/7-2)=3￡(/7)-2=3xL1j-2=-3.

故選：A

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個面上分別標有數(shù)字L2,3,4,5,6的正方體玩具.設(shè)事件A為“向上一面點數(shù)為偶數(shù)”,

事件B為“向上一面點數(shù)為6的約數(shù)”，則P0UB）等于（）

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】D

【解析】由題意得，拋擲結(jié)果有6種可能，事件A即為向上一面的點數(shù)為2或4或6,

事件8即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或6,

事件AU3即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或4或6,

所以尸（AU8）=匚

故選：D.

在二項式（瓜一之io

3.的展開式中，常數(shù)項為（）

A.180B.270C.360D.540

【答案】A

/9\10（工嚴，5

【解析】二項式的展開式的通項公式為，?卜［?（-2鏟）'=（一2yC；0yF,

令5-2.5r=0,解得r=2,所以常數(shù)項為（-21C；0=180.

故選:A

4.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運數(shù)”（如2024是“幸運數(shù)”）,

并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有（）

A.32個B.28個C.27個D.24個

【答案】B

【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：

①“006”組合,有C；種,②“015”組合,有A；種，③“024”組合，有A；種，

④“033”組合，有C；種，⑤“114”組合，有C；種，⑥“123”組合，有A；種，

⑦“222”組合，有1種.

由分類加法計數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有3C；+3A；+1=9+18+1=28個.

故選：B.

5.已知X~N（L8,0.12）,y~N（2.1,0.01）,則尸（X>1.9）+尸（F>2）。（）

（注：若隨機變量Z~N（〃,"），則p（z<〃+b）土0.8413）

A.0.1587B.0.8413C.1D.0.4206

【答案】C

【解析】因為X~N（L8,0T）,

所以尸（X>1.9）=1-尸（X<1.9）=1—尸（X<L8+O1）Q1—08413=01587,

因為y~N（2.1,0.01）,

所以尸（y>2）=P（y<2,2）=P（Y<2.1+0.1）?0.8413,

所以尸（X>L9）+P（y>2）7,

故選：C

6.如果隨機變量且E（3J）=12,O（J）=g,則。=（）

【答案】D

【解析】因為E(3J)=3E?=12,即￡仁)=4,

又因為隨機變量/~*",0),且

np=4n=6

則，/,、4,解得12.

np(i-P)=-\P=~

故選：D.

7.小剛參與一種答題游戲，需要解答A,B,C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為a,?,且各

題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為:，則他三道題都答錯的概率為()

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】C

【解析】記小剛解答A,B,C三道題正確分別為事件。，E,F,且E,尸相互獨立，

且P(D)=P(E)=a,尸(尸)=：.

恰好能答對兩道題為事件DEF,DEFJ5EH,且DEF,DEFJ5EH兩兩互斥，

所以P{DEF+DEF+DEF)=P(￡)EF)+P(DEF)+P(DEF)

=P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)+P(D)P{E}P{F}

—4ZX6ZX|11+"X(l-Q)XFf1-Q)XQX-=—,

I2)v72v724

C1

整理得(l-a)-=",他三道題都答錯為事件~DEF，

故尸(標)=尸(萬)尸㈤尸(耳=(1一〃“1_力=；(1一式=；

故選：C.

8.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右

下移動，而一■條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1―>2—>3—>5—>7—>8—>9—>10—>11就是一■條移

動路線.從1移動到數(shù)字〃(〃=2,3,…11)的不同路線條數(shù)記為5，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字

"("=2,3廣.10)的概率記為「“，則下列結(jié)論正確的是()

①芍=34,②和1>/，③。5=函，④。9>P10-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【解析】由題意可知2=1，4=2,*1=乙+*1（〃之3）,

則4=3,4=5,4=8,弓=13,%=21,歸=34,芍=34,2=55,石］=89,

則①正確；顯然%|>小故②正確；

51-5的所有路線115-11的所有路線

因為公=89,經(jīng)過數(shù)字5的路線共有5x13=65條.

理曲如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條,

利用分步乘法計數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有5x13=65條.

r?89—6524,心十r/z.

則=89=89，故③正確；

曰e一辦89-34x22189-55x134打*

同理可侍09=-------——=記'"。=一/一=&?即有&<Pio，故④錯快?

oyoyovoy

故選:A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.假設(shè)A8是兩個事件，且P（A）=g,P（B）=1,P（B|A）=P（B）,貝U（）

A.1B.P（回4C.P（A+B）=|D.P（A|B）=1

【答案】AD

,、P（AB）

【解析】A選項，因為P（z叫力=黃:,P（叫A）=P（B），尸⑷［，「伊）=；,

所以尸（AB）=尸（A>尸（B）=J,A正確;

o

B選項，因為事件A與2相互獨立，所以A與百相互獨立,

所以尸（4萬）=尸（A）尸（豆）=；x（l_：］=；x：=g,B錯誤；

乙、JJNDJ

1119

C選項，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=-,C錯誤；

2363

/.、P（AB\/、/?、1

D選項，因為尸（A忸）=手肅=尸網(wǎng)，所以尸（A忸）=（D正確.

故選：AD.

10.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵3名志愿者到甲、

乙、丙、丁四個場館進行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館，下列說法中正

確的有（）

A.所有可能的方法有34種

B.若場館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種

C.若志愿者小明必須去場館甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種

【答案】BCD

【解析】對于A,所有可能的方法有43種，故A錯誤.

對于B,分三種情況：第一種：若有1名志愿者去場館甲，則去場館甲的志愿者情況為C；,

另外兩名同學的安排方法有3x3=9種，此種情況共有C；x9=27種，

第二種：若有兩名志愿者去場館甲，則志愿者選派情況有C；,另外一名志愿者的排法有3種，

此種情況共有C；x3=9種，

第三種情況，若三名志愿者都去場館甲，此種情況唯一，

貝U共有27+9+1=37種安排方法，B正確.

對于C,若小明必去甲場館，則小紅，小兵兩名志愿者各有4種安排，共有4x4=16種安排，C正確.

對于D,若三名志愿者所選場館各不同，則共有A：=24種安排，D正確.

故選：BCD.

11.端午將至，超市特推出“粽情一夏，情濃端午”為主題的甲乙兩款端午粽子禮盒，但是由于工作人員分裝

時的疏忽，禮盒內(nèi)的粽子發(fā)生了錯亂，此時甲款禮盒內(nèi)已有一個肉粽，乙款禮盒內(nèi)有三個肉粽和三個甜粽，

現(xiàn)從乙款禮盒內(nèi)隨機取出￡個粽子，其中含7個肉粽，放入甲款禮盒后，再從甲款禮盒內(nèi)隨機取出一個粽

子，記取到肉粽的個數(shù)為其中a,6eN*,下列說法正確的是（）

A.當月=2時，隨機變量7服從兩點分布B.隨著戶的增大，E（a）減少，增加

C.當￡=2時，隨機變量7服從二項分布D.隨著的增大，E（a）增加，減小

【答案】B

【解析】由題意可知，從乙禮盒里隨機取出6個粽子，含有肉粽個數(shù)/服從超幾何分布，即7~"（6,3,6）.

故A,C錯誤.

陰=2

其中「（/=&）=%—，其中無eN,k&3旦kM。，E⑺=

62

故從甲禮盒取粽子，相當于從含有，+1個肉粽的￡+1個粽子中取1粽子，取到肉粽個數(shù)為口.

故”幺

11

----1-------------

I）p+i22夕+2

"1

隨機變量。服從兩點分布，所以2_11

—I------------

"+122/3+2

隨著力的增大，E（a）減小;

￡＞（?）=［1-P（?=1）］P（a=1）=,隨著夕的增大，以。）增大.

故B正確，D錯誤.

故選：B.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知［+］（2A無2）6的展開式中各項系數(shù)的和為4,則々=.

【答案】3

【解析】令x=l得展開式中各項系數(shù)和，

貝!j（l+a）（2-=1+a=4,解得a=3.

故答案為：3.

13.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識答題競賽.已知某同學答對每道

2

題的概率均為且每次答題相互獨立，若該同學連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學答對〃，道試題

的概率為〃加），則當機=時，取得最大值.

【答案】13或14

【解析】由題意得〃加）=G）0W〃?W20且eN,

/（771）＞/（771-1）

20!2、20!1

m!（20-m）!33,

又〃7eN,所以機=13或m=14,

20!120!2

.、x2

m!（20-m）!33'

故當a=13或o?=14時，/（7"）取得最大值.

故答案為：13或14.

14.高三開學，學校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側(cè)已

經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘

之間至少要有一名同學的規(guī)則.高三（一）班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)

在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學期望為

【答案】1

【解析】由題意可設(shè)高三（一）班共有七名女生坐成一排依次為L2,3,4,5,6,7,

由于兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，則1,7一定曬不到，

現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘，即在7位同學之間形成的空中選3個放置，共有C；=20種放法；

設(shè)曬黑女生人數(shù)為X,則X可能取值為0,1,2,

X=0時，若12之間放一把傘，則另外2把分別放在34,56之間，

若23之間放一把傘，則另外1把分別放在56之間，第三把放在34或45之間,

若67之間放一把傘，則另外2把分別放在23,45之間，

41

則P（X=0）=—=—；

205

X=1時，被曬的人若是2,則23之間沒有傘，34之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法,

同理被曬的人若是6,則67之間沒有傘，45之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，

被曬的人若是3或4或5,此時3把傘均有2種放法，

故尸（X=l）=3+2+浸2+3=%

131

p（X=2）=1------=

555

131

故曬黑女生人數(shù)的數(shù)學期望為E（X）=0xy+lx（+2xM=L

故答案為：1

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

某品牌汽車4s店搞活動，消費者對“圈圈套西瓜”活動的參與度較高.該活動的游戲規(guī)則如下：參加活動

的每位消費者可領(lǐng)3個圈圈且均需用完，1個圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜與否相互獨立，套中的西

31

瓜可被消費者帶走.已知甲每次套中西瓜的概率為M,乙每次套中西瓜的概率為§.

⑴求甲恰好套中1個西瓜的概率;

(2)若甲、乙均套完第一次，記此時甲、乙兩人套中西瓜的個數(shù)之和為X,求隨機變量X的分布列與期

望.

i哈(5分)

【解析】(1)依題意，甲恰好套中1個西瓜的概率為C；xex2

35

(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.

P（X=O）=14

315,

2x1-111-3^x11=8

尸（X=1）=+

535315

P（X=2）=|x|=1,

則隨機變量X的分布列為

'MA1⑴分）

16.（15分）

某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的古錢幣造型作為該活動的舉辦標志，舉辦方計

劃在入口處設(shè)立一個如下圖所示的造型.現(xiàn)擬在圖中五個不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個區(qū)域的花卉

現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.

(1)(i)共有多少種不同的栽種方法;

(ii)記“在③和⑤區(qū)域栽種不同的花卉”為事件A,“完成該標志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為

事件8,求尸(A|B)；

(2)設(shè)完成該標志的栽種所用的花卉品種數(shù)為J,求J的概率分布及期望.

【解析】(1)(i)規(guī)定涂色順序為：①一③一②—④一⑤，

若②和④同色，方法數(shù)為C；C；C；x3=180；

若②和④不同色，方法數(shù)為C；C；C；x2x2=240；

所以共有180+240=420種不同的栽種方法；(5分)

(ii)由題意可知：P(AB)=^1=—,手⑻/>2尺=狎

420420420420

所以P(A|8)=今蜉=；.(8分)

(2)由題意可知：J可能的取值為3,4,5,則有:

尸(43)=2=幽=工，尸(44)=^^=/=上尸(h5)=￡=些=二

420420742042074204207

所以占的概率分布列為

17.(15分)

足球比賽積分規(guī)則為：球隊勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分.常州龍城足球隊2024年10月

將迎來主場與A隊和客場與3隊的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊主場與A隊比賽：勝的概率

為二,平的概率為，，負的概率為，；客場與8隊比賽：勝的概率為:，平的概率為3,負的概率為

366362

且兩場比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求常州龍城隊10月主場與A隊比賽獲得積分超過客場與B隊比賽獲得積分的概率；

(2)用X表示常州龍城隊10月與A隊和8隊比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望.

【解析】(1)設(shè)事件4="常州龍城隊主場與A隊比賽獲得積分為3分”，

事件&="常州龍城隊主場與A隊比賽獲得積分為1分”，

事件4="常州龍城隊主場與A隊比賽獲得積分為0分”，

事件用="常州龍城隊客場與3隊比賽獲得積分為3分”，

事件&="常州龍城隊客場與8隊比賽獲得積分為1分”,

事件為="常州龍城隊客場與3隊比賽獲得積分為0分”,

事件C="常州龍城隊七月主場與A隊比賽獲得積分超過客場與B隊比賽獲得積分”,

P(A2B3)=^X^-=^~

O212

貝UP(C)=尸(4叢)+尸但鳥)+/44)=!+：+上=3

931236

19

???常州龍城隊七月主場與A隊比賽獲得積分超過客場與3隊比賽獲得積分的概率為0；(7分)

36

(2)由題意可知X的所有可能取值為。，L2,3,4,6,

P(X=0)=—x—=—,

6212

P(X=l)=-x-+-xl=—=-

6266369

P(X=2)=-x-=—,

6636

21117

尸(X=3)=—x—+—x—=—，

326318

…,,211131

P(X=4)=—x—+—x—=——=一,

3663186

212

尸(X=6)=—X—=—,

339

，X的分布列為:

E(X)=0x—+lx-+2x—+3x—+4xl+6x--—.(15分)

1293618693

18.(17分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五

組質(zhì)量指標值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值X服從正

態(tài)分布N(〃02),并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的

生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

2IS1523

所以〃的數(shù)學期望石①)=Ox^+lx上+2x上+3x—=2.(10分)

193838192

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有y件，則每箱產(chǎn)品中5等品有(io。-丫)件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為z元，

由題意知：Z=mY+(lQ0-Y)ln(25-m)=(m-ln(25-m))K+100In(25-m),

由(1)知：每箱零件中A等品的概率為0.16,

所以y?5(100,0.16),所以石(丫)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25-m))K+100ln(25-m)]

=(m-ln(25-m))EK+100ln(25-m)=16(m-ln(25-m))+100ln(25-m)

=16m+84ln(25-m).

8479

4/(x)=16x+841n(25-x)(l<x<24),由-(%)=16--=0得，x,

25-x