2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何與空間向量（測試）解析版

立體幾何與空間向量（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

I.設(shè)。,民7是三個不同平面，S.aC\/=l^C\y=m,則a〃夕是/〃機的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由于a〃/，a[}r=l,p^y=m,由平面平行的性質(zhì)定理可得：IHm,

所以a〃夕是/〃加的充分條件；

但當(dāng)/〃加，a^Y=l,/3^y=m,并不能推出a〃/，也有可能a,力相交，

所以a〃戶是/〃機的不必要條件；

故選:A.

2.已知向量7=（0,0,1）,3=（1,-1,1）,向量d+各在向量2上的投影向量為（）.

A.（0,0,2）B.（0,0,1）

C.（0,0,-1）D.（0,0,-2）

【答案】A

【解析】向量N+B在向量a上的投影向量為與=（1'一1'2卜（°'°」）.3111=（0,0,2）

\a\\a\11

故選：A

3.四棱臺的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，四條側(cè)棱的長均為2后，則該四棱

臺的體積為（）

A.286B.8472C.竺四D.2872

3

【答案】C

【解析】過由正四棱臺的性質(zhì)可知：4E是該正四棱臺的高，

因為四邊形/CG4是等腰梯形，

所以/E=g（4G_/C）=；（“2+42-VF+27）=V2,

由勾股定理可知：A[E=J4/2_4爐==娓，

所以該四棱臺的體積為:X（4?+2?+"豆?卜布二苧,

故選：C

AB

4.已知球O的體積為竽，點/到球心。的距離為3,則過點工的平面。被球。所截的截面面積的最小

值是（）

A.9兀B.1271C.16兀D.20兀

【答案】C

【解析】設(shè)球。的半徑為火，則3兀斤=詈，解得R=5.

因為點4到球心。的距離為3,

所以過點/的平面a被球。所截的截面圓的半徑的最小值為廠=正二3=4，

則所求截面面積的最小值為兀/=16兀.

故選：C

5.三棱錐工-反力中，/D_L平面4BC,ZBAC=60°,AB=1,AC=2,AD=4,則三棱錐/一2cD外接

球的表面積為（）

A.10KB.20兀C.257tD.30兀

【答案】B

【解析】在△4BC中，ZBAC=60°,4S=1,AC=2,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSABAC，

即SC?=1+4—2xlx2xcos60°=3,所以8c=G,

設(shè)的外接圓半徑為「，

貝lj2r=—————="=2,所以廠=1,

smABACsin60°

4D_L平面4BC,且4。=4,

設(shè)三棱錐A-BCD外接球半徑為R，

貝5]&='+（；/。）2,即尺2=]+4=5,

所以三棱錐Z-BCO外接球的表面積為4成2=20*

6.如圖，已知正方形4BCD為圓柱的軸截面，AB=BC=2,E,尸為上底面圓周上的兩個動點，且斯過

上底面的圓心G,若28,E尸，則三棱錐跖的體積為（）

【答案】B

【解析】如圖設(shè)圓柱的下底面的圓心為。，連接/G,2G,OG,

貝1JOG=8C=2,且。G_L平面GEC,

E尸u平面GEC,所以。G_LEV,XABIICD,ABVEF,

所以CALE下，又。nOG=G,CD,0Gu平面CD/8,

所以EF_L平面CDAB,且EG=GF=2,

SARC=—ABx0G=2,

114

所以匕.BM=1S“BGM=]X2X2=§.

E

故選：B.

4

7.在三棱柱48C-44cl中，點。在棱上，滿足匕TCCQ=§乙3C-4B]G，點M在棱4G上,且

------—-jNB

4河=的，點N在直線84上，若M2V//平面/OG，貝1^而"=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】如圖所示：

Q5.

「；

、12

因為匕i—4&G=1「ABC-A1BG，所以VA-BCC[BI=§VABC-AIBIG，

=

所以^A-BCCjD-§-ABC-A1BG=§']匕4一BCC囪§^A-BCCXBX

21DBX_2

==

所以S梯形BCC[D§S四邊形5CG3，所以SgB[DJS四邊形水8與，則BB~V

設(shè)三棱柱4BC-44G的側(cè)棱長為6,則。4=4,DB=2,

又"為4G的中點，取4/的中點￡,連接ME,則建//C/。

過E作EN///。，且ENCBB[=N,連接MN,又MEcEN=E

所以平面肱VE7/平面4Z?G,又MNu平面M/E,

所以MN//平面40G，所以。N=E4=3,

NB

所以超=04—9=4—3=1,所以BN=5,則QMS,c

故選：D

8.己知￡,尸分別是棱長為2的正四面體4BCD的對棱4D,BC的中點.過EF的平面a與正四面體4BC。相

截，得到一個截面多邊形7,則下列說法正確的是（）

A.截面多邊形「不可能是平行四邊形B.截面多邊形7的周長是定值

C.截面多邊形7的周長的最小值是后+遍D.截面多邊形7的面積的取值范圍是口,應(yīng)］

【答案】D

【解析】對于A,當(dāng)平面a過/?；?C時，截面為三角形.

易知正四面體關(guān)于平面ADF對稱，將平面a從平面ADF開始旋轉(zhuǎn)與AB交于點G時，

由對稱性可知，此時平面a與CD交于點且NG=OH,

此時截面為四邊形EG9，且注意到當(dāng)G,“分別為/氏CD的中點時，此時滿足/G=D〃，

^.GF//AC,AC//EH,GF^EH=^AC,即此時截面四邊形EGEfZ是平行四邊形，故A錯誤;

對于BC,設(shè)/G=w（0W?iW2）,由余弦定理得GE=匚7=m-g］+-|,

GF=^（2-?）2+1-（2-?7）=\加一|）+,，

由兩點間距離公式知，GE+GF表示動點（見0）到定點,母人口-停］的距離之和,

當(dāng)三點共線時取得最小值=2,

由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)加=0或加=2時，GE+GF取得最大值1+6,

所以截面多邊形7周長的取值范圍是［4,2+2百］,故BC錯誤;

對于D,記G"與EF的交點為。，由對稱性/訪G=/EW,FG=FH,

所以ERLG",SEGFH=^EF-GH,

因為AF7AB2-BF?=G，

_________6

所以EF=JAF-AE?=6,所以SEGW=《-G〃，

記AB=a,AC=b,AD=c,

m_mr[m

則麗=9+石+麗=一5@+萬+/0-己——a+—b+\1C，

22I

因為=a-C=b-C=2x2cosy=2,同=|i>|=|c|=2,

所以曲2=—+。+1]mmm

j十一g展B—機1i一一a-c+1m\1---b--c

44I2

2244mm

=m+m+411~_I—m2—2mI1+2mH-y

~2

=2（m-l）2+2,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，2?而2?4，即&WG7/V2,

所以1WSEGFHW0，故D正確;

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知a,b,c為三條不同的直線，a,僅為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若a〃b,aua,bu/3,c（C0=c,則

B.若a_LdQ_Lc,bui,cu二，則a_Lo

C.若a〃a,b〃a,aCb=A,au/3,bu/3,貝Ija〃夕

D.若a=c,a，c,則a_L￡

【答案】AC

【解析】對于A,因為a||b,aua,所以，又6u〃，ary/3=c,所以b//c,所以A正確;

對于B,當(dāng)b//c時，直線。不一定垂直于a,B錯誤;

對于C,由面面平行的判定定理可知，C正確;

對于D,由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線。①夕時，直線〃不一定垂直于￡,D錯誤.

故選：AC

10.如圖，在棱長為2的正方體/BCD-4AGA中，點P是正方體的上底面44GA內(nèi)（不含邊界）的動

點，點。是棱BC的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐。-尸CD的體積是定值

B.存在點尸，使得PQ與44］所成的角為60°

c.直線尸。與平面440〃所成角的正弦值的取值范圍為［0,左］

D.若P［=PQ,則P的軌跡的長度為也

4

【答案】ACD

【解析】對于A,三棱錐。-PC。的體積等于三棱錐尸-。8的體積,

1112

七棱觸-°C。=§S@￡,x44]==§是定值，A正確;

以4為坐標(biāo)原點，4月，42，041分別為x),z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(2,1,-2),設(shè)尸(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),則。？=(x-2,y-l,2)

對于B,可=(0,0,2),使得尸。與441所成的角a滿足:

因為0<x<2,0<"2,^0<(x-2)2+(y-l)2<5故cosae

12

而儂60。=]￡(§/),B錯誤；

對于C,平面440。的法向量3=(1,0,0),

所以直線P。與平面所成角B的正弦值為：sin￡=

V(x-2)2+(y-l)2+4

因為0vxv2,0<y<2,故-2<%-2<0

X

故卜-2|<_______2]__________<\~A

[(x-2)2+5J(x-2)2+(y-Ip+4J(%-2)2+4

x—2

1+

|x-2|G(0

故?2即sin尸的取值范圍為0*,C正確；

222

7(X-2)+(7-1)+42)

對于D,2(0,2,0),印=。)-2,0),由PD]=PQ,

可得x2+(y_2)2=(x_2y+(…2+4,化簡可得4》_2-=0,

在x/j平面內(nèi)，令x=0,得＞=3令y=0,得x=[5,則尸的軌跡的長度為

24

J(2-*(7岑,D正確；

故選：ACD.

11.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和

六個正方形構(gòu)成(如圖所示)，若它的所有棱長都為行，則()

A.8尸，平面E/8

B.該二十四等邊體的體積為20?

C.該二十四等邊體外接球的表面積為6兀

D.PN與平面￡8對所成角的正弦值為史

2

【答案】BD

【解析】對于A,假設(shè)A對，即平面E42,于是AF_L48,

ZABF=9G°,但六邊形43尸尸為正六邊形，ZABF=120°,矛盾,

所以A錯誤；

對于B,補齊八個角構(gòu)成棱長為2的正方體，

則該二十四等邊體的體積為=

所以B對；

對于C,取正方形4CP"對角線交點O,

即為該二十四等邊體外接球的球心，

其半徑為及=拒，其表面積為4?；?=8兀，所以C錯誤；

對于D,因為PN在平面E2網(wǎng)內(nèi)射影為NS,

所以PN與平面EBFN所成角即為ZPNS,

其正弦值為黑=3=坐，所以D對.

PNJ22

故選：BD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知四面體有兩個面是邊長為2的正三角形，另外兩個面是直角三角形，則該四面體的體積等于

【答案】述

3

【解析】由題意，

作出圖象如下圖所示，

在三棱錐4一2。中，AB=AD=BD=CB=CD=2,ZABC=ZADC=90°,

取ZC的中點E,連結(jié)E8,ED,

在a/BC和△/DC中，由幾何知識得，

兩三角形為等腰直角三角形，

/.BEVAC,DEX.AC

又E8u平面BDE,EDu平面BDE,EB^ED=E,

所以/C_L平面5DE.

故NE,CE分別是三棱錐A-BDE和三棱錐C-BDE的高,

從而VA-BCD=囁.BDE+LBDE?

在△5ED中，ED=EB=6,BD=2,

EB2+ED2=BD2,

：.BELED.

所以『A-BCD=^A-BDE+七-BDE

111'

=^S.BDE?(^+C￡1)=-x—xV2xV2X2A/2=—.

故答案為：—.

3

13.如圖，在三棱錐尸-48C中，ZUBC為等邊三角形，△4PC為等腰直角三角形，PA=PC,平面尸NCL

平面N8C,。為N8的中點，則異面直線NC與尸。所成角的余弦值為.

【答案】正

4

【解析】取/C的中點。，連接。尸，OB,因為P/=PC,所以/CLOP.

又平面尸/C_L平面4BC,平面尸/CPI平面48c=/C,OPu平面尸NC,

所以O(shè)P_L平面/2C.又AB=BC,所以/C_LO3,

可得CM,OB,O尸兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點，

OA,OB，礪的方向分別為x,V,z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)尸/=4,則/（2五0,0）,C（-2V2,0,0）,。（后，跖0）,尸（0,0,20）,所以

就=卜4后,0,0),7^=(72,76,-272),

-8V2

所以cos（就，所）AC-PD

AC^PD\472x4-4

又異面直線所成角的取值范圍為［。，］,

所以異面直線/c與尸口所成角的余弦值為它.

4

14.要使正方體NBCA-z/C，以直線M為軸，旋轉(zhuǎn)〃后與其自身重合，則〃的最小正值為

【答案】120

【解析】因為四邊形為正方形，所以/C23。，

因為441，平面4BCD,ADu平面48cD,所以441_L3。，

因為N4nNC=N,44，4Cu平面44C，所以AD1平面/4C,

因為4Cu平面440，所以同理可證得BG，4C，

因為=3G，3Du平面BAG，所以◎一平面瓦兀一

同理可證得C41平面ABR,

因為A2DG為等邊三角形，BC=CC1=DC,

所以4c過ABOC的中心，設(shè)ABDG的中心為點G,連接GG,2G,OG,

則ZBGD=NBGG=NDGG=120°,

同理4c也過等邊△/用2的中心，

若正方體繞旋轉(zhuǎn)〃。后與其自身重合，只需要ABDJ和4Bn旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，

因此至少旋轉(zhuǎn)120。.

故答案為：120.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖所示，在平行六面體48co-481Goi中，M、N分別是44］、2C的中點.設(shè)石=￡,AB=b,

AD=c-

(1)己知尸是G。的中點，用a、5、e表示工？、A、N、MP+NQ；

cP1

（2）已知p在線段上，且擊=]，用葭5、口表示后.

【解析】（1）因為河、N、P分別是N4、BC、C2的中點

所以，AP=ADl+D^P=^lAl+AD）+^AB=a+c+^b-,（2分）

A[N—A-yA+AN=—AA1+AB+—AD=—a+b+—c；

MP+NC1=阿+語+?。?（而+出）

=-AA.+U5+-AB+-AD+AA.=-AA.+-AI5+-AB

2122'2122

3-1-3-

=—a+—b+—c；（8分）

222

,CP1—?2—?

（2）因為點}=不，所以。尸=w2G

所以力=函+印=1^+通+g方=￡+1+].（13分）

16.（15分）

已知三棱錐P-/BC,ABLBC,BC1CP,D,M,N分別是4P,AB,CP的中點,

PB=y/34,二面角的尸-余弦值為嚕.

AAB=3BC=\2,

B

（1）證明：ABVMN-,

（2）求直線MN與平面BCD所成角的正弦值.

【解析】（1）

證明：取8c中點尸，ZC中點。，連接。0,。尸，。尸，苗0,%AB//FQ,PCUD。,

因為AB_L8C,BCLCP,

所以尸0，8。,。。，8。,廠。門。。=2,尸2,。0<=平面。尸0,（2分）

所以8CJ_平面DF。，。尸u平面。尸。，所以尸，即。尸是BC的中垂線，

所以BD=CD,取2尸中點少，連接/憶N憶取。，所以5cl.尸水，

所以/即ED就是二面角尸-8C-D的平面角，

Wf2+Df2Dw2

在△見D尸中，由余弦定理可得：cosZWFD=-=hUl,

2WF-DF10

根據(jù)題意和線段的中點可知，AB=3,BC=AAC7AB2+BC2=5,PC=yJPB2-BC2=3A/2,

QF=DW=|,DQ=WF=；PC=^^,13

DW=-AB=-

22

代入解得=之嶼或。尸=地，

210

在△甲D尸中，|(V2-l)<r>F<|(V2+l),所以。尸=述

（舍）.（5分）

10

當(dāng)。尸=半時，BD=CD=^DF2+（^BC）2=^-,AP=5,

所以452+/產(chǎn)=3尸2,故得/8_LM少，

連接4W,因為M憶兒◎是平面MN瓶內(nèi)兩條相交直線,

所以4B_L平面MNP,因為MNu平面兒W少，

所以481.MN.（7分）

（2）

ZA

P

連接2。并延長至。且有3。=22。，連接尸0,04OC,

由(1)知22,少0,用0L3C,是平面48C內(nèi)兩條相交直線，

所以叱，平面/8C,又因為陽是△臺尸。的中位線，

所以P0=2四°,尸平面/3C,計算得05=230=5,OP=^PB2-OB2=3,OC=3,OA=4,

如圖，以8為原點，射線8C方向為x軸，射線及4方向為了軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系2-乎,

3333

計算得3(0,0,0),%(0,3,0),C(4,0,0),0(4,3,0),P(4,3,3),D(2,3,5),M(0,5,0),N(4,5,5),(10分)

—?—3——?3一

故BC=(4,0,0),BD=(2,3,-),MN=(4,0,-),設(shè)平面BCD的法向量為〃=(x,乂z),

n-5C=4x=0

則4——3，令＞=1，可取3=(01,-2),

n^BD=2x+3y+-z=0

設(shè)直線MV與平面BCD所成角為仇夕,貝hind=\cosn,MN\=史運

L2JII365

所以直線跖V與平面BCD所成角的正弦值為迤1.(15分)

365

17.(15分)

如圖，平行六面體ABCD—AXBXCXDX的體積為24yb，—D、C,DXD=DXB,CD=AD=4,Z.ADC=60°.

(1)求點A到平面DABQi的距離；

(2)求二面角。--G的正弦值.

【解析】(1)由題意可知底面是平行四邊形，且。為底面的中心，

又因為。=40,所以底面4BCD是菱形，

連結(jié)2。，

因為DQ=D、B,

所以DXO1AC,

又/CCW=。,/C,8。u平面

所以。Q_L底面/BCD,又。Qu平面O88Q1,

所以平面。期A，底面“BCD,

因為，O_L底面/8C￡),4Ou底面/8CZ),

所以2。，/。，(4分)

又根據(jù)底面ABCD是菱形，可知,

DtOC\DB=O,DXO,DBu平面DBBQ、,

所以4。1.平面DBBR,故/0為點/到平面DBBR的距離.

因為C￡>=/￡>=4,ZADC=60°,

所以A4C。是邊長為4的正三角形，所以/O=g/C=2.

即點A到平面的距離為2.(7分)

(2)由(1)可知?！?gt;,0A,。2兩兩互相垂直，

以。為坐標(biāo)原點，礪的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

斗.芻

因為0。為平行六面體/BCD-4月G2的高，又平行六面體的體積為24m，

所以xCDsin60°)xDQ=2473,解得=3.

則0(0,0,0),/(0,2,0),4(0,0,3),5(-273,0,0),Q(-273,-2,3),

所以方滴=126,0,-3),5^=(-273,-2,0),(10分)

/、五田3=0

設(shè)平面的法向量為方=x/,z,貝IJ，,

萬QC=0

-2ypix—3z=0

即《

-2y/3x-2y=0

取％=貝1Jy=13,z=-2,

所以平面*c的一個法向量為為=（6,-3,-2卜

又平面的一個法向量為應(yīng)=（0,1,0）,

設(shè)二面角。一8。-G的大小為6,則|cos6|=|cos依砌=和含=],（13分）

利叫4

所以sind=Vl-cos20=J1--=,

V164

故二面角。--G的正弦值為立.（15分）

4

18.（17分）

如圖，四棱錐尸一48CD中，底面48co是矩形，PA=PB,PC=PD,且平面尸48_L平面PC。.E,F

分別是/尻CD的中點.AB=42BC=42.

（1）求證：APE廠是直角三角形；

（2）求四棱錐尸-48。體積的最大值；

（3）求平面PE尸與平面尸5C的夾角余弦值的范圍.

【解析】（1）設(shè)平面尸4&C平面PCD=/,

由于4B〃OC,48cx平面/DC,8<=平面4。。，

因此4B//平面PDC,而/Cu平面4P8,平面尸48c平面PCD=/,

因此4B///,而4B_LPE,因此/_LPE.

而平面P4B_L平面PCD,平面P48c平面尸CD=/,PEu平面尸4B,

因此尸E_L平面PDC,而PFu平面PDC,因此尸E_LP7L

故aPE尸是直角三角形.（5分）

（2）由于尸￡_L?F,EF=\,因此尸是以E/為直徑半圓上的點.

而4B_LEF,ABLPE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF,

因此48_L平面PEF,而48u平面48cD,

因此平面尸石戶_L平面4BCD.

故P到平面ABCD的最大距離為：，

2

四棱錐尸-28。體積最大為、血乂工=揖.（10分）

322

（3）設(shè)斯中點為。，作過。垂直EF的直線機.

設(shè)平面PEF與平面PBC夾角為6.

以。為原點，OE,m,過。垂直于平面/BCD的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

則E（：,0,0）,F（-1,0,0）,嗎,孚,0）,C（-!，W，0）,并設(shè)P（；cosa,0,；sina）.

平面PEF的一個法向量為碗=（0,1,0）,

8尸=（；cosa-；，-1,；sina）（aG（0,兀）），BC=（-1,0,0）,

_PB-n=0r-

設(shè)平面可。的法向量為〃，因此〈一，可取元=（0,sin凡0）

BC,n=G

sina

cos3=~T^==?不妨設(shè)￡=sina￡(0,l],

Vsina+2

+2）＞0,因此COS。隨sin0增大而增大

a

因此COS0￡.（17分）

19.（17分）

對于空間向量石=（a,4c）,定義