2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拋物線及其性質(zhì)（八大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第07講拋物線及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：拋物線的定義與標準方程.................................................2

題型二：拋物線的軌跡方程.......................................................2

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題...........................................3

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題.......................................3

題型五：焦半徑問題.............................................................4

題型六：拋物線的幾何性質(zhì).......................................................4

題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì).....................................................5

題型八：拋物線的實際應(yīng)用.......................................................6

02重難創(chuàng)新練..................................................................7

03真題實戰(zhàn)練.................................................................11

題型一：拋物線的定義與標準方程

22

1.已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點廠在，軸正半軸上.若點尸到雙曲線C2：二-2=1的一條漸近

26

線的距離為2,則G的標準方程是（）

A28A/3R216A/3

A.y=------xD.y=-------x

33

C.x2=8yD.x2=16y

2.若點P（x,y）滿足方程"（x-l）2+（y-2）2=段+:+12],則點方的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）過點（2,-3）,且焦點在V軸上的拋物線的標準方程是（）

42

A.x2=-3yB.x2=~~yC.x2=--yD.x2=-4y

題型二：拋物線的軌跡方程

4.點A（l,0）,點B是x軸上的動點，線段PB的中點E在y軸上，且AE垂直PB,則點P的軌跡方程為.

5.在平面坐標系中，動點尸和點”（一3,0）、N（3,0）滿足|MN|.|"尸|+MN-N尸=0,則動點P（x,V）的軌跡方

程為.

6.若圓C與無軸相切且與圓/+/=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為（）

A.x2=4y+4B.x2=-4y+4

C.x2=4\y\+4D.x2=4y-4

7.（2024?高三?云南昆明?開學(xué)考試）已知點尸到點尸（0,1）的距離比它到直線/：y+2=0的距離小1,則點尸

的軌跡方程為（）

A.無2=-4yB.x2=4y

C.y2=-4xD.y?=4尤

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題

8.已知拋物線C:/=4x的焦點為歹，點磯3,-1）,若點A為拋物線上任意一點，當(dāng)|筋|+憶目取最小值時，

點A的坐標為.

9.已知點A（2,0）,8（1,4）,M.N是N軸上的動點，且滿足MN=4,的外心P在N軸上的射影為。，

則PQ+PB的最小值為.

10.已知A（3,2）,拋物線C:y=8x的焦點為尸，尸是拋物線C上任意一點，則△7作周長的最小值為.

11.已知拋物線y?=16x,的焦點為尸，尸點在拋物線上，0點在圓C：（x-6）2+（y-2）2=4±,則盧。|+「川

的最小值為.

12.（2024?陜西渭南?二模）若點A在焦點為尸的拋物線丁=-8x上，且|AF|=4,點尸為直線尤=2上的動

點，貝ij|P4|+|PF|的最小值為.

13.拋物線C:/=8x的焦點為尸，準線為/,點尸是準線/上的動點，若點A在拋物線C上，>|AF|=10,

貝”網(wǎng)+|PO|為坐標原點）的最小值為.

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題

14.已知拋物線V=4%的焦點為尸，過尸的直線/與拋物線交于A、8兩點，若一AOF面積是一3。產(chǎn)面積的

兩倍，則|明=（）

A.4B.—C.5D.—

22

15.（2024?四川樂山?三模）已知拋物線C:y2=8x的焦點為尸，準線為/,過點歹的直線交C于P,Q兩點，

PH上/于H,^\HF\^\PF\,。為坐標原點，則△母H與.。尸。的面積之比為（）

A.6B.8C.12D.16

16.（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）已知拋物線C：V=2x的焦點為尸,A（九〃）是拋物線。上的一點，若

M=j,則△as（。為坐標原點）的面積是（）

A.-B.1C.2D.4

2

17.已知拋物線C：y2=8x,點P為拋物線上任意一點，過點尸向圓￡）：Y+y2-4x+3=0作切線，切點

分別為A,2,則四邊形2Z汨的面積的最小值為（）

A.1B.2C.73D.75

18.如圖，已知拋物線C：/=2加（0>0）的焦點為尸，直線/與C相交于A,8兩點，與》軸相交于E點.

△的的面積分別為耳，S],且獸=3,則拋物線C的方程為（）

已知|AF|=7,忸司=3,若AAE廠,

d2

B.y1=4x

C.y2=6xD.y1=8x

題型五：焦半徑問題

19.（2024.廣東佛山.模擬預(yù)測）設(shè)廠為拋物線C:/=4x的焦點，點A在C上，且在第一象限，若直線AF

的傾斜角為三，貝1|詼卜（）

A.2B.3C.4D.5

20.（2024?高三?江蘇南通?開學(xué)考試）已知焦點為尸的拋物線V=2x上A8兩點滿足卜忸周+1=4,則

A8中點的橫坐標為.

21.已知拋物線f=4y的焦點為尸，過尸的直線/交拋物線于A、8兩點，若|AF|=4忸可，則

/=-

題型六：拋物線的幾何性質(zhì)

22.（多選題）已知拋物線C與拋物線V=8y關(guān)于無軸對稱，則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的焦點坐標是（0,-2）B.拋物線C關(guān)于x軸對稱

C.拋物線C的準線方程為y=2D.拋物線C的焦點到準線的距離為8

23.（多選題）已知拋物線C:/=4y的焦點為R點尸為C上任意一點，若點”（1,3）,下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.|P刊的最小值為2

B.拋物線C關(guān)于x軸對稱

C.過點M與拋物線C有一個公共點的直線有且只有一條

D.點P到點M的距離與到焦點廠距離之和的最小值為4

24.（多選題）己知拋物線C:/=4y的焦點為R點尸為C上任意一點，若點”（1,3）,下列結(jié)論正確的

是（）

A.|P耳的最小值為2

B.拋物線C關(guān)于x軸對稱

C.過點M與拋物線C有一個公共點的直線有且只有一條

D.點P到點M的距離與到焦點廠距離之和的最小值為4

題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì)

25.（多選題）設(shè)。為坐標原點，直線丫=/（1）過拋物線。：y=2「匹（0>0）的焦點，且與C交于A8兩

點，/為C的準線，則（）

A.p=lB.|AB|=8

C.以A3為直徑的圓與/相切D.SAAOB=4

26.（多選題）已知直線/經(jīng)過拋物線C：尤2=4〉的焦點歹，且與C交于點A,B,點O為坐標原點，點A,

8在X軸上的射影分別為4，4，點A,B在V軸上的射影分別為4，則（）

A.|闖。4|=4

B.網(wǎng)慨2卜］

C.1-1+4忸尸|的最小值為7

2

D.A|+1^52|<^2AB+40A-OB

27.（多選題）設(shè)拋物線y2=4x,P為其焦點，P為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的準線方程是％=-1

B.焦點到準線的距離為4

C.若A（2,l）,則|網(wǎng)+|尸盟的最小值為3

D,以線段尸尸為直徑的圓與'軸相切

28.（多選題）（2024?高三?江蘇南京?開學(xué)考試）拋物線C:尤2=2py的焦點為尸,尸為拋物線上一動點，當(dāng)尸

運動到&2）時，|P耳=4,直線/與拋物線相交于A3兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A,拋物線的方程為：x2=8y

B.拋物線的準線方程為：y=-4

C.當(dāng)直線/過焦點廠時，以AF為直徑的圓與x軸相切

D.當(dāng)直線/過焦點廠時，以A2為直徑的圓與準線相切

29.（多選題）已知拋物線C：V=4x,直線/過C的焦點廠，且與C交于M,N兩點，則（）

A.C的準線方程為x=-2

B.線段"N的長度的最小值為4

C.存在唯一直線/,使得歹為線段的中點

D.以線段為直徑的圓與C的準線相切

題型八：拋物線的實際應(yīng)用

30.（2024?全國?模擬預(yù)測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分

的橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，

使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

31.（2024?山西晉城?一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至

濱江東路.霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)

該拋物線的焦點到準線的距離為。米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰

兩根吊索之間的距離均為。米（將每根吊索視為線段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點A到橋面的距

離）為b米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點8到橋面的距離）為（）

98/+pb業(yè)

PP

169/+pb遼169a2+2pb

P

32.假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬A3為2m,渠深OC為1.5m,水面防距

AB為0.5m,則截面圖中水面寬E戶的長度約為（）（0.L414，1.732,2.449）

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

33.（2024?湖北?模擬預(yù)測）隨著科技的進步，我國橋梁設(shè)計建設(shè)水平不斷提升，創(chuàng)造了多項世界第一，為

經(jīng)濟社會發(fā)展發(fā)揮了重要作用.下圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為

10米，拱形最高點與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的焦點處懸掛一閃光

燈，則豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為（）（結(jié)果精確到0.01）

A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=12y和圓M:d+y2-4x-4y+4=0,點F是拋物線C的焦

點，圓”上的兩點A8滿足AO=2A￡BO=2B尸，其中。是坐標原點，動點尸在圓M上運動，貝”到直

線A3的最大距離為（）

A.2+V2B.拒C.4+72D.20

2.（2024?高三?河南焦作?開學(xué)考試）已知點A12p+l,3p+；|在拋物線C:f=2刀（p>0）上，則C的焦點

與點（1,2）之間的距離為（）

A.4B.#C.2D.72

3.（2024.四川.模擬預(yù)測）已知拋物線C：/=8y的焦點為RP是拋物線。上的一點，O為坐標原點,

|。尸|=4石，則閥=（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線丁=4尤的焦點為尸、點M在拋物線上,垂直y軸于點N,若|上回=6,

則腦VF的面積為（）

A.8B.4A/5C.5^5D.10小

5.（2024?江西九江?二模）已知拋物線C:J=2px過點4（1,2）,歹為C的焦點，點P為C上一點，。為坐

標原點，貝U（）

A.C的準線方程為x=-2

B.Y4FO的面積為1

C.不存在點尸，使得點P到C的焦點的距離為2

D.存在點尸，使得PQF為等邊三角形

6.（2024?湖南邵陽三模）已知拋物線C：丁=2內(nèi)（。>0）的焦點為產(chǎn)，點1-1,曾在C的準線上，點8在

C上且位于第一象限，F(xiàn)A±FB,貝（）

A475口8Mr10^5八IOA/10

3333

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知拋物線。：：/=2〃%（2>0）的焦點為尸，過戶的直線/與。與交于45兩點

（A點在x軸上方），點若|AF|=|A￡>|,忸刊=g,則C的方程為（）

A.>2=1%B.y2=~xC.y2=2xD.y2=4x

8.（2024.新疆.三模）已知拋物線C/=光的焦點為尸，在拋物線。上存在四個點尸，M,Q,N,若弦尸。

11

與弦的交點恰好為R且PQLMN,則國|+麗二（）

A.—B.1C.J2D.2

2Y

22

9.（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，設(shè)雙曲線C的方程為=-斗=1（。>01>0）,過拋物

a'b"

線y2=4x的焦點和C的虛軸端點的直線/與C的一條漸近線平行.將C的兩條漸近線分別記為4，，右焦

點記為F,若以。尸為直徑的圓M交直線《于。，A兩點，點8在4上，且54=2”，貝lJsinNOBA=（）

10.（多選題）（2024?山西?模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=4x的焦點為RC的準線/與x軸交于點尸，過尸

的一條直線與C交于兩點，過作/的垂線，垂足分別為S,T,則（）

A.\MF\-\NP\^\NF\-\MP\B.ZMFS+ZNFT=^

c.|A^|.|2VF|=|SF|.|7F|D..MZVF的面積等于△srr的面積

11.（多選題）（2024?陜西?一模）已知曲線4的方程為/=是以點A（0,。）為圓心、1為半徑的圓位于y

軸右側(cè)的部分，則下列說法正確的是（）

A.曲線4的焦點坐標為

B.曲線△過點（1,。）

C.若直線丁=尤+2被乙所截得的線段的中點在〃上，則“的值為21

2

D.若曲線心在乙的上方，則。

12.（多選題）（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px（p＞0）的焦點為尸（l,0）,過點（2,0）的動

直線與C交于N兩點，則下列說法正確的是（）

A.|MN|＞2710

B.若|MN|=8近，則|MF|+|NV|=14

C.（|MV|-l）（|NF|-l）為定值

D..MNP為鈍角三角形

13.（多選題）（2024.浙江?模擬預(yù)測）已知曲線C上的點滿足：到定點（1,0）與定直線V軸的距離的差為定

值加，其中，點A,2分別為曲線C上的兩點，且點3恒在點A的右側(cè)，貝IJ（）

A.若機=g,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若m=1,則曲線C的方程為丁=4尤

C.當(dāng)加＞1時,對于任意的A（%,y0）,8（%,%）,都有㈤＞闖

D.當(dāng)租＜-1時，對于任意的8（%,為）,都有國＞闖

14.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=4x的焦點為e，點加在。上，且點/到直線x=-2的

距離為6,則阿同=.

15.（2024.海南?模擬預(yù)測）己知拋物線C:/=6x的焦點為F,過點廠的直線/與拋物線C交于M,N

兩點，若\MN\=54,則直線/的斜率為.

16.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）己知“（3,0）,拋物線y2=4x的焦點為凡準線為/,點A是直線/與x軸

的交點，過拋物線上一點P作直線/的垂線，垂足為。，直線尸尸與加。相交于點N,若NA+NP=MN,則

△AMN的面積為.

17.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測）若過拋物線C：V=4x的焦點F,且斜率為〃2（相＞0）的直線交C于點A（&y）

和B（x2,y2）,交C的準線于點。（七,%），則機Z七%的最小值為.

1=1

18.（2024?江西南昌?模擬預(yù)測）已知點7（2,-2）在拋物線C:y2=2px上，也在斜率為1的直線/上.

（1）求拋物線C和直線/的方程；

（2）若點M,N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對稱，求直線的方程.

19.（2024?浙江?二模）已知點P（l,2）為拋物線C:y?=2px與圓O:V+y2=產(chǎn)在第一象限的交點，另一交

點為Q.

⑴求P/；

⑵若點R在圓。上，直線網(wǎng)為拋物線C的切線，求aPQR的周長.

20.（2024?河南?三模）已知拋物線C：y2=2加（p>0）的焦點為R點加0,2月）為C上一點.

（1）求直線板的斜率；

（2）經(jīng)過焦點廠的直線與C交于A,8兩點，原點O到直線A3的距離為與，求以線段為直徑的圓的標

準方程.

21.（2024.江蘇南京.二模）在平面直角坐標系xOy中，頂點在原點。的拋物線E經(jīng)過點A（9,6）.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若拋物線E不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點3（0,3）的直線/交拋物線后于叔，N,兩點（忸必<|8N|）,過加

作x軸的垂線交線段Q4于點尸.

①當(dāng)經(jīng)過拋物線E的焦點廠時，求直線NP的方程；

②求點A到直線NP的距離的最大值.

㈤3

1.（多選題）（2024年新課標全國n卷數(shù)學(xué)真題）拋物線C：y2=4x的準線為/，尸為C上的動點，過尸

作04:%2+（>一4）2=1的一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為8,貝U（）

A./與〈A相切

B.當(dāng)尸，A,B三點共線時，|尸。|=店

C.當(dāng)|PB|=2時，PA±AB

D.滿足IPAI=IPBI的點P有且僅有2個

2.（多選題）（2023年新課標全國H卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)。為坐標原點，直線y=-G（x-l）過拋物線

C：V=2px（p>0）的焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準線，則（）.

Q

A.p=2B.|MA^|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.，刎V為等腰三角形

3.（多選題）（2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）已知。為坐標原點，過拋物線。:/=2。吠0>0）焦點

下的直線與C交于A,B兩點，其中A在第一象限，點M（p,0）,若|2F|=|AM|,則（）

A.直線AB的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4|OF|D.AOAM+AOBM<180°

4.（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知。為坐標原點，點ACM）在拋物線C:x2=2py（p>0）

上，過點項0,-1）的直線交。于P,。兩點，則（）

A.C的準線為y=-lB.直線48與C相切

C.|0「卜|0。|>|04『D.\BP\\BQ|>|BA|2

5.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）拋物線9=I6x的焦點坐標為.

6.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知拋物線y2=4x上有一點尸到準線的距離為9,那

么點尸到了軸的距離為.

7.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）圓（X-1）2+V=25的圓心與拋物線y2=2px（p>0）的焦點尸重合，A為兩

曲線的交點，則原點到直線"的距離為.

8.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知點A（l,占）在拋物線C：9=2?上，則A到C的準線的

距離為.

9.（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線y2=4尤的焦點為產(chǎn)，點加在拋物線上，垂直x軸于點N.

若刊=6,則點M的橫坐標為；一MN/的面積為.

10.（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知。為坐標原點，拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為歹，P為

C上一點，PF與x軸垂直，。為無軸上一點，且尸QLOP,若「。|=6,則C的準線方程為.

11.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,點0（p,0）,過尸的

直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線垂直于無軸時，|“q=3.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)直線地,初與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為見月.當(dāng)a-6取得最大

值時，求直線的方程.

12.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知尸是拋物線丁=2川（夕>0）的焦點，/是拋物線的準線與

無軸的交點，且|“尸|=2,

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)過點尸的直線交拋物線與兩點，斜率為2的直線/與直線必MB,AB,x軸依次交于點P,Q,

R,N,且|RN「=|PN|.|QN|,求直線/在X軸上截距的范圍.

13.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知。為坐標原點，點P在C上，點。滿足尸。=9。/，求直線OQ斜率的最大值.

14.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）拋物線C的頂點為坐標原點O.焦點在x軸上，直線/：x=l

交C于P,。兩點，且。尸，OQ.已知點M（2,0）,且與/相切.

（1）求C,M的方程；

（2）設(shè)是c上的三個點，直線44，AA均與〃相切.判斷直線&A與“的位置關(guān)系，并

說明理由.

第07講拋物線及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：拋物線的定義與標準方程.................................................2

題型二：拋物線的軌跡方程.......................................................2

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題...........................................3

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題.......................................3

題型五：焦半徑問題.............................................................4

題型六：拋物線的幾何性質(zhì).......................................................4

題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì).....................................................5

題型八：拋物線的實際應(yīng)用.......................................................6

02重難創(chuàng)新練..................................................................7

03真題實戰(zhàn)練.................................................................11

題型一：拋物線的定義與標準方程

22

1.已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點廠在，軸正半軸上.若點尸到雙曲線C2：二-2=1的一條漸近

26

線的距離為2,則G的標準方程是（）

A28A/3R216A/3

A.y=------xD.y=-------x

33

C.x2=8yD.x2=16y

【答案】A

【解析】先根據(jù)雙曲線的方程求解出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求解出拋物線方程

22

中的P,則拋物線方程可求.雙曲線C?的漸近線方程是二-21=0,即y=±氐.

26

因為拋物線的焦點E（0,￡（P>0）到漸近線瓜_y=0的距離為2,

則［i==2,即P=8,所以G的標準方程是無2=16y,

2V3+1

故選：D.

2.若點尸（x,y）滿足方程J（x-iy+（y-2）2=肉+?+12］,則點尸的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】A

［解析】等式左側(cè)表示點尸（x,可與點（L2）間的距離，

等式右側(cè)表示P（x,y）到直線3x+4y+12=0的距離，

整個等式表示點P（x,y）到點（1,2）的距離和到直線3x+4y+12=0的距離相等,

且點（L2）不在直線3x+4y+12=0上，

所以點尸軌跡為拋物線.

故選：D.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）過點（2,-3）,且焦點在'軸上的拋物線的標準方程是（）

42

A.x2=-3yB.x2=--yC.x~=--yD.x2=-4y

【答案】A

【解析】設(shè)拋物線的標準方程為爐=◎(a*0),

4

將點點(2,-3)代入，得22=-3。，解得a=-§,

所以拋物線的標準方程是無2=-]y.

故選：B

題型二：拋物線的軌跡方程

4.點A(1,O)，點2是x軸上的動點，線段P2的中點E在y軸上，且AE垂直PB,則點P的軌跡方程為.

【答案】丁=4x(5)

【解析】設(shè)尸(％?)，川州0)，則石(乎，由點E在y軸上，得f=0,則冽=r,即E]O，￡].又

2

AE±PB,若xwO,貝力,2y即丁=4%.若%=0,則切=0,此時點尸，3重合，直線

K-K=-----x—=—1

AEFPBR0-12x

P8不存在.所以點P的軌跡方程是丁=4苫(%*0).

故答案為：y2=4x(x^O).

5.在平面坐標系中，動點P和點加(-3,0)、N(3,0)滿足|MN|.|M尸|+MN-N尸=0,則動點次蒼V)的軌跡方

程為.

【答案】y2=-12x

[解析1由題意=(6,0),MP=(x+3,y),NP=(x-3,y),

由IMN|?|MP|+MN-NP=0得6j(x+3)2+;/+6(x-3)=0，

化簡得y2=-12x.

故答案為：y2=-12x.

6.若圓C與x軸相切且與圓V+/=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為()

A.x2=4y+4B.x1--4y+4

C.X2=4|J|+4D.x2=4y-4

【答案】B

【解析】設(shè)圓心坐標為(x,y)，依題意可得J心+y=2+3,化簡得了2=4祝+4,

即圓C的圓心的軌跡方程為x2=4|y|+4.

故選：C

7.(2024?高三?云南昆明?開學(xué)考試)已知點尸到點尸(0,1)的距離比它到直線/："2=0的距離小1,則點尸

的軌跡方程為()

A.x2=-4yB.x2=4y

C.y2=-4xD.y2=4x

【答案】A

【解析】由題意，點尸到點尸(o,i)的距離等于它到直線y=-i的距離，

則點P的軌跡是以尸為焦點，＞=-1為準線的拋物線，則點P的軌跡方程為x2=4y,

故選：B.

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題

8.已知拋物線C:4x的焦點為尸，點3(3,-1),若點A為拋物線上任意一點，當(dāng)|AB|+|AF|取最小值時,

點A的坐標為.

【答案】

【解析】拋物線C：y2=4x的焦點為F(l,0),準線方程為x=—l,

過點A作AC垂直準線交于點C,貝“AF|=|AC|,

所以|AB|+|AF：=|AB|+|AC|?|3C，當(dāng)且僅當(dāng)B、A、c三點共線時取等號，

即A8平行于無軸時|AB|+|AF|取最小值，此時以=-1，則(-1)2=4/，即％=；,

所以心-11

故答案為：(才—1]

9.已知點A(2,0),5(l,4),M,N是V軸上的動點，且滿足MN=4,的外心尸在V軸上的射影為。,

則PQ+PB的最小值為.

【答案】3

【解析】設(shè)點M（OJ）,則N（OJ-4））根據(jù)點尸是一AAW的外心,P（x,r—2）,

而1PMl2則/+4=（*_2）2+?_2）2

所以尤=七或，〉._2

4

從而得到點尸的軌跡為>2=4x,焦點為尸（1,0）

由拋物線的定義可知歸同=|PQ|+1因為|尸盟+|也淪忸尸|=4,

\PF\+\PB\=\PQ\+]+\PB\>4,

即|PQ|+|冏23,

所以|PQ|+|PB|的最小值為3,

故答案為：3

10.已知43,2）,拋物線C:/=8x的焦點為F,P是拋物線C上任意一點，則2X24廠周長的最小值為

【答案】5+45

【解析】拋物線的準線x=-2,F（2,0）,過點P作陽垂直于準線，

由題可知，AR4F的周長為|AF|+|R4|+|尸盟=|AF|+|R4|+|PM，

又|AF|=,J（3-2）2+22=非,

易知當(dāng)A,P,”三點共線時，的周長最小，且最小值為5+班.

故答案為：5+75

11.已知拋物線y?=16無，的焦點為凡尸點在拋物線上，0點在圓C：(X-6)2+(J-2)2=4±,則怛。|+|尸尸|

的最小值為.

【答案】8

【解析】如圖，過點尸向準線作垂線，垂足為A,則|尸司=|上4|,

當(dāng)CP垂直于拋物線的準線時，依尸|+歸山最小，

此時線段CP與圓C的交點為0,因為準線方程為尤=^,C(6,2),

半徑為2,所以|PQ|+|「目的最小值為闡=圖-2=10-2=8.

故答案為：8.

12.(2024?陜西渭南?二模)若點A在焦點為尸的拋物線產(chǎn)=一8彳上，且|AF|=4,點尸為直線尤=2上的動

點,貝IJ|科+|尸盟的最小值為.

【答案】4乖

【解析】拋物線y2=-8x的焦點廠(-2,0),準線X=2,設(shè)4%,%),

貝“AF|=2-%=4,解得％=-2,顯然尤=16,%=±4,不妨設(shè)A(-2,4),

尸(-2,0)關(guān)于直線尸2的對稱點為尸'(6,0),則|PP|=|PP|

因此|到+|尸盟=|到+|PF[,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'三點共線時取等號，

所以|到+|P盟的最小值為7(-2-6)2+(4-0)2=475.

故答案為：46

13.拋物線C：V=8尤的焦點為歹，準線為/,點P是準線/上的動點，若點A在拋物線C上，且|A同=10,

貝”網(wǎng)+|PO|(。為坐標原點)的最小值為.

【答案】4屈

【解析】由C：V=8x,得p=4,所以尸(2,0),準線/為x=—2,

不妨設(shè)點A在第一象限，過A作于8,則|A典=|A同=4+2=10,得/=8,

則只=8x8,得乃=8,所以4(8,8),

設(shè)點。關(guān)于直線x=-2對稱點為0(-4,0),則戶0|=|/科，

所以|上4|+|PO|=|PA|+|PZ)|>\AD\=’(8+4)2+8。=4而，

當(dāng)且僅當(dāng)AP,。三點共線時取等號，

所以|X4|+|PO|的最小值為4萬,

故答案為：4^13

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題

14.已知拋物線y2=4%的焦點為尸，過尸的直線/與拋物線交于A、2兩點，若jlOF面積是..次萬面積的

兩倍,則|AB|=()

911

A.4B.—C.5D.—

22

【答案】A

【解析】由題意得尸。,0),當(dāng)直線/的斜率為0時，此時與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去；

設(shè)過尸的直線/的方程為x=l+緲，與拋物線丁=4尤聯(lián)立得,

y1—4my—4=0,

設(shè)4(%,%),3(%,%),%>0,%<0，則M+必=4〃7，M%=-4,

因為AOF面積是，3Q尸面積的兩倍，所以％=-2丫2，

貝U%%=-2>；=—4,解得％=-〃，則％=-2%=2拒，

則4m=%+%=^2,解得m=，

故&+%=乎(％+%)+2="|，

故選：B

15.(2024?四川樂山.三模)已知拋物線C:y2=8x的焦點為產(chǎn)，準線為/,過點E的直線交C于P,。兩點,

PHLI于H,^\HF\=\PF\,。為坐標原點，則△PFH與，。/。的面積之比為()

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【解析】依題意，由P//JL/于H,得|P"|=|PF|=|HF|,即△PEH是正三角形，NPFx=NFPH=60,

而尸(2,0),則直線尸。的方程為了=如。-2),

由［。一"。一2),消去y并整理，得3--20x+12=0,

U=8x

2

令尸(占,%),。(%,%),解得％=6,%=§,又準線/:x=-2,

Q

因止匕IPb|=玉+2=8]QF\=x2+2=-,

1

q—|PF|92sin60*2

所以APFH與OFQ的面積之比沁=產(chǎn)--------------=4=12.

3'Q||eF||OF|sin60|x2

故選：C.

16.（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）已知拋物線C：V=2x的焦點為￡A（八〃）是拋物線。上的一點，若

M=j,則△Q4F（。為坐標原點）的面積是（）

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】A

【解析】由題可得歹（；，0；因為|AF|=g=m+；,

所以機=2,/=4,

所以一OAP（O為坐標原點）的面積是gxgx2=j

故選：A.

17.已知拋物線C：y2=8x,點p為拋物線上任意一點，過點P向圓￡＞：/+丫2一41+3=0作切線，切點

分別為A,B,則四邊形2Z汨的面積的最小值為（）

A.1B.2C.73D.6

【答案】B

【解析】如圖，連接尸￡）,圓。：（X-2）2+/=1,該圓的圓心與拋物線的焦點重合，半徑為1,

則S四邊形PADB=^Rt^PAD=|P4|?

又|PA|=J|卬2-1,所以當(dāng)四邊形RWB的面積最小時，|尸。最小.

過點P向拋物線的準線x=-2作垂線，垂足為E,貝”/犯=|咫，

當(dāng)點P與坐標原點重合時，|PE|最小，此時眼|=2.

故圖邊加皿）皿=（曬W）=6.

\/min

故選：C

18.如圖，已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，直線/與C相交于A,B兩點，與，軸相交于E點.

已知|盟=7,|網(wǎng)=3,若△但△①/的面積分別為跖，S2,且今=3,則拋物線C的方程為()

C.V=6xD.y2=Sx

【答案】A

【解析】如圖，過48分別作C的準線的垂線分別交y軸于點M,N,

因為C的