2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖....................................4

知識(shí)點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)......................................4

知識(shí)點(diǎn)3：y=AsinOx+協(xié)與y=Acos(wx+4)(A>0,w>0)的圖像與性質(zhì).....................6

解題方法總結(jié)....................................................................8

題型一：五點(diǎn)作圖法..............................................................9

題型二：函數(shù)的奇偶性...........................................................11

題型三：函數(shù)的周期性...........................................................12

題型四：函數(shù)的單調(diào)性...........................................................14

題型五：函數(shù)的對(duì)稱性(對(duì)稱軸、對(duì)稱中心).......................................16

題型六：函數(shù)的定義域、值域(最值).............................................17

題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.................................................19

題型八：根據(jù)條件確定解析式.....................................................21

題型九：三角函數(shù)圖像變換.......................................................24

題型十：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題...................................................26

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................29

05課本典例高考素材............................................................30

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................64

易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換錯(cuò)誤...................................................64

答題模板：求三角函數(shù)解析式.....................................................32

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)正弦函數(shù)、余弦函2024年天津卷第7題，5分本節(jié)命題趨勢(shì)仍是突出以三角函數(shù)的圖像、

數(shù)和正切函數(shù)的圖像性質(zhì)2024年北京卷第6題，5分周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等重點(diǎn)

(2)三角函數(shù)圖像的平2024年H卷第9題，6分內(nèi)容展開(kāi)，并結(jié)合三角公式、化簡(jiǎn)求值、平面向

移與變換2023年甲卷第12題，5分量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注

(3)三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用2023年天津卷第5題，5分重三角知識(shí)的工具性，以及三角知識(shí)的應(yīng)用意

問(wèn)題2023年I卷第15題，5分識(shí).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解正、余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2萬(wàn)］內(nèi)的性質(zhì).理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

(2)了解函數(shù)丫=Asin(0x+°)的物理意義，能畫出y=Asin(ft?x+°)的圖像，了解參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的

影響.

(3)了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

--------------H-H-u

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1:用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(1)在正弦函數(shù)y=sinx,無(wú)￡[0,21]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

7T3乃

(0,0),(-,1),(萬(wàn)，0),(——，一1),(2萬(wàn)，0).

22

(2)在余弦函數(shù)y=cosx,xe[0,2汨的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

(0,1),(-,0),(^,-1),(—,0),(2^-,1).

22

7T7T

⑵求函數(shù)/7（x）=〃2x）,xe的值域.

o3

知識(shí)點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cos%y=tanx

-f/L上

圖象考h睪

_2L：Zk?\2LX

-V_2'f\\2

71

定義域RR

值域[-b1][-1-1]R

周期性27r27c71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

/7兀1TC、

遞增區(qū)間[2k7i-—，2kji+—][-7T+2k冗,2kyr](K7V,K7UH)

2222

?！?/p>

遞減區(qū)間H—,2brH][2左],7t+2ki]無(wú)

22

71仔,。）

對(duì)稱中心(ki,0)(k/r+—,0)

7兀

對(duì)稱軸方程X=k7l-\——X=k7l無(wú)

2

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是工；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是二;

22

正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離工；

4

【診斷自測(cè)】（多選題）（2024?湖南衡陽(yáng).三模）已知函數(shù)/5）=412!1（0苫+9）［0＞0,同＜、）的部分圖象如

A.函數(shù)/（X）的最小正周期為1

B.sin0=

c.函數(shù)/（X）在IT，兀］上單調(diào)遞增

D.方程/（x）=sin2x+：（04尤＜兀）的解為獲,7兀

~8

知識(shí)點(diǎn)3：y=Asin(vux+0)與y=Acos(wx+^)(A>0,w>0)的圖像與性質(zhì)

(1)最小正周期：T=—.

w

(2)定義域與值域：y=Asin(ua+。)，y=Acos(wx+°)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)锳].

(3)最值

彳發(fā)設(shè)A>0,vr>0.

①對(duì)于y=Asin(wx+。)，

當(dāng)wx+。=2+2kyr(kGZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

<一

當(dāng)wx+，=-%+2k兀(keZ)時(shí),函數(shù)取得最小值-A;

②對(duì)于y=Acos(wx+°),

f當(dāng)wx+。=2k兀*GZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

[當(dāng)松+(/>=2k兀+7i(kGZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值-A;

(4)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.

彳段設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=Asin(wx+。)，

冗

當(dāng)+(/)=k7r+—(kE：Z),即sin(wx0+0)

<=±1時(shí)，y=sin(w%+0)的對(duì)稱軸為％=%o

當(dāng)Ma。+(/)=k兀*GZ),即sin(wx0+敢)=0

時(shí)，y=sin(wx+。)的對(duì)稱中心為(%,0).

②對(duì)于y=Acos(wx+°),

當(dāng)皿/+(/)=kji(kGZ),即cos(wXo+。)=±1

時(shí)，y=cos(wx+。)的對(duì)稱軸為兀=x0

v71

當(dāng)+(/)=k7T+—(kGZ),RPcos(wx0+。)

=0時(shí)，y=cos(via+。)的對(duì)稱中心為(%o,O).

正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與元軸交

點(diǎn)的位置.

(5)單調(diào)性.

彳發(fā)設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=Asin(wx+0)，

jrjr.

wx+e[-----F2左肛——F2k7l](k￡Z)=>增區(qū)間；

<

wx+，￡[]+2%質(zhì)蓑+2%刈(％￡Z)n減區(qū)間.

②對(duì)于y=Acos(vux+°),

Jvvx+?！闧-7T+2ki,2k?f\(kwZ)n增區(qū)間；

[松+?！闧2左],2左乃+?](%￡2)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

由函數(shù)y=sinx的圖像變換為函數(shù)y=2sin(2x+()+3的圖像的步驟;

方法一：1+1-2%+?).先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們

“想欺負(fù)”(相一期一幅)三角函數(shù)圖像，使之變形.

向左平移￡個(gè)單位n所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的!

y=sin弼圖像------——>y=sin(x+5)的圖像-------雙林福一j

y=sin(2%+g)的圖像所有點(diǎn)的令等來(lái)的2倍>y=2sin(2x+5)的圖像

向上平移3個(gè)單色一》y=2sin(2x+0)+3

方法二：先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的工

入E向左平移個(gè)單位

242

尸縱坐標(biāo)不變■y二sin2珀勺圖像-----------

y=sin2(x+-)=sin(2x+2)的圖像所有點(diǎn)的翻舞普來(lái)的？倍>

62

y=2sin(2x+g)的圖像向上平松各單位>y=2sin(2^+()+3

注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮(先相位后周期，即“想欺負(fù)”)，但先伸縮后平移(先周期

后相位)在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量x而言的,

即圖像變換要看“變量X”發(fā)生多大變化，而不是“角wx+^”變化多少.

【診斷自測(cè)】(多選題)(2024?山東荷澤.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)g(x)=sin(0x+e)(O<0<4,O<e<7t)為偶函

數(shù)，將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的：，得到函數(shù)

/(X)的圖象，若“X)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,[),則()

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為1

B.函數(shù)/(尤)圖象的一條對(duì)稱軸為x=占

4

C.函數(shù)/(x)在(1,§)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/(尤)在(0,切上恰有5個(gè)零點(diǎn)

解題方法總結(jié)

1、關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；

TT

(1)函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸為無(wú)=上打+萬(wàn)?(kEZ),對(duì)稱中心為(2%.0)(左cZ)；

rr

(2)函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸為％(左EZ),對(duì)稱中心為(4萬(wàn)+萬(wàn),0)(左￡Z)；

(3)函數(shù)y=tanx函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為(年,0)(左￡Z)；

■JT

(4)求函數(shù)y=Asin(vux+°)+Z?(wwO)的對(duì)稱軸的方法；令++k兀*GZ),得

717.

----FK71-(J)1/

x=-........(ZwZ)；對(duì)稱中心的求取方法；令卬%+。=左"(左EZ),得了=」---，即對(duì)稱中心為

WW

L，6).

W

717.

——VK71-(P

(5)求函數(shù)y=Acos(vta+0)+》(wwO)的對(duì)稱軸的方法；令vux+0=左萬(wàn)(左sZ)得x=2--------,即

W

71,,

一+攵萬(wàn)一0

對(duì)稱中心為(2-------,b)(kGZ)

W

2、與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

7T

(1)若丁=Asin(0x+0)為偶函數(shù)，則夕=左乃+耳(左eZ)；若為奇函數(shù)，則。=左〃(左eZ).

JT

(2)若丁=Acos(@x+0)為偶函數(shù)，則0=Qr/eZ)；若為奇函數(shù)，則/二左乃+耳(左￡2).

(3)若y=Atan(0x+°)為奇函數(shù)，則(p=ki*eZ).

1題型洞察J]

題型一：五點(diǎn)作圖法

【典例1-1】已知函數(shù)〃x)=2sin(2x-T，xeR

⑴在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,可上的圖象時(shí)，列表如下:

c兀717兀

2x----

4~4

X071

/(X)

將上述表格填寫完整，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象;

2

3

-

2

1

1

-

2

-

1->

-X

2

-31

-2

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間-：，：上的最值以及對(duì)應(yīng)的X的值.

【典例1-2】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)〃x)=Asin?x+e),［＞。,附在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，歹?。荼?/p>

并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

兀571

X~6

713兀

cox+（p0兀2兀

2~2

Asin（（ur+o）05-50

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)/(X)的解析式;

TT

(2)當(dāng)xe--,0時(shí)，求不等式〃x)20的解集.

【方法技巧】

(1)在正弦函數(shù)y=sinx,xe[0,2;r]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

Jr37r

(0,0),(-,l),(^,0),(y,-1),(2^-,0).

(2)在余弦函數(shù)y=cosx,xc[0,2淚的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

TT3冗

(0,1),(5,0),(萬(wàn)，-1),(耳，0),(2萬(wàn)，1).

【變式1-1](2024.云南曲靖?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=sin[2x-H.

⑴完善下面的表格并作出函數(shù)在[0,句上的圖象:

711171

2x--071

66~6~

5TI

X~6

/(x)1

斗

1-

；；):

!!

匹工工2兀5兀兀

"6-3-236"：■"

⑵將函數(shù)/⑴的圖象向右平三個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到g(x)的圖象，解不等式g(x)N。

7171

【變式1-2]設(shè)函數(shù)〃x)=2sin—X+—

63

⑴列表并畫出y=/（x）,xe［—2,10］的圖象;

⑵求函數(shù)g（x）=/（l+“）+〃4-x）在區(qū)間［0,6］上的值域.

題型二：函數(shù)的奇偶性

【典例2-1］若將函數(shù)'=$泣2尤+cos2x的圖象向右平移°（。＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)人元）的圖象，且

“X）為奇函數(shù)，則夕的最小值是（）

A.三B.亞C.巴D-

2848

【典例2-2】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)〃x）=sin12At的圖象向右平移砒夕＞0）個(gè)單位后，所得圖

象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則夕的值可以為（）

327r—兀-兀一兀

A.—B.-C.-D.一

3364

【方法技巧】

由丁=5詁%是奇函數(shù)和y=cosx是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論:

（1）若y=Asin（%+°）為奇函數(shù)，^A（/）=kjr（keZ）；

rr

（2）若y=Asin（%+°）為偶函數(shù)，則。=左》+耳（左￡Z）；

JT

（3）若y=Acos（X+。）為奇函數(shù)，貝!左左+萬(wàn)（左EZ）；

（4）若丁=Acos（%+。）為偶函數(shù)，則。=左左（左EZ）；

若丁=Atan（x+°）為奇函數(shù)，則。=z（女EZ）,該函數(shù)不可能為偶函數(shù).

【變式2-1］（2024?青海西寧?二模）將函數(shù)y=3sin（3x+°）的圖象向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱，則閘的最小值為（）

【變式2-2](2024?四川成都?一模)己知函數(shù)/⑺(xeR)滿足：/(x)=2-f(-%),函數(shù)

g(x)=/(x)+^-,若g(a)=2,則g(-a)=()

cosx+2

A.-2B.0C.1D.4

【變式2-3】已知/(x)=ln(VZn-x)+ftanx+占，則/(lg&)+/)g曰]=()

A.-1B.0C.1D.2

題型三：函數(shù)的周期性

【典例3-1】（2024?江西.南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）將函數(shù)/（x）=cos2x的圖象向右平移

。個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若對(duì)滿足/（百）-g（七）|=2的和三，總有|x.-x2|的最小

值等于g7T則0=（）

6

兀71_71-5兀

A.—B.—C.—D.—

126312

【典例3-2】函數(shù)/（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期為（）

C3?！ㄘ?兀

A.九B.—C.—D.—

224

【方法技巧】

關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論:

2支

(1)函數(shù)y=Asin(ua+。)+b,y=Acos(wx+^)+b,y=Atan(wx+。)+6的周期分別為T=

(2)函數(shù)y=|Asin(wx+樹(shù),y=|ACOS(WX+/)|,y=|Atan(wx+樹(shù)的周期均為T=y~[

2幾

(3)函數(shù)y=|Asin(ua+0)+@(bwO),y=|Acos(wx+，)+M3wO)的周期均T=晴,

rm兀

【變式3-1】已知函數(shù)/⑺=2sin一+—+1(〃?eNN：*),則/⑴+/⑵+〃3)+…+/(2025)=()

24

A.2025B.2025+金

C.2026+尤D.20260

【變式3-2］已知函數(shù)/（x）=cos0%（sincox+A/3COSCOX}（6y＞0）,如果存在實(shí)數(shù)X。，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,

都有了（尤0）＜/（X）＜/（々+2。16%）成立，則田的最小值為

A-ZohB./1

cD.-------

-六2016

【變式3-3】設(shè)函數(shù)/(x)=Acos(tyx+°)（A，。，。是常數(shù),A＞。，80）.若〃尤）在區(qū)間黃上

71

具有單調(diào)性，且f,則/?（元）的最小正周期為

【變式3-4］（2024.吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin（mx+（p）,如圖A8是直線y與曲線

5兀

則/()

D--T

【變式3-5］（2024?遼寧?二模）A,B,C是直線y=〃z與函數(shù)/（x）=2sin（0x+°）（a）＞Q,0＜?＜無(wú)）的圖

象的三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示.其中，點(diǎn)40,虛），B,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和馬，若無(wú)2-％=?，則

()

c.V2D.2

題型四：函數(shù)的單調(diào)性

（27r\27rn.

【典例4-1】（2024?全國(guó)二模）已知函數(shù)〃x）=cos[y-2xJ,xe-y,j,則函數(shù)〃力的單調(diào)遞減區(qū)

間為.

【典例4-2】（2024?高三.山東青島.期末）函數(shù)/（x）=cos2x+sinxcosx的單調(diào)減區(qū)間為

【方法技巧】

三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)〉=4豆11（墳彳+”）看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式.

如函數(shù)y=Asin（wx+。）（4>0,w>0）的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧wx+（/）看做是一個(gè)整體，

如由2^^-|^叱+。42依+|<左€2）解出工的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；

由2左乃+|^幡+。42日+子（左€2）解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.

若函數(shù)y=Asin（wx+°）中A>0,w>0,可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥=—Asin（—wx—0）,貝U

y=Asin（-wx-。）的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間.

對(duì)于函數(shù)y=Acos（wx+</））,y=Atan（w%+^）的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可.

【變式4-1】函數(shù)/（x）=sin2x+2cosx在（。㈤上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【變式4-2]（2024?湖北?二模）將函數(shù)y=sin卜+點(diǎn)71的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的《（縱坐標(biāo)不變）,

6

再向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）

A.在區(qū)間-',0上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增

7TIT7T71

C.在區(qū)間-7/上單測(cè)遞減D.在區(qū)間一丁/上單調(diào)遞增

6363

【變式4?3】(2024?湖南長(zhǎng)沙?二模)已知函數(shù)〃力=眄11(。元+。“口>0,。<。<1］的最小正周期為2兀，直

線是/⑺圖象的一條對(duì)稱軸，則/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.12左兀一巳,2航+^'(%￡Z)

2E一弓,2E一日(ZEZ)

B.

2%兀一票,2女兀一；(女￡Z)

C.

71_2兀

D.2k71—,2左71H-----(%￡Z)

I33

【變式4-4】已知函數(shù)〃x)=Acos(0x+e，A>O,0>O,l9l<gJ,若函數(shù)/(x)的圖象向左平移*個(gè)單位

長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式〃x)NT的解集為()

jr7-rr

B.--+2^,—+2^(左EZ)

312V7

C.——+kjv+k7i(keZ)

412v7

7C［冗］

D.---------1-k兀,------1-krc(keZ)

312

【變式4-5]y=cos（mr+0）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（）

題型五：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）

【典例5-1]（2024.上海松江??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=/（x）的對(duì)稱中心為（0,1）,若函數(shù)y=l+sin無(wú)的

6

圖象與函數(shù)y=的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為（孫丹），卜2，4），…，（/，3,則?,+%）=

【典例5-2】寫出函數(shù)=的一個(gè)對(duì)稱中心：_____.

1-sinx

【方法技巧】

關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；

JV

（1）函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸為％MATT+'/EZ）,對(duì)稱中心為（左4.0）（左wZ）；

JT

（2）函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸為％=左%（左wZ）,對(duì)稱中心為（左》+—,0）（女EZ）；

2

“77"

（3）函數(shù)y=tanx函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為（萬(wàn),0）（女wZ）；

7T

（4）求函數(shù)y=Asin（wx+°）+Z?（wwO）的對(duì)稱軸的方法；wx+^=—+kn（keZ）,得

717,

—+K7l-（p

x=-................（ZwZ）；對(duì)稱中心的求取方法；令wx+（/）=k兀*eZ）,得

元=紅二幺，即對(duì)稱中心為(紅二加.

WW

717.

——VK71-(/)

(5)求函數(shù)y=Acos(vvx+0)+b(wwO)的對(duì)稱軸的方法；令也+。=左乃(左$Z)得x=2--------，即

w

717/

—+KTi-g)

對(duì)稱中心為(2--------”)(％￡Z)

W

【變式5?1】(2024?高三?河南?期末)將函數(shù)/(x)=cos2x+指Sin2x圖象向右平移。(9〉0)個(gè)單位，得到的圖

象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，則。的最小值為.

了,。)對(duì)稱，那么

【變式5-2](2024?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2cos(3x+0)的圖象關(guān)于點(diǎn)

的最小值為

71

【變式5-3](2024?高三?吉林通化?期中)已知三角函數(shù)"比)=sin(。尤+夕)|0>0,好|0,的圖象關(guān)于

(0,0)對(duì)稱，且其相鄰對(duì)稱軸之間的距離為叁，則。=

7T

【變式5-4](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)了(x)=asinx+cosx的圖象關(guān)于直線％=-二對(duì)稱，貝心=

6

題型六：函數(shù)的定義域、值域(最值)

【典例6-1】實(shí)數(shù)%,丁滿足/-孫+/=1,則x+2y的范圍是.

【典例6-2】求y=J—二'的值域.

2-cosx

【方法技巧】

求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類型處

理.

(1)y=asinx+l>,設(shè)ysinx,化為一次函數(shù)y=小+6在[-1,1]上的最值求解.

(2)y=〃sinx+bcosx+c,引入輔助角。(tan0=—),化為ysin(%+°)+c,求解方法同類

a

型(1)

(3)y=asin2x+bsinx+c,設(shè)，=sinx,化為二次函數(shù)y=〃/+初+c在閉區(qū)間，￡［一1,1］上的最值求

角軋也可以是y="cos2x+bsinx+c^y=acos2犬+bsinx+c型.

(4)=tzsinxcosx+Z?(sinx±cosx)+c,=sinx±cosx,貝U/=l±2sinxcosx,故

sinxcosx=±〈,故原函數(shù)化為二次函數(shù)y=a?(±丁)+初+c在閉區(qū)間［-應(yīng),應(yīng)］上的最值求解.

(5).="sinx+"與二=asinx+J根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式

csinx+dccosx+d

法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關(guān)于sin%或cosx的函數(shù)求解釋務(wù)必注意

sin%或cosx的范圍.

(6)導(dǎo)數(shù)法

(7)權(quán)方和不等式

【變式6?1】設(shè)〃>0,則〃x)=2a(sinx+cosx)—sinx.8&￥—24的最小值為.

【變式6-2］(2024?上海崇明?二模)已知實(shí)數(shù)再瓜2，3%滿足：^+犬=1,1+貨=1,%%-型2=1，則

x

\i+%-N+\x2+必-2怕勺最大值是.

【變式6-3】已知函數(shù)/(x)=：sin2xcos;c,該函數(shù)的最大值為.

JT7兀

【變式6“】函數(shù)—Ti-X”的值域?yàn)椤?

【變式6-5］函數(shù)y=(l+2sinx)(l+2cosx)在區(qū)間-旌上的最大值與最小值之和是—.

【變式6-6］(2024?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)設(shè)角”、)均為銳角，貝人inc+sinZ?+cos(a+夕)的范

圍是

【變式6?7】已知向量2=(sinx,cosx),^=(sinx,sin%),函數(shù)/(x)=a-b.

71

⑴求了

12

⑵若把/“）的圖象向右平移F個(gè)單位長(zhǎng)度可得g（x）的圖象，求g（無(wú)）在0，1上的值域.

6o

■a,,?/、sinxcosx遼,-t_u、r

【變式6-8］函數(shù)/(x)=；~；---------的值域?yàn)?

1+sinx+cosx

題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例7-1］（多選題）（2024?貴州六盤水.三模）已知函數(shù)〃x）=sin（s+e）。>0,|夕|<；,若函數(shù)/（尤）

圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為三，x=-￡為函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱軸，貝IJ（）

26

A.co=2

C.點(diǎn)《可是函數(shù)〃尤）圖象的對(duì)稱中心

D.將函數(shù)/（無(wú)）的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

【典例7-2］（多選題）（2024?安徽三模）已知函數(shù)"尤）=binx|-Gcos尤，則（）

A.〃尤）是偶函數(shù)B./⑴的最小正周期是兀

C.“X）的值域?yàn)椴烦?2］D./（尤）在［-兀,-鼻上單調(diào)遞增

【方法技巧】

三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性）中，尤為重要的是對(duì)稱性.

因?yàn)閷?duì)稱性=>奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/（x）為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸

對(duì)稱，則函數(shù)/（x）為偶函數(shù)）；對(duì)稱性=>周期性（相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是相鄰的對(duì)稱中心之

間的距離為工；相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為二）；對(duì)稱性=>單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱軸之間，函

24

數(shù)/（%）單調(diào)，特殊的，f（x）=Asin（Hx）,A>0,w>0,函數(shù)/（%）在血0］上單調(diào)，且?！暌?］，設(shè)

9=max{|?，2}，則:2。深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性之間的緊密聯(lián)系)

【變式7?1](多選題)(2024?廣東廣州?三模)已知函數(shù)/(x)=2(cosx+sinx)cosx-l,則()

A.B./(1)>/(2)

【變式7-2](多選題)(2024?黑龍江佳木斯.三模)關(guān)于函數(shù)〃x)=|cosx|+Mn2x|W，則下列說(shuō)法正確是

()

A.兀是函數(shù)/卜)的一個(gè)周期B.在上單調(diào)遞減

C.函數(shù)圖像關(guān)于直線尤=手對(duì)稱D.當(dāng)xe[-10兀,10可時(shí)，函數(shù)〃尤)有40個(gè)零點(diǎn)

【變式7-3】函數(shù)〃x)=45由(8+夕),>0,0>0,[同<])的部分圖象如圖所示?

⑴求函數(shù)〃力的解析式；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象先向右平移:個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的3(縱坐標(biāo)不變)，得

到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在xe聿上的最大值和最小值；

(3)若關(guān)于x的方程g(x)-m=。在xe上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式7-4](2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=26sinxcosx-2cos2%+1.

⑴若力￡'求/("的值域；

(2)若關(guān)于％的方程/(%)-〃=。有三個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)根巧，巧，、3，且菁＜%2＜%3，毛+2再=3%,求4

的值.

【變式7?5】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2si]ixcosx-275sin2x+g.

(1)若xe0,-時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)用的取值范圍；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移自個(gè)單位，得到函數(shù)

g(x)的圖象.若xe[(U],函數(shù)g(x)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

題型八：根據(jù)條件確定解析式

【典例8-1](2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃x)=2sin(ox+0”＞0,0＜夕＜qj的圖象如圖所示

?-；,-21,81,2；將/(耳的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式為

()

B.g(x)=2sin；尤+:

兀兀

C.g(x)=-2sin—x----

23

7171

D.g(x)=-2sin—x+—

23

【典例8-2]（2024?四川攀枝花?二模）函數(shù)“彳）=4?（5+夕）（4＞0,。＞0,照＜2的部分圖象如圖所示,

則將y=/（x）的圖象向右平移多個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)圖象解析式為（）

6

y=sin12x+g

B.y=cos2xC.y=sin2xD.

【方法技巧】

根據(jù)函數(shù)必關(guān)于y軸對(duì)稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到y(tǒng)=cosvia的模型，從圖象、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最

值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解.

【變式8-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）函數(shù)/（同=25訊5+。）（。＞0,-兀＜。＜兀）的部分圖像如圖所示,

把函數(shù)“X）的圖像向右平移得得到g（x）,則g（x）的解析式為（）

【變式8-2]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖所示的曲線為函數(shù)

〃x）=Acos（0xw）（A>O,0>O,|d<S的部分圖象，將y=/（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3

倍，再將所得曲線向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g（"