2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（講義）（解析版）

考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)（精講）

【命題趨勢】

銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角

函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，還常和四邊形、圓、

網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將

以選填題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角

形，是得分的關(guān)鍵。

【知識(shí)清單】

1：銳角三角函數(shù)（☆☆）

1）銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,

NA的對邊ZA的鄰邊bNA的對邊a

正弦:sin>4=余弦:cosA=正切:tanA二

斜邊b

3）特殊角的三角函數(shù)值

asinacosatana

j_V3V3

30°

2~T

V2

45°也1

22

73￡

60°百

22

【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.

4）銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)0。</4<90。時(shí)，sia。隨/A的增大而增大；cosA隨NA的增大而減??；SwA隨NA的增大而增大。

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：

在Rt^ABC中，ZC=90°,貝U：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：Z/>+ZB=90°；

（3）邊與角關(guān)系：sin/l=cosB=—,cosA=sinB=—,tan4=—；4）siMA+cos2A包.

ccb

3：解直角三角形的應(yīng)用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：

（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰魚。

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。

（2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角.

（3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作，=%.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角/記作a,i=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：

（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解.

3）測量物體的高度（距離）的常見模型：

（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）

解題方法：（已知條件：a,J3,n,求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊

為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。

（2）測量底部可以到達(dá)的物體高度

解題方法：1）已知測量儀高機(jī)，水平距離小角a,求高止2）已知水平距離”角a,角￡,求高h(yuǎn)=d+/i2

這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應(yīng)角度，用正切值解題。

（3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一條邊），可求出其余的

三個(gè)未知元素（知二求三）；2）已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,

但不一定全等，因此其邊的大小不確定。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.若銳角是用一個(gè)大寫英文字母或一個(gè)小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時(shí)習(xí)慣省略角

的符號(hào)"/，，,如tanAysina、cosA-,若銳角是用三個(gè)大寫英文字母或一個(gè)數(shù)字表示的，則表示它的正

弦、余弦及正切時(shí)，不能省略角的符號(hào)"N",sinZABC,cosZ.2,tanZlo

2.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數(shù)的定義可知，其本質(zhì)特征是兩條

線段長的比。因此，銳角三角函數(shù)只有數(shù)值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形

的邊長無關(guān)。

3.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.銳角三角函數(shù)

例1：（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）在.ABC中，ZA、NB、NC的對邊分別為。、b、c,且滿足

a2+|c-10|Zb-8=12a-36,則sinB的值為.

4

【答案】y/0.8

【分析】由4+|c-101+Jb-8=12a-36,可得（4-6）?+卜-10|+Jb-8=0,求解a=6,6=8,c=10,證明

ZC=90°,再利用正弦的定義求解即可.

【詳角軍】角星：Ela~+|c-10|+Jb-8=12a-36,0-12tz+36+|c—10|+yjb—8=0,

0（a-6）2+|c-lO|+^/^8=O,0a-6=O,c-10=0,b—8=0,

解得：a=6,b=8,c=10,0a2+&2=62+82=100=102=c2,

6844

0Z.C=90°,0sinB=—=—=—,故答案為：一.

c1055

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的

逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明NC=90。是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2024?河北承德?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在RtaABC中，ZC=90°,若一ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，則

sinA的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不能確定D.不變

【答案】D

【分析】直接利用銳角的正弦的定義一一“銳角A的對邊。與斜邊c的比叫做/A的正弦，記作sinA〃求

解.

【詳解】解：0ZC=9O°,ElsinA=ZA的對邊與斜邊的比，

回*ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，回NA的對邊與斜邊的比不變，回sinA的值不變.故選：D.

變式2.（2023?廣東??？家荒＃┤鐖D，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3AC,則tanB=（）

C

A■B

A/103>/10

B.3"w"

10

【答案】A

【分析】本題考查正切的計(jì)算，熟知直角三角形中正切的表示是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正切的定義tanB=m

計(jì)算，得到答案.

AC1

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,tanB=^=￡^=4,故選：A.

BC3AC3

變式3.（2023?陜西西安?統(tǒng)考二模）在Rt^ABC中，ZC=90°,已知AC=2,BC=3,那么下列各式中,

正確的是（）

2222\1\3

A.sinB=—B.cosB=—C.tanB=—D.tanB=——--

33313

【答案】C

【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可.

【詳解】解：「在RtaABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,

B

22713

>/13-13

38=/=2=也，tan於生二

故選：C.

AB屈13BC3

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.

例2：（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某商場有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為28。，高為7米.用

A.7口|或川2|81B，二T小」c.[7PM'??

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦的定義得出AB=7+sin28。，進(jìn)而可得答案.

7

【詳解】解：由題意得sin28°=r，回AB=7+sin28°,

國按鍵順序?yàn)閳F(tuán)目國圓|]目，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，計(jì)算器的使用，正確理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再

向正北方向走到。處，已知NBAC=a,則A,。兩處相距（）

YX

A.——米B.——米C.x-sin/米D.x-cosa米

sinacosa

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.

【詳解】解：小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，

ARARY

:.ZABC=90°,AB=x^z.：.cos?=——,/.AC=----=-----米.故選：B.

ACcoscrcosa

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角

三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.

4

變式2.（2023?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=8,貝l|

AB=.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可.

4

【詳解】解：回在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=8,

0sinA=—=,HAB=10,故答案為：10.

5ABAB

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提.

例3：（2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）爬坡時(shí)坡角與水平面夾角為。，則每爬1m耗能

（1.025-cos<z）J,若某人爬了1000m,該坡角為30。，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：1.732,72^1.414）

（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算求解.

【詳解】1000（1.025-cos?）=1000（1.025-cos30°）=1025-500^?1025-500x1.732=159,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?廣東潮州?統(tǒng)考一模）3tan30。-1的值等于（）

A.73-1B.2也C.2D.V3

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，將tan3（T=3代入求值即可.

3

【詳解】解：原式=3x3-1=6-1,故選：A.

3

變式2.（2023?陜西西安?校考一模）計(jì)算：

（1）2cos600+|l-2sin450|+^^,（2）^/1-2tan60°+tan260°-tan60°-

【答案】（1）0+1（2）T

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、零指數(shù)幕以及二次根式的化簡；

（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算絕對值和零指數(shù)塞，最后計(jì)算加減即可；

（2）先利用完全平方公式對二次根式變形，再利用二次根式的性質(zhì)化簡，代入特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行

計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：2cos60°+11-2sin45°|+

=2x-+l-2x^+l

22

=1+|1-V2|+1

=1+0-1+1

=-72+1

(2)解：V1-2tan60°+tan2600-tan60°

=^(l-taneO0)2-tan60°

=|l-tan60°|-tan60°

=卜-閩-百

=有-1-上

=—1

例4：（2023?安徽?統(tǒng)考一模）在ABC中，（2cosA-近了+|i-tan2|=0,貝|A8C一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得（2cosA-0『=0,|l-tanB|=0,從而得c°sA=],

tan3=l,根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得NA=45。，ZB=45°；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)

計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】解：回（2cosA-0j+|l-tan同=OI3（2cosA-應(yīng)『=0,|l-tanB|=0

02cosA-V2=O，l-tan8=0ElcosA=q,tanB=10ZA=45°,ZB=45°

0ZC=18O°-ZA-ZB=9O°,3C=AC團(tuán),.ABC一定是等腰直角三角形，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對

值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

變式L（2023?廣東,統(tǒng)考二模）在4ABe中，若cosA=立，則的度數(shù)是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0cosA=—=cos30°,回/A的度數(shù)是30。；故選A.

2

變式2.（2023?廣東?校考二模）在ABC中，sinA=cos（90°-C）=^,則ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】B

【分析】計(jì)算出她和團(tuán)C的角度來即可確定.

萬

【詳解】解：SsinA=cos（90°-C）,H3A=45°,90o-EC=45°,

2

即S4=45。，I3C=45。，甌8=90。，即E1ABC為直角三角形，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例5：（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若0。<夕<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小C.tan。隨a的增大而增大D.0<sin?<1

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的（CD,E尸均為直徑，BH±OC,AG±OC,A,8都在（O上，利

用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案.

【詳解】解：如圖，作半徑為1的O,CDLEF,CD,所均為直徑，BHLOC,AG±OC,

4,8者、在|O上，:.OA=OB=1,由sinNBOH=以=BH,sinZAOG=^=AG,

OBOA

顯然，ZBOH<ZAOG,而

所以當(dāng)0。<a<90。時(shí)，sina隨a的增大而增大，故A正確;

同理可得：當(dāng)0。<0<90。時(shí)，cos。隨a的減小而增大，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)0。<夕<90。時(shí)，tana隨a的增大而增大，故C正確；

AG

當(dāng)（z=NAOG,當(dāng)點(diǎn)A逐漸向/移動(dòng)，邊AG逐漸接近。4,；.sina=sin440G=—逐漸接近L

OA

當(dāng)0。<（/<90。時(shí)，0<sina<l,故D正確；故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關(guān)鍵.

變式L（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測）己知銳角A的正弦sinA是一元二次方程2--3x+l=0的一個(gè)

根，貝!JsinA=.

【答案】|

【分析】解方程得到X=:，x2=l,然后根據(jù)正弦的定義確定sinA的值.

【詳解】解：2/-3》+1=0,解得：占=；,x2=l,

0<sinA<l,sinA=—.故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正弦的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦值的范圍選擇合理的解.

變式2.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）已知ABC是銳角三角形，若AB>AC,則（）

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

【答案】B

【分析】大邊對大角，可得國B,當(dāng)角度在0。?90。間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增

大（或減?。?；依此即可求解.

【詳解】解：回ABC是銳角三角形，若AB>AC,貝峋C>回B,則sinBVsinC.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°?90。間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或

減小）而增大（或減?。虎谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）.

變式3.（2023?上海??？寄M預(yù)測）如果銳角A的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.0<sinA<—B.0<cosA<---C.———<tanA<1D.1<cotA<y/3

223

【答案】A

【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大"解答即可.

【詳解】解：0O°<25°<3O°0O<sin25<|E0<sinA<1.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90。間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或

減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

核心考點(diǎn)2.解直角三角形

例6：（2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝Usin/ABC=.

【答案】顯

2

【分析】取A3的中點(diǎn)。，連接AC,C。，先根據(jù)勾股定理可得AC=8C=W,C￡>=6,再根據(jù)等腰三角

形的三線合一可得CDLAB,然后根據(jù)正弦的定義即可得.

【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)。，連接AC,CD,

.........................^A

B

AC=J，+32=M,BC=df+32=W,CD=df+*=&，：.AC=BC,

又?點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，.?.CDLA3,，sinNABC=C2=^=走，故答案為：—.

BC71022

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解

題關(guān)鍵.

變式L（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）如圖，在4x3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、B、C、。都在小正方形的頂點(diǎn)上，

AB,CD相交于點(diǎn)P,貝UtanNAPC的值是.

【分析】連接AC,先說明va爐SVDAP,然后利用相似三角形的性質(zhì)得到笑=三=1,然后得到

ADPD2

片CD=3,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明出NA8=90。，然后利用直角三角形的邊角間的關(guān)系求解即

可.

CBCP1CP1唉二3

【詳解】連接AC,0BC//AD^VCBP^VDAPS——=——=-0——=一，

ADPD2CD3

0AC=CD=A/12+12=V2，AD=2EAC2+CD2=AZ)20ZACD=90°

ArCD

團(tuán)在RtZXAPC中，tanNAPC=尸.=尸.=3.故答案為：3.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

變式2.（2023?河北邯鄲?校考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,。是ABC的

外接圓，點(diǎn)AB,O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則cos/ACB的值是（）

3M

10

【答案】A

【分析】連接A。并延長交工，。于。，根據(jù)圓周角定理可得/ADB=NACB,根據(jù)勾股定理可得

BD=25根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，連接AO并延長交I。于。，則為直徑，

由圓周角定理得：ZADB=ZACB,ZA￡>B=90°,由勾股定理可得：斤/=26，

AD=2>cosZACB=cosZADB-,故選：A.

BD2V55

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、余弦的定義，正確作出輔助線、根據(jù)圓周角定理得出

ZAPS=/ACB是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考模擬預(yù)測）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A,B,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則

).

A.f

B.—cD.

5-I與

【答案】C

【分析】取格點(diǎn)。，連接CD,利用勾股定理計(jì)算出C。、8Z)和3C,從而根據(jù)勾股定理逆定理可判斷

NBDC=90。,然后根據(jù)正切的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)連接co,

由勾股定理可知CD=a+F=夜,BD=722+22=2A/2?BC=[f+3?=回，

^BC2=CD2+BD2,0^BDC=9O°,回tanZA8C=——=)=—.故選C.

DB2點(diǎn)2

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

例7：(2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題)第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中

國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形(△DAE,AABFABCGACDH)和中間

一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形A3CD中，ZABF>ZBAF,連接BE.設(shè)/BAF=a,/BEF=0,若

正方形EFGH與正方形A3CD的面積之比為1：”,tana=tan?/?,貝！|九=()

Bering

August2628.2002

A.5C.3D.2

【答案】C

【分析】設(shè)班'=AE=a,EF=b,首先根據(jù)tana=tan?6得到2a?+2B=2〃，然后表示出正方形ABCD

的面積為A3?=3/,正方形EFG〃的面積為所2=〃，最后利用正方形EFGH與正方形ABCD的面積之

比為1：”求解即可.

【詳解】設(shè)族=AE=a,EF=b,Etana=tan2/7,ZAFB^90°,

0—=T,即」=化『，回，=g,整理得/+成=片，回2/+2M=2〃，

AF^EF)a+b\bJa+bb1

SZAFB=90°,SAB2=AF2+BF2=(a+bf+a2=2a2+lab+b2=3b2,

團(tuán)正方形ABCD的面積為AB2=3b2，回正方形EFGH的面積為EF2=b2,

A21

團(tuán)正方形與正方形ABC。的面積之比為1:〃，H—=-,回解得"=3.故選：C.

3b~n

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解直角三角形，趙爽"弦圖"等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

變式L（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會(huì)是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會(huì).如圖是某次大會(huì)的會(huì)

徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)

了我國古代的數(shù)學(xué)文化.如圖，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，

如果大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,直角三角形中較小的銳角為仇那么cos。的值等

于_______________.

4【答案】|4

【分析】根據(jù)已知可得大正方形的邊長和小正方形的邊長，再設(shè)三角形的長直角邊為短直角邊為瓦從而

可得。與b的關(guān)系式，進(jìn)而可得。與b的長度，最后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：回大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

團(tuán)大正方形的邊長是5,小正方形的邊長是1,設(shè)三角形的長直角邊為短直角邊為6,

44

由題意得：a—b=l,6+62=25解得：6=3,a=4cos0=—,故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識(shí)，勾股定理的證明，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，

以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?浙江紹興?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾

股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖若"弦圖"中大正方形面積為20,tana=2,則小正方形的面積為.

【答案】4

【分析】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形；先設(shè)出直角三角形的邊長，然后根據(jù)"弦圖"中大正方

形面積為20,tana=2,可以求得三角形的三邊長，然后即可得到小正方形的邊長，從而可以求得小正方

形的面積.

【詳解】解：設(shè)直角三角形長的直角邊長為短的直角邊長為6,斜邊為

;"弦圖"中大正方形面積為20,tana=2,

c?=20r”

〃=4

￡=2,解得<b=2,

a2+b2=c2［。=2非

，小正方形的邊長為。->=4-2=2,.?.小正方形的面積為2x2=4,故答案為：4.

例8：（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4。,0）,點(diǎn)

8（0,-3）,點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB,BC,若tanNABC=；,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

【分析】根據(jù)已知條件得出/4BO=/ABC，根據(jù)等面積法得出黑=胃，設(shè)C（〃0）,則AC=m-1,進(jìn)

OAOB

而即可求解.

【詳解】解：回點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)3(0,-3),團(tuán)04=1,03=3,tanN0?A=g,

0tanZABC=1,EZABO=ZABC,過點(diǎn)A作ADI3c于點(diǎn)D,

SAO1BO,AD±BC,A3是/OBC的角平分線，EIAO=A￡)=1

一OAxOB-OBxOA.（0

q-f-----------=j--------回生=0

團(tuán)上返設(shè)C（〃4。），則AC=a-l,BC=>]32+rrr

0A0B

°ABC-ACxOB-BCxAD

22

回中=土了解得：機(jī)=/或機(jī)=0（舍去）回故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

變式L（2023?浙江?校考二模）如圖，）0的半徑ODLAB于點(diǎn)C,連接49并延長交工。于點(diǎn)E,連接

EC.若AB=8,CD=2,貝h@11/0石。為（）

3A/132713

A.——Rc

1713-I13

【答案】A

【分析】連接班，過C作CQLAE于。，根據(jù)垂徑定理求出AC=BC=4,根據(jù)圓周角定理求出

NABE=90。，根據(jù)勾股定理求出。的半徑，求出AE,根據(jù)勾股定理求出3E,根據(jù)三角形的面積公式

求出C。，根據(jù)勾股定理求出EQ,再解直角三角形求出答案即可.

【詳解】解：連接3E,過C作CQLAE于Q,設(shè)。的半徑為R,

OCLAB,OC過。，..NOC4=90。，AC=BC=4,

由勾股定理得：OA2=OC2+AC2,即代=（R-2>+42,解得：R=5,即AE=5+8=1O,

AE為。的直徑，,4=90。，BE->JAE2-AB2=V102-82=6-

AC=4,ASACE^^ACBE=^AECQ,：.1x4x8=1xlOxCQ,解得：Cg=y,

由勾股定理得：CE=NBC、BE2=依+65=2萬，

12一

56

--一A

34一17

5

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能求出

CE的長度是解此題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?浙江杭州??？级＃c(diǎn)E為正方形ABCD的邊A8上一點(diǎn)，連接DE,AC,且DE與AC相

S1

交于點(diǎn)若三巫=淳，貝!|sin/CDE=________________.

JCMD10

【答案】手

【分析】由..WWEsQWD,推出:='，得到H=I則器=；，令鉆=彳，">=4x，

由勾股定理得到￡）石=JAE^+AD2=近工，即可求出sin/AE￡>=42=生叵.由NCDE=/AED,得到

ED17

sinZCDE=sinZAED=.

17

【詳解】解：回四邊形A3CD是正方形，^AE//CD,AD=CD,NZME=90。，

團(tuán)NCDE=NAED,ZEAM=ZDCM,fflAME^.CMD,

AE1AE1

團(tuán)。/竺團(tuán)---=—,團(tuán)----=—

Sc.UDJ16CD4AD4

令A(yù)E=x,AD=4x,DE=>]AE2+AD2='

HsinZAEZ）=—=.EsinZCDE=sinZAED=.故答案為：她7.

ED歷x171717

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由一AMES-CWD得

AE1

至?—=-

AD4

變式3.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計(jì)算tanl5。

時(shí)，如圖，在RtaABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延長CB,使BD=AB,連接AD,使得"=15。,

AC12-V3cr-

所以tan1l5CO=而=二出=印訴訴=2-6,類比這種方法,計(jì)算tan22F=

【答案】V2-1

【分析】如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZCAB=45°,作NCAB的角平分線AD,作DE2AB,設(shè)

DE=CD=x,則3。=^1^=后，AC=BC=x+y/2x，?tan22.5°=^|,計(jì)算求解即可.

sinNBAC

【詳解】解：如圖，在RtaA3c中，ZC=90°,ZCAB=45°,作—C43的角平分線A￡>,^DE±AB,

^CD=DE,ACAD=-NCAB=22.5°,

2

DEI—

0ZB=45°,設(shè)DE=CD=x,13BD=--二=<2x,AC=BC=x+6x，

smZB

Otan22.5°=-^=—/=夜-1,故答案為：72-1.

ACx+y/2x

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，正弦，正切等知識(shí).熟練

掌握角平分線的性質(zhì)定理，正弦，正切是解題的關(guān)鍵.

例9：（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書

中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為。、b、c的工MC的面積為

S-BC=g1"2_]"2+；—.,ABC的邊。、AC所對的角分別是財(cái)、財(cái)、回C則

S^ABC=^absinC=^acsinB=^bcsinA.下列結(jié)論中正確的是（）

人廠a2+b2-c2_?a2+b2-c1,》a2+b2-c2__a2+b2

A.cosC=--------------B.cosC=------------------C.cosC=---------------D.cosC=----------

lablablac2bc

【答案】A

【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可.

【詳解】解：回以ABC=L-戶9二^],sABC=^absmC,

團(tuán)!卜匕尸^^=g必sinC即a2b2-=a2b2sin2C,

p2+/?2_c2V

cos2C=cosC+A?-c。故選:A.

12ab)2ab

【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉si/C+cos2c=1是解題的關(guān)鍵.

變式L（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）在放一ABC中，ZC=90°,cosA=1,貝UsinB=.

【答案】|

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解.

【詳解】解：「在AABC中，ZC=90°,:.ZA+ZB=90°,

.-.sinB=COsA=1.故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的余弦等于它余角的正

弦.

變式2.（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

sin27°+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°。0.372+0.932=1.0018,

sin29°+sin261°~0.482+0.872=0.9873,

sin37°+sin253°?0.602+0.802=1.0000,

據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角a,P,若C+尸=90。，均有sin%+sii?夕=1.

⑴當(dāng)a=30°,尸=60°時(shí),驗(yàn)證sin?ar+sin?〃=1是否成立？

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示給予證明，其中-A所對的邊為。，N3所對

的邊為6,斜邊為c；若不成立，請舉出一個(gè)反例；

B

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tana與sina,cosa之間的關(guān)系.

cinry

【答案】(1)成立，見解析⑵成立，見解析(3)tana=”^

cosa

【分析】(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算驗(yàn)證即可；

Z7h

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出sina=—,sin4=-,結(jié)合勾股定理整理化簡即可證得結(jié)論；

CC

ah

(3)根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達(dá)式，然后結(jié)合Rt^ABC中，sina=-,cosa=-,再變形代入整理即

cc

可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：l?]sin30o=i,sin60°=—,[Esin2cif+sin2/?=^->1+—=1,結(jié)論成立；

22⑶I2J

Z7h

(2)解：成立.理由如下：在RtZXABC中，sina=—,sin/7=—且〃+加=/,

cc

0sin2a+sin2/3=+^—=鼻=1,故結(jié)論成立；

(3)解：tana=f理由如下：在RtZXABC中，sincr=—,cosa=—,tana=f,

cosa

----,團(tuán)tana--

cosa---------------cosa

【點(diǎn)睛】本題考查余角之間的三角函數(shù)關(guān)系，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定

義，靈活變形構(gòu)造是解題關(guān)鍵.

變式3.(2023?湖南??？家荒?同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sin(a-/7)=sinacos/?-cosasin/3,sin(a+/?)=sinacos/3+cosasinjS；

cos(a-0)=cosacos/?+sinasin夕，cos(a+6)=cosacos4一sinasin/?.

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=JJ一.

⑴試仿照例題，求出cos75。的值；⑵若已知銳角a滿足條件sina=；,求sin2a的值.

[答案](1)1二包(2)逑

【分析】（1）把75?；癁?0。+45。直接代入三角函數(shù)公式85（。+/?）=85口8577-5?二5m分計(jì)算即可；

（2）把2a化為。+。直接代入三角函數(shù)公式sin（a+尸）=sinacos尸+cosasin4計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：0cos（cr+/?）=cosacos/?-sincrsin/?,

0cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°—=歷史；

22224

（2）解：Osina=：,sin2a+cos2=1,a為銳角，解得cosa=2垃,

33

0sin2ct=sin（cz+cr）=sinacos（z+cosasin（z=.

339

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)

合特殊角的