2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 解三角形圖形類問題（十大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）......................................2

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系............................................4

題型三：張角定理與等面積法......................................................5

題型四：角平分線問題............................................................6

題型五：中線問題................................................................7

題型六：高問題..................................................................9

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用.......................................................10

題型八：外心及外接圓問題.......................................................11

題型九：兩邊夾問題.............................................................13

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題.......................................................14

03過關(guān)測試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

//\\

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）

IT5jr

【典例1-1】(2024?河南?三模)已知尸是AAfiC內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC,/BAC=—,/BPC=——，/ABP=9.

44

⑴若e=W，BC=0,求AC；

24

兀

(2)若。=,，求tan-BAP.

【典例1-2】AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為為/54C平分線，c:AD:b=下＞:2:2乖）.

(1)求NA；

(2)AO上有點(diǎn)M,/BMC=90°,求tanZABM.

【變式1-1】如圖，在平面四邊形ABCD中，ZACB=ZADC=90°,AC=273,ABAC=30°.

(2)若NCBD=30°,求tan/BDC.

【變式1-2］（2024.廣東廣州.二模）記JlBC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

bcosA—acosB=b—c.

⑴求A;

⑵若點(diǎn)。在3c邊上，且CD=23D,cosB=—,tanZBAD.

3

【變式1-3］在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且2cosA(ccosB+6cosc)=a.

⑴求角A;

(2)若。是AASC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=120°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tanZABO.

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系

【典例2-1】如圖，四邊形ABCD中，cosABAD=-,AC=AB=3AD.

(1)求sin/ABD；

(2)若/BCD=90。，求tan/CBZ).

【典例2-2】如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=6BC=B

⑴求證：sinC=^sinA;

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形ABC。的面積.

【變式2-1](2024.全國.模擬預(yù)測)在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,

2cos22c=3-5cos21子-Cj

⑴求角C;

AC

(2)若點(diǎn)。在AB上，BD=2AD,BD=CD,求二二的值.

IT

【變式2-2］平面四邊形A3CD中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADCTI,ZBCD=-.

⑴求3。；

(2)求四邊形A3CD周長的取值范圍；

(3)若E為邊3。上一點(diǎn)，且滿足CE=BE,S&BCE=2S“DE，求△BCD的面積.

題型三：張角定理與等面積法

【典例3-1】(2024?吉林?模擬預(yù)測)AASC的內(nèi)角A氏C的對邊分別是a,6,c,且吧生誓=佇|,

sinCa+b

(1)求角2的大小;

(2)若6=3,。為AC邊上一點(diǎn)，BD=2,且3。為N8的平分線，求AABC的面積.

【典例3-2】(2024.黑龍江哈爾濱.二模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,已知6=4,

2bcosBAsinA

----------=cosAd---------

ctanC

(1)求角8的大?。?/p>

(2)已知直線為—ABC的平分線，且與AC交于點(diǎn)￡),若BD二迥,求AA5c的周長.

3

【變式3?1】(2024.吉林通化.梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知銳角融。的內(nèi)角4反。的對邊分別

為。力,C,且公=sinB-sinC

sinA-sinC

⑴求8;

(2)若6=灰，角3的平分線交AC于點(diǎn)。，BD=1,求AABC的面積.

【變式3-2](2024?江西撫州?江西省臨川第二中學(xué)?？级?如圖，在AABC中，AB=4,cos8=g，點(diǎn)

。在線段8C上.

⑵若m=2〃，?8的面積為殍‘求黑鬻的值?

題型四：角平分線問題

【典例4-1](2024.全國.模擬預(yù)測)已知在AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,且。=6,NA=60。.

(1)若AD為3c邊上的高線，求AD的最大值；

(2)已知A"為3c上的中線，/B4c的平分線AN交于點(diǎn)N,J.tanB=SmA,求△AAW的面積.

2-cosA

【典例4-2】如圖所示，在AABC中，AB=3AC,AO平分NB4C,且AD=fc4c.

⑴若DC=2,求BC的長度;

(2)求/的取值范圍；

⑶若ZABC=1，求人為何值時，BC最短.

【變式4-1】在44BC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,己知4=胃，c2-b2=accosC.

⑴求tanC；

(2)作角A的平分線，交邊3c于點(diǎn)。，若AD=也，求AC的長度;

(3)在(2)的條件下，求AABC的面積.

【變式4-2］已知AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,其面積為S,且

a［b+c-?)(sinA+sinB+sinC)=6S

(1)求角A的大小；

(2)若a=g,麗./=-3,/A的平分線交邊3C于點(diǎn)T,求AT的長.

題型五：中線問題

【典例5-1］如圖，在AABC中，已知AB=2,AC=6垃,ABAC=45°,3c邊上的中點(diǎn)為加，點(diǎn)N是

邊AC上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，AM,8N相交于點(diǎn)P.

(1)求/E4M的正弦值；

(2)當(dāng)點(diǎn)N為AC中點(diǎn)時，求的余弦值.

⑶當(dāng)福.而取得最小值時，設(shè)麗=2前，求4的值.

【典例5-2】(2024.遼寧沈陽?東北育才雙語學(xué)校?？家荒?如圖，設(shè)中角A,B,C所對的邊分別為

1/ni

a,b,c,AZ）為8c邊上的中線，已知c=l且2csinAcosB="sinA-"sinB+—bsinC,cosZBAD=---

47

⑴求b邊的長度;

(2)求"RC的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)E,尸分別為邊AB,AC上的動點(diǎn)(含端點(diǎn))，線段交A。于G,且△AEF的面積為“WC面積

的J，求出.前的取值范圍.

O

【變式5-1】阿波羅尼奧斯(Apollonius)是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關(guān)于

三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和

的兩倍，即如果是中BC邊上的中線，貝1］482+/^72=24。2+［竺］.

JT

(1)若在44BC中，AB=5,AC=3,ZBAC=-,求此三角形BC邊上的中線長；

(2)請證明題干中的定理；

(3)如圖AABC中，若AB>AC,D為BC中點(diǎn)，BD=DC=3,asinA+3&sinB=3/?sin(A-C),

S”孚，求cos/ZMC的值.

【變式5?2】在△MC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,5=30°?

⑴已知=0,Z?cosA+acosjB=2

⑴求c；

(ii)若a〈b,。為AB邊上的中點(diǎn)，求CO的長.

(2)若AABC為銳角三角形，求證：a〈正c

3

【變式5-3](2024.江蘇南通?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知

a=2,c2=BABC-2y/3S,其中S為AABC的面積.

(1)求角A的大小；

(2)設(shè)。是邊3C的中點(diǎn)，若求AO的長.

題型六：高問題

TT

【典例6-1](2024?河北秦皇島?三模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,C=§且

a+b=l,AABC的外接圓半徑為拽.

3

(1)求"RC的面積；

⑵求A/WC邊上的高6

【典例6-2】(2024?四川?模擬預(yù)測)在"WC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

石csin8+bcos(A+8)=b.

(1)求角C的大??；

⑵若a=8,AABC的面積為4VL求43邊上的高.

【變式6-1]在AABC中,角A,式C所對的邊分別為a,b,c,已知a=7,c=8.

4

⑴若sinC=',求角A的大小;

(2)若6=5,求AC邊上的高.

【變式6-2](2024?山東棗莊?一模)在AASC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且sinAtan一.

2

⑴求C；

(2)若a=8,6=5,CW是邊A3上的高，且屈=〃融+〃而，求一.

n

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用

【典例7-1】(2024.四川內(nèi)江.一模)AABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、,4=6,

7.B+C.

bsm-------=asinB.

2

(1)求角A的大??；

(2)M為AABC的重心，40的延長線交3c于點(diǎn)。，且4〃=26，求"WC的面積.

【典例7-2】(2024?江西景德鎮(zhèn).一模)如圖，已知AAB。的重心為C,"BC三內(nèi)角A、B、C的對邊分別

p2Ab+c

為a,b,c._acos—

2~2^~

D

(1)求乙4cB的大?。?/p>

TT

(2)若NC4B=—,求sinNCZM的大小.

【變式7-1］（2024?高三?福建福州?期中）已知“RC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點(diǎn)G是AABC

的重心，且配.那=0.

⑴若NG4B=F①直接寫出黑=；②設(shè)NC4G=a,求tana的值

。CG

（2）求cosZACB的取值范圍.

【變式7-2］（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）AABC的角AB,C對應(yīng)邊是a,b,c,三角形的重心是O.已知

OA=3,OB=4,OC=5.

⑴求a的長.

（2）求AABC的面積.

題型八：外心及外接圓問題

【典例8-1】（2024?廣東深圳?二模）已知在&4BC中，角A,民C的對邊分別為a,b,c,a=#,b=2,c=L

(1)求角A的余弦值；

(2)設(shè)點(diǎn)。為AABC的外心(外接圓的圓心)，求而?血，亞的值.

【典例8-2]已知AABC的內(nèi)角4,民。所對的邊分別為。也。,1=3,2<?-/?=2或053.

⑴求A；

⑵“為AABC外心，AM的延長線交3C于點(diǎn)。，且加。=且，求融。的面積.

2

【變式8-1]^ABC的內(nèi)角A,氏C的對邊分別為a,b,c,c>b,ABAC=20,AABC的面積為106.

⑴求—A；

―.—.49

(2)設(shè)。點(diǎn)為AABC外心，且滿足。8?。。=——,求a.

【變式8-2](2024?河南?模擬預(yù)測)已知AABC的外心為。，點(diǎn)M,N分別在線段A民AC上，且。恰為MN

的中點(diǎn).

(1)若BC=g,OA=l,求AABC面積的最大值；

(2)證明：AMMB=ANNC.

【變式8-3](2024?安徽黃山?三模)記&4SC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,已知c=A，

6(1+cosC)=6csinB.

c

（1）求角C的大小和邊6的取值范圍;

（2）如圖，若。是“1BC的外心，求沅.荏+百.畫的最大值.

題型九：兩邊夾問題

【典例9-1】在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若cosA+sinA-^―2―-=0,則巴吆的值

sinB+cosBc

是（）

A.2B.73C.72D.1

【典例9-2】在AABC中，a、b、c分別是1A、NB、/C所對邊的邊長.若

cosA+sinA----------——=0,則蟲吆的值是（）.

cosB+smBc

A.1B.y/2C.73D.2

【變式/1］在AABC中，已知邊所對的角分別為AB,。，若

2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A，則tanA=

【變式9?2】（2024.江蘇蘇州.吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在AABC中，已知邊〃，友c所對的角分別為A,3,C,若

5-2cos2B-3cos2C=2sinAsinBsinC+sin2A，則tanA=.

【變式9?3】在AABC中，已知邊〃、b、c所對的角分別為A、B、C,若a二遍，

2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A，則AABC的面積S=.

【變式9?4】在△ABC中,(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2,則角。=

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題

【典例10-11(2024.全國?模擬預(yù)測)設(shè)“LBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

2tzcosB+Z7=2c,a=5.

(1)求^ABC的周長的取值范圍;

(2)若AABC的內(nèi)切圓半徑廠=亞，求AABC的面積S

6

【典例10-2】(2024?湖南永州?一模)在丁1BC中，設(shè)A氏C所對的邊分別為a,"c,且滿足

ccosA—6tcosC=a+b.

⑴求角c；

(2)若C=5AA5C的內(nèi)切圓半徑/=立，求AABC的面積.

4

【變式10-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)己知AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c

百b-csinA=6acosC■

(1)求角A的大小;

(2)若a=7,AABC外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為「，求工的最小值.

r

【變式10-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

.2,2csin2Asin2B

sinA-sinB=-----------------

4

⑴求C；

(2)若c=2,求AABC內(nèi)切圓半徑取值范圍.

【變式10?31(2024?廣西南寧?一模)在AABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知〃=2,且

sinA+sinB_Z7-c

sinCb-a

(1)求的外接圓半徑K；

(2)求AABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

【變式10-4](2024?吉林.二模)己知“RC的三個內(nèi)角A,8,C的對邊分別為OSCAABC的外接圓半徑為

招,A.sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A.

⑴求a；

(2)求AABC的內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍

0

力過關(guān)測試|\\

1.如圖所示，在AABC中，設(shè)a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，已知b+c=3a,b=4(c-a).

A

⑴求角C；

⑵若c=7,過B作AC的垂線并延長到點(diǎn)。，使A,民C,。四點(diǎn)共圓，AC與BD交于點(diǎn)E,求四邊形

ABCD的面積.

2.如圖，在梯形ABCD中,AB//CD,ZD=601

(1)若AC=3,求44CD周長的最大值；

(2)若CD=2M,/BCD=45。，求tan/DAC的值.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)在AASC中，已知sin(N8AC-/8)=sin8+sinC.

⑴求"4c.

(2)若AC=2AB,/54C的平分線交于點(diǎn)。，求cos/ADB.

4.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)在AMC中，角所對的邊分別為a,b,c,且耳sin日產(chǎn)=asinB,邊

BC上有一動點(diǎn)D.

(1)當(dāng)。為邊3C中點(diǎn)時，若AD=5b=2,求c的長度；

(2)當(dāng)AD為N54C的平分線時，若a=4,求AD的最大值.

5.（2024.安徽合肥.模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=sin[x+5卜in（x+$

p角A為AA8C的內(nèi)角，且

〃A）=。.

⑵如圖，若角A為銳角，四3,且AABC的面積S為苧，點(diǎn)從產(chǎn)為邊A8上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)。為邊

AC的中點(diǎn)，連接。尸和EC交于點(diǎn)M,求線段AM的長.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）在44BC中，角A,B,C,的對邊分別為4c,AABC的面積為S,

4鳳_Jsin(24+8)

-------O—t2------------------------r1

3sinB

(1)求角A.

（2）若AABC的面積為3相，a=y/13,。為邊3c的中點(diǎn)，求AD的長.

7.（2024?四川成都?三模）在AABC中，BC=5,AC=6,cosB=~.

8

⑴求48的長；

⑵求AC邊上的高.

8.（2024?江蘇南通?三模）在AASC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（2b-c）cosA=acosC.

⑴求A；

(2)若AABC的面積為g,BC邊上的高為1,求AABC的周長.

9.(2024.高三.河南?開學(xué)考試)在"RC中，內(nèi)角A&C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

(a+Z?+c)(sinA+siaB+sinC)=]asinB+2csinA+2(6+c)sinC.

(1)求cosC；

(2)若A3邊上的高為2,c=君，求生6.

10.(2024?高三?山東濟(jì)南?開學(xué)考試)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知

Z?cosA=a(2—cos3).

⑴求￡；

a

兀

(2)若8=2:，且AC邊上的高為G，求“1BC的周長.

11.在AABC中，設(shè)。，b,c分別表示角A,B,C對邊.設(shè)3C邊上的高為心且a=2〃.

⑴把2+?表示為xsinA+ycosA(x,yeR)的形式，并判斷+能否等于20?說明理由.

cbcb

(2)已知8,C均不是直角，設(shè)G是AABC的重心，BGLCG,c>b,求tanB的值.

12.(2024.江蘇蘇州?二模)記”RC的內(nèi)角A民C的對邊分別為db,c,已知小=*QX

csinA-smB

⑴求角A;

(2)若。=6,點(diǎn)〃為AABC的重心，且AM=26，求A/RC的面積.

13.(2024?河南開封?模擬預(yù)測)記AABC的內(nèi)角A民C的對邊分別為〃也。，已知

y/^asinB-acosC=ccasA,b=瓜,G為AABC的重心.

(1)若4=2,求C的長；

(2)若AG=0,求的面積.

3

14.(2024?遼寧撫順?一模)記”1BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，4c,已知

(?7+&)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A;

(2)若。=6,點(diǎn)"為AABC的重心，且AM=2g,求A/RC的面積.

15.在“LBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,6,c是公差為2的等差數(shù)列.

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面積.

(2)是否存在正整數(shù)6,使得AABC的外心在AABC的外部?若存在，求6的取值集合；若不存在，請說明理

由.

16.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知AABC的外心為O,M,N為線段A8,AC上的兩點(diǎn)，且。恰為"N中點(diǎn).

(1)證明：

(2)若|4。|=6，\OM\^1,求沁的最大值.

⑴求CN的長；

(2)求AAOC的面積.

22.(2024?廣東梅州?二模)在“IBC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,、dcos3-6sinA=A,

c=2,

⑴求A的大?。?/p>

⑵點(diǎn)。在BC上，

(I)當(dāng)AD1AB,且AD=1時，求AC的長；

(II)當(dāng)BD=2DC,且4)=1時，求AABC的面積S/BC?

23.(2024?甘肅隴南?一模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a/,c.已知ccosA+acosC=3?

⑴求b；

TT

(2)。為邊AC上一點(diǎn)，AD=2DC,NDBC=7,AB工BD,求的長度和NADS的大小.

24,(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，四邊形ABCD為梯形，AB//CD,AB=2CD=6垃,tanA=—,

2

⑴求cosNBDC的值;

⑵求3c的長.

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）......................................2

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系............................................4

題型三：張角定理與等面積法......................................................5

題型四：角平分線問題............................................................6

題型五：中線問題................................................................7

題型六：高問題..................................................................9

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用.......................................................10

題型八：外心及外接圓問題.......................................................11

題型九：兩邊夾問題.............................................................13

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題.......................................................14

03過關(guān)測試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

//\\

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）

7T3九

【典例?河南三模）已知P是△,內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC/BACF，/BPC=HNABP二氏

⑴若e=±,BC=6,求AC；

24

兀

(2)若9=飛,求tanNB4P.

【解析】（1）如圖所示,

A

所以四+三=?.

8246

7T7T

當(dāng)。=—時，NACP=n—NBAC—NABP—2NPBC=—.

36

71

設(shè)NBAP=a,則NPAC=-—a.

4

.71

在aAB尸中，由正弦定理得A吊二,in4.

PBsina

AP

在中，由正弦定理得無=

.71

sin—

3

因?yàn)槭?=尸。，所以二一

sma

整理得正=_,即巫=應(yīng)，解得tana=3-?,即tan/BA尸=3-.

sinacosa-sinatanal-tana

【典例1-2】AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,6,c,4D為/區(qū)4c平分線，c:AD:b=^:2:2粗.

⑴求NA；

（2）AZ）上有點(diǎn)M,/BMC=90。，求tan/ABAf.

【解析】（1）

設(shè)。=限,AO=2人力=2限，^^ABC=^^ABD+S^ADC，

bcsinA=—|AP|-csin—+—IADI-bsin—,

221122112

^sin—=sinA,V3sin—=2sin—cos—,

2222

TT

(2)由(1)知：ZBAD=~,

△A4D中，BD-=3k2+4k2-2-y/3k-2k-cos-=k2,

6

TTTT

^BD=k,,.BD2^AB2=AD2故得：NABC=K/C=1BC=3k,DC=2k,

f2o

5兀

設(shè)=中，ZAMB=n-ABAM-AABM=——6

6

AM_AB_6k

sin。.「5兀八、.(5兀八),

U)UJ

TT

???/ABM+ZMBC=-=ZMCB+/MBC,/ABM=ZMCB=3,

jr2TT

△ACM中，NACM=NACB-NMCB=一一0,ZAMC^n-ZMAC-ZACM^—+0,

63

AM_AC_2?

sin［g-6)sin［：+6)sin［：+6)

sin［§+6Jsin1可+6

兩式相除得:

2sin(g_。12sin［；+。］

2|—cos2^--sin2^|=sin。-^-cos^--sin0

(44J122

/.cos2^-6cosOsin。-2sin2^=0,。手？，：，cos8w0,

/.2tan2+V3tan^-1=0ntan。=,

4

???夕為銳角，故tanOJ.+而.

4

【變式1-1】如圖，在平面四邊形ABCD中，ZACB=ZADC=90°,AC=273,ABAC=30°.

(2)若NCBD=30°,求tan/班)C.

CD1

【解析】(1)在Rt^ACD中，cosZACD=——=—,所以NACD=60。，

AC2

在Rt^ABC中，tanNBAC=^=立,所以BC=2,又NAC3=90°,

AC3

所以NDCB=ZACB+ZACD=150°,

在ABCD中由余弦定理BD2=DC2+BC2-2DC-SCcosNBCD，

222

BPBZ)=(A/3)+2-2X2XA/3=13,

所以8￡>=屈.

A八/=4,

(2)由已知可得NABC=60。，又NCBQ=30。，所以NARD=30。，

設(shè)OC=x(0<x<2』)，NBDC=a,則AD=J12-f，

AD京味爐即2

在△AB。中由正弦定理----------T,所以cosa=/

sinZABDA/12-X2

2

X工一.1

DCBC

在△BCD中由正弦定理,即工sina，所以sina=—

sinZCBDsinNCDBx

2

又sin%+c0s%=l'所以B+內(nèi)三=1'解得爐=出普或爐=空亙，

所以tan/加。=丁或tan/皿C=「

【變式1?2】(2024.廣東廣州.二模)記用鉆。的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,已知

ZTCOSA—acosB—b—c.

(1)求A；

(2)若點(diǎn)。在3c邊上，且8=23。，cosB=—,求tan/BAD.

3

【解析】(1)bcosA-acosB=b-c,

由余弦定理可得6?4+廠一礦_。?礦+｝一"=b-C,

2bclac

化簡可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=一、=，

JT

因?yàn)?<A<7t,所以，A=-.

(2)因?yàn)镃OS3=3,則5為銳角，所以,_^6

sinB=A/1-cos2B

3一W

因?yàn)锳+3+C=TC,所以，C=----B,

3

sinC=sin戶一屆sin@c°sj°s@sin八走3+L逅△+漁,

所以,

3)33232326

2兀

^ZBAD=0,貝IJNCW=0--O,

AC

BDAD3AD_________=_____=______

在△ABD和zkACD中，由正弦定理得=i―~=—，?(兀n\sinC3+a,

sin，sinB76smIj-c/I

因?yàn)镃D=2a),上面兩個等式相除可得6sinj^-6)=(3+"卜in6,

得幾[^■cose—；sine]=(3+?}ine,即0cos6=(2+布卜in8,

所以，tanZBAD=tm0=^—==^-yl2.

2+V6

【變式1?3】在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,且2cosA(ccos3+bcosC)=〃.

⑴求角A;

(2)若。是內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=120°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

【解析】(1)0^j2cosA(ccosB+Z?cosC)=^,

所以由正弦定理得2cosA(sinCeosB+sinBcosC)=2cosAsin(B+C)=2sinAcosA=sinA；

/0°<A<180°,/.sinAy：0,/.cosA=—,則A=60°；

2

(2)

?.-ZOAC+ZOAB=ABAC=60°,ZOAB+ZABO=180°-ZAOB=60°,/.ZOAC=ZABO；

ABsinZABO3sin/ABO

在ZVIBO中，由正弦定理得:AO==2>/3sinZABO；

sinZAOBsin120°

在?,由正弦定理得：?唉甘丁(：渭。)"(3。。一加。卜

/.2GsinZABO=2sin(30°-ZABO)=cosZABO—GsinZABO,

即cosZABO=3^3sinZABO,/.tanZABO=—^j==

3g9

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系

【典例2-1】如圖，四邊形ABCD中，cosABAD=-,AC=AB=3AD.

(1)求sin/ABD；

(2)若/BCD=90。，求tan/CBZ).

【解析】(1)△AB。中，設(shè)AC=AB=3AT>=3r(f>0),則cosNBAD=g=°?

解得

BD=2萬

Ani

:BD2+AD2=AB2>sinZABZ)=—=-；

ADJ

(2)設(shè)AC=AB=3A￡)=3(%>。)，則5￡>=2頂.

^BC=xt,CD=yt(<x>0,y>0),

(3￡『+(x/)2—(3/)2x

△A5c中,cos/BCA=

2X(3/)X(M6

(3疔+(*)2"/+8

AADC中,cos/DCA=—

32x(3/)x(”)6y

兀

???ZBCA+ZDCA=/BCD=—,/.cosZDCA=sinZBCA可得,化簡得

2

[[+8]=1-]]，即J/+y,+64=20y)

又?1-BC2+CD2=BD2,：.x2t2+y2t2=St2,即x2+=8

(8-/)^+/+64=20/,解得y2=g,x2=8_y2=_|

tan/C的案.=

【典例2-2】如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=6BC=6.

DC

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形ABC。的面積.

【解析】（1）連接BD

因?yàn)锳B//CD,所以=

ADBD不

在△ABZ）中，由正弦定理得---，0D

sinZABDsinA

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得，②

sin/30csinC

由AO=-JiBC,ZABD=Z.BDC,結(jié)合①②可得sinC=yfisinA.

(2)由(1)知sinC=yfisinA,sinC=sin2A=2sinAcosA=J§sinA,

COSA=3,又0<A<兀，所以A=烏，則C=2A=

263

連接8,

在AABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cosA=(若『+AB。-2退-AB]

=AB--3AB+3=4CD2-6CD+3；

在八BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCD-cosC=12+CD2-2xlxCDx-

2

=CD?-CD+L

所以4。。2-6。。+3=。。2-口)+1，解得或1

25幾

當(dāng)CD=一時，連接AC,在AACD中，由余弦定理，^AC2=AD2+CD2