2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題（七大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破06弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題...............................................................2

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題.............................................................3

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題.............................................................5

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題.............................................................6

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題.............................................................7

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題...................................................8

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題........................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................12

亡法牯自與.柒年

//\\

1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式

①若A,3是直線y=近+相與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二次方程

px2+qx+r=O,則間|=而淳.|

1\P\

②若A,8是直線〃與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去X后得到一元二次方程

py2+qy+r=Q,1+m2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

2

【典例1-1】已知點(diǎn)耳、F?分別橢圓1_+y2=l的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2作傾斜角為］的直線交橢圓于A、B

兩點(diǎn)，則弦A8的長(zhǎng)為.

221

【典例1-2】已知橢圓C：會(huì)+a=1(。＞6＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)/,F2,離心率為］,橢圓C上點(diǎn)M

滿足|町|+|"段=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。。0)的直線/交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，求線段P。長(zhǎng)為舊時(shí)直線/的方程.

【變式1-1】(2。24.海南.模擬預(yù)測(cè))己知雙曲線?！晗尽保尽?，，＞。)的實(shí)軸長(zhǎng)為2。點(diǎn)尸⑵加

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)點(diǎn)尸且斜率為2標(biāo)的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,求|尸。|.

【變式1-2］已知拋物線=2PMp>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)(0,2).

⑴求P；

(2)斜率為2的直線過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線E交于A3兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

【變式1-3】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(4,0),且在V軸上截得的弦長(zhǎng)為8,動(dòng)圓圓心的軌跡方程為C,已知點(diǎn)

尸(2,0),直線/過(guò)點(diǎn)尸且與軌跡C交于兩點(diǎn)，且|PQ|=16,求直線/的方程.

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題

【典例2-1】已知F為拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線1與拋物線E交于A8兩點(diǎn)，拋

物線E在AB兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)L.

⑴設(shè)P(%,%)是拋物線“上一點(diǎn)，證明：拋物線E在點(diǎn)P處的切線方程為了=芳-％,并利用切線

方程求點(diǎn)L的縱坐標(biāo)的值；

⑵點(diǎn)C為拋物線E上異于A3的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線E的切線，分別與線段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA,LN=ptLB,求％+〃的值；

(ii)證明:|網(wǎng)+|冏+怛。|>|相+|根|+|印|

【典例2-2】(2024?高三?河北承德?開(kāi)學(xué)考試)已知VABC的內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為

9A/3,c=6,且sinAsinB=sin2c.

(1)證明：VABC為等邊三角形；

(2)設(shè)54的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。滿足AD=2,又平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)尸滿足/尸54=2/2鉆(/上45/0),求

|CP|+|DP|的最小值.

22

【變式2-1](2024?寧夏銀川?銀川一中?？家荒?如圖所示，由半橢圓G：工+3=l(yV0)和兩個(gè)半圓

4b

22

C2:(x+l)+y=l(j>0),C3：(xT)2+y2=l(yW0)組成曲線C:、(尤,y)=0,其中點(diǎn)4,&依次為C1的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為G的下頂點(diǎn)，點(diǎn)片，鳥(niǎo)依次為G的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)0K分別為曲線c?,C3的圓心.

⑴求。的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)K,F2作兩條平行線1\，1分別與G，C?和C“C3交與M,N和P,Q,求|腦V|+|PQ|的最小值.

【變式2-2](2024.河南安陽(yáng).安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))定義：一般地，當(dāng)4>。月〃工1時(shí)，我們把方程

22222

￡+方=2(?>0)表示的橢圓C，稱為橢圓千+左=1.>6>0)的相似橢圓.已知橢圓C:：+y2=i,

橢圓C<(4>0且4/1)是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓C”上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn).

(1)當(dāng)4=2時(shí)，若與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線。4恰好相交于點(diǎn)P,直線。4的斜率分別為《，為，

求曬的值;

(2)當(dāng)X=e2(e為橢圓C的離心率)時(shí)，設(shè)直線尸”與橢圓C交于點(diǎn)A,3,直線PN與橢圓C交于點(diǎn)RE,

求|AB|+|DE|的值.

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題

22

【典例3-1】(2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:「+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K，B，且

ab

區(qū)詞=2,過(guò)點(diǎn)與作兩條直線44,直線乙與c交于48兩點(diǎn)，1AB的周長(zhǎng)為40.

(1)求C的方程；

(2)若.片AB的面積為1,求4的方程；

(3)若4與C交于兩點(diǎn)，且乙的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.

【典例3-2】已知拋物線C:J=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-2?),直線4:y=履+皿加-0)與C交于A,8兩點(diǎn)(異

于坐標(biāo)原點(diǎn)。).

(1)若。4?。8=0，證明：直線4過(guò)定點(diǎn).

(2)已知左=2,直線乙在直線4的右側(cè)，4與4之間的距離d=g，4交C于M,N兩點(diǎn)，試問(wèn)是

否存在加，使得|ACV|-|A3|=1O?若存在，求加的值；若不存在，說(shuō)明理由.

22

【變式3-1】已知拋物線Cjy2=4x的焦點(diǎn)為橢圓Q：=+斗=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)E點(diǎn)P為拋物線

ab

。與橢圓C?在第一象限的交點(diǎn)，且I尸刊=(

⑴求橢圓c2的方程；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)尸，交拋物線G于A,C兩點(diǎn)，交橢圓C?于8,。兩點(diǎn)(A,B,C,O依次排序)，且

\AC\-\BD\=—,求直線/的方程.

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題

【典例4-1】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知點(diǎn)尸為圓C：(x-2)?+y2=4上任意一點(diǎn)，A(_2,0),線段出的

垂直平分線交直線PC于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線H.

⑴求曲線X的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線/與曲線"的兩條漸近線交于S,T兩點(diǎn)，且M為線段ST的中點(diǎn).

⑴證明：直線/與曲線》有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

21

(ii)求畫(huà)|亓的取值范圍.

【典例4-2](2024?高三.山東德州?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線E焦點(diǎn)在x軸上，離心率為g,且過(guò)點(diǎn)(虛,4),

直線4與雙曲線E交于兩點(diǎn)，4的斜率存在且不為0,直線4與雙曲線E交于P，。兩點(diǎn).

(1)若MN的中點(diǎn)為直線O”,MN的斜率分別為勺,&,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求匕?《；

1\TP\TN

(2)若直線4與直線4的交點(diǎn)T在直線x=￡上，且直線人與直線。的斜率和為0,證明：7^4=—.

【變式4-1]拋物線C的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為2.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)下的直線(斜率存在且不為0)交拋物線C于AB兩點(diǎn)，線段A3的中垂線交拋物線的對(duì)稱軸于

FP

點(diǎn)尸，求

AB

【變式4-2](2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè))在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球，在地

22

面上的影子就可能是一個(gè)橢圓.已知影子橢圓C:=+與=l(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，

ab

F],離心率為1.過(guò)月且垂直于AF2的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，|￡閩=6,則J開(kāi)+七的最小值

乙乙1-^1.]Zl-X-X

是.

【變式4-3](2024.高三.河北.開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓E的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，離心率為逝，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,

3

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)上0,1]

⑴求橢圓E的方程；

CP

⑵若過(guò)P(O,1)的直線交橢圓E于C、。兩點(diǎn)，求打的取值范圍.

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題

22

【典例5-1](2024.高三.北京海淀.開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C：++2=l(a>6>0)的右頂點(diǎn)為42,0),上頂點(diǎn)

ctb

為風(fēng)0,屬

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓C的左焦點(diǎn)為E點(diǎn)尸為橢圓C上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線針,々與，軸的交點(diǎn)分別為M,N,若

9

\OM\\ON\=~,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

【典例5-2】已知拋物線C:V=2外(p>0),尸為C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與C交于H,/兩點(diǎn)，且在

/兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T,當(dāng)/與V軸垂直時(shí)，Im1=4.

⑴求C的方程；

(2)證明：切|=|ET|2.

【變式5-1](2024?高三.江西.開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線C:，-斗=1(。>0/>0)其左、右焦點(diǎn)分別為居,外,

ab

若由段=12,點(diǎn)尸倒其漸近線的距離為4女.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)工的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于42兩點(diǎn)，且|4周=忸用，若|隹|,|鉆|,忸國(guó)成

等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說(shuō)明理由.

【變式5-2](2024.高三?陜西安康?開(kāi)學(xué)考試)已知?jiǎng)訄A的圓心在無(wú)軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(TO),(x,0),(0,江

⑴求點(diǎn)(x,y)的軌跡c的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)E(-1,0)的直線/交軌跡。于A,8兩點(diǎn)，若A(x°,4),G為軌跡C上位于點(diǎn)A,B之間的一點(diǎn)，點(diǎn)G關(guān)

于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)8作交AQ于點(diǎn)求的最大值.

22

【變式5-3】已知橢圓6：馬+馬=1(。>6>0)的離心率為:，且直線4：2+；=1被橢圓C1截得的弦長(zhǎng)為

abzab

⑴求橢圓G的方程;

⑵以橢圓Cj的長(zhǎng)軸為直徑作圓C”過(guò)直線/”y=4上的動(dòng)點(diǎn)”作圓C?的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A,3,若直

線A3與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)C,D,求的取值范圍.

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題

22

【典例6-1](2024?安徽?一模)已知雙曲線C：=-當(dāng)=1伍>0,6>0)的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3).

ab

(1)求c的方程;

（2）若直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，且0408=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|鋤|的取值范圍.

22

【典例6-2]（2024?高三?廣東?開(kāi)學(xué)考試）我們把各邊與橢圓￡：'+==1（。>6>0）的對(duì)稱軸垂直或平行

的E的內(nèi)接四邊形叫做E的內(nèi)接矩形.如圖，已知四邊形尸Q&S是E的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方形，PS,

QR分別與x軸交于4，F(xiàn)2,且耳，尸2為E的兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)4。=1，2，LOO）是四邊形尸QRS內(nèi)部的100個(gè)不同的點(diǎn)，線段尸Q,超與y軸分別交于耳，E],記

100

4=穌閡，其中笈=1,2,證明：4，刈中至少有一個(gè)小于25（1+逐）.

Z=1

22

【變式6-1]（2024?高三.浙江?開(kāi)學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓石:=+2=1（〃>10）的右焦點(diǎn)的

ab

直線與E截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是[3,4].

（1）求E的方程；

（2）已知曲線C:/+r=l（x，y，m>0）的切線/被坐標(biāo)軸所截的線段長(zhǎng)為定值.

（i）求/與C截得的線段長(zhǎng)；

（ii）求/與E截得的線段長(zhǎng)的取值范圍.

22

【變式6-2]（2024.高三.北京.自主招生）雙曲線：三一二=1有一點(diǎn)P在雙曲線上，分別過(guò)尸點(diǎn)作漸近線

169

平行線交X軸于A,8,且A在靠近原點(diǎn)的一側(cè)，過(guò)A點(diǎn)作X軸垂線交以03為直徑的圓于點(diǎn)C,求的

取值范圍.

22

【變式6?3】(2024?新疆?二模)已知橢圓°：土+匕=1(〃>0)的左焦點(diǎn)為尸，C上任意一點(diǎn)到廠的

〃2Z?2

距離的最大值和最小值之積為1,離心率為逅.

3

⑴求C的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線/與C交于M,N兩點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足P”=,PN=-九NR,動(dòng)點(diǎn)。

在橢圓C上，求|PQ|的最小值.

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題

【典例7-1】(2024?山東濟(jì)南.三模)如圖所示，拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)(-2,3),

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若角夕為銳角，以角口為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、8兩點(diǎn)，作線段A8

的垂直平分線/交x軸于點(diǎn)P,證明:|必|-|尸尸|8$2。為定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知橢圓c：[+/=i(a〉b〉o)的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8為橢

圓°上不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)4,0,3三點(diǎn)共線時(shí)，直線MA,MB的斜率之積為-工

4

⑴求橢圓C的方程；

(2)若△048的面積為1,求+\OB\2的值.

【變式7-1](2024?高三?廣東?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)耳，居為橢圓c：5+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

在橢圓C上，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為8,四邊形鳥(niǎo)的面積為

⑴求橢圓C的方程；

11

(2)若過(guò)尸2的直線/交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求證：忖可+而為定值.

【變式7-2】已知橢圓0：1+與=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),且a=26.

ab

(1)求橢圓CO的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C(L0)的直線/與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，且直線/與x軸不重合，直線AP,AQ分

別與y軸交于M,N兩點(diǎn).求證IOMMONI為定值.

【變式7-3](2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線

22

點(diǎn)嘖=1(八0力>0)的上下焦點(diǎn)分別為耳(o,c),E(o-c).已知點(diǎn)(e,灼和(0,碼都在雙曲線上，其中

e為雙曲線的離心率.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)A,B是雙曲線上位于y軸右方的兩點(diǎn)，且直線A[與直線平行，4工與8月交于點(diǎn)P.

⑴若1Ml-忸閭=2,求直線A/的斜率;

(ii)求證：|尸耳|+|學(xué)|是定值.

【變式7-4](2024?高三?湖北武漢?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C：，+，=l(a>b>0)的離心率6=白，連接四個(gè)

頂點(diǎn)所得菱形的面積為4.斜率為k的直線交橢圓于AB兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若左=1,求|鉆|的最大值；

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A,民。三點(diǎn)不共線，且的斜率滿足心?磯=充，求證：1。4『+1。8『為定

值.

過(guò)猛試

22

1.已知斜率為2的直線/經(jīng)過(guò)橢圓土+匕=1的右焦點(diǎn)耳，與橢圓相交于A3兩點(diǎn)，求弦A5的長(zhǎng).

54

22

2.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線E:5-4=l(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)是A(T0),一條漸近線的方

a-b

程為y=x.

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)設(shè)直線y=與雙曲線E交于點(diǎn)P,Q,求線段P。的長(zhǎng).

2

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知P為雙曲線C：/-與=1上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線

a

與雙曲線C相切.

⑴若點(diǎn)p是直線x=6y與圓f+y2=2的交點(diǎn)，求①

(2)求|OP|的取值范圍.

221

4.已知橢圓C：2+方=1(。>。>0)的離心率為.，點(diǎn)A,8在橢圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)直線A3過(guò)橢圓右焦點(diǎn)并

3

垂直于x軸時(shí)，△OAB的面積為萬(wàn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

⑵延長(zhǎng)Q4到〃，使得。以=3。4,且MB與橢圓C交于點(diǎn)Q,若直線Q4,05的斜率之積為-7，求

4

典的值.

BQ1

5.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離.

(1)求M的軌跡方程；

(2)尸為不在無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作(1)中M的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為A,B；直線AB與尸。垂直(0

為坐標(biāo)原點(diǎn))，與無(wú)軸的交點(diǎn)為R,與尸。的交點(diǎn)為。；

(i)求證：R是一個(gè)定點(diǎn)；

的最小值.

6.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直的兩條動(dòng)直線分

別與E交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,當(dāng)|明=|CD|時(shí)，|的=8.

⑴求E的方程；

忻M1

(2)設(shè)線段AB,C。的中點(diǎn)分別為M,N,若直線的斜率為正，且/=g，求直線AB和C。的方程.

\FM\8

7.(2024?高三?廣東?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線「:二-4=1(〃>0,6>0)的離心率為理，焦距為2后.

a-b2

(1)求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(0,-“作直線/分別交「的左、右兩支于A8兩點(diǎn)，交r的漸近線于C,。兩點(diǎn)，求五的取值范

圍.

8.(2024?河南安陽(yáng)?一模)如圖，已知直線/1?=氐,/2：了=-岳，〃是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA/4且MA

與乙相交于點(diǎn)A(A位于第一象限)，MB1/1,,且肱B與4相交于點(diǎn)8(8位于第四象限)，若四邊形。

(O為原點(diǎn))的面積為近.

2

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)口(2,0)的直線/與C相交于P,。兩點(diǎn)，是否存在定直線八x=f,使以PQ為直徑的圓與直線？相

交于E,尸兩點(diǎn)，且得為定值，若存在，求出。的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.若點(diǎn)網(wǎng)2,⑹為雙曲線C:/W=l(a,6>0)上一點(diǎn)，ab=l,點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線

/交雙曲線C于點(diǎn)Q,/于y軸相交于點(diǎn)8,點(diǎn)。為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，。為原點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程.

⑵若4,民￡),。四點(diǎn)共圓.

①求sinNBOQ的值；

②若畢策=2,求直線PB的斜率.

22

10.已知橢圓C：=+々=1(°>6>0),耳(-1,0)、鳥(niǎo)(1,0)分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2作與無(wú)軸

ab

不重合的直線/與橢圓交于A、8兩點(diǎn).當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，|AB|=3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)。、E分別為線段式質(zhì)、耳8的中點(diǎn)，點(diǎn)加、N分別為線段AE、BO的中點(diǎn).

\MN\

(i)求證：篇為定值；

(ii)設(shè)△6MN面積為S,求S的取值范圍.

11.（2024?四川內(nèi)江?三模）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：x=-L,過(guò)焦點(diǎn)廠的直線與拋物線E交于A、B

兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、。兩點(diǎn)，直線b與拋物線E交

于M、N兩點(diǎn)，直線。F與拋物線E交于尸、。兩點(diǎn).

（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

11

⑵證明：函土國(guó)為定直

12.（2024.天津和平.二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為點(diǎn)E橢圓上

ab

頂點(diǎn)為點(diǎn)4右頂點(diǎn)為點(diǎn)-且滿足r=

Ao7

（1）求橢圓的離心率；

（2）是否存在過(guò)原點(diǎn)。的直線/,使得直線/與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C,且與直線AF交于點(diǎn)。，滿足

3y/3\FD\=2\CD\sinZDOB,若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

13.（2024?江蘇?三模）已知M為等軸雙曲線「鼻-2=1（。〉0涉〉0）上一點(diǎn)，且M到「的兩條漸近線的

ab

距離之積等于;.

⑴求「的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在第一象限，且在漸近線的上方，A8分別為r的左、右頂點(diǎn)，直線PAP8分別與y軸交于點(diǎn)

CD.過(guò)點(diǎn)P作r的兩條切線，分別與y軸交于點(diǎn)及歹（E在尸的上方），證明：|CE|=|D同.

重難點(diǎn)突破06弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題...............................................................2

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題.............................................................3

題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題.............................................................5

題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題.............................................................6

題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題.............................................................7

題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題...................................................8

題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題........................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................12

亡法牯自與.柒年

//\\

1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式

①若A,3是直線y=近+相與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二次方程

px2+qx+r=O,則間|=而淳.|

1\P\

②若A,8是直線〃與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去X后得到一元二次方程

py2+qy+r=Q,1+m2

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

2

【典例1-1】已知點(diǎn)片、尸2分別橢圓券+/=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F?作傾斜角為|■的直線交橢圓于A、B

兩點(diǎn)，則弦A3的長(zhǎng)為.

【答案】逑/：0

33

【解析】橢圓與+/=：!的右焦點(diǎn)的(1,0),

因?yàn)橹本€AB的傾斜角為|■且過(guò)點(diǎn)區(qū)(1,0),

所以直線M：〉=xT,設(shè)A&,%),網(wǎng)%,%)，

y=x-l

聯(lián)立f,消去y得3爐—4x=o,

一2+y，=1

4

所以玉=0,x2=-,

所以必=T,%=g，

所以A(O,-1),B

故答案為：逑

3

221

【典例1-2】已知橢圓C：斗=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,離心率為不，橢圓C上點(diǎn)M

ab2

滿足+

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。(0,0)的直線/交橢圓C于尸，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為舊時(shí)直線/的方程.

【解析】(1)依題意2。=4,解得,所以橢圓方程為上+工=1；

c2=a2-b2

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,此時(shí)|PQ|=2代，不符合題意；所以直線的斜率存在,

V￡=

設(shè)直線方程為>=區(qū)，貝I」彳十7一，消元整理得(3+4〃卜2—12=。，設(shè)尸(西方)，。(%2，%)，貝IJ

一人若7=內(nèi)，解

%1+X2=0,X]%=3+4女2，所以|。。|=Jl+%2+工2)—4菁工2二即

得k=±且，所以直線/的方程為y=土且x;

22

22

【變式1-1](2024.海南.模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C：j-2=l(a>0,6>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2應(yīng)，點(diǎn)/2,質(zhì)

ab

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸且斜率為2娓的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求|尸。|.

【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2夜，所以2°=2攻，解得：a=插；

又因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,")在雙曲線C上，所以彳一於=1，解得：。=病，

2b

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二-匕=1

26

(2)設(shè)尸(%,％),Q(x2,y2)

由題可得過(guò)點(diǎn)尸且斜率為2#的直線方程為：y-V6=2^6(^-2),即y=2幾%-3面,

(22

1__二=]

聯(lián)立，26,消去y可得：7%2—24X+20=0,

y=2A/6X-3\/6

2420

所以石+%—，

所以|尸Q|=，1+/"(網(wǎng)+電)2-4%電=Vl+24^y^|-4xy=y

【變式1-2]己知拋物線E:作U2刀(p>0)的焦點(diǎn)為“0,2).

⑴求P;

(2)斜率為2的直線過(guò)點(diǎn)尸，且與拋物線E交于AB兩點(diǎn)，求線段A3的長(zhǎng).

【解析】(1)尸(。,2)為拋物線E的焦點(diǎn)，.[■|=2,解得：p=4.

(2)由(1)知：拋物線石:爐二打；

?「直線A3:y=2x+2,

[y=2x+2

?二由<2c得：—16%-16=0,

1％=8y

設(shè)A(再,乂),B(x2,y2),則玉+超=16,

/.yx+%=2%,+2+2尤2+2=2(玉+x2)+4=36,=y+%+p=36+4=40.

【變式13】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(4,0),且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8,動(dòng)圓圓心的軌跡方程為C,已知點(diǎn)

廠(2,0),直線/過(guò)點(diǎn)尸且與軌跡C交于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=16,求直線/的方程.

【解析】如圖設(shè)圓心C(x，y)，A(4,0),圓C與，軸交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CELy軸，垂足為E,則

\ME\=-\MN\,

2

:.\CAf=\CM|2=|MEf+\EC|2,

/.(X-4)2+/=42+X2,化為y2=8x；

即動(dòng)圓圓心的軌跡。的方程為V=8x,

設(shè)直線/為y=Nx-2）,P（XQJ,Q（%,%）,聯(lián)立方程得尸2寸無(wú)一2），消去y得

[y=8九

后2/一（8+4公卜+4左2=0,所以占+/=^4^，占?尤2=4,所以|「。|=%+%+。=^4^+4=16,即

KK

左2=1,解得左=±1,所以直線/為丁=尤-2或y=-x+2

題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題

【典例2-1】已知F為拋物線E:/=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（0,2）的直線/與拋物線E交于43兩點(diǎn)，拋

物線E在A3兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)L.

⑴設(shè)尸（%,%）是拋物線E上一點(diǎn)，證明：拋物線E在點(diǎn)P處的切線方程為y=^~y0,并利用切線

方程求點(diǎn)L的縱坐標(biāo)的值；

⑵點(diǎn)c為拋物線E上異于A8的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線E的切線，分別與線段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA.LN=pLB,求彳+〃的值;

(ii)證明:|網(wǎng)+|理+|FC|＞典|+|池|+|印|

2

【解析】（1）由題意，曲線y=—,可得y=3,則

422

點(diǎn)P（&,y。）處的切線方程為y=+（x-x0）+%，即y=%x-互+%,

222

因?yàn)槠?4y0,代入可得＞=

設(shè)A?，yJB（無(wú)8，%），工（無(wú)，比），

fv—_|_2

聯(lián)立方程組J,，整理得尤2-4日-8=0,可得無(wú)也=-8,

［尤=4y

又由切線方程可知，拋物線在點(diǎn)A3處的切線分別為y=^-x-yA,y=^-x-yB,

消去N可得々/，消去x可得(乙-4方=/力-/%，

即為=XA%-XB%=一芯-乙/=VB=_2

￡

xB-xA4(XB-XA)4

(2)⑺設(shè)C&,yc),M(XM,%),N"yN),

由⑴可知迤，號(hào):三廣,N]美旦，甘)，

,^.―卜xc-xB(XA+xB>xc-xB

由LM=ALA可知一--=2XA-------|n2=------,

212)xA-xB

,一心Xc-x.(xA+xB\xc-x.

由LN=uLB可知c=〃XB--=>〃=——--

2I2)Xpf

故X+〃=CB?C———■———，)-1.

XA~XBXB~XAXA~XB

⑺由拋物線性質(zhì)可知，|￡4卜力+1二反『，同理忻.二為『,|尸。|二號(hào)^,

又附=&+(%-1)2=J[XA；XB[=1#；+4胸+4),

同理可得，忻閭=+4卜江+4),回|=；J(小+4卜Y+4),

由均值不等式可知，

閘+閥二號(hào)+%422J.+1了+4)=;#；+4)(另+4)=2肛|，

同理|刑+但。22|府|,|冏+怛。|22|敬|,

但取等條件X；=說(shuō)，說(shuō)=XC9XA=XC不同時(shí)成立,

因此|剛+|陽(yáng)+歸q＞［四+|耐|+|兩|,證畢.

【典例2-2】（2024.高三.河北承德?開(kāi)學(xué)考試）已知VA3c的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為面積為

9班,c=6,且sinAsirLB=sin2c.

（1）證明：VABC為等邊三角形；

⑵設(shè)B4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。滿足AD=2,又平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)尸滿足=求

|CP|+|DP|的最小值.

【解析】（1）因?yàn)閟inAsinB=sii?C,由正弦定理得用;。之,。不是最大邊，

面積S=!a6sinC=1x36xsinC=94,所以sinC=走，Ce（0,工］，所以C=工，

22212）3

由余弦定理/=a~+b~-2abcos—，化簡(jiǎn)得36=a2+Z?2—36,a2+b2=72,

a2+b2—=（。一人J=72—2x36=O,aZ?=36,

所以。=6=6=c,

所以VABC是等邊三角形.

（2）如圖建系3（0,0），a3,36）,A（6,0）,r>（8,0）,

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,當(dāng)無(wú)V6時(shí)，

因?yàn)閆.PBA=2./PAR,所以tanZPBA=tan2ZPAB,tanZPBA=—,tanZPAB=,

x6—x

2「22

所以;=/6-x化簡(jiǎn)得區(qū)4）一￡=］,其中尤V6,

*1.上412

<6-xJ

當(dāng)x=6時(shí)，y=0,因?yàn)镹PABwO,則此時(shí)不合題意，則x<6,

當(dāng)y=0時(shí)，x=2,因?yàn)?PABAO,則此時(shí)不合題意，則x<2,

因?yàn)榛匾艘籑=1是由雙曲線看一t=1向右平移4個(gè)單位得到的，

412412

22

易知雙曲線亍-4=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4,0）,則平移后焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）和（8,0）,

作出雙曲線（X-4）［M=I，x<2的圖象如圖所示：

412

根據(jù)雙曲線定義知\DP\-\PB\=4,則R尸卜附+4,則3+叩=|叩網(wǎng)+42儂+4=10,

當(dāng)且僅當(dāng)GRP三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)x>6時(shí)，此時(shí)NPBA<90,ZPAB>9Q，故此時(shí)不可能滿足NPA4=2NR4B,舍去；

綜上所述|CP|+|OP|的最小值為10.

22

【變式2-1](2024?寧夏銀川?銀川一中?？家荒?如圖所示，由半橢圓G：?+a=i(yv。)和兩個(gè)半圓

2

c2:(x+l)+f=l(y>0),<:(x-iy+y2=i(ywo)組成曲線C：p(x,y)=o,其中點(diǎn)A，4依次為C1的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為Cj的下頂點(diǎn)，點(diǎn)與工依次為C]的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)居，外分別為曲線C”C3的圓心.

⑵若過(guò)點(diǎn)月,F2作兩條平行線//分別與CPC2和G，C3交與M,N和P,Q,求\MN\+\P^的最小值.

【解析】(1)由兩圓的方程知：圓心分別為G(TO),C2(l,0),即可(TO),月(1,0),

22

,-.b2+l=4,解得：從=3,.?.G：,+q=i(y4。).

(2)由題意知：|MM+|P0=|孫I+P閭+2；

22

Q"4，???由對(duì)稱性可知："%|+|尸月|為橢圓：+]=1截直線4的弦長(zhǎng)，

22

設(shè)4：X=的+1,其與橢圓2+]■=：!交于點(diǎn)(孫珀和(入2,%)

x=my+1

由V2得:（3根2+4）J+6my-9=0

——+—=1

143

6m9

x+%=—n—，y%=—5—，

123%2+4123m2+4

2

，M耳I+「閭=J1+蘇-^yl+y2)-4y,y2=?

5m+4=4-高

當(dāng)加=0時(shí)，|町|+|尸局取得最小值4-1=3,，|MN|+|PQ|的最小值為3+2=5.

【變式2-2］（2024?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)幾＞0且時(shí)，我們把方程

22