2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二十二)獨(dú)立性檢驗(yàn)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．為了探討中學(xué)學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的看法(喜愛(ài)和不喜愛(ài)兩種看法)與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得χ2＝7.01，則認(rèn)為“喜愛(ài)鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系”的把握約為()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%C[易知χ2＝7.01>6.635，比照臨界值表知，有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系．]2．某探討所為了檢驗(yàn)?zāi)逞孱A(yù)防感冒的作用，把500名運(yùn)用了該血清的志愿者與另外500名未運(yùn)用該血清的志愿者一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)＝0.05.則下列敘述中正確的是()A．有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”B．若有人未運(yùn)用該血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%D．這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%A[χ2≈3.918>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，故選A.]3．給出下列實(shí)際問(wèn)題：①一種藥物對(duì)某種病的治愈率；②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)分；③吸煙者得肺病的概率；④吸煙是否與性別有關(guān)系；⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系．其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)題有()A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤ D．①②③④⑤B[獨(dú)立性檢驗(yàn)是推斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的方法，而①③都是概率問(wèn)題，不能用獨(dú)立性檢驗(yàn)．]4．下表是甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按學(xué)生考試及格與不及格統(tǒng)計(jì)成果后的2×2列聯(lián)表，則χ2的值為()不及格及格合計(jì)甲班123345乙班93645合計(jì)216990A.0.559 B．0.456C．0.443 D．0.4A[χ2＝eq\f(90×12×36－33×92,45×45×21×69)≈0.559，故選A.]5．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是()A．若χ2>6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病B．從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C．若從χ2統(tǒng)計(jì)量中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D．以上三種說(shuō)法都不正確C[A，B是對(duì)χ2的誤會(huì)，99%的把握認(rèn)為吸煙和患肺病有關(guān)，是指通過(guò)大量的視察試驗(yàn)得出的一個(gè)數(shù)值，并不是100個(gè)人中必有99個(gè)人患肺病，也可能這100個(gè)人全健康．]二、填空題6．(一題兩空)在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2＝7.63，依據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，有______的把握說(shuō)，打鼾與患心臟病是________的．(“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)99%有關(guān)[∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握說(shuō)，打鼾與患心臟病是有關(guān)的．]7．若兩個(gè)分類(lèi)變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為_(kāi)_______．0.999[χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－0.001＝0.999.]8．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的老師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)男1310女720為了推斷主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)是否與性別有關(guān)系，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844>3.841，所以斷定主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種推斷出錯(cuò)的可能性約是________．5%[∵P(χ2≥3.841)＝0.05，故推斷出錯(cuò)的可能性為5%.]三、解答題9．某高校餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜愛(ài)甜品不喜愛(ài)甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異；(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜愛(ài)甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜愛(ài)甜品的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635[解](1)將2×2列表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得χ2＝eq\f(100×60×10－20×102,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異．(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本領(lǐng)件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜愛(ài)甜品的學(xué)生，i＝1,2，bj表示不喜愛(ài)甜品的學(xué)生，j＝1,2,3.基本領(lǐng)件空間Ω由10個(gè)基本領(lǐng)件組成，且這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜愛(ài)甜品”這一事務(wù)，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．事務(wù)A由7個(gè)基本領(lǐng)件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).10．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由．(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多80分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(以上給出了4種理由，答出其中隨意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515(3)因?yàn)棣?＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．11．某人探討中學(xué)生的性別與成果、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1成果性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A.成果 B．視力C．智商 D．閱讀量D[A中，χ2＝eq\f(52×6×22－10×142,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440)；B中，χ2＝eq\f(52×4×20－12×162,20×32×16×36)＝eq\f(637,360)；C中，χ2＝eq\f(52×8×24－8×122,20×32×16×36)＝eq\f(13,10)；D中，χ2＝eq\f(52×14×30－2×62,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).因此閱讀量與性別相關(guān)的可能性最大，所以選D.]12．(多選題)有兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y，其列聯(lián)表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為()A．6 B．7C．8 D．9CD[依據(jù)公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)＞3.841，依據(jù)a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得當(dāng)a＝8或9時(shí)滿(mǎn)意題意．]13．(一題兩空)為探討某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)：無(wú)效有效合計(jì)男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100設(shè)H：服用此藥的效果與患者的性別無(wú)關(guān)，則χ2≈________(小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種推斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．4.95%[由公式計(jì)算得χ2≈4.9.∵χ2>3.841，∴我們有95%的把握認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而有5%的可能性出錯(cuò)．]14．某一電視臺(tái)對(duì)年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜愛(ài)足球進(jìn)行調(diào)查，對(duì)高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：不喜愛(ài)足球喜愛(ài)足球總計(jì)高于40歲pq50不高于40歲153550總計(jì)ab100若工作人員從全部統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到喜愛(ài)足球的人的概率為eq\f(3,5)，則有超過(guò)________的把握認(rèn)為年齡與足球的被喜愛(ài)程度有關(guān)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥k)0.050.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82895%[設(shè)“從全部人中隨意抽取一個(gè)，取到喜愛(ài)足球的人”為事務(wù)A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4.167>3.841.故有超過(guò)95%的把握認(rèn)為年齡與足球的被喜愛(ài)程度有關(guān)．]15.海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖：舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)記B表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事務(wù)“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估計(jì)值為0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)