2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐標及其運算學案含解析新人教B版必修第二冊

6.2.3平面對量的坐標及其運算第1課時學習目標1.平面對量的坐標的定義;2.平面對量的坐標的求法;3.平面對量直角坐標在向量相等和線性運算中的應(yīng)用.自主預(yù)習1.什么叫正交基底?.

2.什么叫正交分解?.

3.向量坐標的定義:.

課堂探究探究一:1.正交基底:

2.正交分解:

嘗試與發(fā)覺如圖所示,已知e1,e2是平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量,將圖中的向量a與b都用e1,e2表示.3.由上圖可以看出,a=,b=.

4.引入坐標的定義:.

牛刀小試:圖中a的坐標為,b的坐標為.

探究二:在平面直角坐標系中,如何確定向量的坐標呢?請同學們自行閱讀課本第161頁,并完成下題:圖中,a=,b=,e1=,e2=.

小結(jié):1.假如平面上一點A的坐標為(x,y),那么向量OA對應(yīng)的坐標也為,即OA=;反之,這一結(jié)論也成立.

2.為了求出平面上向量的坐標,可以選擇如下兩種方法中的任何一種:①.

②.

例1如圖所示,寫出向量a,b的坐標.探究三:平面上的向量有了坐標之后,向量的相等以及運算與它們對應(yīng)的坐標之間有什么關(guān)系呢?探究:假設(shè)平面上兩個向量a,b滿意a=(x1,y1),b=(x2,y2),也就是說a=x1e1+y1e2,b=.

(1)若a=b,則x1e1+y1e2=x2e1+y2e2,坐標關(guān)系為;

(2)向量a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,a+b的坐標為;

同理:(3)向量a-b的坐標為;

(4)向量μa的坐標為.

例2已知a=(-2,3),b=(3,-3),求下列向量的坐標:(1)a+b;(2)2a-5b;(3)13探究:由平面對量的坐標怎樣表示向量的模?事實上,假如向量a不在坐標軸上時,可以構(gòu)造出一個邊長分別為|x|與|y|的矩形,而|a|正好等于矩形的對角線長,因此|a|=x2當a在坐標軸上時,上述結(jié)論明顯也成立.例3已知a=(3,1),b=(-23,2),求|a|,|b|.課堂練習1.下列說法中正確的個數(shù)是()①向量在平面直角坐標系xOy內(nèi)的坐標是唯一的;②若AB=(1,2),則AB的終點坐標是(1,2);③若AB的終點坐標為(1,2),則AB=(1,2).A.0 B.1 C.2 D.32.若向量AB=(1,2),BC=(3,4),則AC等于()A.(4,6) B.(-4,-6)C.(-2,-2) D.(2,2)3.設(shè)向量a,b滿意|a|=25,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標為.

核心素養(yǎng)專練1.若向量OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分別表示兩個力F1,F2,則|F1+F2A.(0,5) B.(4,-1)C.22 D.52.已知AB=a,且A12,4,B14,2,又λ=A.-18C.18,參考答案自主預(yù)習略課堂探究探究一:1.假如平面對量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就稱這組基底為正交基底.2.在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解3.2e1+2e23e1-2e24.一般地,給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e1,e2,對于平面內(nèi)的向量a,假如a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量當a的坐標,記作a=(x,y)牛刀小試:(2,2)(3,-2)探究二:(4,2)(-3,-1)(1,0)(0,1)小結(jié):1.(x,y)(x,y)2.①將向量用正交單位向量e1,e2表示出來,讀出向量的坐標(探究一)②將向量的始點平移到原點,讀出終點的坐標,即向量的坐標(探究二)例1解:因為a的始點在原點,所以由a的終點坐標知a=(5,-1).又因為b=4e1+e2,所以b=(-4,1).探究三:探究:x2e1+y2e2(1)x1=x2且y1=y2(2)(x1+x2,y1+y2)(3)(x1-x2,y1-y2)(4)(μx1,μy1)例2解:(1)a+b=(-2,3)+(3,-3)=(-2+3,3-3)=(1,0).(2)2a-5b=2(-2,3)-5(3,-3)=(-4,6)-(15,-15)=(-19,21).(3)13b=13(3,-3)=(1,-例3解:由已知可得|a|=(3)2+12=課堂練習1.B解析:因為e1,e2為正交基底,所以①正確;向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的詳細位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān),故②③不正確.2.A解析:AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).3.解析:因為b=(2,1),且a與b的方向相反,所以設(shè)a=(2λ,λ)(λ<0).因為|a|=25,所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2,所以a=(-4,-2).答案:(-4,-2)核心素養(yǎng)專練1.D2.A第2課時學習目標1.理解平面對量的坐標概念;2.駕馭向量的坐標運算;3.通過平面對量坐標表示及坐標運算法則的推導培育學生演繹、歸納、猜想的實力;4.通過對坐標平面內(nèi)點和向量的類比,培育學生類比推理實力;5.借助數(shù)學圖形解決問題,提高學生用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的實力.自主預(yù)習1.依據(jù)上節(jié)課的學問,當向量的始點在原點時,它的直角坐標怎樣讀出來?2.向量的加法、減法法則.3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為平面直角坐標系中的兩點,則OA=,OB=,所以,AB==(x2,y2)-(x1,y1)=.

課堂探究探究一:問題1:已知向量的始點為A(x1,y1),終點為B(x2,y2),能否干脆寫出向量的坐標?問題2:向量模的坐標運算公式|AB|=(x對于上式,你還能發(fā)覺什么?你能求平面內(nèi)兩個點之間的距離嗎?問題3:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)線段AB的終點為M(x,y),依據(jù)前面所學學問,得OM=12(OA+OB)=12(x1+x2,y1+y2)對于上式,你能發(fā)覺線段的中點坐標怎樣表示嗎?例1已知點A(-2,1),B(1,3),求線段AB的中點M與三等分點P,Q的坐標.變式訓練已知平行四邊形ABCD的頂點A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),則頂點D的坐標是.

探究二:1.回答共線向量基本定理.2.請同學們自主學習課本第165頁,并歸納出向量平行的坐標表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2=x2y1.例2已知AB=(2,5),a=(1,y),AB∥a,求y的值.變式訓練在平面直角坐標系中,已知點A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求證:A,B,C三點共線.課堂練習1.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,AB=(2,4),AC=(1,3),則DA=()A.(2,4) B.(3,5)C.(1,1) D.(-1,-1)2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=()A.(1,-2) B.(1,2)C.(5,6) D.(2,0)3.設(shè)a=32,tanα,b=cosα,13,且A.30° B.60° C.45° D.75°4.已知AB=(1,3),且點A(-2,5),則點B的坐標為()A.(1,8) B.(-1,8)C.(3,2) D.(-3,2)參考答案自主預(yù)習略課堂探究探究一:問題1:能,AB=(x2-x1,y2-y1).問題2:發(fā)覺平面內(nèi)兩點A(x1,y1)與B(x2,y2)之間距離|AB|=|AB|=(x問題3:x=x1+x2例1解:OM=12(OA+OB)=-因為AB=1,3--2又因為AP=13AB,設(shè)P(x,所以(x,y)-(-2,1)=13(3,2)=1所以(x,y)=1,23+(-2,1)同理可得Q0,73,所以M-12,2變式訓練:解析:由于平行四邊形ABCD的頂點A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),則可知AB=DC.∴(1,2)=(3-x,4-y).∴x=2,y=2,故點D的坐標是(2,2).探究二:略例2解:因為AB∥a,所以1×5=2×y,解得y=52變式訓練:證明:由已知得AB=(0,1)-(-2,-3)=(2,4),AC=(2,5)-(-2,-3)=(4,8).因為2×8=4×4,所以AB∥AC,所以A,B,C三點共線.課堂練習1.C2.A3.A4.B第1課時學習目標1.了解平面對量的正交分解,駕馭向量的坐標表示.2.駕馭兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則和向量的模的公式.3.正確理解向量坐標的概念,要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來.自主預(yù)習1.直線的平行與向量的平行有什么聯(lián)系與區(qū)分?2.怎樣推斷兩條直線垂直?3.在邊長為1的正三角形ABC中,|AB-AC|的值為.

4.如圖,在△ABC中,D是AB邊上的點,且滿意AD=3BD,設(shè)CA=a,CD=b,則向量CB用a,b表示為.

課堂探究1.向量的垂直問題1直線垂直是怎樣定義的?假如平面上兩個非零向量a,b所在的,我們就說平面對量,記作,為了便利起見,規(guī)定零向量與隨意向量都垂直

即時訓練寫出下列哪些向量是垂直的.2.正交分解問題2前面我們學過平面對量基本定理,當基底為兩個垂直向量時仍成立嗎?思索并回答下面問題.已知e1,e2平面內(nèi)兩垂直的單位向量,將圖中的向量a,b用e1,e2表示.a=;b=.

3.向量的坐標小組合作探究一我們可以借助初中學過的形式表示上面兩個向量.依據(jù)直角坐標系中點的坐標我們可得出:一般地,給定平面內(nèi)兩個的單位向量e1,e2,對于平面內(nèi)向量a,假如a=xe1+ye2,

則稱為向量a的坐標,記作.

請同學們寫出上面問題中兩個向量的坐標.即時訓練請同學們寫出下面坐標系中兩個向量的坐標.小組合作探究二當向量的始點坐標為原點時,終點坐標是對應(yīng)向量的坐標;當向量的始點不是坐標原點怎么辦?要點歸納為了求出平面上向量的坐標,可以選擇如下兩種方法中的任何一種:(1)將向量用表示出來;

(2)將向量的始點,讀出終點的坐標.

例1依據(jù)下圖寫出向量a,b,c,d的坐標,其中每個小正方形的邊長是1.即時訓練請把下列坐標系中的向量的始點移到原點,并標出向量a,b,c,d所對應(yīng)的點A,B,C,D.4.平面對量的坐標運算問題3現(xiàn)在向量可以用坐標表示,那向量的加減與數(shù)乘是不是用坐標表示更簡潔呢?已知a=OA,b=OB,c=OC,如下圖所示,寫出a,b,c的坐標,看看用坐標表示向量a+b,a-b以及a-3c,然后寫出它們的坐標.小組合作探究三我們能不能得到向量加減與數(shù)乘的一般公式呢?設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),試寫出a+b,a-b,λa,λa+μb的坐標.∴a+b=.

a-b=.

λa=.

λa+μb=.

例2已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),試用a,b表示c.要點歸納待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一,它的實質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,再利用方程或方程組求解,把一個向量用其他兩個向量表示,這是常用方法.課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?(學問層面,思想方法層面)核心素養(yǎng)專練單項選擇題1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=()A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)多項選擇題2.已知,在平面上的點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面結(jié)論正確的是()A.AB-CA=BCB.OA+OC=OBC.AC=OB-2OAD.OA+2OB=OC解答題3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c.(1)求3a+b;(2)求滿意a=mb+nc的實數(shù)m,n的值.參考答案自主預(yù)習略課堂探究1.問題1直線相互垂直a與b垂直a⊥b即時訓練AD與DC,CD,AB,BA;DA與DC,CD,AB,BA等.2.正交分解問題2成立2e1+2e23e1-2e23.小組合作探究一相互垂直(x,y)a=(x,y)(2,2),(3,-2)即時訓練(4,-1),(-3,3)小組合作探究二要點歸納(1)單位向量(2)平移到原點例1a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).即時訓練a=OA=(1,3);b=OB=(-5,-2);c=OC=(-2,-2);d=OD=(2,-4).4.問題3a+b=(-1,4),a-b=(9,-2),a-3c=(1,-2).小組合作探究三a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)λa=(λx1,λy1)λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2).例2解:設(shè)c=xa+yb,則(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y),∴10=-2x+3y,-核心素養(yǎng)專練1.B2.BC3.解:a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b=3(5,-5)+(-6,-3)=(15-6,-15-3)=(9,-18).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=n=-1.第2課時學習目標1.駕馭平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式、中點坐標公式.2.駕馭向量平行的坐標表示.3.通過學習平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式、中點坐標公式,培育學生的數(shù)學運算素養(yǎng).4.通過學習向量平行的坐標表示,培育學生的邏輯推理、數(shù)學運算,數(shù)形結(jié)合素養(yǎng).自主預(yù)習1.已知平面上三點A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),則AB-AC=,AB+2BC=.

2.已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),則向量12AB的坐標是(A.-4,1C.(-8,1) D.(8,1)3.共線向量基本定理:課堂探究思索:某中學的塑身操隊四名隊員A,B,C,D在一個長10米,寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進行塑身操表演.(1)若在某時刻t1,四名隊員A,B,C,D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處,隊員B在邊FG上距F點3米處,隊員D位于距EF邊2米,距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎?能求AC長度嗎?會求A和C中點坐標嗎?圖1圖2(2)若在某時刻t2,四名隊員A,B,C,D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米,距FG邊1米處,隊員B在距EF邊6米,距FG邊3米處,隊員D位于距EF邊4米,距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎?能求AC長度嗎?會求AC中點坐標嗎?探究點一平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式與中點坐標公式(一)回顧閱歷,明確思路情境引入如圖,已知A(x1,y1),B(x2,y2)是坐標系內(nèi)的兩點.問題1你能用什么方法求出AB?問題2怎樣求出AB中點C的坐標(x,y)?(二)理性相識,概括公式設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為平面直角坐標系中的兩點,線段AB中點為M(x,y),則(1)AB=|AB|=.

(2)x=,y=.

探究點二向量平行的坐標表示a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得a=λb.那么這個共線向量定理如何用坐標來表示?問題1設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),假如a∥b,那么x1y2-x2y1=0,請你寫出證明過程.問題2設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,假如x1y2-x2y1=0,那么a∥b.請你寫出證明過程.問題3若b=0時,前兩個問題中的結(jié)論成立嗎?公式形成向量平行的坐標表示對隨意平面對量都成立設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

練習1.向量(1,2)與向量(4,8)共線.()2.向量(2,3)與向量(-4,-6)反向.()3.已知a=(-6,2),b=(m,-3),且a∥b,則m=()A.-9 B.9 C.3 D.-3例1已知A(-2,1),B(1,3).(1)求AB的中點M的坐標;(2)求線段AB兩個三等分點P,Q的坐標,并計算PQ.跟蹤訓練1:已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆時針方向排列,求:(1)AB,AD的長;(2)D點的坐標.例2已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).推斷AB與CD是否共線?假如共線,它們的方向相同還是相反?(嘗試用不同的方法處理)方法提煉:跟蹤訓練2已知a=(1,2),b=(-3,2),當k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向?核心素養(yǎng)專練1.已知a=(-1,2),b=(2,y),若a∥b,則y的值是()A.1 B.-1 C.4 D.-42.若點A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三點共線,則使AB=λBC成立的實數(shù)λ的值為()A.-2 B.0 C.1 D.23.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是.

4.給定兩個向量a=(1,2),b=(λ,1),若a+2b與2a-2b共線,求λ的值.參考答案自主預(yù)習略課堂探究思索:略探究點一問題1可用AB=|AB|,再用向量求模公式.問題2可用AC=CB,化為向量坐標相等,列實數(shù)方程組求出(x,y).(1)(x2-x1探究點二問題1:當a∥b時,假如b≠0,由平面對量基本定理可知存在λ,使得a=λb,即(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2).因此x1=λx2,y1=λy2,從而問題2:當x1y2-x2y1=0時,假如x2≠0且y2≠0,則有x1x2=y1y2,設(shè)這個比值為λ,則有x1=λx2,y1=λy2,從而(x1,y1)=(假如x2=0且y2≠0,則有x1=0,設(shè)λ=y1y2,同樣有(x1,y1)=λ(x2,y2),即a=λb,因此類似地,假如x2≠0且y2=0,λ=x1x2,同樣有a=λb,因此從而,不管哪種狀況都有a∥b問題3:成立x1y2=x2y1練習1.√2.√3.B解析:由a∥b,得-6×(-3)=2m,∴m=9.例1解:(1)明顯OM=12(OA+OB)=12[(-2,1)+(1,3)]=即AB中點M的坐標為-1(2)因為AB=OB-OA=(1,3)-(-2,1)=(3,2),又因為AP=13AB,所以O(shè)P-OA=13AB,因此OP=OA+13AB=(-2,1)類似地,有OQ=OA+23AB=(-2,1)+23(3,2)即P,Q的坐標分別為-1,5故PQ=