2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

6.3平面對(duì)量線性運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)幾何應(yīng)用通過本節(jié)課學(xué)習(xí)理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模物理應(yīng)用運(yùn)用向量的有關(guān)學(xué)問(向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等)解決簡潔的物理問題數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模自主預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)教材P168~170的內(nèi)容,解決以下問題:1.已知向量a=(-2,m)與向量b=(1-m,1)平行,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-1 B.1 C.2 D.-1或22.已知三個(gè)力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力F4,則F4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)3.如圖,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

4.如圖,已知兩個(gè)力的大小和方向,則合力的大小為N;若用坐標(biāo)表示合力F,則F=.

課堂探究一、向量在平面幾何中的應(yīng)用例1如圖所示,MN是中位線,求證:MN∥BC且MN=12例2如圖所示,已知在平行四邊形ABCD中,E,F在對(duì)角線BD上,并且BE=FD.求證:四邊形AECF是平行四邊形.例3如圖所示,已知△ABC中,E,F分別是AB,BC的重點(diǎn),AF與CE相交于點(diǎn)O,求AO∶OF與CO∶OE的值.跟蹤訓(xùn)練如圖,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,則2r+3s=(A.1 B.2 C.3 D.4二、向量在物理中的應(yīng)用例4如圖所示,一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住,且處于平衡狀態(tài),已經(jīng)物體所受的重力大小為50N,求每條繩上的拉力大小.跟蹤訓(xùn)練已知船在靜水中的速度大小為5m/s,且船在靜水中的速度大小大于水的速度大小,河寬為20m,船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)間為5s,試用向量的減法來求水流的速度大小.課堂練習(xí)1.已知點(diǎn)A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),則以ABCD為頂點(diǎn)的四邊形是()A.梯形B.鄰邊不相等的平行四邊形C.菱形D.兩組對(duì)邊均不平行的四邊形2.已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(9,1) B.(1,9)C.(9,0) D.(0,9)3.已知在平行四邊形ABCD中,E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AE=FC=14AC,試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形核心素養(yǎng)專練1.人騎自行車的速度是v1,風(fēng)速為v2,則人的實(shí)際速度為()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.v2.已知四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)是A-1,-73,B1,13,C-12,A.梯形 B.平行四邊形C.矩形 D.菱形3.查閱資料,了解更多向量線性運(yùn)算在平面幾何和物理等方面的應(yīng)用.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1證明:因?yàn)镸,N分別是AB,AC邊上的中點(diǎn),所以AM=12AB,AN=MN=AN-AM=12AC-12AB=12(AC-從而可知MN∥BC且MN=12例2證明:由已知可設(shè)AB=DC=a,BE=FD=b,則AE=AB+BE=a+b,FC=FD+DC=b+a.又因?yàn)閍+b=b+a,所以AE=FC,因此AEFC,從而可知四邊形AECF是平行四邊形.例3解:因?yàn)锳C=AO+OC=AB+BC,又因?yàn)镋,F都是中點(diǎn),所以AO+OC=AB+BC=2EB+2BF=2EF.另外,EF=EO+OF,所以AO+OC=2EO+2OF.設(shè)AO=sOF,CO=tOE,則有sOF-tOE=2EO+2OF,即(s-2)OF=(t-2)OE.從而由共線向量基本定理可知s=t=2,因此AO∶OF=CO∶OE=2∶1.跟蹤訓(xùn)練C解析:依據(jù)圖形由題意可得AE=AB+BE=AB+2=AB+23(BA+AD+DC=13AB+23(AD=13AB=12AB+23AD.因?yàn)锳E=r所以r=12,s=2所以2r+3s=1+2=3.例4解:因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài),所以F1+F2是重力的相反向量,因此|F1+F2|=50N.又由圖與向量加法的平行四邊形法則可知,F1+F2的方向是豎直向上的,且|F1+F2|=2|F1|sin45°=2|F2|sin45°,所以|F1|=|F2|=50N2sin45°=252因此,每條繩上的拉力為252N.跟蹤訓(xùn)練解:設(shè)船在靜水中的速度為v1,水流速度為v2,船的實(shí)際速度為v3,建立如圖坐標(biāo)系.|v1|=5,|v3|=205=v3=(0,4),v1=(-3,4),v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).所以|v2|=3.即水流的速度大小為3m/s.課堂學(xué)習(xí)1.B解析:因?yàn)锳D=(8,0),BC=(8,0),所以AD=BC,因?yàn)锽A=(4,-3),所以|BA|=5,而|BC|=8,故為鄰邊不相等的平行四邊形.2.A解析:F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),設(shè)終點(diǎn)為B(x,y),則(x-1,y-1)=(8,0),所以x-1=8,y3.證明:設(shè)AD=a,AB=b,則DE=AE-AD=14AC-a=14b-FB=AB-AF=b-34AC=14b-所以DE=FB,且D,E,F,B四點(diǎn)不共線,所以四邊形DEBF是平行四邊形.核心素養(yǎng)專練1.B解析:由向量的加法法則可得人的實(shí)際速度為v1+v2.留意速度是有方向和大小的,是一個(gè)向量.2.A解析:因?yàn)锳B=2,83,所以AB=23DC,所以AB∥DC,即AB又|AB|=4+649=103,|DC|=所以|AB|≠|(zhì)DC|,所以四邊形ABCD是梯形.3.略第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題,體現(xiàn)了邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).2.會(huì)用向量方法解決某些簡潔的力學(xué)問題,及其他一些實(shí)際問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)一、預(yù)習(xí)教材P168~170的內(nèi)容,思索以下問題:1.平面對(duì)量是如何體現(xiàn)在幾何問題中的?2.平面對(duì)量是如何體現(xiàn)在物理問題中的?二、復(fù)習(xí)回顧:1.若a=(x,y),則|a|=

2.若A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=

3.如何用向量法證明AB∥CD?4.如何用向量法證明A,B,C三點(diǎn)共線?5.若質(zhì)點(diǎn)O在三個(gè)力F1,F2,F3的作用下處于平衡狀態(tài),則三個(gè)力滿意的關(guān)系式為.

三、自我檢測:1.在四邊形ABCD中,AB=DC,且|AB|=|BC|,那么四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.菱形C.長方形 D.正方形2.已知三個(gè)力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力F4,則F4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)課堂探究合作探究一:向量在平面幾何中的應(yīng)用例1如圖所示,MN是△ABC的中位線,求證:MN∥BC且MN=12例2如圖所示,已知在平行四邊形ABCD中,E,F在對(duì)角線BD上,并且BE=FD.求證:四邊形AECF是平行四邊形.例3如圖所示,已知在△ABC中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),AF與CE相交于點(diǎn)O,求AO∶OF與CO∶OE的值.變式訓(xùn)練1若四邊形ABCD滿意AB+CD=0,則該四邊形肯定是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四邊形合作探究二:向量在物理中的應(yīng)用例4如圖所示,一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住,且處于平衡狀態(tài),已知物體所受的重力大小為50N,求每條繩上的拉力大小.變式訓(xùn)練2用兩條成120°角的等長繩子懸掛一個(gè)燈具,已知燈具重量為10N,則每根繩子的拉力大小為N.

核心素養(yǎng)專練1.已知四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)是A-1,-73,B1,13,C-12,A.梯形 B.平行四邊形C.矩形 D.菱形2.河水的流速為5m/s,一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河岸方向駛向?qū)Π?則小船的靜水速度大小為()A.13m/s B.12m/sC.17m/s D.15m/s3.在直角三角形ABC中,斜邊BC長為2,O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P滿意OP=OA+12(AB+AC),則|AP|等于(A.2 B.1 C.124.當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí),夾角為θ,兩人用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則θ的值為()A.30° B.60° C.90° D.120°5.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且2PA+2PB+PC=0,則S△ABP∶S△ABC=.

6.已知Rt△ABC中,∠C=90°,設(shè)AC=m,BC=n.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn),求證:CD=12AB(2)若E為CD的中點(diǎn),連接AE并延長交BC于F,求AF的長度(用m,n表示).參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1證明:因?yàn)镸,N分別是AB,AC的中點(diǎn),所以AM=12AB,AN=MN=AN-AM=12AC-12AB=12(AC-所以MN∥BC且MN=12例2證明:設(shè)AB=DC=a,BE=FD=b,則AE=AB+BE=a+b,FC=FD+DC=b+a,所以AE=FC,因此AEFC所以四邊形AECF是平行四邊形.例3設(shè)AO=sOF,CO=tOE,選取基底{OE,OF},AO+OC=AB+BC=2EB+2BF=2EF=2OF-2OE,AO+OC=sOF-tOE,∴sOF-tOE=2OF-2OE,又∵OE,OF不共線,∴s=2,-t=-2變式訓(xùn)練1D例4解:因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài),所以F1+F2+G=0;∴|F1+F2|=|G|=50.又由圖及向量加法的平行四邊形法則知:F1+F2的方向豎直向上的,且|F1+F2|=2|F1|sin45°=2|F2|sin45°.∴|F1|=|F2|=50N2sin45°=252N,∴每條繩上的拉力為252變式訓(xùn)練2解析:如圖,由題意,得∠AOC=∠COB=60°,|OC|=10,則|OA|=|OB|=10,即每根繩子的拉力大小為10N.核心素養(yǎng)專練1.A2.A3.B4.D5.1∶56.解:(1)證明:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以邊CB,CA所在的直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,A(0,m),B(n,0).∵D為AB的中點(diǎn),∴Dn2∴|CD|=12|AB|=m2∴|CD|=12|AB|,即CD=1(2)∵E為CD的中點(diǎn),∴En4設(shè)F(x,0),則AE=n4,-34m,AF=(∵A,E,F三點(diǎn)共線,∴AF=λAE.即(x,-m)=λn4,-故λ=43,即x=n3,∴F∴|AF|=13n2+9第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題,體現(xiàn)了邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).2.會(huì)用向量方法解決某些簡潔的物理問題,及其他一些實(shí)際問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)一、復(fù)習(xí)回顧1.用向量方法解決平面幾何問題的步驟及方法.2.用向量方法解決物理問題的步驟.二、自我檢測1.已知向量a=(-2,m)與向量b=(1-m,1)平行,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-1 B.1 C.2 D.-1或22.如圖,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

3.如圖,已知兩個(gè)力的大小和方向,則合力的大小為N;若用坐標(biāo)表示合力F,則F=.

課堂探究合作探究一:向量在平面幾何中的應(yīng)用例1如圖,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練1如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn),G為BE與DF的交點(diǎn).若AB=a,AD=b.(1)試以a,b為基底表示BE,DF;(2)求證:A,G,C三點(diǎn)共線.合作探究二:向量在物理中的應(yīng)用例2一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地,然后向C地飛行.設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C兩地相距2000km,求飛機(jī)從B地到C地的位移.變式訓(xùn)練2如圖,一物體受到兩個(gè)大小均為60N的力的作用,兩力的夾角為60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.核心素養(yǎng)專練1.人騎自行車的速度是v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度為()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.v2.已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(9,1) B.(1,9)C.(9,0) D.(0,9)3.在△ABC中,D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且AD=13AB+12AC,則SA.23 B.13 C.14.如圖,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,則2r+3s=(A.1 B.2 C.3 D.45.坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度v=(1,2)從點(diǎn)A(4,6)處移動(dòng)到點(diǎn)B(7,12)處,其所用時(shí)間為.

6.某物體做斜拋運(yùn)動(dòng),初速度|v0|=10m/s,與水平方向成60°角,不計(jì)空氣阻力,則該物體在水平方向上的速度是m/s.

7.已知點(diǎn)A(3,1),B(0,0),C(3,0),∠BAC的平分線AE與BC相交于點(diǎn)E,則BC=λCE,其中λ等于.

8.如圖,在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP∶PM與BP∶PN的值.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1證明:以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.令|AD|=1,則|DC|=1,|AB|=2.∵CE⊥AB,AD=DC,∴四邊形AECD為正方形.∴各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).(1)∵ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1),∴ED=BC,∴ED∥BC,即DE∥BC.(2)∵M(jìn)為EC的中點(diǎn),∴M0,∴MD=(-1,1)-0,12MB=(1,0)-0,12∵M(jìn)D=-MB,∴MD∥MB.又∵M(jìn)D與MB有公共點(diǎn)M,∴D,M,B三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練1解:(1)BE=AE-AB=12b-a,DF=AF-AD=1(2)證明:因?yàn)镈,G,F三點(diǎn)共線,則DG=λDF,即DG=A